文档内容
微专题：多项式积的展开式
【考点梳理】
1. 二项式定理
概念 公式(a＋b)n＝ C a n ＋ C a n － 1 b 1 ＋…＋ C a n － k b k ＋…＋ C b n (n∈N*)叫做二项式定理.
二项式
各项的系数 C ( k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数.
系数
通项 C a n － k b k 叫做二项展开式的通项，是展开式中的第 k ＋ 1 项，可记做T ＝Can－k·bk(k＝0，1，2，…，n).
k＋1
二项
Can＋Can－1b1＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)叫做(a＋b)n的二项展开式.
展开式
2. 对于两个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合定义求解，但要
注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏.
3 求三项展开式中某些特定项的系数的方法：①两次利用二项式定理的通项公式求解；②由二项式定理的推
证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这
几个因式中取因式中的量.
4. 某些三项或三项以上的展开问题，根据式子的特点，可通过变形转化为二项式，再用二项式定理求解. 转
化的方法通常为配方、因式分解.
【典例剖析】
典例1． 的展开式的常数项为（ ）
A．6 B．10 C．15 D．16
典例2．在 的展开式中 的系数为___________.
典例3．已知 的展开式中各项系数的和为 ，则该展开式中x的系数为_________
典例4． 的展开式中， 项的系数为___________．
典例5．用二项式定理展开下列各式：
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1) ；
(2) ．
【巩固训练】
一、单选题
6． 的展开式中的常数项为（ ）
A．40 B．60 C．80 D．120
7． 的展开式中，常数项为（ ）
A．2 B．6 C．8 D．12
8． 的展开式中的常数项为（ ）
A．10 B． C． D．
二、填空题
9． 的展开式中的常数项为_____．（用数字作答）
10． 展开式的常数项为 ________.
11． 的展开式中的常数项为___________.
12．设 ，其中 ，且 ，若 ，
则 =_____
13． 的展开式中各项系数之和为 ，则该展开式中 的系数为___________.
14．(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中的项数为________．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司15．乘积 展开后，共有________项；
16．已知 ，若 ，则 ________.
17．求值： __________．
18． 的展开式中， 的系数为______.
三、解答题
19．已知从 的展开式的所有项中任取两项的组合数是21 .
（1）求展开式中所有二项式系数之和(用数字作答)；
（2）若 展开式中的常数项为 ，求 的值.
20．已知 .
(1)记其展开式中常数项为 ，当 时.求 的值；
(2)证明:在 的展开式中，对任意 ， 与 的系数相同.
21．已知数列 的通项公式为 ， ，记 .
（1）求 ， 的值；
（2）是否存在实数 ，使得对任意 ， 恒成立？若存在，求出实数 的值；若不存在，请说
明理由.
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．D
【分析】先根据二项展开式通项公式求 含 系数，再根据多项式法则求常数项.
【详解】由题意得 的展开式的通项为 ，
令 ，则 ，
所以 的展开式的常数项为 .
故选：D.
【点睛】本题考查二项式定理应用，考查基本分析求解能力，属基础题.
2．6
【分析】把 按照二项式定理展开，可得 的展开式中 的系数．
【详解】 ，
展开式中含 的项为
故它的展开式中 的系数为6，
故答案为：6
3．
【分析】令 ，求得a，再利用通项公式求得x项求解.
【详解】解：因为 的展开式中各项系数的和为 ，
所以令 ，得 ，
解得 ，
所以二项式为 ，
则展开式中含x的项为 ，
故x的系数为-120，
故答案为：
4．210
【分析】先把 用二项展开式写出，再从中寻找含 的项.
【详解】因为
第 4 页所以含有 项的为 .
所以 的展开式中，含 项的系数为210.
故答案为：210.
5．(1) ；
(2) .
【分析】（1）直接利用二项式定理求解；
（2）先化简原式为 ，再利用二项式定理求解.
(1)
解：
．
(2)
解：
．
6．A
【分析】先确定 的展开式的通项公式，再由 求解.
【详解】解： 的展开式的通项公式为 ，
而 ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 的展开式中的常数项为 ．
故选：A．
7．D
【分析】先将 展开，再求， 展开式的通项，即可求出答案.
【详解】 ， 展开式的通项为：
第 5 页，当 即 时， ，所以 的展开式中，常数项为 .
故选：D.
8．D
【分析】将二项式 表示为 ，得出其通项，令 的指数为零，
求出参数的值，再将参数的值代入通项可得出展开式中的常数项.
【详解】 ，
展开式通项为 ，
令 ，得 ，
因此，二项式 展开式中的常数项为 ，
故选：D.
9．180
【解析】根据二项式定理，结合展开式通项即可确定 的指数形式.将多项式展开，即可确定常数项.
【详解】 的展开式中的通项公式 ，
而
分别令 ， ，
解得 ，或 ．
∴ 的展开式中的常数项 ．
故答案为：180．
【点睛】本题考查了二项式定理通项展开式的应用，多项式的乘法展开式，常数项的求法，属于中档题.
10．
【分析】利用二项式定理把 展开，可得二项式 的展开式的常数项．
【详解】 ，故展开式中的常数项为 .
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
11．
【分析】现将原式分为两个多项式，分别用二项式定理计算即可.
第 6 页【详解】 ，
对于 ，通项公式为 ，
令 ，得r=3， ；
对于 ，通项公式为 ，不存在常数项；
∴常数项为-10；
故答案为：-10.
12．9
【分析】记函数 ，
，利用等比数列求和公式即可求解.
【详解】由题：记函数 ，
，
即 ，
故答案为：9
【点睛】此题考查多项式系数之和问题，常用赋值法整体代入求解，体现出转化与化归思想.
13．-48
【分析】令x=1，解得a=1，再利用 的通项公式，进而得出．
【详解】令x=1, =2，解得a=1.
又 的通项公式 ，
令5−2r=3，5−2r=5.
解得r=1，r=0.
∴该展开式中 的系数为 =−80+32=−48，
故答案为：−48.
【点睛】本题考查二项式定理的应用，根据通项公式求系数，属于中等题.
14．
【分析】由二项式定理可得 ，再根据二项式定理即可得解.
【详解】解： ，
所以其展开式中的项数为 .
第 7 页故答案为： .
15．
【分析】根据条件中所给的是多项式乘以多项式，根据多项式乘法法则可得，要得到式子的结果，需要在每个括
号中选一个进行乘法运算，分别分析每个括号中的取法数目，相乘得结果.
【详解】根据多项式的乘法法则，
展开后每一项都必须是在
两式中任取一项后相乘，得到的式子，
而在 中有 种取法，
在 中有 种取法，
由乘法原理，可得共有： 种情况.
故原式展开后有 项，
故答案为：
16．
【分析】将所给多项式配凑成符合二项展开式的形式，从而还原为 ，解方程求得结果.
【详解】
故答案为：
【点睛】本题考查二项展开式还原的问题，关键是能够配凑成符合二项展开式形式的式子，进而将式子还原为
的形式.
17．1
【详解】分析：观察通项展开式中的 中 的次数与 中的 一致．
详解：通项展开式中 的 ，故
=
点睛：合并二项式的展开式，不要纠结整体的性质，抓住具体的某一项中的 中 的次数与 中的 一致，
有负号时注意在 上还是在 上．
18．30
【分析】 表示5个因式 的乘积，在这5个因式中，有2个因式选 ，其余的3个因式中有一
个选 ，剩下的两个因式选 ，即可得到含 的项，即可算出答案.
【详解】 表示5个因式 的乘积，
在这5个因式中，有2个因式选 ，其余的3个因式中有一个选 ，剩下的两个因式选 ，即可得到含 的
项，
第 8 页故含 的项系数是
故答案为：30
【点睛】本题考查的是利用分步计数原理处理多项式相乘的问题，较简单.
19．（1）64；（2）
【分析】（1）由二项式 的展开式，共有 项，得到 ，解得 ， 进而可求解展开式的二
项式系数的和；
（2）由 ，求得二项式 的展开式的通项，确定出
或 ，代入即可求解.
【详解】（1）由题意可得，二项式 的展开式，共有 项，
则 ，解得 ， 所以展开式中所有二项式系数之和为 .
（2）由 ，
则 的通项为 ，
其中 ，
令 或 ，截得 或 ，
所以展开式中的常数项为 ,解 .
【点睛】本题主要考查了二项展开式的通项的应用，以及二项式系数问题，其中解答中熟记二项展开式的通项和
二项展开式的系数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
20．(1)19；(2)证明见解析.
【分析】（1）根据展开式的通项公式，求出常数项，即可求得结果；
（1）先由展开式写出通项，分类讨论 与 存在，再证明系数相等.
【详解】(1) ；
(2)由项式定理可知，
对任意给定的 ，当 时，
的展开式中无 与 项；
当 时，
若 为奇数，则 ，
第 9 页即 的展开式中无 与 项；
若 为偶数，设 ，
则 的展开式中， 的系数为
的系数为 ，即 与 项的系数相同，
即当 且 为偶数时，在 的展开式中，
与 项的系数均相同，
所以在 的展开式中， 与 项的系数相同，原命题得证.
【点睛】本题考查二项展开式定理，解题的关键是掌握二项展开式的通项公式，突出考查分类讨论思想的应用，
属于中档题.
21．（1） ， ；（2）存在，
【分析】（1）直接代入计算即可得到所求值；
（2）记 ， ，利用二项式定理将 构造为 ，
再次通过构造即可得 即可.
【详解】（1） ， .
（2）记 ， .
则
.
因为 .
故
所以存在 ，使得 恒成立.
【点睛】本题考查数列通项的运用，解决问题的关键是运用二项式定理，考查了学生的计算能力，属于难题.
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