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专题13 函数的图象(二)
专项突破一 函数图象的变换
1．将函数 的图像向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得的图像所对应的
函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
【解析】将函数 的图像向左平移2个单位长度，得到 ，再向上平
移3个单位长度，得到 .故选：D
2．把函数 的图像向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到函数 的图像，则函数
的零点是（ ）
A．3 B．5 C． D．
【解析】依题意得 ，由 得 ，得 ，得 .故选：A
3．为了得到函数 的图像，只需把函数 的图像上所有的点（ ）
A．向左平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度
【解析】由题得 ，
所以只需把函数 的图像上所有的点向左平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度.故选：A
4．将曲线 沿x轴正方向移动1个单位，再沿 轴负方向移动2个单位，得到曲线C，在下列曲线
中，与曲线C关于直线 对称的是（ ）A． B．
C． D．
【解析】将曲线 沿x轴正方向移动1个单位，得到 ，
再沿y轴负方向移动2个单位，得到曲线C，则曲线C的方程为： ，
曲线C关于直线 对称的是 ．故选A．
5．将函数 的图像向左、向下各平移1个单位长度，得到 的函数图像，则 （ ）
A． B．
C． D．
【解析】由题意，将函数 的图像向左、向下各平移1个单位长度，
可得 .故选：B.
6．将曲线 上所有点的横坐标不变，纵坐标缩小为原来的 ，得到曲线 ，则 上到直线
距离最短的点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【解析】将 化为 ，则将曲线 上所有点的横坐标不变，纵坐标缩小为原来的 ，
得到曲线 ，即 ，要使曲线 上的点到直线 的距离最短，
只需曲线 上在该点处的切线和直线 平行，设曲线 上该点为 ，
因为 ，且 的斜率为 ，所以 ，解得 或 （舍），即该点坐标为 .故选：B.
7．(多选)定义：在平面直角坐标系 中，若某一个函数的图象向左或向右平移若干个单位长度后能得到
另一个函数的图象，则称这两个函数互为“原形函数”．下列四个选项中，函数 和函数
互为“原形函数”的是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】对于选项A，由 ，显然 的图象向左平移 个单位得到 的图象，
因此选项A正确；
对于选项B，由 ，显然 的图象向左平移 个单位得到 的图象，
因此选项B正确；
对于选项C， ，函数 的图象向上平移5个单位长度才能得函数 的图象，
可知C选项错误；
对于选项D，由 ，函数 的图象向右平移1个单位长度得到 的图象，
因此D选项正确，
故选：ABD
8．已知 ，把 的图象向左平移2个单位，再把图象上每一点的横坐标缩短一半（纵坐
标不变）得到函数 的图象，则 ___________.
【解析】根据左加右减原理，
把 的图象向左平移2个单位可得 ，
再把图象上每一点的横坐标缩短一半（纵坐标不变），则 .
9．填空：①为了得到函数 的图象，只需把函数 的图象上所有的点向______平移______个单位长度；②为了得到函数 的图象，只需把函数 的图象上所有的点向
______平移______个单位长度；③将函数 的图象上所有的点向右平移 个单位长度，再把所得各
点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是________.
【解析】为了得到函数 的图像，只需把 向左平移 个单位即可；
为了得到 的图像，只需把 向右平移 个单位即可；
把 向右平移 后，即为 ，再把各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）
则为 .故答案为：向左， ，向右， ， .
10．已知函数 的图象关于 轴对称后，再向右平移4个单位，可得到函数 的图象.若对
任意的 ，当 时，恒有 ，则实数 的最大值是______
【解析】函数 的图象关于 轴对称后所得图象对应的解析式为 ，
再向右平移4个单位后即为函数 的图象，故 ，
故 ，其中 .
令 ， ，
当 时， 为增函数；当 时， 为减函数；
而 为增函数，故 在 为增函数，在 上为减函数.
因为当 时，恒有 ，故 即 在 为增函数，
所以 即 的最大值为2.
专项突破二 利用函数图象解决不等式问题
1．函数f（x）的图象如图所示，则 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由函数图象与导函数大小的关系可知：当 时， ，
当 时， ，
故当 时， ；
当 时， ；当 时， ，
故 的解集为 .故选：A
2．已知函数 的图像如图所示，则不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由函数 的图像可得：在 时， ，在 时， ，因为 在分母上，所以 ，故 等价于 ，所以 的解集是 .
故选：C
3．已知定义在R上的奇函数 在 上的图象如图所示，则不等式 的解集为
（ ）
A． B．
C． D．
【解析】根据奇函数的图象特征，作出 在 上的图象如图所示，
由 ，得 ，等价于 或
解得 ，或 ，或 ．
故不等式解集为： .故选: C.
4．已知二次函数 的图象如图所示，将其向右平移 个单位长度得到函数 的图象，则不等式
的解集是（ ）A． B． C． D．
【解析】根据图中信息作出函数 、 的图象如下图所示：
因为 ，则 ，且 ，由图可知，不等式 的解集为 .故选：C.
5．已知函数 的图象如图，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】不等式 ，则 或 ，
观察图象，解 得 ，解 得 ，
所以不等式 的解集为 .故选：D
6．设定义在R上的奇函数 在 上单调递减，且 ，则 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】 是奇函数， ，
∵ ，∴ ，∵ 在 上单调递减，∴ 在 上单调递减，
作出函数 的大致图像如图：
则不等式 等价为 或 ， 或 ，
不等式的解集为 ，故选：D﹒
7．已知函数 是定义在 上的偶函数，在区间 上单调递减，且 ，则不等式 的
解集为（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
【解析】由题意，函数 是定义在 上的偶函数，在区间 上单调递减，
且 ，可画出函数简图如下图所示：当 时， ，解得 ；当 时， ，解得 ；
综上不等式 的解集为: 或 ,故选：D
8．已知 在 上是可导函数， 的图象如图所示，则不等式 解集为（ ）
A． B． C． D．
【解析】原不等式等价于 或 ，结合 的图象可得，
或 ，解得 或 或 ．故选：D．
9．已知 是定义在 上的偶函数，当 时， 的图象如图所示，则不等式 的
解集为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】 是定义在 上的偶函数， 其图象关于 轴对称，
结合图象可知：当 时， ；当 时， ；由 得： 或 ， 或 或 ，
的解集为 .故选：A.
10．已知函数 是定义在R上的奇函数，当 时， 对任意的实数x都有
，则实数m的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【解析】当 时， ,且函数 是定义在R上的奇函数，
所以 恒成立，所以 ,作出函数 的图象，如图，
当 时， ，当 时，
对任意的实数x都有 ，需满足 ，解得 ，
综上 .故选：C
11．(多选)记 表示x，y，z中的最大者，设函数 ，则以下实数
m的取值范围中满足 的有（ ）
A． B． C． D．【解析】函数 的图象如下图所示：
由 ，由 ,
由图象可知：当 或 时， ，因此选项BC符合题意，故选：BC
12．(多选)设函数 其中 表示 中的最小者．下列说法正确的有
（ ）
A．函数 为偶函数 B．当 时，有
C．当 时， D．当 时，
【解析】画 的图象如图所示：
对A选项， 所以 恒成立，故选项A正确；
对B选项，当 时, , 可以看做是 向右平移两个单位，经过平移知
恒成立, 故选项B正确；
对C选项，由图知, 当 时, , 可令 , 由 和 的图象知, 当时, 在 的上方, 所以当 时, , 即 成立, 故选项 正确；
对D选项，根据函数图像向右平移2个单位的图像不完全在原来函数图像上方知选项 错误.
故选:
13．定义在 上函数 满足 ，且当 时， ．若当 时，
，则 的最小值等于________．
【解析】当 时，故 ，
当 时，故 …，
可得在区间 上， ，
所以当 时， ，作函数 的图象，如图所示，
当 时，由 得 ，
由图象可知当 时， ，所以 的最小值为 ．
14．已知函数 .
(1)在平面直角坐标系中，画出函数 的简图，并写出 的单调区间和值域；(2)若 ，求实数 的取值范围.
【解析】(1)函数 的简图如下：
由图可知，函数 的增区间为 ，减区间为 ；值域为 .
(2)由 ，及函数 的单调性可知，
若 则实数 的取值范围为 .
15．已知函数 是定义在R上的奇函数，在 上的图象如图所示．
(1)在坐标系中补全函数 的图象；
(2)解不等式 ．
【解析】(1)由函数可得当 时 ，且函数过点 ，所以 ，
解得 ，即
当 时 ， ，因为 为定义在 奇函数，所以 ，所以，且 ，所以 ，
所以 的图象如图所示．
(2)因为 是R上的奇函数，所以 ，
所以原不等式可化为 ．要想 ，只需 与 同号．
由图知， 或 ，即不等式的解集为 ．
16．已知函数： ， .
(1)请在图中画出 和 的图象；
(2)若 恒成立，求t的取值范围.
【解析】(1) ， ，故 、 的图象如图所示：(2)若 恒成立，则 的图象不在 图象的上方，
而 的图象可由 的图象平移得到，如图，
当 的图象的左侧射线过 或在 的下方时或 的图象的右侧射线过 或在 的下方时，
的图象不在 图象的上方，由（1）可得 ，
由 可得 ，解得 或 （舍，因为此时 的图象的左侧射线过
）.
由 可得 ，解得 或 （舍，因为此时 的图象的右侧射线过
）.
结合图象可得 或 .
专项突破三 利用函数图象解决方程的根与交点问题
1．已知函数 ，若函数 有两个不同的零点，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．C． D．
【解析】函数 有两个不同的零点，即为函数 与直线 有两个交点，
函数 图象如图所示：
所以 ，故选：D.
2．函数 的图象和函数 的图象的交点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】如图，作出函数 与 的图象，由图可知，两个函数的图象有3个交点.
故选：C.
3．方程 的解的个数是（ ）.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解析】分别作出函数 图象,由图可知，有2个交点，所以方程 的解的个数是2，故选：C
4．已知函数 ，若 且 ，则b的取值范围是（）
A． B． C． D．
【解析】函数f(x)的图象如图所示，
.因为 ，所以，
当 时， 成立，此时 ；
当 时， 不成立；当 时， 不成立.
故 .故选：C
5．已知函数 在 上的所有零点之和等于（ ）
A．4 B．2 C．0 D．-2
【解析】由 得 ，
的图象都关于 对称，
画出 在 上的图象如下图所示，
由图可知，两个函数图象有 个交点，所以函数 在 上的所有零点之和等于 .故选：A
6．已知函数 ，若函数 有3个零点，则实数m的取值范围( )
A． B． C．(0，1) D．
【解析】∵ 有3个零点，∴ 有三个实根，
即直线 与 的图像有三个交点.作出 图像，
由图可知，实数 的取值范围是(0，1).故选：C.
7．已知函数 ，则关于 的方程 有 个不同实数解，则实数 满足
（ ）
A． 且 B． 且
C． 且 D． 且
【解析】令 ，作出函数 的图象如下图所示：
由于方程 至多两个实根，设为 和 ，
由图象可知，直线 与函数 图象的交点个数可能为0､2､3､4，由于关于x的方程 有7个不同实数解，
则关于u的二次方程 的一根为 ，则 ，
则方程 的另一根为 ，
直线 与函数 图象的交点个数必为4，则 ，解得 .
所以 且 .故选：C.
8．已知函数 ，若 互不相等，且 ，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【解析】作出函数 的图象，如图，
不妨设 ，则 ，得 ，由图可知 ， ， ，
故 .故选：C
9．已知函数 的图象关于直线 对称，对 ，都有 恒成立，当
时， ，当 时，若函数 的图象和直线 有 个交点，则 的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
【解析】因为函数 的图象关于直线 对称，将函数 的图象向右平移 个单位，可得到函数 的图象，
则函数 的图象关于 轴对称，即函数 为偶函数，
由 可得 ，故函数 是以 为周期的周期函数，
如下图所示：
因为直线 过定点 ，当 时，要使得函数 的图象和直线 有 个交点，
则 ，解得 ，故选：C.
10．设函数 ，若 有四个实数根 、 、 、 ，且 ，
则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】作出函数 的图象如下图所示：由图可知，当 时，直线 与函数 的图象有四个交点，且交点的横坐标分别为 、 、 、
，且 ，由图可知，点 、 关于直线 对称，则 ，
由图可知， ， ，由 可得 ，所以， ，
所以，可得 ，所以， ，
易知函数 在 上为减函数，且 ， ，
故 .故选：A.
11．已知函数 ，若关于x的方程 有两个不相等的实数根，则实数
k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】对于 ，是对称轴为y轴的开口向上的二次函数；
对于 ，求导得 ，在 时， ，是增函数，
， ，
∴在 内必存在零点，考虑 函数图像的特点，作如下所示示意图：要使关于x的方程 有两个不相等的实数根，
则两函数 与 的图象有两个交点，当 ，由图可知， ，即 ；
当 时，相当于 与 在 内有两个交点，
即方程 在 上有两个解， ，
令 ，
， ，作 图像如下：
；故选：A.
12．已知函数 ，若存在实数 .满足 ，且
，则 ___________， 的取值范围是___________.
【解析】作出函数 的图象，如图，因为 ，
所以由图可知， ，即 ， ，且 ，
，
在 上单调递增， ，
即 的取值范围是 .
13．若关于x的方程 有两个不同的实数根，则实数m的取值范围是_____
【解析】令 ，化简得： ，故图象为圆心为 ，半径为1的圆的位
于 轴上半部分，而 为过点 的直线，如图，
当直线斜率位于直线AC和直线AB之间时，有两个交点，即方程有两个根，其中 ，而圆心
到直线AB距离 ，解得： 或0（舍去），所以 .
14．已知函数 ，若关于 的方程 有四个根，则实数 的取值范围为______．
【解析】由 ，得令 ，画出图像
由图可知，当 时，方程 有四解，即方程 有四个根.
故答案为:
15．已知函数 是偶函数，且 ，当 时， ，则方程
在区间 上的解的个数是________
【解析】 函数 是偶函数， ①，
②， 的图象关于 对称，
由①②得， ，即 ，∴函数f(x)的一个周期为4，
画出函数 和函数 在区间 ， 上的图象，
方程 在区间 ， 上的解的个数就是这两个图象的交点个数，
由图象可知方程解的个数为10
16．已知函数 ，若方程 有8个相异的实数根，则实数 的取
值范围是_________________________ ．【解析】根据题意，作出函数 的图像，如图：
令 ，因为方程 有8个相异的实数根，
所以方程 在区间 上有两个不相等的实数根 ，
故令 ，则函数 在区间 上有两个不相等的零点.
所以 ，即 ，解得 .所以实数 的取值范围是 .
17．已知幂函数 在区间 上是单调递增函数， .
(1)求m的值；
(2)若方程 在区间 上有解，求k的取值范围.
【解析】(1)由 是幂函数，则 ，
所以 或 ，又 在区间 上是单调递增函数，
所以 ，故 ；
(2)由（1）知， ，由 在区间 上有解，
即函数 与 图象在 有交点，如图，由图可知， ，即 ，解得 ，
所以实数k的取值范围为 .
专项突破四 利用动点研究函数图象
1．如图，长方形 的边 ， ， 是 的中点，点 沿着边 ， 与 运动，记
.将动 到 、 两点距离之和表示为 的函数 ，则 的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由已知得,当点P在BC边上运动时,即 时, ；
当点P在CD边上运动时,即 时, ,当 时,
；
当点P在AD边上运动时,即 时, .
从点P的运动过程可以看出,轨边关于直线 对称,且 ,且轨迹非线型，对照四个选项，排除A、C、D，只有B符合.
故选：B.
2．如图，质点 在单位圆周上逆时针运动，其初始位置为 ，角速度为2，则点 到 轴距离
关于时间 的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】因为 ，所以由 ，得 ，此时 ，所以排除CD，
当 时， 越来越小，单调递减，所以排除B，故选：A
3．一只蚂蚁从正方形的一个顶点 出发，沿着正方形的边逆时针运动一周后回到 点，假设蚂蚁运动过
程中的速度大小不变，则蚂蚁与点 的距离 随时间 变化的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
【解析】设蚂蚁的速度为 ，正方形的边长为 ，则 ，
当蚂蚁位于线段 上，即 时， ，其图象为线段；
当蚂蚁位于线段 上，即 时， ，其图象为曲线；当蚂蚁位于线段 上，即 时， ，其图象为曲线；
当蚂蚁位于线段 上，即 时， ，其图象为线段；
结合选项可知：选项A符合题意，故选：A.
4．如图所示，已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设P点运动的
路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图像是( )
A． B． C． D．
【解析】由题意：P点在BC上时，0≤x＜4，S＝ ＝2x；
P点在CD上时，4≤x≤8，S＝ ＝8；P点在DA上时，8＜x≤12，S＝24－2x．故选：D﹒
5．某科技公司为测试新型无人机的操控能力，设计了如图所示的平面路线图 → → → .无人机从
处出发匀速飞行到 处，沿圆弧 飞行到 处后提速，沿 飞行到 处停止.记无人机飞行的时间为 ，
与 处的距离为 ，则下列四个图象中与该事件吻合最好的是（ ）A． B． C． D．
【解析】无人机从 处出发匀速飞行到 处，无人机到点 的距离 变小，可排除A；
无人机沿圆弧 飞行到 处，无人机的轨迹是以 为圆心，以 为半径的圆，无人机距离点 的距离
不变，故排除C；
无人机提速后沿 飞行到 处，与从 到 的斜率不一致，斜率变小，可排除B，故选：D.
6．如图为正方体ABCD﹣ABC D，动点M从B 点出发，在正方体表面沿逆时针方向运动一周后，再回
1 1 1 1 1
到B 的运动过程中，点M与平面ADC 的距离保持不变，运动的路程x与l＝MA +MC +MD之间满足函数
1 1 1 1 1
关系l＝f（x），则此函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【解析】由于点M与平面ADC 的距离保持不变，且从B 点出发，因此点M沿着 运动.
1 1 1
设点P为BC的中点，当M从B 到P时，如图所示
1 1
在平面ABCD内，作点A 关于BB的对称点A′，则MA +MD＝MA′+MD，
1 1 1 1 1
由图象可知，当M从B 到P时，MA +MD是减小的，MC 是由大变小的，
1 1 1所以当M从B 到P时，l＝MA +MC +MD是逐渐减小的，故排除B，D；
1 1 1
因为PC 是定值，MC ，函数是减函数，类似双曲线形式，所以C正确；故选：C
1 1
7．如图所示，单位圆上一定点 与坐标原点重合．若单位圆从原点出发沿 轴正向滚动一周，则 点形成
的轨迹为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】如图所示，记 为圆上的三个四等分圆周的点，由题意可知：圆是逆时针滚动的，
因为圆的周长为 ，所以 ，且圆上点的纵坐标最大值为 ，
当圆逆时针滚动 单位长度时，此时 的相对位置互换，所以 的纵坐标为 ，排除BCD，
故选：A.
8．广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”.如图，是由一个
半径为2的大圆和两个半径为1的半圆组成的“阴阳鱼太极图”，圆心分别为 ，若一动点 从点 出发，按路线 运动(其中 五点共线)，设 的运动路程
为 ， 与 的函数关系式为 ，则 的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】根据题图中信息，可将 分为4个区间，即 ，
当 时，函数值不变， ；
当 时，设 与 的夹角为 ，∵ |， ， ，
∴ ∴ 的图象是曲线，且单调递增；根据图象排除CD
当 时， ，设 与 的夹角为 ,| |， ，
，
，
函数 的图象是曲线，且单调递减. 根据图象排除B,结合选项知选A
