专题13利用导数研究不等式能成立问题(解析版)_02高考数学_新高考复习资料_2023年新高考资料_专项复习_2023年新高考数学之导数专项重难点突破（新高考专用）

专题13 利用导数研究不等式能成立问题 已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法： （1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出 函数的图象，利用数形结合的方法求解． ①一般地， ，使得 有解，则只需 ； ② ，使得 有解，则只需 。 一、单选题 1．已知 ，若 ，使 ，则实数 的取值范围为（ ） ∃ A． B． C． D． 【解析】依题意可得不等式 在 内有解，设 ， ， 则 ， 由 ，得 ，令 ，得 ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减， 因为 ， ，所以 ，所以 .故选：A. 2．若存在 ，使得不等式 成立，则实数k的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【解析】存在 ，不等式 成立，则 ， 能成立，即对于 ， 成立， 令 ， ，则 ，令 ， 所以当 ， 单调递增， 当 ， 单调递减，又 ，所以f(x)>−3， 所以 .故选：C 3．已知函数 ，若在定义域内存在 ，使得不等式 成立，则实数m的最小值是 （ ） A．2 B． C．1 D． 【解析】函数 的定义域为 ， . 令 ，得 或 （舍）. 当 时， ；当 时， . 所以当 时， 取得极小值，也是最小值，且最小值为1. 因为存在 ，使得不等式 成立，所以 ，所以实数m的最小值为1.故选：C 4．若关于 的不等式 在 上有解，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【解析】依题意： ，令 ， 则 ，令 ， 则 ，易知 单调递增， ，所以 单调递增，故 ，故 ，则 在 上单调递增，故 ， 即实数 的取值范围为 ，故选：B. 5．已知函数 ， ．若对任意 ，总存在 ，使得 成立，则实数 的最大值为（ ） A．7 B．5 C． D．3 【解析】因为 ，所以 ， 所以当 时， ， 单调递增， 当 时， ， 单调递减， 因为 ， ， ， ， 所以当 时， ， 因为 ，所以 在区间 上单调递减， 所以当 时， ， 因为对任意 ，总存在 ，使得 成立，所以 ，即 ， 所以实数 的最大值为3，故选：D 6．已知定义在 上的函数 ，对任意 ，当 时，都有 ，若存在 ，使不等式 成立，则实数 的最大值为（ ） A． B． C． D． 【解析】因为对任意 ，当 时，都有 ，所以 在 上单调递增，则 等价于 ，即 ， 令 ， ， ， 因为 ，所以 ， ，所以 ，所以 在 上单调递减， 所以 ，即 ，所以 的最大值为 ；故选：B 7．已知函数 在区间 上存在单调减区间，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【解析】因为 ，所以 ， 因为 在区间 上存在单调递减区间，所以存在 ，使得 ， 即 ，令 ， ，则 恒成立， 所以 在 上单调递增，所以 ，所以 .故选：A 8．已知函数 ，若存在 ，使得 成立，则实数a的 取值范围为（ ） A． B． C． D． 【解析】 的定义域为 ， ， ∵当 时， ，当 时， ， ∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，即 ， 又∵存在 ，使得 成立，∴ ，解得 ，则实数 的取值范围为 ， 故选：D.9．已知 使得不等式 成立，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【解析】由题意可得： 使得不等式 成立. 令 则 . 而 ， ， 所以当 时， ，所以 在 单调递增，所以 ，所以 ， 所以 在 上单调递增，因为 ，所以 ，故实数a的取值范围为 . 故选：A 10．已知函数 ， ，若存在 、 ，使得 成立，则 的最大值为（ ） A． B．1 C． D． 【解析】 ， ， 对于函数 ， ， ， 所以 在 上， ， 单调递增，又 ， 所以 ， ，所以 ，则 ， 令 ， ，所以 在 上 单调递增，在 上 单调递减， 则 ，即当 时， 取得最大值 .故选：A 二、多选题 11．若关于 的不等式 在 上有解，则实数 的取值可以是（ ）． A． B．1 C． D． 【解析】依题意，问题等价于关于 的不等式 在 上有解．令 ， ，则 ．令 ， ，则 ，易知 单调递增， ，所以 单调递增，故 ，故 ，则 在 上单调递增， 故 ，即实数 的取值范围为 ．故选：ABC 12．已知函数 ， ，若 ， ，使得 成立， 则a的取值可以是（ ） A．0 B． C． D． 【解析】 ， 当 时， ，当 时， ， 所以 在 上递减，在 ， 上递增，故当 ， 时， ， 对于二次函数 ，该函数开口向下， 所以其在区间 ， 上的最小值在端点处取得， 所以要使对 ， ， ， ，使得 成立，只需 ，因为函数 开口向下，所以当 ， 时， （1）， （2） ， 所以 或 ，所以 或 ，解得 ．故选：AD. 三、填空题 13．已知函数 ，若 ，则实数a的取值范围是___________. 【解析】由 ，可得 ， 令 ，则 ， ∴ ，函数 单调递增， ，函数 单调递减， 所以 时，函数 有最大值 ，∴ . 14．已知函数 在 上存在极值点，则实数a的取值范围是 _____________. 【解析】由题可知： ， 因为函数 在 上存在极值点，所以 有解 所以 ，则 或 当 或 时，函数 与 轴只有一个交点，即 所以函数 在 单调递增，没有极值点，故舍去 所以 或 ，即 或 15．已知 ，若存在 ，使不等式 ，对于 恒成立， 则实数 的取值范围是______． 【解析】 时，不等式 可化为 ，因为存在 使不等式恒成立，所以只需 ，设 ， ， 则 ， ，所以 在 上为增函数， 所以 ，所以 ， ， 所以 整理可得 ，设 ， 所以 ，令 ， 则 ，所以 在 上单调递增， 所以 ，所以 ，则 在 上单调递增， 所以 ，所以 ，即实数 的取值范围是 16．已知 ， ，若存在 ， ，使得 成立， 则实数a的取值范围是_________． 【解析】存在 ， ，使得 成立，等价于 ， ， 使得 成立．因为 ，∴函数 在 上单调递增， 上单调递减，∴ 时，函数 取得极小值即最小值， 所以 ． ， 可得函数 在 上单调递减，∴ ． ∴ ．因此实数a的取值范围是 ． 17．已知函数 若存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围是_______________． 【解析】由 得 . 设 ，则存在 ,使得 成立，即 能成立，所 以 能成立,所以 .又令 ,由对勾函数的性质可得：在 上，t(x)单调递 增, 所以当x=2时,t有最小值 ，所以实数a的取值范围是 . 18．已知 ，若在 上存在x使得不等式 成立，则a的最小值为______． 【解析】不等式 成立，即 成立， 因为 ，所以 ， 令 ，则 ， 因为 ，所以 在 上单调递增，所以 ，即 ， 因为在 上存在x使得不等式 成立， 所以 ，令 ，则 ， 故当 时， 取得最小值 .所以 ，即a的最小值为 . 四、解答题 19．已知函数 . (1)若 ，求函数 的极小值. (2)存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围．【解析】(1)当 时 ，则 ，令 ，得 ． 时 ，函数 的单调递增区间为 ， 时 ，函数 的单调递减区间为 ； 所以函数 的极小值为 . (2)由题设，在 上 ， 设 ，则 ，显然当 时 恒成立， 所以 在 单调递增，则 ， 综上， ，故 ． 20．已知函数 在点 处的切线为 ． （1）求函数 的解析式： （2）若存在实数m，使得 在x 时成立，求m的取值范围． 【解析】（1）由题意知： 的定义域为 ， ∵ ∴ ，解得 ，故 ． （2）令 ， ， ∴ ，故 在 时，单调递增， ． 要存在实数m，使得 在 时成立，只要 即可，解得： ． 21．已知函数 ，当 时， 的极小值为 ，当 时， 有极大值． （1）求函数 ； （2）存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围． 【解析】（1）∵ ， 由 ，得 且 ，解得 ， ， 又 ，∴ ，∴ ； （2）存在 ，使得 ，等价于 ， ∵ ， 当 时， ，当 时， ， ∴ 在 上递减，在 上递增，又 ， ， ∴ 在 上的最大值为 ，∴ ，解得 ， 所以 的取值范围是 ． 22．已知函数 在 处取得极值4． (1)求a，b的值； (2)若存在 ，使 成立，求实数 的取值范围． 【解析】(1) ，则 ． 因为函数 在 处取得极值4，所以 ，解得 此时 ． 易知 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增， 则 是函数 的极大值点，符合题意．故 ， ． (2)若存在 ，使 成立，则 ． 由（1）得， ， 且 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以 ， 所以 ，即 ，解得 ， 所以实数 的取值范围是 ． 23．设函数 ， ，若曲线 在点（1，f（1））处的切线方程为 (1)求a，b的值： (2)若关于x的不等式 只有唯一实数解，求实数m的值. 【解析】(1)由题意得 ，所以 ， 又 ，解得 . (2)由（1）可得 ， ，令 ，解得 ， 当 时， ，则 为增函数， 当 时， ，则 为减函数，所以 则 只有唯一实数解，整理可得 ，令 ， 则 因为 ，所以 恒成立， 令 ，解得 ， 当 时， ，则 为减函数， 当 时， ，则 为增函数，所以 ， 因为只有唯一实数解使得 成立，所以 . 所以关于x的不等式 只有唯一实数解，实数m的值为 24．已知函数 ． (1)求 的极值； (2)若 在 时有解，求实数a的取值范围． 【解析】(1) ，当 时， ，当 时， ，则 在 上单减，在 上单增，故 的极小值为 ，无极大值. (2) 在 时有解，即 在 时有解，令 ， 则 ，由（1）知 在 上单增，且 ，则 ， 则当 时， 单减，当 时， 单增，所以 ，故 . 25．已知函数 ， . (1)当 时，求函数 的极值； (2)若存在 ，使不等式 成立，求实数 的取值范围. 【解析】(1)当 时， ，则 ， 当 时， ，当 时， ， 所以函数 在 上递增，在 上递减， 所以函数 的极大值为 ，无极小值； (2)若存在 ，使不等式 成立， 则 ，即 ，则问题转化为 ， 令 ， ， ， 当 时， ，当 时， ， 所以函数 在 递增，在 上递减，所以 ，所以 . 26．已知函数 ， . （1）求函数 的极值； （2） ， ，使 成立，求 的取值范围.【解析】（1）因为 ，所以 ，且定义域为 ， 令 ，解得 或 ，当 变化时， ， 的变化情况如下表： - + - 极小 极大 值 值 因此，当 ， 有极小值，极小值为 ；当 ， 有极大值，极大值为 . （2）由（1）知，在 上，函数 单调递减，所以 ， 即在 上 ，因为 ，所以 ， ， 当 时， ， 在 上单调递减，当 时， ， 在 上单调递增， 所以，当 时， 取最小值， ，当 时， ，所以 ，若 ， ，使得 成立，等价于 ，即 ，所以 ，解得， ，又 ， 所以 的取值范围为 . 27．已知函数 . （1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程； （2）若存在 ，使不等式 成立，求实数 的取值范围. 【解析】（1）当 时， ，则 ，所以，而 ，所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 . （2）若存在 ，使不等式 成立， 即存在 ，使不等式 成立， 存在 ，不等式 成立， 设 ， ，则 ， 当 时， ， 在 上单调递减，当 时， ， 在 上单调递增， 又 ， ， ， 即 ，故 ， 所以实数 的取值范围为 . 28．已知函数 . （1）当 时，求函数 的单调区间； （2）若存在 ，使 成立，求实数 的取值范围. 【解析】（1） 又 时， 或 时， 在 单调递增，在 单调递减. （2）∵存在 使 成立， 由（1）可得， ①当 时，即 ，令 ， 在 单调递增，在 单调递减， 恒成立， 即当 时，不等式恒成立； (另解：当 时， 在 单调递减， 单调递增， .) ②当 时， 在 单调递增， ， ， 综合①②得 ． 29．已知 且 （1）当 时，求 的单调区间； （2）设 ，存在 ，使 成立.求实数 的取值范围. 【解析】（1）函数的定义域为 . 由已知 ， ， ， 由 得： 增区间 ，由 得： 减区间 （2）由已知： 设 在 上的最大值为 ，最小值为 依题意： ， ， 为增函数 时， 递增； 时， 递减. 故 ，设 在 上递增 时， ，此时 时， ，此时 当 时， 设 ， ， 在 上递增， 又 ，所以由 得： ， 当 时， ， 由 得： 综上： 的取值范围是 . 30．已知函数 （ ）． （1）若 在区间 上是单调函数，求实数 的取值范围； （2）若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围． 【解析】（1）由题意， ， 若 在区间 上是单调增加，则 即 在 上恒成立， 设 ，易得 ， 故 ；若 在区间 上是单调减少， 则 ，即 在 上恒成立， 故只须 ，解得 ，综上， 或 ； （2）由题意知，不等式 在区间 上有解， 即 在区间 上有解， 因为当 时， （不同时取等号）， ， 所以 在区间 上有解， 令 ，则 ， 因为 ，所以 ，所以 ， 在 上单调递增， 所以 时， ， 所以 ，所以实数 的取值范围是 ．