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专题 13 向量线性运算及三大定理与四心归类
目录
题型一：线性运算：等分点型
题型二：线性运算：四边形等分点型
题型三：线性运算：基底非同一起点
题型四：三大定理：奔驰定理
题型五：三大定理：极化恒等式
题型六：三大定理：等和线基础
题型七：等和线三角换元型
题型八：等和线系数不是1构造型
题型九：等和线均值型
题型十：等和线二次型
题型十一：等和线系数差型
题型十二：四心向量：外心
题型十三：四心向量：内心
题型十四：四心向量：垂心
题型十五：四心向量：重心
题型一：线性运算：等分点型
1．（23-24·河北唐山·阶段练习）如图， 中， 为 边的中点， 为 的中点，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24四川乐山·阶段练习）如图，已知点 是 的重心，过点 作直线分别与 ， 两边
交于 ， 两点，设 ， ，则 的最小值为（ ）A． B．4 C． D．3
3．（23-24·陕西渭南·阶段练习）如图，在 中，已知 ，P为 上一点，且满足
，则实数m的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24天津·阶段练习）如图，在 中， ， ， 为 上一点，且
，若 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24甘肃临夏·阶段练习）如图，在 中，点O是BC的中点， ，分别连接
MO、NO并延长，与边AB的延长线分别交于P，Q两点，若 ，则 （ ）
A．2 B．1 C．－2 D．－1
题型二：线性运算：四边形等分点型1．（23-24·江苏苏州·阶段练习）在平行四边形 中， ， 分别在边 ， 上， ，
， 与 相交于点 ，记 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（23-24山西·阶段练习）如图，在正方形 中， , 和 相交于点G，且F为 上
一点（不包括端点），若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．15
3．（23-24宁夏银川·）如图所示的矩形 中， ， 满足 ， ， 为 的中点，
若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．2
4．（23-24陕西咸阳）如图所示，在正方形 中， 为 的中点， 为 的中点，若
，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（23-24新疆乌鲁木齐·模拟）如图，在平行四边形 中， ， ， 与 交于点 .设 ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
题型三：线性运算：基底非同一起点
1．（23-24·四川成都·）在正六边形ABCDEF中， ，则 （ ）
A． B． C． D．1
2．（23-24浙江·阶段练习）已知六边形ABCDEF为正六边形，且 ， ，以下不正确的是
（ ）A． B．
C． D．
3．（23-24重庆巴南·阶段练习）如图，矩形 中，点 是线段 上靠近 的三等分点，点 是线
段 的中点，则 （ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高三河南·阶段练习）已知 为等边三角形，分别以CA，CB为边作正六边形，如图所
示，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（22-23甘肃天水·阶段练习）如图，四边形 是平行四边形，点 分别为 的中点，若
以向量 为基底表示向量，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
题型四：三大定理：奔驰定理1．（23-24甘肃）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.它
的具体内容是：已知 是 内一点， ， ， 的面积分别为 ， ， ，且
.若 为 的垂心， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（23-24河北）平面向量中有一个非常优美的结论：已知O为 内的一点， ， ，
的面积分别为 ， ， ，则 ．因其几何表示酷似奔驰的标志，所
以称为“奔驰定理”．已知O为 的内心，三个角对应的边分别为a，b，c，已知 ， ，，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2024上海·专题练习）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的
结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知
是 内一点， 的面积分别为 ，且 ．以
下命题错误的是（ ）
A．若 ，则 为 的重心
B．若 为 的内心，则
C．若 ， 为 的外心，则
D．若 为 的垂心， ，则
4．（2023高三河南南阳·阶段练习）奔驰定理：已知 是 内的一点， ， ， 的面积
分别为 ， ， ，则 ．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，
因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若
是锐角 内的一点， ， ， 是 的三个内角，且点 满足 ，则
必有（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2022·安徽·三模）平面上有 及其内一点O，构成如图所示图形，若将 ， ，
的面积分别记作 ， ， ，则有关系式 ．因图形和奔驰车的 很
相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足
，则O为 的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
题型五：三大定理：极化恒等式1.（2023·全国·统考高考真题）正方形 的边长是2， 是 的中点，则 （ ）
A． B．3 C． D．5
2.
（江苏·高考真题）如图，在 中， 是 的中点， 是 上的两个三等分点，
， ，则 的值是 .
3.
如图,在 中,已知 ,点 分別在边 上,
且 ,若 为 的中点,则 的值为________
4.
（23-24高三·湖南长沙·阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对
角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示， ，我们称为极化恒等式. 已知
在 中， 是 中点， ， ，则 （ ）
A． B．16 C． D．8
5.
（21-22·重庆沙坪坝·阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角
线”与“差对角线”平方差的四分之一.即如图所示： ，我们称为极化恒等式.在
中，
△
是 中点， ， ，则 （ ）A．32 B．-32 C．16 D．-16
题型六：三大定理：等和线基础
1.（2023·江西吉安·高三统考阶段练习）如图，半径为 的扇形 的圆心角为120°，点C在弧
上，且 ，若 ，则 ________.
2.（2023春·浙江温州·校考开学考试）两个单位向量 且 ， 点在弧 上动，若
，则 的取值范围是___________________
3.正六边形 中，令 ， ， 是 内含边界的动点（如图）， ，则
的最大值是（ ）
△
A．1 B．3 C．4 D．5
4.已知 是 的外心， ，则 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
5.已知在 中， ， ， ，P为BC上任意一点（含B，C），以P为圆心，1为半
径作圆，Q为圆上任意一点，设 ，则 的最大值为
A． B． C． D．
题型七：等和线三角换元型1.（2023·全国·高一假期作业）如图，扇形的半径为1，且 ，点C在弧 上运动，若
，则 的最大值是（ ）
A． B． C．1 D．2
2.（2023春·湖北湖北省红安县第一中学校联考阶段练习）如图，扇形的半径为1，且 ，点C
在弧 上运动，若 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C．1 D．2
3.（2023春·重庆万州·万州外国语学校天子湖校区校考阶段练习）如图，在半径为 的圆 中，点
为圆 上的定点，且 ，点 为圆上的一个动点，若 ，则 的取
值范围是________．
4.在直角梯形. 中， ， 分别为 的中点，以 为圆
心， 为半径的圆交 于 ，点 在 上运动（如图）.若 ，其中 ，则
的最大值是________.
5.已知正三角形 的边长为2，D是边 的中点，动点P满足 ，且 ，其中
，则 的最大值为___________．
题型八：等和线系数不是 1 构造型1.如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆 ， 为圆 上任一点，若 ，则 的最
大值为（ ）
A． B．2 C． D．1
2.（23-24·安徽芜湖·阶段练习）如图，已知点 是 的重心，过点 作直线分别与 ， 两边交
于 ， 两点，设 ， ，则 的最小值为（ ）
A．9 B．4 C．3 D．
3.（2023·全国·高三专题练习）已知 是 内一点，且 ，点 在 内（不含边
界），若 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
4.（20-21·福建·阶段练习）已知平行四边形 中，点E，F分别在边 上，连接 交 于点
M，且满足 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．
题型九：等和线均值型1.（2023春·四川眉山校考阶段练习）已知点G是 的重心，过点G作直线分别与 两边相交于
点M，N两点（点M，N与点B，C不重合），设 ， ，则 的最小值为 ．
2.（2023春·重庆·校联考阶段练习）在 中，点D满足 ，过点D的直线交线段AB于点
M、交线段AC的延长线于点N，记 ， ，则 的最小值为 .
3.（2023春·山东菏泽统考模拟）在 中，点 是线段 上的点，且满足 ，过点 的直
线分别交直线 于点 ，且 ， ，其中 且 ，若 的最小值为
.
4.（2023·全国·高三专题练习）已知A、B、P是直线 上三个相异的点，平面内的点 ，若正实数x、y
满足 ，则 的最小值为 .
5.（23-24高三·天津武清·阶段练习）在 中， ，E是线段 上的动点（与端点不重
合），设 ，则 的最小值是（ ）
A．10 B．4 C．7 D．13
题型十：等和线二次型
1.（23-24·陕西西安·阶段练习）点 是 所在平面内一点，若
， ，则 的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
2.（2019秋·江苏苏州·校考阶段练习）如图，在正方形 中， 为 的中点， 是以 为圆心，为半径的圆弧上的任意一点，设 ，则 的最小值为 ．
3.（2024高三·全国·专题练习）已知 的边 的中点为 ，点 在 所在平面内，且
，若 ，则 （ ）
A．5 B．10 C．20 D．30
4.（2022·全国·高三专题练习）已知 为双曲线 上不同三点，且满足 （ 为
坐标原点），直线 的斜率记为 ，则 的最小值为
A．8 B．4 C．2 D．1
5.（2023·全国·高三专题练习）如图，在 中， 为边 上不同于 ， 的任意一点，点 满足
.若 ，则 的最小值为 .
题型十一：等和线系数差型
1.（四川资阳·统考一模）如图，在直角梯形 中， ， ， ， ，图
中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为 ，且点P在图中阴影部分（包∥括边界）运动．若
，其中 ，则 的最大值为
A． B．
C．2 D．
2.（安徽合肥·统考一模）已知向量 、 、 满足 ,若对于每一个确定
的
的最大值和最小值分别为 、 ，则对于任意的 ， 的最小值为（ ）A． B． C． D．
3.在 中，点 满足 .若存在点 ，使得 ，且
，则 的取值范围是___．
4.（22-23高三·河北唐山·阶段练习）如图，在 中， 是线段 上的一点，且 ，过点
的直线分别交直线 ， 于点 ， ，若 ， ，则 的最小值
是（ ）
A． B． C． D．
题型十二：四心向量：外心
1.（2023春·江苏无锡·锡东高中校考阶段练习）在 中， ， ， ，角 是锐
角， 为 的外心，若 ，其中 ，则点 的轨迹所对应图形的面积是
．
2.（2023春·广东佛山·南海中学校考阶段练习）如图，O为 的外心， ， ， 为钝
角， 是边 的中点，则 .
3.（2023春·吉林长春·东北师大附中校考阶段练习）已知点O是 ABC的外心，AB＝4，AC＝2， BAC为
钝角，M是边BC的中点，则 ．
△ ∠
4.（2023春·江西宜春·江西省清江中学校考阶段练习）设 为 的外心a，b，c分别为角A，B，C的
对边，若 ， ，则 ．
5.（2023春·辽宁·葫芦岛第一高级中学校联考阶段练习）已知 为 的外心， ， ， 分别为内角
， ， 的对边，且 ，则 的取值范围是 .
题型十三：四心向量：内心1.（2022春·甘肃兰州·兰州市第二中学校考模拟）在面上有 及内一点 满足关系式：
即称为经典的“奔驰定理”，若 的三边为 ， ， ，现有
，则 为 的 心.
2.（2023浙江·模拟预测）已知 中， ， 是 的内心， 是 内部
（不含边界）的动点，若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.（2022·贵州安顺·统考模拟预测）已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三点，动点P
满足 ，则点P的轨迹一定经过 的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
4.（2023·全国·专题练习）已知 所在的平面上的动点 满足 ，则直线 一定
经过 的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
5.（2023春·全国·专题练习）已知 ， 是其内心，内角 所对的边分别 ，则（ ）
A． B．
C． D．
题型十四：四心向量：垂心
1.（2023·全国·高三专题练习）奔驰定理：已知 是 内的一点，若 、 、 的面积分
别记为 、 、 ，则 ．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这
个定理对应的图形与“奔驰”轿车的 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知 是 的垂
心，且 ，则 ( )A． B． C． D．
2.（2023春·浙江绍兴·校考阶段练习）奔驰定理：已知点O是 内的一点，若 的
面积分别记为 ，则 ．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，
因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O是
的垂心，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3.（2020·全国·高三专题练习）设 是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点， 动点P满足
， ，则动点P的轨迹一定通过 ABC的
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
△
4.（2023·江苏·专题练习）已知点 为 所在平面内的动点，且满足 ，则点 的轨迹
一定通过 的（ ）
A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心
5.（2020春·天津和平·耀华中学校考阶段练习）已知点O为 ABC所在平面内一点，且
，则O一定为 ABC的（ ）
△
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
△
题型十五：四心向量：重心
1.（2023·全国·专题练习）在 中， ， ，且 ， ，
则点 的轨迹一定通过 的（ ）A．重心 B．内心
C．外心 D．垂心
2.（2023·全国·高三专题练习）已知 的三个内角分别为 为平面内任意一点，动点 满足
则动点P的轨迹一定经过 的（ ）
A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心
3.（2021春·重庆渝中重庆复旦中学校考阶段练习）设 是 内任意一点， 表示 的面积，
， ， ，定义 .若 是 的重心， ，则
（ ）
A．点 与点 重合 B．点 在 内
C．点 在 内 D．点 在 内
4.（2022·全国·高三专题练习）设 的内角 的对边分别为 ，点 为 的重心且满足向
量 ，若 ，则实数
A．3 B．2 C． D．
