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专题7.3 平行线的判定（知识讲解）
【学习目标】
1.理解平行线的概念，会用作图工具画平行线，了解在同一平面内两条直线的位置关系；
2.掌握平行公理及其推论；
3.掌握平行线的判定方法，并能运用“平行线的判定方法”，判定两条直线是否平行.
【要点梳理】
要点一、平行公理及推论
1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
特别说明：
(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．
(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．
（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.
要点二、直线平行的判定
判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：
∵ ∠3＝∠2
∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：
∵ ∠1＝∠2
∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：
∵ ∠4＋∠2＝180°
∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
特别说明：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.
【典型例题】
类型一、同位角相等，两直线平行1、已知：如图，点D，E分别在AB和AC上，CD平分 ， ，
．求证： ．
【分析】根据角平分线定义可求 ，然后利用等量代换可得
，再利用平行线判定定理同位角相等，两直线平行可得 ．
证明：∵CD平分 （已知），
∴ （角平分线的定义）．
∵ （已知），
∴ （等量代换）．
∴ （同位角相等，两直线平行）．
【点拨】本题考查角平分线定义，平行线判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错
角、同旁内角是正确答题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证：AC∥DF．
【分析】要证AC∥DF的关键是证∠ACB＝∠F，也就是证△ABC≌△DEF，已知了这两个三
角形三组对应边相等，由此可得出三角形全等．
证明：∵BE＝CF，BE＋CE＝CF＋EC，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，．
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠ACB＝∠DFE（全等三角形的对应角相等），
∴AC∥DF（同位角相等，两直线平行）．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质及平行线的判断等知识；根据全等三角形来
得出对应的角相等，是解此类题的常用方法．
【变式2】如图所示， 和 是射线，并且 ，
求证： ．
【分析】要说明 ，关键在于确定“第三条直线”，本题中较为明显的是直线 ．
在“三线八角”中，与已知条件 、 有联系的是 和 ，这是一对内错角．
至此，证题途径已经明朗．
证明： ，
，
，
，
；
又 ，
，
即 ，
．【点拨】本题主要考查了平行线的判定：内错角相等，两直线平行，熟练掌握平行线的判
定是解决本题的关键．
类型二、内错角相等，两直线平行
2、如图，已知AB＝CD，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，BF＝DE，求证：
AB∥CD．
【分析】先证明BE＝DF，然后证明Rt△AEB≌Rt△CFD得到∠B＝∠D，则AB∥CD．
证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
∵BF＝DE，
∴BF+EF＝DE+EF，
∴BE＝DF．
在Rt△AEB和Rt△CFD中，
，
∴Rt△AEB≌Rt△CFD（HL），
∴∠B＝∠D，
∴AB∥CD．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，解题的关键在于能够
熟练掌握直角三角形全等的性质与判定条件．
【变式1】我们知道，光线从空气射入水中会发生折射现象．光线从水射入空气中，同样
也会发生折射现象．如图，已知 ， ．求证：直线 ．【分析】首先由 推出 ，从而结合 ，推出直线 所形成的内错
角相等，从而结合平行线的判定定理证明即可．
证明：如图所示，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即： ，
∵ 是直线 被直线 所截形成的内错角，
∴直线 ．
【点拨】本题考查平行线的判定与性质，理解平行线的性质，掌握平行线的判定定理是解
题关键．
【变式2】如图，已知点A、E、F、D在同一条直线上， ， ， ，
垂足分别为F、E， ，AB与CD位置有什么关系并说明理由【答案】平行，理由见解析
【分析】首先利用SAS证明△ABF≌△DCE，根据全等三角形，对应角相等，可得到
∠A=∠D，再根据内错角相等，两直线平行，即可证出AB∥CD．
证明：AB∥CD，
∵AE=DF，即AF+EF=DE+EF，
∴AF=DE，
∵BF⊥AD，CE⊥AD，
∴∠BFA=∠CED=90°，
在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴∠A=∠D，
∴AB∥CD．
【点拨】此题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定，做题的关键是找出证三角形
全等的条件．
类型三、同旁内角互补，两直线平行
3、蜂房的顶部由三个全等的四边形围成，每个四边形的形状如图所示，其中
， ．试确定这个四边形对边的位置关系，并证明你的结论．
【分析】先计算两角的和得180°，再根据平行线判定定理“同旁内角互补，两直线平行”
即可得出这个四边形对边的位置关系．
证明：如图标字母，
∵∠BAD= ，∠ADC=
∴∠BAD+∠ADC = ，
∴AB∥CD （同旁内角互补，两直线平行）∵∠BAD= ，∠ABC=
∴∠BAD+∠ABC = ，
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．
【点拨】本题考查角的和差计算，以及单位换算，平行线判定，正确识别“三线八角”中
的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．
举一反三：
【变式1】已知：如图，直线 被 所截， ，
求证： ．
证法1：如图， 与 交于
（ ）
又 （ ）
（ ）
（ ）
证法2：如图，
（ ）
又 （ ）
（ ）
（ ）证法3：如图，
（ ）
（ ）
又 （ ）
（ ）
（ ）
【答案】证法1：对顶角相等，已知，等量代换，同位角相等，两直线平行；证法2：对顶
角相等，已知，等量代换，内错角相等，两直线平行；证法3：邻补角互补，对顶角相等，
已知，等量代换，同旁内角相等，两直线平行．
【分析】根据平行线的判定与性质解题．
证明：证法1：如图， 与 交于
（ 对顶角相等 ）
又 （ 已知 ）
（ 等量代换 ）
（ 同位角相等，两直线平行 ）
证法2：如图，
（ 对顶角相等 ）
又 （ 已知 ）
（ 等量代换 ）
（ 内错角相等，两直线平行 ）
证法3：如图，
（ 邻补角互补 ）
（ 对顶角相等 ）
又 （ 已知 ）
（ 等量代换 ）
（ 同旁内角相等，两直线平行 ）
【点拨】本题考查平行线的判定、几何推理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关
键．
【变式2】已知：如图，BE，DF分别平分∠ABD和∠BDC，且BE⊥DF．求证：
AB∥CD．【分析】根据角平分线的性质得出∠ABE=∠DBE= ∠ABD，∠BDF=∠EDF= ∠BDE，根
据BE⊥DF得出∠DBE+∠BDF=90°，从而得出∠ABD+∠BDE=180°，由平行线的判定方法即
可得出AB∥CD．
解：证明：∵BE⊥DF，
∠BFD=90°，
∴∠DBE+∠BDF=90°，
∵BE，DF分别平分∠ABD和∠BDC，
∴∠ABE=∠DBE= ∠ABD，∠BDF=∠EDF= ∠BDE，
∴∠ABD+∠BDE=2∠DBE+2∠BDF=180°，
∴AB∥CD．
【点拨】本题考查了平行线的判定，灵活运用角平分线的定义和角的和差的关系是解决本
题的关键，注意正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角．
类型四、垂直于同一直线的两直线平行
4、在四边形ABCD中，CF⊥BD于点F，过点A作AG⊥BD，分别交BD，BC于点
E，G，若∠DAG＝∠BCF，求证：AD∥BC．
【分析】根据垂直于同一直线的两直线平行得出，CF∥AG，得出∠BGA=∠BCF，等量代换
得到∠BGA=∠DAG，即可判定AD∥BC．
证明：∵CF⊥BD，AG⊥BD，∴CF∥AG，
∴∠BGA=∠BCF，
∵∠DAG=∠BCF，
∴∠BGA=∠DAG，
∴AD∥BC．
【点拨】本题考查了平行线的判定，熟记“垂直于同一直线的两直线平行”及“内错角相
等，两直线平行”是解题的关键．
【变式1】如图，在四边形ABCD中，BD⊥CD，EF⊥CD，且∠1＝∠2．
（1）求证：AD∥BC；
（2）若BD平分∠ABC，∠A＝130°，求∠C的度数．
【答案】（1）详见解析；（2）65°．
【分析】（1）由题意易得BD∥EF，然后由平行线的性质及判定即可得证；
（2）由（1）得∠ABC＝50°，根据角平分线的定义及直角三角形的性质可得．
（1）证明：如图，
∵BD⊥CD，EF⊥CD（已知），
∴BD∥EF（垂直于同一直线的两条直线平行），
∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等）
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3（等量代换）
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）
（2）∵AD∥BC（已知），
∴∠ABC+∠A＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠A＝130°（已知），
∴∠ABC＝50°
∵DB平分∠ABC（已知），∴∠3＝ ∠ABC＝25°
∴∠C＝90°﹣∠3＝65°．
【点拨】本题主要考查平行线的性质与判定、角平分线的定义及直角三角形的性质，熟练
掌握各个性质定理是解题的关键．
【变式2】已知：如图，在三角形 ABC 中，点 E、G 分别在 AB 和 AC 上．EF⊥BC
于点 F，AD⊥BC 于点 D，连接 DG. 如果∠1 = ∠2，请猜想 AB 与 DG 的位置关系，
并证明你的猜想．
【答案】 ，证明见解析．
【分析】先根据平行线的判定可得 ，再根据平行线的性质可得 ，从而可
得 ，然后根据平行线的判定即可得．
，证明如下：
又
．
【点拨】本题考查了平行线的判定与性质等知识点，熟记平行线的判定与性质是解题关键．
