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2022-2023 学年北师大版数学八年级上册章节考点精讲精练
第 7 章《平行线的证明》
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知识点01：定义、命题及证明
1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义.
2.命题：判断一件事情的句子，叫做命题.
细节剖析：
（1）命题一般由条件和结论组成.
（2）正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题.
（3）公认的真命题叫做公理.
(4) 经过证明的真命题称为定理.
3.证明: 除了公理外，其它的真命题的正确性都要通过推理的方法进行证实，这种演绎推理的过程叫做证
明.细节剖析：实验、观察、操作所得出的结论不一定都正确，必须推理论证后才能得出正确的结论．
知识点02：平行线的判定与性质
1．平行线的判定
判定方法1：同位角相等，两直线平行．
判定方法2：内错角相等，两直线平行．
判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．
细节剖析：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：
（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行.
（2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）.
（3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.
（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
2．平行线的性质
性质1：两直线平行，同位角相等；
性质2：两直线平行，内错角相等；
性质3：两直线平行，同旁内角互补.
细节剖析：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：
（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．
（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．
知识点03：三角形的内角和定理及推论
三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°．
推论：（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
（2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
细节剖析：
（1）由一个公理或定理直接推出的真命题，叫做这个公理或定理的推论.
（2）推论可以当做定理使用.
考点提优练
考点01：平行线的判定
1．（2021秋•城阳区期末）如图，∠C+∠D＝180°，∠DAE＝3∠EBF，∠EBF＝27°，点G是AB上的一点，
若∠AGF＝102°，∠BAF＝34°，下列结论错误的是（ ）A．∠AFB＝81° B．∠E＝54° C．AD∥BC D．BE∥FG
2．（2022春•番禺区期末）如图，下面推理中，正确的是（ ）
A．∵∠DAE＝∠D，∴AD∥BC B．∵∠DAE＝∠B，∴AB∥CD
C．∵∠B+∠C＝180°，∴AB∥CD D．∵∠D+∠B＝180°，∴AD∥BC
3．（2021春•铁西区期末）如图，某工件要求AB∥ED，质检员小李量得∠ABC＝146°，∠BCD＝60°，
∠EDC＝154°，则此工件 ．（填“合格”或“不合格”）
4．（2018秋•平度市期末）如图，已知直线EF⊥MN垂足为F，且∠1＝140°，则当∠2等于 时，
AB∥CD．
5．（2021秋•市北区期末）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，求证：DE∥BC．6．（2021秋•东西湖区期中）如图，∠B＝42°，∠A+10°＝∠ACB，∠ACD＝64°．求证：AB∥CD．
7．（2020春•东平县期末）已知：DE⊥AO于E，BO⊥AO，∠CFB＝∠EDO，试说明：CF∥DO．
考点02：平行线的性质
8．（2022秋•惠阳区校级月考）如图，AB∥EF，C点在EF上，∠EAC＝∠ECA，BC平分∠DCF，且AC⊥BC．则关于结论①AE∥CD；②∠BDC＝2∠1，下列判断正确的是（ ）
A．①②都正确 B．①②都错误
C．①正确，②错误 D．①错误，②正确
9．（2022秋•临洮县校级月考）如图，直线CE∥DF，∠CAB＝125°，∠ABD＝85°，则∠1+∠2＝（ ）
A．15° B．25° C．30° D．45°
10．（2022•柯城区校级开学）如图，QP∥MN，A，B分别为直线MN，PQ上两点，且∠BAN＝60°，射线AE
从AM开始绕点A按顺时针方向旋转至AN后立即回转，然后以不变的速度在AM和AN之间不停地来回旋
转，射线BF从BQ绕点B按逆时针方向同时开始旋转，射线AE转动的速度是4°/s，射线BF转动的速
度是 1°/s，在射线BF到达BP之前，有 次射线AE与射线BF互相平行，时间分别是
s．
11．（2022•丰顺县校级开学）如图，已知直线AB，CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点
E不在直线AB，CD，AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣
α，④ ，⑤360°﹣α﹣β，可以表示∠AEC的度数的是 ．（填序号）12．（2021秋•镇江期末）小明用两张完全相同的长方形纸片按如图所示的方式摆放，一张纸片压住射线
OB，另一张纸片压住射线OA且与第一张纸片交于点P，若∠BOP＝25°，则∠AOB＝ ．
考点03：平行线的判定与性质
13．（2022春•西乡塘区校级期末）如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠1+∠2＝90°，
M，N分别是BA，CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．下列结论：①AB∥CD；
②∠AEB+∠ADC＝180°；③DE平分∠ADC；④∠F＝135°，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．（2021秋•开江县期末）小明、小亮、小刚、小颖一起研究一道数学题．如图，已知 EF⊥AB，
CD⊥AB，
小明说：“如果还知道∠CDG＝∠BFE，则能得到∠AGD＝∠ACB．”
小亮说：“把小明的已知和结论倒过来，即由∠AGD＝∠ACB，可得到∠CDG＝∠BFE．”
小刚说：“∠AGD一定大于∠BFE．”
小颖说：“如果连接GF，则GF一定平行于AB．”
他们四人中，有（ ）个人的说法是正确的．A．1 B．2 C．3 D．4
15．（2021春•临潼区期末）如图，AB∥CD，EG、EM、FM分别平分∠AEF、∠BEF、∠EFD，则下列结论正确
的有（ ）
①∠DFE＝∠AEF；
②∠EMF＝90°；
③EG∥FM；
④∠AEF＝∠EGC．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．（2021秋•渠县期末）如图，已知∠A＝α（0°＜α＜60°，且α≠45°），在∠A的两边上各任取
一点，分别记为P，Q，过该两点分别引一条直线，并使得该直线与∠A所在的边夹角也为α，设两条直
线交于点O，则∠POQ的数量应是 ．
17．（2021春•零陵区期末）如图，已知AC∥BD，BC平分∠ABD，CE平分∠DCM，且BC⊥CE．则下列结论：
①CB平分∠ACD，②AB∥CD，③∠A＝∠BDC，④点P是线段BE上任意一点，则∠APM＝∠BAP+∠PCD．
正确的是 ．18．（2019 秋•呼兰区期中）如图，在△ABC中，BF、BE分别平分∠ABC和∠ABC的外角，EF＝8，
EF∥BC，则BG＝ ．
19．（2022春•思明区校级期末）如图1，G，E是直线AB上两点，点G在点E左侧，过点G的直线GP与过
点E的直线EP交于点P．直线PE交直线CD于点H，满足点E在线段PH上，∠PGB+∠P＝∠PHD．
（1）求证：AB∥CD；
（2）如图2，点Q在直线AB，CD之间，PH平分∠QHD，GF平分∠PGB，点F，G，Q在同一直线上，且
2∠Q+∠P＝120°，求∠QHD的度数；
（3）在（2）的条件下，若点M是直线PG上一点，直线MH交直线AB于点N，点N在点B左侧，请直接
写出∠MNB和∠PHM的数量关系．（题中所有角都是大于0°且小于180°的角）20．（2021秋•电白区期末）如图，点D、F在线段AB上，点E、G分别在线段BC和AC上，CD∥EF，∠1＝
∠2．
（1）判断DG与BC的位置关系，并说明理由；
（2）若DG是∠ADC的平分线，∠3＝85°，且∠DCE：∠DCG＝9：10，试说明AB与CD有怎样的位置关
系？
21．（2022春•柘城县期末）如图，已知直线AB∥DF，∠D+∠B＝180°．
（1）求证：DE∥BC；
（2）如果∠AMD＝75°，求∠AGC的度数．考点04：三角形内角和定理
22．（2022秋•东光县校级月考）如图，D是△ABC的角平分线BD和CD的交点，过点D作△BCD的高，交
BC于点E．若∠A＝70°，∠CDE＝65°，则∠DBE的度数为（ ）
A．30° B．35° C．20° D．25°
23．（2022春•巴中期末）如图，BA和CA分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA是∠ABD的角平
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分线，CA是∠ACD的角平分线，BA是∠ABD的角平分线，CA是∠ACD的角平分线……，若∠A＝α，
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则∠A 为（ ）°．
2022
A． B． C． D．
24．（2022秋•忠县校级月考）如图（甲），D是△ABC的边BC的延长线上一点．∠ABC、∠ACD的平分线
相交于P．
1
（1）若∠ABC＝80°，∠ACB＝40°，则∠P的度数为 ；
1
（2）若∠A＝α，则∠P的度数为 ；（用含α的代数式表示）
1
（3）如图（乙），∠A＝α，∠ABC、∠ACD的平分线相交于P，∠PBC、∠PCD的平分线相交于P，
1 1 1 2∠PBC、∠PCD的平分线相交于P，依此类推，则∠Pn的度数为 （用n与α的代数式表示）．
2 2 3
25．（2022秋•临平区月考）如图，直线a，b分别与黑板边缘形成∠1，∠2，小明量出∠1＝71°，∠2＝
78°，则可以算出直线a，b形成的锐角的度数＝ °．
26．（2022•北碚区校级开学）如图，在△ABC中，∠C＝47°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的
位置，则∠1﹣∠2＝ ．
27．（2021秋•西湖区校级期末）新定义：在△ABC中，若存在一个内角是另外一个内角度数的n倍（n为
大于1的正整数），则称△ABC为n倍角三角形．例如，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，∠C＝
40°，可知∠A＝2∠C，所以△ABC为2倍角三角形．
（1）在△DEF中，∠E＝40°，∠F＝35°，则△DEF为 倍角三角形．
（2）如图1，直线MN与直线PQ相交于O，∠POM＝30°，点A、点B分别是射线OP、OM上的动点；已
知∠BAO、∠OBA的角平分线交于点C，在△ABC中，如果有一个角是另一个角的2倍，请求出∠BAC的
度数．
（3）如图2，直线MN⊥直线PQ于点O，点A、点B分别在射线OP、OM上，已知∠BAO、∠OAG的角平分
线分别与∠BOQ的角平分线所在的直线交于点E、F，若△AEF为3倍角三角形，试求∠ABO的度数．28．（2021秋•新建区校级月考）如图，∠B＝50°，点P在∠ABC内部，∠P的两边分别交AB，BC于点
E，F．
（1）若PE⊥AB，PF⊥BC．
①如图1，则∠P＝ °；
②如图2，EQ平分∠BEP，FQ平分∠BFP，求∠Q的度数．
（2）若∠BEP与∠BFP两角的平分线交于ABC内一点Q，请写出∠Q与∠P的数量关系，并说明理由．
29．（2021春•镇江期末）直线AB、CD为平面内两条直线，点M、点N分别在直线AB、CD上，点P（P不在直线AB、CD上）为平面内一动点．
（1）如图1，若AB、CD相交于点O，∠MON＝40°；
①当点P在△OMN内部时，求证：∠MPN﹣∠OMP﹣∠ONP＝40°；
②小芳发现，当点P在∠MON内部运动时，∠MPN、∠OMP、∠ONP还存在其它数量关系，这种数量关系
是 ；
③探究，当点P在∠MON外部时，∠MPN、∠OMP、∠ONP之间的数量关系共有 种；
（2）如图2，若AB∥CD，请直接写出∠MPN与∠AMP、∠CNP之间存在的所有数量关系是 ．
考点05：三角形的外角性质
30．（2022秋•嘉祥县月考）如图，在△ABC中，∠BAC＝128°，P是△ABC的内角∠ABC的平分线BP与外
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角∠ACE的平分线CP的交点；P是△BPC的内角∠PBC的平分线BP与外角∠PCE的平分线CP的交点；
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P是△BPC的内角∠PBC的平分线BP与外角∠PCE的平分线CP的交点；依次这样下去，则∠P的度数
3 2 2 3 2 3 6
为（ ）
A．2° B．4° C．8° D．16°
31．（2022春•泌阳县月考）如图，在△ABC中，O是三个内角的平分线的交点，过点O作∠ODC＝∠AOC，
交边BC于点D．若∠ABC＝n°，则∠BOD的度数为（ ）A．90°+ n° B．45°+ n° C．90°﹣ n° D．90°
32．（2022秋•钱塘区月考）如图，在△ABC中，∠A＝α，∠ACD是其外角，∠ABC与∠ACD的平分线交于
点A，得∠A；∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A，得∠A；则∠A＝ …；∠A BC与
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∠A CD的平分线交于点A ，则∠A ＝ ．
2021 2022 2022
33．（2021秋•黄石期末）如图，∠A＝20°，∠B＝40°，∠C＝50°，则∠ADB的度数是 ．
34．（2021秋•黄石期末）如图，△ABC的内角∠ABC的平分线BP与外角∠ACD的平分线CP交于点P，连接
AP，若∠BPC＝46°，则∠CAP＝ °．
35．（2022秋•汇川区校级月考）如图（1），∠CBF，∠ACG是△ABC的外角，∠ACG的平分线所在直线与∠ABC的平分线BD交于点D，与∠CBF的平分线BE交于点E．
（1）若∠A＝70°，则∠D＝ 度；
（2）若∠A＝α，求∠E的度数；
（3）在图（1）的条件下，沿BA作射线BM，连接AD，如图（2）．求证：AD平分∠MAC．
36．（2021秋•梁山县校级月考）【概念认识】
如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻
AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．【问题解决】
（1）如图②，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝45°，若∠B的三分线BD交AC于点D，求∠BDC的度数；
（2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，且∠BPC＝140°，
求∠A的度数．
考点06：命题与定理
37．（2022秋•灯塔市校级月考）下面真命题的是（ ）
A．矩形的对角线互相垂直
B．菱形是中心对称图形，不是轴对称图形
C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D．依次连接矩形各边的中点，所得四边形是菱形
38．（2022秋•海淀区校级期中）已知P（x，y），P（x，y）是抛物线y＝ax2﹣4ax上的两点，下列命
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题正确的是（ ）
A．若|x﹣2|＞|x﹣2|，则y＞y B．若y＞y，则|x﹣2|＞|x﹣2|
1 2 1 2 1 2 1 2
C．若y＝y，则x＝x D．若|x﹣2|＝|x﹣2|，则y＝y
1 2 1 2 1 2 1 2
39．（2021秋•通州区期末）小豪发现一个命题：“如果两个无理数a，b，满足a+b≠0，那么这两个无理
数的和是无理数．”这个命题是 （填写“真命题”，“假命题”）；请你举例说明 ．
40．（2022春•广陵区期末）一次数学测试，满分为100分．测试分数出来后，同桌的李华和吴珊同学把
他俩的分数进行计算，李华说：我俩分数的和是160分，吴珊说：我俩分数的差是60分．那么，对于
下列两个命题：①俩人的说法都是正确的；②至少有一人说错了；③俩人的说法都是错的．其中真命题
是 ．（用序号填写）
41．（2022•安徽模拟）命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是 ．它是命题（填“真”或“假”）
42．（2021秋•新野县期中）如图，已知∠MAB是锐角，BN⊥AM，BN＝1cm，AB＝2cm．点C是射线AM上的
一个动点．利用图形画图说明命题“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”是假命题．
你画图时，BC长可选取的范围是 cm．若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则BC的取值范围是
．
43．（2022春•钦北区期中）如图，直线AB，CD被直线AE所截，直线AM，EN被MN所截．请你从以下三个
条件：①AB∥CD；②AM∥EN；③∠BAM＝∠CEN中选出两个作为已知条件，另一个作为结论，得出一个
正确的命题．
（1）请按照：“∵ ， ；∴ ”的形式，写出所有正确的命题；
（2）在（1）所写的命题中选择一个加以证明，写出推理过程．
44．（2021秋•萧山区期中）在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的△ABD和△ACE两个三角形，并
写出四个条件：①AB＝AC；②AD＝AE；③∠1＝∠2；④∠B＝∠C．请你从这四个条件中选出三个作为
题设，另一个作为结论，组成一个真命题，并给予证明．
题设： ；
结论： ．（均填写序号）
证明：．
45．（2022春•海州区校级期末）如图，B、A、E三点在同一直线上，（1）AD∥BC，（2）∠B＝∠C，
（3）AD平分∠EAC．
请你用其中两个作为条件，另一个作为结论，构造一个真命题，并证明．
已知：
求证：
证明：
