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专题7.5 平行线的性质（知识讲解）
【学习目标】
1．掌握平行线的性质，并能依据平行线的性质进行简单的推理；
2．了解平行线的判定与性质的区别和联系，理解两条平行线的距离的概念；
【要点梳理】
要点一、平行线的性质
性质1：两直线平行，同位角相等；
性质2：两直线平行，内错角相等；
性质3：两直线平行，同旁内角互补.
特别说明：
（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，
切不可忽视前提 “两直线平行”．
(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是
平行线的性质．
要点二、两条平行线的距离
同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线
的距离．
特别说明：
（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段
的长度就是两条平行线的距离．
(2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，
即平行线间的距离处处相等．
【典型例题】
类型一、理由填写
1、如图，已知EF∥AD， 试说明 请将下面的说明过程
填写完整．
解： EF∥AD， 已知______ ______
又 ， 已知
， ______
∥______， ______
______
【答案】 ；两直线平行，同位角相等 ；等量代换； ；内错角相等，两直线平行；
两直线平行，同旁内角互补
【分析】
根据平行线的判定和性质解答即可．
解： EF∥AD，（已知）
（两直线平行，同位角相等）
又 ，（已知）
，（等量代换）
，（内错角相等，两直线平行）
（两直线平行，同旁内角互补）
故答案为： ；两直线平行，同位角相等 ；等量代换； ；内错角相等，两直线平行；
两直线平行，同旁内角互补
【点拨】本题考查平行线的判定与性质，熟记判定定理和性质定理是解题的关键．
举一反三：
【变式1】请把以下证明过程补充完整，并在下面的括号内填上推理理由：
已知：如图，∠1＝∠2，∠A＝∠D．
求证：∠B＝∠C．
证明：∵∠1＝∠2，（已知）又：∵∠1＝∠3，（ ）
∴∠2＝____________（等量代换）
（同位角相等，两直线平行）
∴∠A＝∠BFD（ ）
∵∠A＝∠D（已知）
∴∠D＝_____________（等量代换）
∴____________∥CD（ ）
∴∠B＝∠C（ ）
【答案】对顶角相等；∠3；两直线平行，同位角相等；∠BFD；AB；内错角相等，两直
线平行；两直线平行，内错角相等
【分析】根据对顶角相等，平行线的性质与判定定理填空即可．
证明：∵∠1＝∠2，（已知）
又：∵∠1＝∠3，（对顶角相等）
∴∠2＝∠3（等量代换）
（同位角相等，两直线平行）
∴∠A＝∠BFD（两直线平行，同位角相等）
∵∠A＝∠D（已知）
∴∠D＝∠BFD（等量代换）
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
∴∠B＝∠C（两直线平行，内错角相等）．
【点拨】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
【变式2】完成下面的证明：
如图所示，AB⊥BF，∠CDF＝90°，∠1＝∠2，求证：∠3＝∠E．
证明：∵AB⊥BF
∴∠B＝ （ ）
∵∠CDF＝90
∴∠B＝∠CDF
∴AB∥CD（ ）
∵∠1＝∠2
∴AB∥ （ ）
∴CD∥ （ ）
∴∠3＝∠E（ ）【分析】由条件可先证明AB∥EF，则可得CD∥EF，再根据平行线的性质可得∠3=∠E．
证明：∵AB⊥BF，
∴∠B＝90°，（ 垂直的定义）
∵∠CDF＝90°，
∴∠B＝∠CDF，
∴AB∥CD，（ 同位角相等，两直线平行）
∵∠1＝∠2，
∴AB∥EF，（内错角相等，两直线平行）
∴CD∥EF，（ 平行于同一直线的两直线平行）
∴∠3＝∠E．（ 两直线平行，同位角相等）
【点拨】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直
线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，
④a∥b，b∥c⇒a∥c．
【变式3】完成下面推理过程，并在括号中填写推理依据：
如图，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，∠E＝∠3，试说明：AD平分∠BAC．
证明：∵AD⊥BC，EG⊥BC
∴∠ADC＝ ＝90°（垂直定义）
∴ ∥EG（同位角相等，两直线平行）
∴∠1＝ （ ）
∠2＝∠3（ ）
又∵∠3＝∠E（已知）
∴ ＝∠2
∴AD平分∠BAC【答案】 ；两直线平等行，同位角相等；两直线平行，内错角相等； ；
等量代换；角平分线定义
【分析】根据AD⊥BC，EG⊥BC，可得 ，进而根据平行线的性质，两直线平行同
位角相等，内错角相等，可得 ， ，由已知条件∠3＝∠E，等量代换即可的
，即可证明AD平分∠BAC．
证明：∵AD⊥BC，EG⊥BC
∴∠ADC＝ ＝90°（垂直定义）
∴ ∥EG（同位角相等，两直线平行）
∴∠1＝ （两直线平等行，同位角相等）
∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等）
又∵∠3＝∠E（已知）
∴ ＝∠2（等量代换）
∴AD平分∠BAC（角平分线的定义）
故答案是：∠EGC；AD；∠E；两直线平等行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；
∠1；等量代换；角平分线定义．
【点拨】本题考查了垂线的定义，平行线的性质与判定，角平分线的定义，掌握以上定理
性质是解题的关键．
类型二、证明
2、如图，点E，C在线段BF上，∠A＝∠D，AB∥DE，BC＝EF．求证：AC＝DF．
【分析】根据条件证明△ABC≌△DEF即可得解；证明：∵AB∥ED，
∴∠ABC＝∠DEF．
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS）．
∴AC＝DF．
【点拨】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，结合平行线的性质求解是解题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，MN∥BC，BD⊥DC，∠1=∠2=60°，DC是∠NDE的平分线
（1）AB与DE平行吗？请说明理由；
（2）试说明∠ABC=∠C；
（3）试说明BD是∠ABC的平分线．
【答案】（1）AB∥DE，理由见解析，（2）见解析，（3）见解析
【分析】
（1）首先根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等即可证得∠ABC＝∠1＝60°，进而
证明∠ABC＝∠2，根据同位角相等，两直线平行，即可证得；
（2）根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补求得∠NDE的度数，然后根据角平
分线的定义，以及平行线的性质即可求得∠C的度数，从而判断；
（3）先求得∠ADB的度数，根据平行求出∠DBC的度数，然后求得∠ABD的度数，即可
证得．
解：（1）AB∥DE，理由如下：
∵MN∥BC，（ 已知 ）
∴∠ABC＝∠1＝60°．（ 两直线平行，内错角相等 ）
又∵∠1＝∠2，（ 已知 ）
∴∠ABC＝∠2．（ 等量代换 ）
∴AB∥DE．（ 同位角相等，两直线平行 ）；（2）∵MN∥BC，
∴∠NDE+∠2＝180°，
∴∠NDE＝180°﹣∠2＝180°﹣60°＝120°．
∵DC是∠NDE的平分线，
∴∠EDC＝∠NDC＝ ∠NDE＝60°．
∵MN∥BC，
∴∠C＝∠NDC＝60°．
∴∠ABC＝∠C．
（3）∠ADC＝180°﹣∠NDC＝180°﹣60°＝120°，
∵BD⊥DC，
∴∠BDC＝90°．
∴∠ADB＝∠ADC﹣∠BDC＝120°﹣90°＝30°．
∵MN∥BC，
∴∠DBC＝∠ADB＝30°．
∵∠ABC＝∠C＝60°．
∴∠ABD＝30°
∴∠ABD＝∠DBC＝ ∠ABC．
∴BD是∠ABC的平分线．
【点拨】本题考查了平行线的性质和判定定理，垂线的性质，解题关键是熟练运用平行线
的性质与判定进行推理证明和计算．
【变式2】如图：E在 的 边的延长线上， ，D点在 边上， 交
于点F， ，求证： ．【分析】通过平行线的性质证明 即可得解；
证明：过D作 ，交 于点G，
则 ， ；
在 和 中，
，
∴ （ ），
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，准确分析证明是解题
的关键．【变式3】已知：如图， ， ．求证：BD平分 ．
【分析】先利用平行线的性质得到 ，加上 ，则利用等量代换得到
，于是可判断BD平分 ．
解：∵ （已知），
∴ （两直线平行，内错角相等）．
又∵ （已知），
∴ （等量代换）．
∴BD平分 （角平分线的定义）．
【点拨】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；
两直线平行，内错角相等．
【变式4】如图， ， ， 三点在同一直线上，且 ，
（1）线段 ， ， 有怎样的数量关系？请说明理由．
（2）请你猜想 满足什么条件时， ，并证明．
【答案】（1） ，理由见解析；（2） ，证明见解析．
【分析】
（1）根据全等三角形的性质得出 ，再根据 ， ， 三点在同一直线
上，求出 ，则答案可解；
（2）根据平行线的性质得出 ，根据全等三角形的性质得出 ，求
出 ，即可得出答案．
解：（1） ．理由：∵ ，
∴ ， ．
∵ ， ， 三点在同一直线上，
∴ ，
∴ ．
（2）假如 ，
则 ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴当 满足 时， ．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质和平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理
是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
