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特训04 整式及其加减 压轴题
一、解答题
1．已知多项式A和B，且2A+B＝7ab+6a﹣2b﹣11，2B﹣A＝4ab﹣3a﹣4b+18．
阅读材料：我们总可以通过添加括号的形式，求出多项式A和B．如：
5B＝（2A+B）+2（2B﹣A）
＝（7ab+6a﹣2b﹣11）+2（4ab﹣3a﹣4b+18）
＝15ab﹣10b+25
∴B＝3ab﹣2b+5
(1)应用材料：请用类似于阅读材料的方法，求多项式A．
(2)小红取a，b互为倒数的一对数值代入多项式A中，恰好得到A的值为0，求多项式B的值．
(3)聪明的小刚发现，只要字母b取一个固定的数，无论字母a取何数，B的值总比A的值大7，那么小刚所
取的b的值是多少呢？
2．如图1是2022年1月的月历．
（1）带阴影的方框是相邻三行里同一列的三个数，不改变带阴影的方框的大小，将方框移动几个位置试
试，三个数之和能否为36？请运用方程的知识说明理由：
（2）如图2，带阴影的框是“7”字型框，设框中的四个数之和为t，则
①t是否存在最大值，若存在，请求出．若不存在，请说明理由；
②t能否等于92，请说明理由．
3．如图，某校的“图书码”共有7位数字，它是由6位数字代码和校验码构成，其结构分别代表“种类代
码、出版社代码、书序代码和校验码”．
1其中校验码是用来校验图书码中前6位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．以上图为
例，其算法为：
步骤1：计算前6位数字中偶数位数字的和 ，即 ；
步骤2：计算前6位数字中奇数位数字的和 ，即 ；
步骤3：计算 与 的和 ，即 ；
步骤4：取大于或等于 且为10的整数倍的最小数 ，即 ；
步骤5：计算 与 的差就是校验码 ，即 ．
请解答下列问题：
（1）《数学故事》的图书码为978753 ，则“步骤3”中的 的值为______，校验码 的值为______．
（2）如图①，某图书码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为 ，你能用只含有 的代数式表示上
述步骤中的 吗？从而求出 的值吗？写出你的思考过程．
（3）如图②，某图书码中被墨水污染的两个数字的差是4，这两个数字从左到右分别是多少？请直接写出
结果．
4．某市居民使用自来水按如下标准缴费（水费按月缴纳）：
用户月用水量 单价
不超过 的部分 a元/
超过 但不超过 的部
1．5a元/
分
超过 的部分 2a元/
(1)当 时，某户一个月用了 的水，求该户这个月应缴纳的水费．
(2)设某户月用水量为 ，当 时，该户应缴纳的水费为_______元（用含a，n的式子表示）．
(3)当 时，甲、乙两户一个月共用水 ，已知甲户缴纳的水费超过了24元，设甲户这个月用水 ，
试求甲，乙两户一个月共缴纳的水费（用含x的式子表示）．
25．任意一个四位正整数，如果它的千位数字与百位数字的和为7，十位数字与个位数字的和为8，那么我
们把这样的数称为“七上八下数”．例如：3453的千位数字与百位数字的和为： ，十位数字与个
位数字的和为： ，所以3453是一个“七上八下数”；3452的十位数字与个位数字的和为：
，所以3452不是一个“七上八下数”．
（1）判断2571和4425是不是“七上八下数”？并说明理由；
（2）若对于一个“七上八下数” ，交换其百位数字和十位数字得到新数 ，并且定义 ，
若 与 个位数字的135倍的和刚好为一个正整数的平方，求出满足条件的所有“七上八下数” ，
并说明理由．
6．用整体思想解题：为了简化问题，我们往往把一个式子看成一个数——整体．试按提示解答下面问题．
（1）已知A＋B＝3x2－5x＋1，A－C＝－2x＋3x2－5，求：当x＝2时，B＋C的值．提示：B＋C＝（A＋B）
－（A－C）．
（2）若代数式2x2＋3y＋7的值为8，求代数式6x2＋9 y＋8的值．提示：把6x2＋9 y＋8变形为含有2x2＋3y
＋7的形式．
（3）已知 ，求代数式 的值．提示：把 和 分别看作整体；再由已知可得
，代入 ．
7．一个多项式的次数为 ，项数为 ，我们称这个多项式为 次多项式或者 次 项式，例如：
为五次三项式， 为二次四项式．
（1） 为________次________项式．
（2）若关于 、 的多项式 ， ，已知 中不含二次项，求a+b的
值．
（3）已知关于 的二次多项式， 在 时，值是 ，求当 时，
该多项式的值．
8．按照下面的步骤计算：
任意写一个三位数，百位数字比个数数字大3交换差的百位数字与个位数字用大数减去小数交换它的百位
3数字与个位数字做加法
问题：(1)用不同的三位数再做两次，结果都是1089吗？
(2)你能解释其中的道理吗？
9．沿着圆周放着一些数，如果有依次相连的4个数a、b、c、d满足 ，那么就可以交换
b、c的位置，这称为一次操作．
(1)如图1，圆周上放着数1、2、3、4、5、6，问：能否经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个
数a、b、c、d，都有 ？如果能，请在图2中填写出满足要求的最后结果；如果不能，请
说明理由．
(2)若圆周上从小到大按顺时针依次放着2021个正整数1、2、3、…、2021，问：能否经过有限次操作后，
对圆周上任意依次相连的4个数a、b、c、d，都有 ？请说明理由．
410．认真阅读材料，然后回答问题：
我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：
． ． ．……；
下面我们依次对 展开式的各项系数进一步研究发现，当 取正整数时可以单独列成表中的形式：
…………………………………………………1 1
………………………………………………1 2 1
……………………………………………1 3 3 1
…………………………………………1 4 6 4 1
………………………………………1 5 10 10 5 1
……………………………………1 6 15 20 15 6 1
……………………………………
上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：
(1)多项式 的第三项的系数 ______；
(2)请你预测一下多项式 展开式的各项系数之和 ______；
(3)拓展：①写出 展开式中含 项的系数为______；
② 展开式按 的升幂排列为： ，若 ，求
的值．
11．将连续的奇数1，3，5，7，⋯排成如图的数表，用图中所示的十字框可任意框出5个数．
5[探究规律一]：设十字框中间的奇数为a，则框中五个奇数之和用含a的代数式表示为 ；
[结论]：这说明能被十字框框中的五个奇数之和一定是自然数p的奇数倍，这个自然数p是 ．
[探究规律二]：落在十字框中间且又是第二列的奇数是15，27，39，51⋯则这一列数可以用代数式表示为
（m为正整数），同样，落在十字框中间且又是第三列，第四列的奇数分别可表示为 ，
（用含m的式子）；
[运用规律]：
（1）已知被十字框框中的五个奇数之和为6025，则十字框中间的奇数是 ；这个奇数落在从左往右
第 列；
（2）被十字框框中的五个奇数之和可能是425吗？可能是2025吗？说说你的理由．
12．如果一个两位数的个位数字是 ，十位数字是 ，那么我们可以把这个两位数简记为 ，即
．如果一个三位数的个位数字是 ，十位数字是 ，百位数字是 ，那么我们可以把这个三位
数简记为 ，即 ．
(1)列式分别表示出两位数 和 ，并证明 和 的差能被9整除．
(2)若规定：对任意一个三位数 进行 运算，得到整数 ． 如： ．
若一个三位数 满足 ，求这个三位数．
(3)已知一个三位数 和一个两位数 ，若满足 ，请求出所有符合条件的三位数．
13．已知式子 是关于 的二次多项式，且二次项系数为 ，数轴上 ， 两点所
6对应的数分别是 和 ．
(1)则 _____， _____； ， 两点之间的距离为_____；
(2)有一动点 从点 出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动2个单位长度，
再在此位置第三次向左运动3个单位长度…，按照如此规律不断地左右运动，当运动到第2022次时，求点
所对应的有理数；
(3)若点 以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点 以每秒3个单位长度的速度向右运动，动点 从
原点开始以每秒 （ ）个单位长度在 ， 之间运动（到达 或 即停止运动），运动时间为t秒，
在运动过程中， 的值始终保持不变，求 点运动的方向及 的值．
14．关于x的整式，当x取任意一组相反数m与 时，若整式的值相等，则该整式叫做“偶整式”；若整
式的值互为相反数，则该整式叫做“奇整式”．例如： 是“偶整式”， 是“奇整式”．
(1)若整式A是关于x的“奇整式”，当x取1与 时，对应的整式值分别为 ， ，则
___________；
(2)判断式子 是“偶整式”还是“奇整式”，并说明理由；
(3)对于整式 ，可以看作一个“偶整式”与“奇整式”的和．
①这个“偶整式”是___________，“奇整式”是___________；
②当x分别取 ， ， ，0，1，2，3时，这七个整式的值之和是___________．
15．某超市在双十一期间对顾客实行优惠，规定如下：
一次性购物 优惠办法
少于200元 不予优惠
低于500元但不低于200元 八折优惠
7其中500元部分给予八折优惠，
500元或超过500元
超过500元部分给予七折优惠
(1)若王老师一次性购物600元，他实际付款___________元．若王老师实际付款160元，那么王老师一次性
购物可能是___________元；
(2)若顾客在该超市一次性购物x元，当x小于500元但不小于200时，他实际付款___________元，当x大
于或等于500元时，他实际付款___________元（用含x的代数式表示并化简）；
(3)如果王老师有两天去超市购物原价合计900元，第一天购物的原价为a元（ ），用含a的
代数式表示这两天购物王老师实际一共付款多少元？当 元时，王老师两天一共节省了多少元？
16．对于一个四位自然数 ，如果 满足各数位上的数字不全相同且均不为0，它的千位数字减去个位数
字之差等于百位数字减去十位数字之差，那么称这个数 为“差同数”．对于一个“差同数” ，将它的
千位和个位构成的两位数减去百位和十位构成的两位数所得差记为 ，将它的千位和十位构成的两位数减
去百位和个位构成的两位数所得差记为 ，规定： ．例： ，因为 ，故：
是一个“差同数”．所以： ，则： ．
(1)写出一个“差同数”___________
(2)请判断4378是否是“差同数”．如果是，请求出 的值；
(3)若自然数P，Q都是“差同数”，其中 ， （
，x，y，m，n都是整数），规定： ，当 能被11
整除时，求k的最小值．
17．将图①中的长方形纸片剪成1号，2号，3号，4号正方形和5号长方形．
(1)设3号正方形的边长为x，4号正方形的边长为y，求1号，2号正方形的边长分别是多少？（用x，y的
8代数式表示）
(2)若图①中长方形的周长为48，试求3号正方形的边长；
(3)在（2）的情况下，若将这五个图形按图②的方式放入周长为100的长方形中，求阴影部分的周长．
18．在有理数的范围内，我们定义三个数之间的新运算“☆”法则： ．
如： ．
（1）计算： ．
（2）计算： ．
（3）在 ， ， ，…， ， ， ， ，…， ， 这 个数中：
①任取三个数作为a，b，c的值，进行“ ”运算，求所有计算结果中的最小值；
②若将这 个数任意分成五组，每组三个数，进行“ ”运算，得到五个不同的结果，由于分组不
同，所有五个运算的结果也不同，请直接写出五个结果之和的最大值．
19．如图1．在数轴上点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，点 到点 的距离记为 ．我们规定:
的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即 ．
请用上面的知识解答下面的问题:
如图2，在数轴上点A表示数a，点B表示数b,点C表示数c，b是最大的负整数．且a，c满足 与
互为相反数．
（1） ， ， ；
（2）若将数轴折叠，使得 点与 点重合，则点 与数 表示的点重合；
（3）点 开始在数轴上运动，若点 以每秒 个单位长度的速度向左运动，同时，点 和点 分别以
每秒 个单位长度和 个单位长度的速度向右运动，假设 秒钟过后，
①请问， 的值是否随着时间 的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值；
②探究，若点 向右运动，点 向左运动，速度保持不变， 的值是否随着时间的变化而改变？
9若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
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