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2.5 一元二次方程根与系数的关系教学设计
课题 2.5一元二次方程根与系数 单元 2 学科 数学 年级 九
的关系
一元二次方程根与系数的关系是在学习了一元二次方程的解法和根的判别式之后引入的,它
深化了两根与系数之间的关系,是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具,是
教 材
方程理论的重要组成部分.
分析
经历一元二次方程根与系数关系的探究过程,培养学生观察思考、归纳概括的能力,在
运用关系解决问题的过程中,培养学生解决问题的能力,渗透整体的数学思想、求简思想，
科 学
通过学生自己探究,发现根与系数的关系,增强学习的信心,培养科学探究精神.
素养
1.了解一元二次方程的根与系数的关系.
学习 2.利用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题.
目标
3.经历观察、猜想、验证一元二次方程根与系数的关系的过程，体会从特殊到一般的思想.
重点 能用因式分解法(提公因式法、公式法)求解某些数字系数的一元二次方程
难点 能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法.教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 教师课件出示问题 复习回顾已学知
想一想：一元二次方程的一般形式是怎样的？ 思考、并举手 识，为新课的学
你知道它的求根公式是什么吗？ 回答. 习做准备.
当Δ＞0，Δ=0，Δ＜0 根的情况如何？
讲授新课 【做一做】
解下列方程，看谁能更快速的说出下列一元二次
.
方程的两根和与两根积
(1) x2–2x+1=0 独立完成，并 通过实际问
(2) x2–x–1=0 交流讨论，完 题列出方程，为
(3) 2x2–3x +1=0 成表格填写 学生尝试已学的
基本方法进行解
题做准备.
选择自己喜欢的方法解一元二次方程，
通过做一
做，一方面复习
一元二次方程的
解法，另一方面
为探究一元二次
观察上述表格，回答下列问题：
观察与思考 方程根与系数的
(1)每个方程的两根之和与它的系数 a、b、c
并说一说 关系打下基础.
有什么关系？
(2)每个方程的两根之积与它的系数 a、b、c
有什么关系？
让学生经历观
察、猜想、验证
思考：对于任何一个一元二次方程，这种关系都
的过程，从特殊
到一般，得出两
成立吗？
根之和与系数之
证一证： 尝试说一说 间的关系、两根
之积与系数之间
的关系.总结：
如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)，当 让学生在探究过
b2–4ac ≥ 0 时，有两个根分别为x，x，那么： 程中进一步熟练
1 2
根与系数的关
系，并学会应用
其解决简单的问
明确例题的做 题，培养学生的
法 应用意识.
例 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之
和、两根之积：
(1) x2 +7x +6 = 0 ;
(2) 2x2–3x–2 = 0 .
解：(1)这里 a = 1，b =7，c =6.
Δ =b2–4ac = 72–4×1×6 = 49–24 = 25 > 0
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是x，x，那么.
1 2
x+x=–7，xx =6.
1 2 1 2
(2)这里 a=2，b=–3，c=–2.
Δ =b2–4ac = (–3)2–4×2×(–2) = 9+16 = 25 >
0，
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是x，x，那么.
1 2
x+x= ，xx =–1.
1 2 1 2
想一想：应用根与系数的关系需注意什么？
明确应用根与系
预设：①方程必须是一元二次方程的一般形式；
数关系时应注意
②判断b2–4ac≥0；
的问题.
③使用x 1 +x 2 时， 注意“－ ”不要漏写. 自由说一说
练一练设x，x 为方程x2-4x+1=0的两个根，则：
1 2
(1) x+x= ， (2)x·x=
1 2 1 2
，
(3)x 2+x 2 = ，
1 2
(4)(x −x ) 2 = .
1 2
归纳：求与方程的根有关的代数式的值时，一般
先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的
形式，再整体代入.
常见的涉及一元二次方程两根的代数式的重要变
形:
(1)x2+ x2 =(x+x)2-2xx
1 2 1 2 1 2
(2)(x-x)2=(x+x)2-4xx
1 2 1 2 1 2
1 1 x +x
(3) + = 1 2
x x x x
1 2 1 2
x x (x +x ) 2−2x x
(4)
1+ 2= 1 2 1 2
x x x x
2 1 1 2
(5)(x+k)(x+k)=xx+k(x+x)+k2
1 2 1 2 1 2
(6)|x-x|=√(x +x ) 2−4x x .
1 2 1 2 1 2
课堂练习 1.设一元二次方程x2－6x＋4＝0的两实根分别为
x和x，则(x＋x)－x· x＝( )
1 2 1 2 1 2
A．－10 B．10 C．2 D．－2 这个环节是巩固
2.已知一元二次方程x2－6x＋c＝0有一个根为2， 本课知识点，通
则另一个根为( ) 过设置一组由浅
A．2 B．3 C．4 D．8 由学生自己独 入深的练习，来
．菱形的两条对角线长分别是方程 － ＋ 立思考完成， 检测学生的掌握
2
＝ 的两实根，则菱形的面积为 ． 并找出做的好 情况，在这部分
3 x 14x 48
．设 ， 是方程 ＋ － ＝ 的两个不相等 的同学谈谈自 的设计中，主要
0 ____
2 己的思路和见 是发挥学生作为
的实数根，则 ＋ ＋ 的值为 ．
4 a b x x 2016 0
2 解。 教学主体的主动
已知方程 的一个根是 ，求它
a a2 b ________
2 性，让学生感受
的另一个根及 的值
5. x5 k+x -6 = 0 2
学习的乐趣和成
如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程
k .
功的喜悦。
的两个实数根，那么这个三角形
6.
2
的第三边的长可能是 吗？为什么？
x -1x7 +66 = 0
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课堂小结 谈一谈这节课有什么收获？
板书 课题：2.5 一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0，b2 –4ac ≥ 0)的根与系数的关系：
