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专题 21.1 一元二次方程与公共根、整数根、
整体代入
【例题精讲】
【例1】已知关于 的方程 ．
（1）试判断该方程根的情况，说明理由；
（2）若该方程与方程 有且只有一个公共根，求 的值．
【例2】关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）选取一个合适的 值，使得方程有两个整数根，并求出这两个整数根．【例3】已知 是方程 的一个根．求：
（1） 的值；
（2）代数式 的值．
【题组训练】
一．公共根（共15小题）
1．方程 和 有一个公共根，则 的值是 ．
2．若方程 和 只有一个公共根，则 的值是多少？
3．若两个方程 和 只有一个公共根，则
A． B． C． D．
4．若关于 的方程： 和 有且只有一个公共根，则
．
5．已知三个关于 的一元二次方程 ， ，
恰有一个公共实数根，则 的值为 ．
6．已知关于 的一元二次方程 与 有一个公共实数根，则
．
7．有三个方程：① ；② ；③ ，它们的公共根是
A．5 B． C．1 D．以上都不是8．已知关于 的方程 ．
（1）试判断该方程根的情况，说明理由；
（2）若该方程与方程 有且只有一个公共根，求 的值．
9．已知关于 的两个一元二次方程：方程①： ；方程②：
．
（1）若方程①有两个相等的实数根，求解方程②；
（2）若方程①和②中只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程没有实数根；
（3）若方程①和②有一个公共根 ．求代数式 的值．10．已知关于 的两个一元二次方程：
方程①： ；
方程②： ．
（1）若方程①有两个相等的实数根，求： 的值
（2）若方程①和②只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程没有实数根．
（3）若方程①和②有一个公共根 ，求代数式 的值．
11．已知三个关于 的一元二次方程 ， ， 恰有
一个公共实数根，则 的值为
A．0 B．1 C．2 D．3
12．是否存在某个实数 ，使得方程 和 有且只有一个公共的
实根？如果存在，求出这个实数 及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由．13．关于 的方程 和 有公共根，则 的值为 ．
14．若方程 和 有公共根，则常数 的值是 ．
15．方程 和 有一个公共根，则 的值是
A．9 B．8 C．7 D．6
二．整数根（共15小题）
16．关于 的一元二次方程 有两个同号非零整数根，关于 的一元二次方程
也有两个同号非零整数根，则下列说法正确的是
A． 是正数， 是负数 B．
C． 是正数， 是负数 D．
17．关于 的方程 有两个不相等的正整数根，则整数 的值为
．
18．已知：关于 的一元二次方程 ．
（1）求方程有实数根的实数 的取值范围；
（2）若方程有两个不相等的正整数根，求出此时 的整数值．19．关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）选取一个合适的 值，使得方程有两个整数根，并求出这两个整数根．
20．已知关于 的一元二次方程 ．
（1）若此方程总有两个相等的实数根，求 的值．（用含 的代数式表示）；
（2）当 时，此方程有两个不相等的整数根，写出一个满足条件的 的值，并求此时
方程的根．21．已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：方程一定有实数根；
（2）若此方程有两个不相等的整数根，求整数 的值．
22．已知关于 的方程 有两个整数根，且 为正整数，则符合条件的所
有正整数的和是
A．6 B．5 C．4 D．3
23．已知关于 的方程 有两个不相等的正整数根，则 的值为
A．2 B．1 C． D．2或1
24．已知二次多项式 ．
（1）当 时，该多项式的值为 ；
（2）若关于 的方程 ，有两个不相等的整数根，则正数 的值为
．25．已知关于 的方程
（1）求证：无论 取何值，此方程总有实数根；
（2）若此方程有两个整数根，求正整数 的值；
（3）若一元二次方程 满足 ，求 的值．
26．求正整数 ，使得关于 的方程 至少有一个正整数根．
27．已知关于 的一元二次方程 有实数根， 为负整数．
（1）求 的值；
（2）如果这个方程有两个整数根，求出它的根．28．已知关于 的方程 ．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有两个不相等的负整数根，求整数 的值．
29．已知关于 的方程 ．
（1）试说明方程根的情况；
（2）求证：当 时，原方程总有一个不变的整数根为1．30．已知：关于 的方程： ．
（1） 取何值时，方程有两个实数根？
（2）是否存在正整数 ，使方程的根均为整数？若存在，请求出它的整数根；若不存在，
请说明理由．
三．整体思想（共12小题）
31．若 是一元二次方程 的一个根，则 的值是 ．
32．若 为方程 的解，则 的值为
A．4 B．2 C． D．
33． 是方程 的根，则式子 的值为
A．2018 B．2019 C．2021 D．2022
34．若 是方程 的一个根，则 的值为
A．2020 B． C．2019 D．
35．若 是 的一个根，则 的值是
A．5 B．6 C．7 D．8
36．若关于 的一元二次方程 有一根为 ，则一元二次方程
必有一根为A．2017 B．2020 C．2019 D．2018
37．已知 是方程 的一个根，则 的值为
A．2014 B．2015 C． D．
38．已知 是方程 的一个根．则 的值为
A．4 B．6 C． D．
39．若 是方程 的解，则 ．
40．已知实数 是元二次方程 的根，求代数式 的值为
．
41．若 是方程 的一个根，则代数式 的值为 ．
42．已知 是方程 的一个根．求：
（1） 的值；
（2）代数式 的值．
