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专题 21.1 解一元二次方程
◆ 思想方法
换元法：是数学中的重要方法之一，它往往和消元的思想联系在一起。换元的实质就是“转化”
的数学思想，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换。换元的基本方法有：整体换元、局部换
元、均值换元、三角换元等。换元法的一般步骤为：设元（或构造元）、换元、求解、回代和检验
等。
◆ 知识点总
结
一、直接开平方法解一元二次方程
根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法.
直接降次解一元二次方程的步骤：①将方程化为 或 的形式；
x2=p(p≥0) (mx+n) 2=p(p≥0,m≠0)
②直接开平方化为两个一元一次方程；③解两个一元一次方程得到原方程的解.
二、配方法解一元二次方程
将一元二次方程配成 的形式，再用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方
(x+m) 2=n
法．
用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为 的形式；②方程两边同除以
ax2+bx+c=0(a≠0)
二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平
方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开
平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
三、公式法解一元二次方程
−b±❑√b2−4ac
当b2−4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)通过配方，其实数根可写为x= 的形
2a
式，这个式子叫做一元二次方程 的求根公式，把各项系数的值直接代入这个公式，
ax2+bx+c=0(a≠0)
这种解
一元二次方程的方法叫做公式法.四、因式分解法概念
当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二
次方程转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
◆ 典例分析
【典例1】阅读材料，并解答问题：数学运算中有一种非常重要的思想—“换元法”．它的本质是将一个
冗长的、前后具有相同形式的式子用一个字母来代替，将其化为我们所熟悉的形式．例如：为解方程
，我们将 看成一个整体，然后设 ，则原方程化为
(x2−1) 2 −5(x2−1)+4=0 x2−1 x2−1= y y2−5 y+4=0
，∴(y−1)(y−4)=0，解得y =1，y =4．当y=1时，x2−1=1，∴x=±❑√2；当y=4时，x2−1=4，
1 2
∴ ．综上所述： ， ， ， ．
x=±❑√5 x =❑√2 x =−❑√2 x =❑√5 x =−❑√5
1 2 3 4
请利用以上方法解下面方程：
（1）x4−2x2−8=0；
（2）
(x2+3) 2 −9(x2+3)+20=0
；
3x−1 8x
（3） − =3．
2x 3x−1
【思路点拨】
（1）设x2= y，则y2−2y−8=0，解得y =4,y =−2，根据y=x2>0，得出x2=4，求解即可；
1 2
（2）设x2+3= y，则y2−9 y+20=0，解得：y =4,y =5，分别求解当y=4时，和当y=5时，方程
1 2
x2+3= y的解即可；
3x−1 4 3x−1
（3）设 = y，则y− =3，求解y =4,y =−1，分别求解当y=4时和当y=1时方程 = y
2x y 1 2 2x
的解即可．
【解题过程】
（1）解：x4−2x2−8=0，
设x2= y，
y2−2y−8=0，
(y−4)(y+2)=0，
y−4=0或y+2=0，解得：y =4,y =−2，
1 2
∵y=x2>0，
∴y=4，
∴x2=4，
解得：x =2,x =−2．
1 2
（2）解：
(x2+3) 2 −9(x2+3)+20=0
，
设x2+3= y，
y2−9 y+20=0，
(y−4)(y−5)=0，
y−4=0或y−5=0，
解得：y =4,y =5，
1 2
当y=4时，x2+3=4，解得：x=±1，
当y=5时，x2+3=5，解得：x=±❑√2，
综上： ．
x =1,x =−1,x =❑√2,x =−❑√2
1 2 3 4
3x−1 8x
（3）解： − =3，
2x 3x−1
3x−1
设 = y，
2x
4
y− =3，
y
y2−3 y−4=0，
(y−4)(y+1)=0，
y−4=0或y+1=0，
y =4,y =−1，
1 2
4
经检验，y =4,y =−1，是方程y− =3的解，
1 2 y
3x−1
当y=4时， =4，
2x
1
解得：x=− ，
5
1 3x−1
经检验，x=− 是方程 =4的解；
5 2x3x−1
当y=1时， =1，
2x
解得：x=1，
3x−1
经检验，x=1是方程 =1的解；
2x
1
综上：x =− ,x =1．
1 5 2
◆ 学霸必刷
1．（2023上·山东菏泽·九年级校考阶段练习）解方程：
（1）2t2−6t+3=0（用配方法）
（2） （用因式分解法）
3(x−5) 2=2(5−x)
（3）2x2−4x−1=0（公式法）
2．（2023上·四川成都·九年级华西中学校联考期中）用适当的方法解方程：
（1）
2(x−1) 2−18=0
（2）9x2−12x−1=0
（3）x2+5x=6
（4）3x(2x−5)=4x−10
3．（2023上·辽宁鞍山·九年级校联考阶段练习）按要求解方程．
（1） （因式分解法）
2(x−3) 2=x2−9
（2）2x2−❑√3x−3=0（公式法）4．（2023上·湖南衡阳·九年级阶段练习）解方程
（1）(x−1)(x+2)=4；
（3）2(x−3)(x+4)=x2−10．
5．（2023上·黑龙江绥化·九年级校考期中）解方程
（1）x2−3x−1=0
（2）x(2x+3)=4x+6
（3）
(x−2) 2−7(x−2)=18
（4）
(2x+3) 2=x2−6x+9
6．（2023上·甘肃天水·九年级校考阶段练习）运用适当的方法解方程
（1） ；
(x−3) 2=25
（2）x2−x−1=0；
（3）x2−6x+8=0；
（4）
(x2−x) 2 −5(x2−x)+6=0
7．（2023上·湖北武汉·九年级校考阶段练习）用适当方法解下列方程
（1）x2+4x−12=0
（2） x2−3x+2=0
（3）x(x−1)=x
（4）x2−3x+1=0（5）
(4x+1) 2=(5x+2) 2
（6） ．
(2x+1) 2+3(2x+1)+2=0
8．（2023下·八年级课时练习）解方程(x−2)(x+1)(x+4)(x+7)=19．
1
{ = y
)
1+x
1
9．（2023下·湖南长沙·八年级校联考竞赛）解方程组： =z ．
1+ y
1
=x
1+z
10．（2023上·全国·九年级专题练习）解下列方程：
（1） ；
2(x2﹣7x) 2﹣21(x2﹣7x)+10＝0
（2）
(2x2+3x) 2 ﹣4(2x2+3x)﹣5=0
．
11．（2024·全国·九年级竞赛）解方程√ x−2 √x2+2 10．
❑ +❑ =
x2+2 x−2 33
12．（2023上·湖北宜昌·八年级校考期末）解方程x2+3x− =9．
x2+3x−7
13．（2023下·江苏扬州·八年级校考阶段练习）解方程：
x−2 16 x+2
（1） − = ．
x+2 x2−4 x−2
（2） ．
(x+4) 2−5(x+4)=0
14．（2023上·上海青浦·八年级校考期末）解方程：
（1）❑√x+2−❑√8−x=2；
2x 1
（2） − =1；
x2−2x−3 x−3
（3）
2x2−3❑√2x2−1+1=0
15．（2023下·安徽六安·八年级校考阶段练习）根据要求解答下列问题
（1）①方程x2 −2x+1=0的解为 ；
②方程x2 −3x+2=0的解为 ；
③方程x2 −4x+3=0的解为 ；
（2）根据以上方程特征及解的特征猜想：方程x2 −9x+8=0的解为 ，并用配方法解方程进行验
证；
（3）根据以上探究得出一般结论：关于x的方程x2 −(1+m)x+m=0的解为 ．16．（2023上·山西运城·九年级统考期中）读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为
两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解．各类方程的解法不尽相同，把未知转
化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如x3+x2−2x=0，可以通过因式分
解把它转化为 ，解方程 和 ，可得方程 的解．
x(x2+x−2)=0 x=0 x2+x−2=0 x3+x2−2x=0
（1）问题：方程x3+x2−2x=0的解是x =0，x = ，x = ；
1 2 3
（2）拓展：用“转化”思想求方程❑√4x+5=x的解．
17．（2023上·江苏扬州·九年级校考期末）阅读下列材料：为解方程x4−x2−6=0可将方程变形为
然后设 ，则 ，原方程化为 ①，解①得 ， ．当
(x2) 2 −x2−6=0 x2= y (x2) 2 = y2 y2−y−6=0 y =−2 y =3
1 2
时， 无意义，舍去；当 时， ，解得 ；∴原方程的解为 ，
y =−2 x2=−2 y =3 x2=3 x=±❑√3 x =❑√3
1 2 1
；
x =−❑√3
2
上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂
的问题转化成简单的问题．
利用以上学习到的方法解下列方程：
（1）
(x2−2x) 2 −5x2+10x+6=0
；
（2） ．
3x2+15x+2❑√x2+5x+1=2
18．（2023上·江苏·九年级统考期中）阅读理解以下内容，解决问题：解方程：x2+|x)−2=0．
解：∵x2=|x|2，
∴方程即为：|x|2+|x)−2=0，
设|x)=t，原方程转化为：t2+t−2=0
解得，t =1，t =−2，
1 2
当t =1时，即|x)=1，∴x =1，x =−1；
1 1 2
当t =−2时，即|x)=−2，不成立．
2
∴综上所述，原方程的解是x =1，x =−1．
1 2
以上解方程的过程中，将其中|x)作为一个整体设成一个新未知数t，从而将原方程化为关于t的一元二次方
程，像这样解决问题的方法叫做“换元法”（“元”即未知数）．
1 2 1
（1）已知方程：x2+ −2x− −1=0，若设x+ =m，则利用“换元法”可将原方程化为关于m的方
x2 x x
程是______；
1 √1
（2）仿照上述方法，解方程： −❑ +1−5=0．
x x
19．（2024·全国·八年级竞赛）阅读下列材料：在解一元二次方程时，可通过因式分解，将一元二次方程
转换为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程得到原方程的两个解．例如：x2−3x+2=0，将方程
左边因式分解得：(x−1)(x−2)=0，则x−1=0或x−2=0，解得x =1,x =2．根据以上材料，解答下列
1 2
问题：
（1）解方程：x2−4x+3=0；
（2）解方程：(x2−6) 2 x2−6 ．
+4⋅ −5=0
x x
20．（2023上·甘肃天水·九年级校联考阶段练习）阅读下列材料：方程：x4−6x2+5=0是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2= y，那么x4= y2，于是原方程可变为y2−6 y+5=0，
解这个方程得：y =1，y =5．
1 2
当y=1时，x2=1，∴x=±1；当y=5时，x2=5，∴x=±❑√5
所以原方程有四个根： ， ， ， ．
x =1 x =−1 x =❑√5 x =−❑√5
1 2 3 4
在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．
（1）利用换元法解方程
(x2−x) 2 −4(x2−x)−12=0
得到方程的解为______．
（2）若 ，求 的值．
(x2+ y2+1)(x2+ y2+3)=8 x2+ y2
（3）利用换元法解方程：x2−4 2x ．
+ =2
2x x2−4
