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专题 21.1 解一元二次方程
◆ 思想方法
换元法：是数学中的重要方法之一，它往往和消元的思想联系在一起。换元的实质就是“转化”
的数学思想，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换。换元的基本方法有：整体换元、局部换
元、均值换元、三角换元等。换元法的一般步骤为：设元（或构造元）、换元、求解、回代和检验
等。
◆ 知识点总
结
一、直接开平方法解一元二次方程
根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法.
直接降次解一元二次方程的步骤：①将方程化为x2=p(p≥0)或(mx+n) 2=p(p≥0,m≠0)的形式；
②直接开平方化为两个一元一次方程；③解两个一元一次方程得到原方程的解.
二、配方法解一元二次方程
将一元二次方程配成(x+m) 2=n的形式，再用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方
法．
用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式；②方程两边同除以
二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平
方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开
平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
三、公式法解一元二次方程
−b±❑√b2−4ac
当b2−4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)通过配方，其实数根可写为x= 的形
2a
式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式，把各项系数的值直接代入这个公式，
这种解
一元二次方程的方法叫做公式法.四、因式分解法概念
当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二
次方程转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
◆ 典例分析
【典例1】阅读材料，并解答问题：数学运算中有一种非常重要的思想—“换元法”．它的本质是将一个
冗长的、前后具有相同形式的式子用一个字母来代替，将其化为我们所熟悉的形式．例如：为解方程
(x2−1) 2 −5(x2−1)+4=0，我们将x2−1看成一个整体，然后设x2−1= y，则原方程化为y2−5 y+4=0
，∴(y−1)(y−4)=0，解得y =1，y =4．当y=1时，x2−1=1，∴x=±❑√2；当y=4时，x2−1=4，
1 2
∴x=±❑√5．综上所述：x =❑√2，x =−❑√2，x =❑√5，x =−❑√5．
1 2 3 4
请利用以上方法解下面方程：
（1）x4−2x2−8=0；
（2）(x2+3) 2 −9(x2+3)+20=0；
3x−1 8x
（3） − =3．
2x 3x−1
【思路点拨】
（1）设x2= y，则y2−2y−8=0，解得y =4,y =−2，根据y=x2>0，得出x2=4，求解即可；
1 2
（2）设x2+3= y，则y2−9 y+20=0，解得：y =4,y =5，分别求解当y=4时，和当y=5时，方程
1 2
x2+3= y的解即可；
3x−1 4 3x−1
（3）设 = y，则y− =3，求解y =4,y =−1，分别求解当y=4时和当y=1时方程 = y
2x y 1 2 2x
的解即可．
【解题过程】
（1）解：x4−2x2−8=0，
设x2= y，
y2−2y−8=0，
(y−4)(y+2)=0，
y−4=0或y+2=0，解得：y =4,y =−2，
1 2
∵y=x2>0，
∴y=4，
∴x2=4，
解得：x =2,x =−2．
1 2
（2）解：(x2+3) 2 −9(x2+3)+20=0，
设x2+3= y，
y2−9 y+20=0，
(y−4)(y−5)=0，
y−4=0或y−5=0，
解得：y =4,y =5，
1 2
当y=4时，x2+3=4，解得：x=±1，
当y=5时，x2+3=5，解得：x=±❑√2，
综上：x =1,x =−1,x =❑√2,x =−❑√2．
1 2 3 4
3x−1 8x
（3）解： − =3，
2x 3x−1
3x−1
设 = y，
2x
4
y− =3，
y
y2−3 y−4=0，
(y−4)(y+1)=0，
y−4=0或y+1=0，
y =4,y =−1，
1 2
4
经检验，y =4,y =−1，是方程y− =3的解，
1 2 y
3x−1
当y=4时， =4，
2x
1
解得：x=− ，
5
1 3x−1
经检验，x=− 是方程 =4的解；
5 2x3x−1
当y=1时， =1，
2x
解得：x=1，
3x−1
经检验，x=1是方程 =1的解；
2x
1
综上：x =− ,x =1．
1 5 2
◆ 学霸必刷
1．（2023上·山东菏泽·九年级校考阶段练习）解方程：
（1）2t2−6t+3=0（用配方法）
（2）3(x−5) 2=2(5−x)（用因式分解法）
（3）2x2−4x−1=0（公式法）
【思路点拨】
本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题关键．
（1）利用配方法解一元二次方程即可得；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可得；
（3）利用公式法解一元二次方程即可得．
【解题过程】
（1）解：2t2−6t+3=0，
2t2−6t=−3，
3
t2−3t=−
，
2
t2−3t+ 9 =− 3 + 9 ，即 ( t− 3) 2 = 3 ，
4 2 4 2 4
3 ❑√3
t− =± ，
2 2
3 ❑√3
t= ± ，
2 2
3+❑√3 3−❑√3
t = ,t = ．
1 2 2 2（2）解：3(x−5) 2=2(5−x)，
3(x−5) 2+2(x−5)=0，
(x−5)[3(x−5)+2)=0，即(x−5)(3x−13)=0，
x−5=0或3x−13=0，
13
x =5,x = ．
1 2 3
（3）解：方程2x2−4x−1=0中的a=2,b=−4,c=−1，
所以方程根的判别式为Δ=b2−4ac=24>0，
−(−4)±❑√24 2±❑√6
所以方程的解为x= = ，
2×2 2
2+❑√6 2−❑√6
即x = ,x = ．
1 2 2 2
2．（2023上·四川成都·九年级华西中学校联考期中）用适当的方法解方程：
（1）2(x−1) 2−18=0
（2）9x2−12x−1=0
（3）x2+5x=6
（4）3x(2x−5)=4x−10
【思路点拨】
本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤．
（1）用直接开平方法求解即可；
（2）用公式法求解即可；
（3）用因式分解法求解即可；
（4）用因式分解法求解即可．
【解题过程】
（1）解：2(x−1) 2−18=0，
2(x−1) 2=18，
(x−1) 2=9，x−1=±3，
x =4,x =−2；
1 2
（2）解：9x2−12x−1=0，
a=9,b=−12,c=−1，
∴Δ=b2−4ac=(−12) 2−4×9×(−1)=180>0，
−b±❑√b2−4ac 12±6❑√5
∴x= = ，
2a 18
2+❑√5 2−❑√5
解得：x = ,x = ；
1 3 2 3
（3）解：x2+5x=6，
x2+5x−6=0，
(x−1)(x+6)=0，
x−1=0,x+6=0，
x =1,x =−6；
1 2
（4）解：3x(2x−5)=4x−10，
3x(2x−5)=2(2x−5)，
3x(2x−5)−2(2x−5)=0，
(3x−2)(2x−5)=0，
3x−2=0,2x−5=0，
2 5
x = ,x = ．
1 3 2 2
3．（2023上·辽宁鞍山·九年级校联考阶段练习）按要求解方程．
（1）2(x−3) 2=x2−9（因式分解法）
（2）2x2−❑√3x−3=0（公式法）
【思路点拨】
本题主要考查解一元二次方程的方法，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）利用平方差公式先因式分解，移项，之后提取公因式(x−3)，利用因式分解法求解即可求得答案；
（2）利用公式法求解即可求得答案．
【解题过程】
（1）解：2(x−3) 2=x2−92(x−3) 2=(x−3)(x+3)
2(x−3) 2−(x−3)(x+3)=0
(x−3)[2(x−3)−(x+3))=0
(x−3)(x−9)=0
x−3=0或x−9=0
解得x =3或x =9；
1 2
（2）解：2x2−❑√3x−3=0
∵a=2，b=−❑√3，c=−3，
❑√3±❑√(−❑√3) 2 −4×2×(−3) ❑√3±3❑√3
x= =
2×2 4
❑√3−3❑√3 ❑√3 ❑√3+3❑√3
∴x = =− ，x = =❑√3．
1 4 2 2 4
4．（2023上·湖南衡阳·九年级阶段练习）解方程
（1）(x−1)(x+2)=4；
（3）2(x−3)(x+4)=x2−10．
【思路点拨】
本题考查解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解决问题的关键．
（1）方程整理为x2+x−6=0，运用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）方程整理为x2+2x+1=15，利用配方法解一元二次方程即可．
【解题过程】
（1）解：∵(x−1)(x+2)=4，即x2+x−2=4，
∴x2+x−6=0，即(x+3)(x−2)=0，
∴x+3=0或x−2=0，
∴x =−3，x =2；
1 2
（2）解：∵2(x−3)(x+4)=x2−10，即x2+2x+1=15，
∴(x+1) 2=15，
∴x+1=±❑√15，即x=±❑√15−1，
∴x =❑√15−1，x =−❑√15−1．
1 25．（2023上·黑龙江绥化·九年级校考期中）解方程
（1）x2−3x−1=0
（2）x(2x+3)=4x+6
（3）(x−2) 2−7(x−2)=18
（4）(2x+3) 2=x2−6x+9
【思路点拨】
（1）利用公式法解一元二次方程即可得；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可得；
（3）利用换元法和因式分解法解一元二次方程即可得；
（4）利用因式分解法解一元二次方程即可得．
【解题过程】
（1）解：方程x2−3x−1=0中的a=1,b=−3,c=−1，
−(−3)±❑√(−3) 2−4×1×(−1) 3±❑√13
则方程根的判别式为Δ= = ，
2×1 2
3+❑√13 3−❑√13
所以方程的解为x = ，x = ．
1 2 2 2
（2）解：x(2x+3)=4x+6，
x(2x+3)=2(2x+3)，
x(2x+3)−2(2x+3)=0，
(2x+3)(x−2)=0，
2x+3=0或x−2=0，
3
x=− 或x=2，
2
3
所以方程的解为x =− ，x =2．
1 2 2
（3）解：(x−2) 2−7(x−2)=18，
设x−2= y，则y2−7 y=18，
y2−7 y−18=0，
(y+2)(y−9)=0，
y+2=0或y−9=0，y=−2或y=9，
x−2=−2或x−2=9，
x=0或x=11，
所以方程的解为x =0，x =11．
1 2
（4）解：(2x+3) 2=x2−6x+9，
(2x+3) 2=(x−3) 2，
(2x+3) 2−(x−3) 2=0，
(2x+3+x−3)(2x+3−x+3)=0，
3x(x+6)=0，
x=0或x=−6，
所以方程的解为x =0，x =−6．
1 2
6．（2023上·甘肃天水·九年级校考阶段练习）运用适当的方法解方程
（1）(x−3) 2=25；
（2）x2−x−1=0；
（3）x2−6x+8=0；
（4）(x2−x) 2 −5(x2−x)+6=0
【思路点拨】
（1）利用直接开平方法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可；
（3）利用配方法解方程即可；
（4）利用换元法解方程即可；
【解题过程】
（1）解：(x−3) 2=25
x−3=5或x−3=−5，
解得：x =8，x =−2；
1 2
（2）解：x2−x−1=0
a=1，b=−1，c=−1，b2−4ac=(−1) 2−4×1×(−1)=5>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
−b±❑√b2−4ac −(−1)±❑√5 1±❑√5
∴x= = = ，
2a 2×1 2
1+❑√5 1−❑√5
解得：x = ，x = ；
1 2 2 2
（3）x2−6x+8=0
x2−6x=−8
x2−6x+9=−8+9
(x−3) 2=1
x−3=1或x−3=−1，
解得：x =4，x =2；
1 2
（4）(x2−x) 2 −5(x2−x)+6=0
解：设y=x2−x，则原方程为：y2−5 y+6=0，
(y−2)(y−3)=0,
解得y =2，y =3，
1 2
当y=2时，x2−x=2，解得：x =−1，x =2；
1 2
1+❑√13 1−❑√13
当y=3时，x2−x=3，解得：x = ，x = ；
3 2 4 2
1+❑√13 1−❑√13
∴x =−1，x =2，x = ，x = ．
1 2 3 2 4 2
7．（2023上·湖北武汉·九年级校考阶段练习）用适当方法解下列方程
（1）x2+4x−12=0
（2） x2−3x+2=0
（3）x(x−1)=x
（4）x2−3x+1=0
（5）(4x+1) 2=(5x+2) 2
（6）(2x+1) 2+3(2x+1)+2=0．
【思路点拨】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可；
（3）先移项，然后提取公因式x，再利用因式分解法求解即可；
（4）利用公式法求解即可；
（5）先移项，然后利用平方差公式进行因式分解求解即可；
（6）令2x+1=t，则原方程可化为t2+3t+2=0，求出t的值，进而可得出x的值．
【解题过程】
（1）x2+4x−12=0
(x−2)(x+6)=0
x−2=0或x+6=0
x =2，x =−6；
1 2
（2）x2−3x+2=0
(x−2)(x−1)=0
x−2=0或x−1=0
x =2，x =1；
1 2
（3）x(x−1)=x
x(x−1)−x=0
x(x−2)=0
x=0或x−2=0
x =0， x =2；
1 2
（4）x2−3x+1=0
∵a=1，b=−3，c=1，
∴Δ=(−3) 2−4×1×1=5>0，
3±❑√5
∴x= ，
2
3+❑√5 3−❑√5
∴x = ，x = ；
1 2 2 2
（5）(4x+1) 2=(5x+2) 2
(4x+1) 2−(5x+2) 2=0
(4x+1+5x+2)(4x+1−5x−2)=0(9x+3)(−x−1)=0
−3(3x+1)(x+1)=0
3x+1=0或x+1=0
1
x =− ，x =−1；
1 3 2
（6）(2x+1) 2+3(2x+1)+2=0
令2x+1=t，则原方程可化为t2+3t+2=0
(t+1)(t+2)=0
t+1=0或t+2=0
t =−1，t =−2
1 2
则2x +1=−1，2x +1=−2
1 2
3
解得x =−1，x =− ．
1 2 2
8．（2023下·八年级课时练习）解方程(x−2)(x+1)(x+4)(x+7)=19．
【思路点拨】
把方程左边第一个因式与第四个因式相乘，第二个因式与第三个因式相乘，得
(x2+5x−14)+(x2+5x+4)
(x2+5x−14)(x2+5x+4)=19，然后设y= =x2+5x−5，解得y的值，最
2
后解得x的值．
【解题过程】
解：把方程左边第一个因式与第四个因式相乘，第二个因式与第三个因式相乘，得
（x2+5x-14）（x2+5x+4）=19．
(x2+5x−14)+(x2+5x+4)
设y= =x2+5x−5，①
2
则（y-9）（y+9）=19，
即y2-81=19．
解得y =±10，将y、y 的值代入①式得，
1，2 1 2
x2+5x−5=10或x2+5x−5=−10，
−5+❑√85 −5−❑√85 −5+❑√5 −5−❑√5
解得x = ,x = ,x = ,x = ．
1 2 2 2 3 2 4 21
{ = y
)
1+x
1
9．（2023下·湖南长沙·八年级校联考竞赛）解方程组： =z ．
1+ y
1
=x
1+z
【思路点拨】
利用代入消元法先求出一个未知数的值，再依次求其他未知数的值即可．
【解题过程】
1 1 1+z
解：把 =x代入 = y得：y=
1+z 1+x 2+z
1 1+z
把 =z代入y= 得：
1+ y 2+z
2+ y
y=
2y+3
去分母得：2y2+3 y=2+ y
整理得：y2+ y−1=0
−1±❑√5
解得y=
2
−1+❑√5 1 −1+❑√5 1 −1+❑√5
当y= 时，z= = ，x= =
2 1+ y 2 1+z 2
−1−❑√5 1 −1−❑√5 1 −1−❑√5
当y= 时，z= = ，x= = ，
2 1+ y 2 1+z 2
−1+❑√5 −1−❑√5
{x=
)
{x=
)
2 2
−1+❑√5 −1−❑√5
∴方程组的解为： y= 或 y= ．
2 2
−1+❑√5 −1−❑√5
z= z=
2 2
10．（2023上·全国·九年级专题练习）解下列方程：
（1）2(x2﹣7x) 2﹣21(x2﹣7x)+10＝0；
（2）(2x2+3x) 2 ﹣4(2x2+3x)﹣5=0．
【思路点拨】
（1）利用换元法，先设x2﹣7x＝a，然后根据解一元二次方程的方法，可以得到a的值，然后即可得到该方程的解；
（2）利用换元法，先设2x2+3x＝a，然后根据解一元二次方程的方法，可以得到a的值，然后即可得到
该方程的解
【解题过程】
（1）解：2(x2−7x) 2 −21(x2﹣7x)+10＝0
设x2−7x=a，
则2a2−21a+10=0
(2a−1)(a−10)=0
∴2a−1=0或a−10=0，
解得，a =0.5，a =10，
1 2
∴x2−7x=0.5或x2−7x=10，
∴2x2−14x−1=0或x2−7x−10=0，
7+❑√51 7−❑√51 7+❑√89 7−❑√89
解得，x＝ ，x＝ ，x＝ ，x＝ ；
1 2 2 2 3 2 4 2
（2）解：(2x2+3x) 2 ﹣4(2x2+3x)﹣5=0
设2x2+3x＝a，
则a2−4a−5＝0
(a−5)(a+1)＝0，
∴a−5=0或a+1=0，
解得，a =5，a =﹣1，
1 2
∴2x2+3x＝5或2x2+3x＝﹣1，
∴2x2+3x−5=0或2x2+3x+1=0，
解得，x =−2.5，x =1，x =−0.5，x =−1．
1 2 3 4
√ x−2 √x2+2 10
11．（2024·全国·九年级竞赛）解方程❑ +❑ = ．
x2+2 x−2 3
【思路点拨】
本题考查了解含有二次根式的方程即无理方程；运用换元法解方程是本题的最大特点；根据方程的特点，
√ x−2
令y=❑ ，转化为解分式方程，求得y的值，最后即可求解．
x2+2【解题过程】
√ x−2 √x2+2 1
解：令y=❑ ，则y≥0，❑ = ，
x2+2 x−2 y
1 10
原方程化为：y+ = ，
y 3
整理得：3 y2−10 y+3=0，
1
解得：y = ，y =3；
1 3 2
1 1 10
经检验得，y = ，y =3是方程y+ = 的解；
1 3 2 y 3
1 √ x−2 1
当y= 时，即❑ = ，
3 x2+2 3
平方并整理得：x2−9x+10=0，
解得：x =4，x =5；
1 2
√ x−2 1
显然两个解均满足方程❑ = ；
x2+2 3
√ x−2
当y=3时，即❑ =3，
x2+2
平方并整理得：9x2−x+20=0，
由于Δ=(−1) 2−4×9×20<0，
∴一元二次方程无解，
√ x−2
因而❑ =3也无解；
x2+2
综上，原方程的解为：x =4，x =5.
1 2
3
12．（2023上·湖北宜昌·八年级校考期末）解方程x2+3x− =9．
x2+3x−7
【思路点拨】
3 3
将x2+3x− =9化为x2+3x−7− −2=0，设a=x2+3x−7，则原方程可化为
x2+3x−7 x2+3x−73
a− −2=0，解得a =3，a =−1，即：x2+3x−7=3或x2+3x−7=−1，分别求解即可得到结果．
a 1 2
【解题过程】
3
解：∵x2+3x− =9，
x2+3x−7
3
∴x2+3x−9− =0
x2+3x−7
3
∴x2+3x−7− −2=0
x2+3x−7
3
设a=x2+3x−7，则原方程可化为a− −2=0，
a
化简得：a2−2a−3=0
∴(a−3)(a+1)=0
∴a =3，a =−1，
1 2
即：x2+3x−7=3或x2+3x−7=−1
−3+❑√33 −3−❑√33
解之得：x =2，x =−5，或x = ，x = ，
1 2 3 2 4 2
−3+❑√33 −3−❑√33
经检验，x =2，x =−5，x = ，x = 都是原方程得解，
1 2 3 2 4 2
−3+❑√33 −3−❑√33
则原方程得解为：x =2，x =−5，x = ，x = ．
1 2 3 2 4 2
13．（2023下·江苏扬州·八年级校考阶段练习）解方程：
x−2 16 x+2
（1） − = ．
x+2 x2−4 x−2
（2）(x+4) 2−5(x+4)=0．
【思路点拨】
本题主要考查了解分式方程，解一元二次方程：
（1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【解题过程】
x−2 16 x+2
（1）解： − =
x+2 x2−4 x−2
去分母得：(x−2) 2−16=(x+2) 2，去括号得：x2−4x+4−16=x2+4x+4，
移项得：x2−4x−x2−4x=4+16−4，
合并同类项得：−8x=16，
系数化为1得：x=−2，
检验，当x=−2时，x+2=0，
∴x=−2是原方程的增根，
∴原方程无解；
（2）解：(x+4) 2−5(x+4)=0
(x+4)(x+4−5)=0
x+4=0或x+4−5=0
解得x =−4，x =1．
1 2
14．（2023上·上海青浦·八年级校考期末）解方程：
（1）❑√x+2−❑√8−x=2；
2x 1
（2） − =1；
x2−2x−3 x−3
（3）2x2−3❑√2x2−1+1=0
【思路点拨】
（1）移项后两边平方得出x+2=4+4❑√8−x+8−x，求出x−5=2❑√8−x，再方程两边平方得出
x2−10x+25=4(8−x)，求出x，再进行检验即可；
（2）观察可得最简公分母是(x−3)(x+1)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求
解；
（3）令t=❑√2x2−1，则2x2−1−3❑√2x2−1+2=0，代入原方程，得t2−3t+2=0，所以t =2，t =1，
1 2
然后分两种情况分别解方程即可．
【解题过程】
（1）❑√x+2−❑√8−x=2
解：移项得，❑√x+2=2+❑√8−x，
两边平方得，x+2=4+4❑√8−x+8−x，
合并同类项得，2x−10=4❑√8−x，
∴x−5=2❑√8−x，两边平方得，x2−10x+25=4(8−x)，
整理得，x2−6x−7=0，
∴(x+1)(x−7)=0，
解得：x =−1，x =7，
1 2
经检验，x =−1，不是原方程的解，
1
∴原方程的解为：x=7．
2x 1
（2） − =1
x2−2x−3 x−3
解：方程两边同时乘以(x−3)(x+1)得， 2x−(x+1)=x2−2x−3
整理得，x2−3x−2=0，
3±❑√32−4×1×(−2) 3±❑√17
解得，x= = ，
2 2
3+❑√17 3−❑√17
∴x = ，x = ，
1 2 2 2
3+❑√17 3−❑√17
经检验，x = ，x = 时，(x−3)(x+1)≠0，
1 2 2 2
3+❑√17 3−❑√17
∴原方程的根为：x = ，x = ．
1 2 2 2
（3）2x2−3❑√2x2−1+1=0
解：2x2−1−3❑√2x2−1+2=0
令t=❑√2x2−1，代入原方程得，t2−3t+2=0，
∴(t−2)(t−1)=0，
解得：t =2，t =1，
1 2
当t =2时，❑√2x2−1=2，即： 2x2−1=4，
1
5 ❑√10 ❑√10
∴x2= ，解得：x =− ，x = ，
2 1 2 2 2
当t =1时，❑√2x2−1=1，即： 2x2−1=1，
2
∴x2=1，解得：x =−1，x =1，
3 4
经检验x ，x ，x ，x 都为原方程的解
1 2 3 4❑√10 ❑√10
∴原方程的解为：x =− ，x = ，x =−1，x =1．
1 2 2 2 3 4
15．（2023下·安徽六安·八年级校考阶段练习）根据要求解答下列问题
（1）①方程x2 −2x+1=0的解为 ；
②方程x2 −3x+2=0的解为 ；
③方程x2 −4x+3=0的解为 ；
（2）根据以上方程特征及解的特征猜想：方程x2 −9x+8=0的解为 ，并用配方法解方程进行验
证；
（3）根据以上探究得出一般结论：关于x的方程x2 −(1+m)x+m=0的解为 ．
【思路点拨】
（1）利用因式分解法解各方程即可；
（2）利用配方法解方程x2 −9x+8=0可判断猜想结论的正确；
（3）根据前面发现的规律即可完成此问．
【解题过程】
（1）解：①x2 −2x+1=0，
（x−1）2=0，
解得x =x =1，
1 2
即方程x2 −2x+1=0的解为x =x =1；
1 2
②x2 −3x+2=0，
（x−1）（ x−2）=0，
解得x ＝1，x ＝2，
1 2
即方程x2 −3x+2=0的解为x ＝1，x ＝2；
1 2
③x2 −4x+3=0，
（x−1）（ x−3）=0，
解得x ＝1，x ＝3，
1 2
即方程x2 −4x+3=0的解为x ＝1，x ＝3，
1 2
故答案为：①x ＝x ＝1； ②x ＝1，x ＝2； ③x ＝1，x ＝3；
1 2 1 2 1 2
9 2 9 2
（2）解：x2 −9x+( ) =−8+( )
，
2 2
9 49
（x− ）2＝ ，
2 4
9 7
x− =± ，
2 2∴x ＝1，x ＝8；
1 2
故答案为：x ＝1，x ＝8；
1 2
（3）解：x2 −(1+m)x+m=0，
（x−1）（ x−m）=0，
x =1，x =m．
1 2
故答案为：x =1，x =m．
1 2
16．（2023上·山西运城·九年级统考期中）读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为
两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解．各类方程的解法不尽相同，把未知转
化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如x3+x2−2x=0，可以通过因式分
解把它转化为x(x2+x−2)=0，解方程x=0和x2+x−2=0，可得方程x3+x2−2x=0的解．
（1）问题：方程x3+x2−2x=0的解是x =0，x = ，x = ；
1 2 3
（2）拓展：用“转化”思想求方程❑√4x+5=x的解．
【思路点拨】
本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键．
（1）利用因式分解法解方程x2+x−2=0即可得；
（2）方程两边平方可得4x+5=x2，利用因式分解法可得方程的解，再代入检验即可得．
【解题过程】
（1）解：由题意可知，解方程x=0和x2+x−2=0，可得方程x3+x2−2x=0的解，
x2+x−2=0，
(x+2)(x−1)=0，
x+2=0或x−1=0，
x=−2或x=1，
即x =−2,x =1，
2 3
故答案为：−2，1．
（2）解：❑√4x+5=x，
方程两边平方，得4x+5=x2，即x2−4x−5=0，
(x−5)(x+1)=0，
x−5=0或x+1=0，
x=5或x=−1，经检验，当x=5时，左边=❑√4×5+5=5=右边，则x=5是原方程的解，
当x=−1时，左边=❑√4×(−1)+5=1≠右边，则x=−1不是原方程的解，
所以方程的解为x=5．
17．（2023上·江苏扬州·九年级校考期末）阅读下列材料：为解方程x4−x2−6=0可将方程变形为
(x2) 2 −x2−6=0然后设x2= y，则(x2) 2 = y2，原方程化为y2−y−6=0①，解①得y =−2，y =3．当
1 2
y =−2时，x2=−2无意义，舍去；当y =3时，x2=3，解得x=±❑√3；∴原方程的解为x =❑√3，
1 2 1
x =−❑√3；
2
上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂
的问题转化成简单的问题．
利用以上学习到的方法解下列方程：
（1）(x2−2x) 2 −5x2+10x+6=0；
（2）3x2+15x+2❑√x2+5x+1=2．
【思路点拨】
（1）根据阅读材料利用换元法降次，令y=x2−2x，即原方程=y2−5 y+6=0，求解即可．
（2）同理，令❑√x2+5x+1= y，即原方程=3 y2+2y−5=0，求解即可．
【解题过程】
（1）设y=x2−2x，
得：y2−5 y+6=0，
解得：y =2，y =3．
1 2
当y =2时，x2−2x=2，解得：x=1±❑√3，
1
当y =3时，x2−2x=3，解得：x=3，−1．
2
∴原方程的解为x =1+❑√3，x =1−❑√3，x =3，x =−1．
1 2 3 4
（2）设❑√x2+5x+1= y，则方程可变成3 y2+2y−5=0，
∴(3 y+5)(y−1)=0，5
y =− ，y =1．
1 3 2
5 5
当y =− 时， ❑√x2+5x+1=− ，所以无解．
1 3 3
当y =1时，❑√x2+5x+1=1，
2
∴x2+5x=0，
∴x =0，x =−5．
1 2
经检验x =0，x =−5是原方程的解．
1 2
18．（2023上·江苏·九年级统考期中）阅读理解以下内容，解决问题：
解方程：x2+|x)−2=0．
解：∵x2=|x|2，
∴方程即为：|x|2+|x)−2=0，
设|x)=t，原方程转化为：t2+t−2=0
解得，t =1，t =−2，
1 2
当t =1时，即|x)=1，∴x =1，x =−1；
1 1 2
当t =−2时，即|x)=−2，不成立．
2
∴综上所述，原方程的解是x =1，x =−1．
1 2
以上解方程的过程中，将其中|x)作为一个整体设成一个新未知数t，从而将原方程化为关于t的一元二次方
程，像这样解决问题的方法叫做“换元法”（“元”即未知数）．
1 2 1
（1）已知方程：x2+ −2x− −1=0，若设x+ =m，则利用“换元法”可将原方程化为关于m的方
x2 x x
程是______；
1 √1
（2）仿照上述方法，解方程： −❑ +1−5=0．
x x
【思路点拨】
1 1
（1）根据完全平方公式由x+ =m，得x2+ =m2−2，再变形原方程便可；
x x2
（2）设❑
√1
+1=m，则
1
=m2−1，得m2−m−6=0，再解一元二次方程，最后代入所设代数式解方程便
x x
可．
【解题过程】
1
（1）设x+ =m，
x1 1 2
则x2+ =(x+ ) −2=m2−2，
x2 x
1 2
∴x2+ −2x− −1=0可化为：m2−2−2m−1=0，
x2 x
即m2−2m−3=0，
故答案为：m2−2m−3=0；
（2）设❑
√1
+1=m，则
1
=m2−1，
x x
原方程可化为：m2−1−m−5=0，
整理得m2−m−6=0，
(m−3)(m+2)=0，
m−3=0或m+2=0，
∴m=3或m=−2，
√1
当m=3时，❑ +1=3，
x
1
解得x= ，
8
√1
当m=−2时，❑ +1=−2(无解)，
x
1
检验，当x= 时，左边=8−3−5=0=右边，
8
1
∴x= 是原方程的解，
8
1
故原方程的解为：x= ．
8
19．（2024·全国·八年级竞赛）阅读下列材料：在解一元二次方程时，可通过因式分解，将一元二次方程
转换为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程得到原方程的两个解．例如：x2−3x+2=0，将方程
左边因式分解得：(x−1)(x−2)=0，则x−1=0或x−2=0，解得x =1,x =2．根据以上材料，解答下列
1 2
问题：
（1）解方程：x2−4x+3=0；
(x2−6) 2 x2−6
（2）解方程： +4⋅ −5=0．
x x
【思路点拨】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
x2−6
（2）令t= ，原方程化为：t2+4t−5=0，利用因式分解法解方程得到t =1,t =−5，再解两个分式
x 1 2
方程并检验即可得到答案．
此题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法和分式方程的解法是解题的关键．
【解题过程】
（1）解：x2−4x+3=0
原方程化为：(x−1)(x−3)=0，
则x−1=0或x−3=0，
解得x =1,x =3．
1 2
(x2−6) 2 x2−6
（2） +4⋅ −5=0
x x
x2−6
令t= ，原方程化为：t2+4t−5=0，
x
即(t−1)(t+5)=0，
则t−1=0,t+5=0，
解得t =1,t =−5，
1 2
x2−6
① =1，整理得x2−x−6=0，
x
即(x+2)(x−3)=0，
则x+2=0,x−3=0，
解得x =−2,x =3．
1 2
x2−6
② =−5，整理得x2+5x−6=0，
x
即(x−1)(x+6)=0，
则x−1=0,x+6=0，
解得x =1,x =−6．
3 4
综上，x =−2,x =3,x =1,x =−6．
1 2 3 4
20．（2023上·甘肃天水·九年级校联考阶段练习）阅读下列材料：方程：x4−6x2+5=0是一个一元四次
方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2= y，那么x4= y2，于是原方程可变为y2−6 y+5=0，
解这个方程得：y =1，y =5．
1 2当y=1时，x2=1，∴x=±1；当y=5时，x2=5，∴x=±❑√5
所以原方程有四个根：x =1，x =−1，x =❑√5，x =−❑√5．
1 2 3 4
在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．
（1）利用换元法解方程(x2−x) 2 −4(x2−x)−12=0得到方程的解为______．
（2）若(x2+ y2+1)(x2+ y2+3)=8，求x2+ y2的值．
x2−4 2x
（3）利用换元法解方程： + =2．
2x x2−4
【思路点拨】
（1）设x2−x= y，代入得到y2−4 y−12=0，解得y =−2，y =6，当y =−2时，x2−x+2=0，得到
1 2 1
Δ=−7<0，此方程无解；当y =6时，x2−x=6，得到x =−2，x =3；
2 1 2
（2）设x2+ y2=m，代入得到(m+1)(m+3)=8． 解得m =−5，m =1，根据x2+ y2≥0，得到x2+ y2=1
1 2
；
2x x2−4 1 1
（3）设 = y，则 = ，代入得到 + y−2=0，得到(y−1) 2=0，解得y = y =1，检验后得到
x2−4 2x y y 1 2
2x
=1，得到x2−2x−4=0，得到x =1+❑√5，x =1−❑√5，检验后即得．
x2−4 1 2
【解题过程】
（1）设x2−x= y，则(x2−x) 2 = y2，
于是原方程可变为y2−4 y−12=0，
解这个方程得：y =−2，y =6，
1 2
当y =−2时，x2−x=−2，
1
移项得：x2−x+2=0，
∵Δ=−7<0，
∴此方程无解，
当y =6时，x2−x=6，
2
解得x =−2，x =3；
1 2
故答案为：x =−2，x =3；
1 2
（2）设x2+ y2=m，则该方程变为(m+1)(m+3)=8．解得：m =−5，m =1．
1 2
∵x2+ y2≥0
∴m=1，即x2+ y2=1
2x x2−4 1
（3）设 = y，则 = ，
x2−4 2x y
1
原方程变形为： + y−2=0，
y
去分母，得y2−2y+1=0，
即(y−1) 2=0
解得，y = y =1．
1 2
经检验，y=1是分式方程的根．
2x
∴
=1
x2−4
即x2−2x−4=0
解得：x =1+❑√5，x =1−❑√5．
1 2
经检验，1±❑√5是分式方程的根．
∴原分式方程的解为：x =1+❑√5，x =1−❑√5．
1 2
