文档内容
专题 21.1 二次根式十六大必考点
【人教版】
【考点1 二次根式的概念】.....................................................................................................................................1
【考点2 二次根式有意义的条件】.........................................................................................................................2
【考点3 利用二次根式的性质化简】.....................................................................................................................2
【考点4 同类二次根式的概念】.............................................................................................................................2
【考点5 最简二次根式】.......................................................................................................................................3
【考点6 比较二次根式的大小】...........................................................................................................................3
【考点7 求二次根式中的参数值】.......................................................................................................................4
【考点8 化简并估算二次根式的值】...................................................................................................................4
【考点9 二次根式中的规律探究】.......................................................................................................................4
【考点10 复合二次根式的化简】...........................................................................................................................6
【考点11 二次根式的混合运算】...........................................................................................................................7
【考点12 二次根式的化简求值】...........................................................................................................................8
【考点13 二次根式的应用】...................................................................................................................................8
【考点14 二次根式中的新定义问题】...................................................................................................................9
【考点15 利用分母有理化求值】.........................................................................................................................10
【考点16 二次根式中的阅读理解类问题】.........................................................................................................12
【考点1 二次根式的概念】
【例1】（2022·北京·人大附中八年级期末）下列式子中，是二次根式的是( )
A．√2 B．√32 C．√x D．x
【变式1-1】（2022·河北沧州·八年级期中）下列式子一定是二次根式的是 ( )
A． B．－ C． D．
√a2 √a √3 a √a
【变式1-2】（2022·全国·八年级课时练习）若a=5，则下列各式是二次根式的是( )
a−5
(
a−3) 2
A．√3−a B．√5−a C． D．
2 2
【变式1-3】（2022·内蒙古·北京师范大学乌海附属学校八年级期中）a是任意实数，下列各式中：①；② ；③ ；④ ；⑤ ，一定是二次根式的个数是（ ）
√a+2 √(−2a) 4 √a2+3 √a2+6a+9 √a2−3
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点2 二次根式有意义的条件】
【例2】（2022·山东·日照山海天旅游度假区青岛路中学七年级期中）若a，b为实数，且
√a2−1+√1−a2
b= +4，则a+b的值为（ ）
a+7
A．±1 B．4 C．3或5 D．5
【变式2-1】（2022·广东惠州·八年级期末）若式子√x+6在实数范围内有意义，则x的取值范围是（
）
A．x≥－6 B．x≤－6 C．x>－6 D．x＜－6
【变式2-2】（2022·新疆·乌鲁木齐市第三中学八年级期末）下列二次根式一定有意义的是（ ）
A．√2 B．√−2 C．√a D．√−a
【变式2-3】（2022·上海外国语大学附属双语学校七年级期中）若|1999−x|+√x−2006=x，则
x−19992=______．
【考点3 利用二次根式的性质化简】
√1
【例3】（2022·安徽·安庆九一六学校八年级阶段练习）若a＜0，b＞0，则化简2 a2−ab+b2的结果为
4
（ ）
A．a﹣2b B．2a﹣b C．2b﹣a D．b﹣2a
【变式3-1】（2022·河北· 沧州渤海新区京师学校八年级阶段练习）化简下列二次根式（字母表示正数）
(1) ；
2√4a3b2c
(2)
√16a3+32a2
【变式3-2】（2022·云南·会泽县以礼中学校八年级阶段练习）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，
化简： + ．
√a2 √b2+√(a−b) 2−√(a−1) 2
【变式3-3】（2022·安徽·芜湖市第二十九中学八年级期中）化简： ．
√(x−3) 2−(√2−x) 2【考点4 同类二次根式的概念】
【例4】（2022·全国·八年级单元测试）下列二次根式中，化简后可以合并的是 （ ）
√x
A．√a2b与√a B．√xy与
y
C． 与 D． 与
√50 √5 √a+b √a2+b2
【变式4-2】（2022·甘肃·民勤县第六中学八年级期中）若最简二次根式 和 能
3x−10 √2x+ y−5 √x−3 y+11
❑
合并，则 ＝__．
√x2+ y2
【变式4-3】（2022·安徽·安庆九一六学校八年级阶段练习）如果最简二次根式√4a−5与√13−2a是同类
二次根式．
(1)求出a的值；
(2)若a≤x≤2a，化简：
√x2−4x+4+√x2−12x+36
【考点5 最简二次根式】
【例5】（2022春·山东淄博·九年级校考期中）下列各式① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；
√8 √0.3 √30 √x2+ y2 √a2+1
其中一定是最简二次根式的有（ ）．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式5-1】下列各根式是最简二次根式的是（ ）
√ x
A．√56 B． C．√m2+n2 D．√18x
y
【变式5-2】（2022秋·河北邯郸·八年级统考期末）若a−√12a+5与√3b+a是被开方数相同的最简二次根式，
求√ab的值．
【变式5-3】（2022春·浙江杭州·八年级校考期中）我们把形如a√x+b（a，b为有理数，√x为最简二次根
式）的数叫做 型无理数，如3 +1是 型无理数，则 是（ ）
√x √x √x (√2+√10) 2
A．√2型无理数 B．√5型无理数 C．√10型无理数 D．√20型无理数
【考点6 比较二次根式的大小】
【例6】（2022秋·福建福州·八年级校考期末）若 ， ，
a=2019×2021−2019×2020 b=√20222−4×2021，则a，b，c的大小关系是（ ）
c=√20202+20
A．a2+ >5−√2 B．5−√2>2+ >2+√2
2 2
√5 √5
C．2+ >5−√2>2+√2 D．5−√2>2+√2>2+
2 2
【变式6-3】（2022秋·江西萍乡·八年级统考期末）若a=√1003+√997，b=√1001+√999，c=2√1001，
则a，b，c的大小关系用“＜”号排列为 _________．
【考点7 求二次根式中的参数值】
【例7】（2022春·北京·八年级北京八中校考期中）已知n是正整数，√18−2n是整数，则满足条件的所
有n的值为__________．
【变式7-1】（2022秋·四川资阳·九年级校考阶段练习）如果√17+4a是一个正整数，则整数a的最小值是
（ ）
A．-4 B．-2 C．2 D．8
【变式7-2】（2022春·四川凉山·七年级统考期末）已知√12−n是正偶数，则实数n的最大值为（ ）
A．12 B．11 C．8 D．3
【变式7-3】（2022秋·四川达州·八年级校考期中）已知有理数满足5−√3a=2b+2√3−a，则a+b的值
是______.
【考点8 化简并估算二次根式的值】
【例8】（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期末）估计 的值应在（ ）
(√2+√3)×2√2
A．8到9之间 B．9到10之间 C．10到11之间 D．11到12之间
【变式8-1】（2022秋·重庆大渡口·九年级校考期末）估计 的值应在（ ）
(√42+√3)÷√3
A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间【变式8-2】（2022秋·河北邯郸·八年级统考期末）如图，若以√3米为单位长度建立数轴，线段AB=17米，
点A在原点，点B在数轴的正半轴，估计点B位于两个相邻整数之间，这两个整数分别是______．
【变式8-3】（2022春·八年级单元测试）观察下列各式子，并回答下面问题．
第一个：
√12−1
第二个：
√22−2
第三个：
√32−3
第四个： …
√42−4
（1）试写出第n个式子（用含n的表达式表示），这个式子一定是二次根式吗？为什么？
（2）你估计第16个式子的值在哪两个相邻整数之间？试说明理由．
【考点9 二次根式中的规律探究】
1
【例9】（2022秋·河北邯郸·八年级统考期末）观察下列等式：第1个等式：a = =√2−1；第2个
1 1+√2
1 1 1
等式：a = =√3−√2；第3个等式：a = =2−√3；第4个等式：a = =√5−2，
2 √2+√3 3 √3+2 4 2+√5
……，按照上述规律，计算：a +a +a +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+a =（ ）
1 2 3 99
A．3√11−1 B．10−3√11 C．9 D．8
【变式9-1】（2022春·河北石家庄·八年级统考期末）观察下列各式：
√ 1 1 1 1 1
1+ + =1+ − =1
12 22 1 2 2
√ 1 1 1 1 1
1+ + =1+ − =1
22 32 2 3 6
√ 1 1 1 1 1
1+ + =1+ − =1
32 42 3 4 12
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：(1)√ 1 1 =________；
1+ +
42 52
(2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：_____；
√50 1
(3)利用上述规律计算： + （仿照上式写出过程）．
49 64
【变式9-2】（2022秋·辽宁抚顺·八年级校考期末）阅读材料：像 ， （
(√6+√5)(√6−√5)=1 √a×√a=a
a≥0），这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在
进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．解答下列问题：
(1)√7的有理化因式是___________；√7+2的有理化因式是___________；
1 1 1
(2)观察下面的变形规律，请你猜想： =√2−1， =√3−√2， =√4−√3，……，
√2+1 √3+√2 √4+√3
1
= ___________．
√n+1+√n
1 1 1 1
(3)利用上面的方法，请化简： + + +⋯+ =___________．
√2+1 √3+√2 √4+√3 √100+√99
【变式9-3】（2022秋·北京顺义·八年级统考期末）一些数按某种规律排列如下：
第一
1 √2
行
第二
√3 2 √5 √6
行
第三
√7 2√23 √10 √11 2√3
行
第四
√13 √14 √15 4 √17 3√2 √19 2√5
行
……
(1)根据排列的规律，写出第5行从左数第4个数；
(2)写出第n（n是正整数）行，从左数第n+1个数（用含n的代数式表示）．
【考点10 复合二次根式的化简】
【例10】（2022春·内蒙古巴彦淖尔·八年级统考期中）像√4−2√3，√√48−√45…这样的根式叫做复合
二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：＝ ＝ ＝ ＝ ．
√4−2√3 √3−2√3+1 √ (√3) 2 −2×√3×1+12 √ (√3−1) 2 √3−1
再如：
√5+2√6=√3+2√6+2=√ (√3) 2+2√3×√2+(√2) 2 =√ (√3+√2) 2= √3 +√2
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：√12+2√35；
(2)化简：√17−4√15；
(3)若 ，且a，m，n为正整数，求a的值．
a+6√5=(m+√5n) 2
【变式10-1】（2022春·北京海淀·八年级人大附中校考期中）在二次根式的计算和比较大小中，有时候用
“平方法”会取得很好的效果，例如，比较a＝2√3和b＝3√2的大小，我们可以把a和b分别平方，∵a2
＝12，b2＝18，则a2＜b2，∴a＜b．
请利用“平方法”解决下面问题：
(1)比较c＝4√2，d＝2√7大小，c d（填写＞，＜或者＝）．
(2)猜想m＝2√5+√6，n＝2√3+√14之间的大小，并证明．
(3)化简：√4 p−8√p−1+√4 p+8√p−1＝ （直接写出答案）．
【变式10-2】（2022秋·四川成都·八年级校考期中）先阅读下面的解题过程，然后再解答，形如√m±2√n
的化简，我们只要找到两个数a，b，使 ， ，即 ， ，那么便有：
a+b=m ab=n (√a) 2+(√b) 2=m √a⋅√b=√n
√m±2√n=√ (√a±√b) 2=√a±√b(a>b>0) .
例如化简：√7+4√3
解：首先把√7+4√3化为√7+2√12，
这里m=7，n=12，
由于4+3=7，4×3=12，
所以 ，
(√4)
2+(√3) 2=7,√4×√3=√12
所以
√7+4√3=√7+2√12=√ (√4+√3) 2=2+√3
（1）根据上述方法化简：√4+2√3
（2）根据上述方法化简：√13−2√42
（3）根据上述方法化简：√4−√15【变式10-3】（2022春·安徽芜湖·八年级统考期中）阅读理解
“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法：2+√3 (2+√3)(2+√3) ，除此之外，我们也
= =7+4√3
2−√3 (2−√3)(2+√3)
可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于√3+5√5−√3−5√5
设x=√3+5√5−√3−5√5，
易知√3+5√5>√3−5√5
故 x>0 ，由 x2=(√3+5√5−√3−5√5) 2
=3+√5+3−√5−2√(3+5√5)(3−5√5)
=2
解得x=√2，即√3+5√5−√3−5√5=√2．
√3−√2
根据以上方法，化简 +√6−3√3−√6+3√3
√3+√2
【考点11 二次根式的混合运算】
【例11】（2022·浙江·义乌市稠州中学教育集团八年级阶段练习）计算：
√1
(1)√12−6 +√48；
3
(2) ．
(√3+2)(√3−2)+√(1−√3) 2
【变式11-2】（2022·重庆市万盛经济技术开发区溱州中学八年级期中）计算：
1 −1
(1)( ) −√18×(−√2)−|√3−2|．
3
1 √1
(2)(3√18+ √72−4 )÷√32
6 8
【变式11-3】（2022·湖南·宁远县仁和镇中学九年级阶段练习）计算：
√40+√8
(1) −√45；
√2
√ 1 √3
(2)√2×√6+9 − ÷√2；
27 2
√4 √x
(3)7√a+2√a2x−5a −6a ．
a 9【考点12 二次根式的化简求值】
( 1) 2 ( 1)
【例12】（2022·全国·八年级期中）已知a=√3+1，求 a+ −4 a+ +4的值.
a a
【变式12-1】（2022·福建龙岩·八年级阶段练习）先化简，再求值： ，
(√a+√b) 2 −(√a−√b)(√a+√b)
其中a＝3+√2，b＝3−√2．
【变式12-2】（2022·湖北·武汉市六中位育中学八年级阶段练习）先化简，再求值：
√ y √ x 1 1
√25xy+x −4 y − √x y3，其中x= ，y=4．
x y y 3
x+ y
【变式12-3】（2022·全国·八年级课时练习）已知y＝√x−8＋√8−x＋18，求代数式 ﹣
√x−√y
2xy
的值为_____．
x√y−y√x
【考点13 二次根式的应用】
【例13】（2022·山东·费县第二中学八年级期中）如图，在一个长方形中无重叠的放入面积分别为16cm2
和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
(4−2√3)cm2 (8√3−4)cm2 (8√3−12)cm2 8cm2
【变式13-1】（2022·江西省于都中学八年级期中）请阅读材料，并解决实际问题：海伦（约公元50年），
a+b+c
古希腊几何学家，利用三角形的三边求面积：有一个三角形的三条边长分别为a，b，c，记p＝ ，
2
那么这个三角形的面积S＝√p(p−a)(p−b)(p−c)．这个公式称海伦公式．秦九韶（约1202﹣
1261），我国南宋时期的数学家，曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式S＝
√1[ a2+b2−c2 2]．通过公式变形，可以发现它们实质是同一公式，所以海伦公式也称海伦﹣秦
a2b2−(
)
4 2九韶公式．
问题：在△ABC中，AC＝5，AB＝6，BC＝7，用海伦﹣秦九韶公式求△ABC的面积为 _____．
【变式13-2】（2022·江苏·扬州市江都区华君外国语学校八年级阶段练习）（1）用“=”、“>”、“<”
1 √ 1
填空：4+3 2√4×3，1+ 2 1× ，5+5 2√5×5．
6 6
（2）由（1）中各式猜想m+n与2√mn(m≥0，n≥0)的大小关系，并说明理由．
（3）请利用上述结论解决下面问题：
某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图所示，花圃恰好
可以借用一段墙体，为了围成面积为200m2的花圃，所用的篱笆至少是多少米？
【变式13-3】（2022·安徽·潜山市罗汉初级中学八年级阶段练习）某居民小区有一块形状为长方形ABCD
的绿地，长方形绿地的长BC为√162m，宽AB为√128m，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即
图中阴影部分），长方形花坛的长为(√13+1)m，宽为(√13−1)m．
(1)长方形ABCD的周长是多少？
(2)除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通通上要铺上造价为5元/m2的地砖，要铺完整个通道，
则购买地砖需要花费多少元？
【考点14 二次根式中的新定义问题】
1
【例14】（2022·安徽合肥·八年级期中）我们规定用(a,b)表示-对数对，给出如下定义：记m= ，
√a
n=√b（a>0，b>0），将(m,n)与(n,m)称为数对(a,b)的一对“对称数对”，例如：(4,1)的一对“对称
(1 ) ( 1)
数对”为 ,1 与 1, ．
2 2
(1)数对(25,4)的一对“对称数对”是________和________；
(2)若数对 的一对“对称数对”的一个数对是 ，求x的值；
(x,2) (√2,1)(3)若数对 的一对“对称数对”的一个数对是 ，求 的值．
(a,b) (√3,3√3) ab
【变式14-1】（2022·广东广州·八年级期末）已知a，b都是实数，现定义新运算：a∗b=3a−b2，例：
2∗1=3×2−12=5．
(1)求 的值；
2∗(−√2)
(2)若 ， ，求 的值．
m=(√5−√3)(√5+√3) n=3−√5 m∗n
【变式14-2】（2022·山东济宁·八年级期末）定义：若两个二次根式a，b满足a•b＝c，且c是有理数，则
称a与b是关于c的共轭二次根式．
(1)若a与√2是关于2的共轭二次根式，则a＝ ；
(2)若2+√3与2+√3m是关于1的共轭二次根式，求m的值．
【变式14-3】（2022·福建省泰宁县教师进修学校八年级期中）我们规定，若a＋b＝2，则称a与b是关于
1的平衡数．
（1）若3与x是关于1的平衡数，5－√2与y是关于1的平衡数，求x，y的值；
（2）若（m＋√3）×（1－√3）＝－2n＋3（√3－1），判断m＋√3与5n－√3是否是关于1的平衡数，并
说明理由．
【考点15 利用分母有理化求值】
2
【例15】（2022·山东·宗圣中学八年级阶段练习）在进行二次根式的化简时，我们有时会碰上如 这
√3+1
样的式子，其实我们还需要将其进一步化简：
2 2×(√3−1) 2(√3−1) ．以上这种化简的步骤叫做分母有理化．也可以用如下方
= = =√3−1
√3+1 (√3+1)(√3−1) (√3) 2 −12
法化简：
2 3−1 (√3) 2 −12 (√3+1)(√3−1) ．
= = = =√3−1
√3+1 √3+1 √3+1 √3+1
1
(1)请用两种不同的方法化简 ；
√7+√6
1
(2)选择合适的方法化简 （n为正整数）；
√n+√n+1
1 1 1 1 1
(3)求 + + +⋅⋅⋅+ + 的值．
1+√2 √2+√3 √3+√4 √98+√99 √99+√100【变式15-1】（2022·江苏盐城·八年级期末）像(√5+2) (√5−2)=1，√a•√a＝a（a≥0），（√b+1）（
√b﹣1）＝b﹣1（b≥0），两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为
有理化因式．例如：√5与√5，√2+1与√2﹣1，2√3+3√5与2√3﹣3√5等都是互为有理化因式．进行二次
根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题：
3
(1)化简：① = ；
2√3
1
② = ；
√5−√3
1 1 1 1
(2)计算：( + + …+ ）(√2022+1)＝ ；
√2+1 √3+√2 √4+√3 √2022+√2021
(3)已知a=√2022−√2021，b=√2023−√2022，试比较a、b的大小，并说明理由．
【变式15-2】（2022·山东济南·八年级期中）阅读下列材料，然后解答问题：
3 2
在进行二次根式的化简与计算时我们有时会遇到如： ， 这样的式子，其实我们还可以将其进一
√2 √3+1
步化简： 3 3×√2 3√2； 2 2×(√3−1) 2×(√3−1) ．
= = = = =√3−1
√2 √2×√2 2 √3+1 (√3+1)(√3−1) (√3) 2 −12
以上将分母中的根号化去的过程，叫做分母有理化．
1 1
(1)根据上面规律化简： ＝______； ＝______．
√5 √5−1
(2)化简下列各式
√5−1 2
① − ，
2 √5−1
√8−2 2
② − ，
2 √8−2
√13−3 2
③ − ，
2 √13−3
√20−4 2
④ − ．
2 √20−4
(3)用含n（n≥1的整数）的式子写出（2）中第n个式子，并化简．
【变式15-3】（2022·全国·八年级单元测试）阅读下列材料，然后回答问题．
2
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 一样的式子，其实我们还可以将其进一步化
√3+1简： 2 2(√3−1) 2(√3−1) 2(√3−1) 以上这种化简的步骤叫做分母有理
= = = = √3−1
√3+1 (√3+1)(√3−1) (√3) 2 −1 2
化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比
如我们熟悉的下面这个题：已知 ab2，ab 3 ，求 a2 b2 ．我们可以把ab和ab看成是一个整体，
令 xab ， y ab ，则 a 2 b2 (a b)2 2ab x2 2y 4 610．这样，我们不用求出a，b，
就可以得到最后的结果．
1 1 1 1
（1）计算： + + + ...+ ；
√3+1 √5+√3 √7+√5 √2019+√2017
√m+1−√m √m+1+√m
（2）已知 m 是正整数， a ，b 且 2a2 1823ab 2b2 2019 ．求 m．
√m+1+√m √m+1−√m
（3）已知 ，则 的值为
√15+x2−√26−x2=1 √15+x2+√26−x2
【考点16 二次根式中的阅读理解类问题】
【例16】（2022·四川·乐山外国语学校九年级阶段练习）阅读下列短文，回答有关问题：
在实数这章中，遇到过√2、√3;√9;√12;√a；这样的式子，我们把这样的式子叫做二次根式，根号下的
数叫做被开方数．如果一个二次根式的被开方数中有的因数能开的尽方，可以利用
√a √a将这些因数开出来，从而将二次根式化简．当一个二次根式的被开方数中
√a⋅b=√a⋅√b或者 =
b √b
√1
不含开得尽方的因数或者被开方数中不含有分数时，这样的二次根式叫做最简二次根式，例如， 化成
3
√3
最简二次根式是 ，√27化成最简二次根式是3√3．几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数
3
相同，这几个二次根式叫做同类二次根式，如上面的例子就是同类二次根式．
√ 1 √ 1
(1)请判断下列各式中，哪些是同类二次根式？√2;√75;√18; ; ;√3；
50 27
(2)二次根式中的同类二次根式可以像整式中的同类项一样合并，请计算：
√ 1 √ 1
√2+√75−√18− + −√3．
50 27
【变式16-1】（2022·全国·八年级专题练习）阅读理解：设m，n是有理数，且满m+√5n=2−3√5，求nm的值．
解：由题意，移项得：(m−2)+(n+3)√5=0，
∵m，n是有理数
∴m－2，n＋3也是有理数，
又∵√5是无理数，
∴m−2=0,n+3=0，∴m＝2，n＝－3，
∴ ．
nm=(−3) 2=9
问题解决：
设a，b都是有理数，且a2+b√2=16+5√2，求2√a−5b的值．
【变式16-2】（2022·河北·保定市清苑区北王力中学八年级期末）请阅读下列材料：
现有5个边长为1的正方形，排列形式如图1，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割
线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．
小东同学的做法是：设新正方形的边长为x(x>0)；依题意，割补前后图形的面积相等，有x2=5，解得
x=√5，由此可知新正方形的边长等于两个小正方形组成的矩形对角线的长．于是，画出如图2所示的分
制线，拼接出如图3所示的新正方形．
请你参考小东同学的做法，解决如下问题：
现有10个边长为1的正方形，排列形式如图4，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．
(1)请计算出新正方形的边长；
(2)要求：在图4中画出分割线，并在图5的正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画
出拼接成的新正方形．（说明：直接画出图形，不要求写分析过程．）
【变式16-3】（2022·河南商丘·八年级期中）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 ．善于
3+2√2=(1+√2) 2
思考的小明进行了以下探索：
设 （其中 、 、 、 均为整数），
a+b√2=(m+n√2) 2 a b m n则有a+b√2=m2+2n2+2mn√2．
∴a=m2+2n2，b=2mn．
这样小明就找到了一种把类似a+b√2的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当 、 、 、 均为整数时，若 ，用含 、 的式子分别表示 、 ，得：
a b m n a+b√3=(m+n√3) 2 m n a b a=
_________，b=_________；
(2)利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：
；
______+______√3=(______+______√3) 2
(3)若 ，且 、 、 均为正整数，求 的值？
a+4√3=(m+n√3) 2 a m n a
