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专题03 二次方程有整数根
1．已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则：
（1）字母k的取值范围为____________；
（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，那么k的值为____________．
【答案】 2
【解析】
【分析】
（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解
集即可得到k的范围；
（2）找出k范围中的整数解确定出k的值，经检验即可得到满足题意k的值．
【详解】
解：（1）根据题意得：△=4-4（2k-4）=20-8k＞0，
解得：k＜ ，
故答案为：k＜ ；
（2）由k为正整数，得到k=1或2，
利用求根公式表示出方程的解为x=-1± ，
∵方程的解为整数，
∴5-2k为完全平方数，
则k的值为2，
故答案为：2．
【点睛】
此题考查了根的判别式，一元二次方程的解，以及公式法解一元二次方程，弄清题意是解本题的关键．
2．已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k＝1时，设方程的两根分别为x，x，求x2+x2的值；
1 2 1 2
（3）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．【答案】（1） ；（2）8；（3）2
【解析】
【分析】
（1）根据方程有两个不相等的实数根得到 ，求出k的取值范围即可；
（2）把x＝1代入方程，求出 ，进而求出 的值；
（3）首先求出方程的根为 ，且根为整数，则 为完全平方数，结合k的取值范围即可求
出k的值．
【详解】
解：（1）∵一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得 ；
（2）当 时，方程为 ，
解得 ，
则 ．
（3）∵k为正整数，且 ，
∴k＝1或2．
根据一元二次方程根的公式可得方程的根为
又根为整数，
∴ 为完全平方数，
∴ ．
【点睛】
本题考查的是二次函数根与系数的关系，掌握二次函数根与系数的公式是解决本题的关键．
3．已知关于 的一元二次方程⑴说明该方程根的情况．
⑵若 （ 为整数），且方程有两个整数根，求 的值．
【答案】（1）见详解；（2）12
【解析】
【分析】
（1）先计算判别式的值得到△＝4（m－3）2－4（m2－8m＋8），化简后得到△＝8m＋4，再根据8m＋4
的正负性即可判断方程根的情况；
（2）由于4＜m＜24且m为整数，则根据求根公式得到2m＋1为完全平方数时，方程可能有整数根，则
2m＋1＝16或25或36，再根据m为整数可求得m＝12时，方程有两个整数根．
【详解】
（1）解：∵a＝1，b＝－2(m－3)，c＝m2－8m＋8，
∴△＝4（m－3）2－4（m2－8m＋8）
＝8m＋4，
当8m＋4＞0时，m＞ ，此时方程有两个不相等的实数根，
当8m＋4＝0时，m＝ ，此时方程有两个相等的实数根，
当8m＋4＜0时，m＜ ，此时方程没有实数根；
（2）解：∵a＝1，b＝－2(m－3)，c＝m2－8m＋8，△＝8m＋4，
∴
∵方程有两个整数根，
∴2m＋1为完全平方数
∵4＜m＜24，
∴9＜2m＋1＜49，
∴2m＋1＝16或25或36，
∴m＝7.5或12或17.5，
又∵m为整数，
∴m＝12．【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2－4ac：当△＞0，方程有两个不相等
的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
4．已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
求 的取值范围；
若 为正整数，且该方程的根都是整数，求 的值．
【答案】（1）k<3;(2)1.
【解析】
【分析】
（1）根据判别式的意义得到 ，，然后解不等式即可；
（2）由（1）的范围得到k=1或k=2，然后把k=1和2代入原方程，然后解方程确定满足条件的k值．
【详解】
解： 根据题意得 ，
解得 ；
∵ 为正整数，
∴ 或 ，
当 时，原方程为 ，解得 ， ，
当 是，原方程为 ，解得 ， ，
所有 的值为 ．
【点睛】
考查一元二次方程 根的判别式 ，
当 时，方程有两个不相等的实数根.
当 时，方程有两个相等的实数根.当 时，方程没有实数根.
5．已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：方程一定有两个实数根；
（2）若此方程的两根为不相等的整数，求正整数 的值．
【答案】（1）证明见解析；（2） 的值为 ．
【解析】
【分析】
（1）根据根与系数的关系即可解答．
（2）根据因式分解法解方程可得出 ，由此方程的两个根为不相等的整数即可得出 为不等于
1的整数，结合 为整数即可求出 的值．
【详解】
（1）由题意可知：
方程一定有两个实数根．
（2）由题意得 ，解得
方程
或 ．
方程有两个不相等的整数根
正整数 的值为 ．
【点睛】
本题考查了根的判别式，解题关键是熟练运用根的判别式以及因式分解法解一元二次方程．
6．已知关于x的一元二次方程mx2-(m-3)x-3=0(m≠0)．
(1)求证：不论m为何值，这个方程都有两个实数根．
(2)若此方程的两根均为整数，求正整数m的值，
【答案】（1）见解析；（2）1或3
【解析】【分析】
（1）先计算判别式的值得到△ ，再根据非负数的值得到△ ，然后根据判
别式的意义得到方程总有两个实数根；
（2）利用因式分解法解方程得到 ，解得 ， ，这个方程的两根都是整数，分析
为整数确定正整数 的值．
【详解】
解：（1）证明： ，
△
，
而 ，即△ ，
不论 为何值，这个方程都有两个实数根；
（2）解： ，
，
或 ，
， ，
当 为正整数1或3时， 为整数，即方程的两根均为整数．
【点睛】
本题考查了一元二次方程 的根的判别式△ ：当△ ，方程有两个不相等
的实数根；当△ ，方程有两个相等的实数根；当△ ，方程没有实数根．
7．关于x的一元二次方程
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根．
（2）m为何整数时，此方程的两个根都是正整数？（3）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角
形时，求m的值．
【答案】(1)答案见解析；（2）m=2或者m=3；（3）m=
【解析】
【分析】
（1）计算根的判别式 ，证明 ；
（2）求出原方程的两个根，根据m为整数、两个不相等的正整数根得到m的值；
（3）分情况讨论：当AB=BC，或AC=BC时，5是一元二次方程的根，代入即可求出m的值，当AB=AC时
AB、AC的长是这个方程的两个是实数根，由（1）可知方程有两个不相等的实数根，故此种情况不存在．
【详解】
解：（1）∵
∴
=
=4>0
∴方程总有两个不相等的实数根
（2）∵
∴
∴ ，
∵方程的两个根都是正整数，且方程有两个不相等的实数根
∴ 是正整数，且
∴m=2或者m=3
（3）∵△ABC是等腰三角形，BC的长为5
∴当AB=BC，或AC=BC时，5是一元二次方程的根
即∴m=
当AB=AC时
∵AB、AC的长是这个方程的两个是实数根
由（1）可知方程有两个不相等的实数根
∴此种情况不存在
∴m=
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解法，解决（2）的关键是用公式法求出方程的两
个根．掌握公式法解方程是解题的关键．
8．已知关于 的方程 ．
（1）求证：无论 取任何实数时，此方程总有实数根；
（2）若关于 的一元二次方程 两个根均为整数，且 为正整数，求 的值．
【答案】（1）见解析；（2）1
【解析】
【分析】
（1）①当该方程是一元一次方程时，解方程即可；
②当该方程是一元二次方程时，根据已知方程的根的判别式的符号进行判定该方程的根的情况；
（2）先利用求根公式求出两根，x＝﹣3，x＝ ，只要1被k整除，并且有k≥1的整数，即可得到k的
1 2
值．
【详解】
（1）证明：①当k＝0时，方程为x+3＝0，
解得x＝﹣3，
∴此时方程有实数根；
②当k≠0时，
∵a＝k，b＝3k+1，c＝3，
∴ ＝（3k+1）2﹣12k＝（3k﹣1）2，
∵（3k﹣1）2≥0，∴△≥0，
∴此时方程有实数根；
∴综上，无论k取任何实数时，此方程总有实数根；
（2）解：∵a＝k，b＝3k+1，c＝3，
∴ ，
∴x＝﹣3，x＝ ．
1 2
∵关于x的一元二次方程kx2+（3k+1）x+3＝0的两个根均为整数，且k为正整数
∴k＝1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式Δ＝b2﹣4ac．当Δ＞0，方程有
两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．同时考查了解一
元二次方程的方法和整数的整除性质．
9．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2=0．
（1）求证：无论实数m取何值，方程总有两个实数根；
（2）若方程两个根均为正整数，求负整数m的值．
【答案】(1)见解析；(2) m=-1.
【解析】
【分析】
（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=1>0，由此即可证出：无论实数m取什么值，方程总
有两个不相等的实数根；
（2）利用分解因式法解原方程，可得x =m，x =m+1，在根据已知条件即可得出结论．
1 2
【详解】
（1）∵△=（m+3）2﹣4（m+2）
=（m+1）2
∴无论m取何值，（m+1）2恒大于等于0
∴原方程总有两个实数根
（2）原方程可化为:(x-1)(x-m-2)=0
∴x =1, x =m+2
1 2
∵方程两个根均为正整数,且m为负整数
∴m=-1.【点睛】
本题考查了一元二次方程与根的判别式，解题的关键是熟练的掌握根的判别式与根据因式分解法解一元二
次方程.
10．关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值．
【答案】(1) m＜5；(2) m的值为1，4．
【解析】
【分析】
（1）根据根的判别式即可列出不等式求出m的取值；
（2）代入合适的m即可求解.
【详解】
解：（1）△＝16﹣4（m﹣1）＝﹣4m+20，
∵原方程有两个不相等的实数根，
∴﹣4m+20＞0，
解得m＜5；
（2）符合条件的m的正整数值是1，2，3，4，
当m＝1时，该方程为x2﹣4x＝0，解得x =0,x =4,根都是整数；
1 2
当m＝2时，该方程为x2﹣4x+1＝0，解得x = ,x = ,根不是整数；
1 2
当m＝3时，该方程为x2﹣4x+2＝0，解得x = ,x = ,根不是整数；
1 2
当m＝4时，该方程为x2﹣4x+3＝0，解得x =1,x =3,根都是整数；
1 2
所以符合条件的m的值为1，4．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟知根的判别式.
11．关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m﹣2＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，且方程的根都是负整数，求m的值．
【答案】（1）m≤2；（2）m＝2．
【解析】
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值
范围；
（2）由m的值得到原方程，解一元二次方程，即可得出结论．
【详解】
（1）由题意，得△＝（2m）2﹣4（m2+m﹣2）≥0，
∴m≤2；
（2）∵m≤2，且m为正整数，
∴m＝1或2，
当m＝1时，方程x2+2x＝0 的根x ＝﹣2，x ＝0．不符合题意；
1 2
当m＝2时，方程x2+4x+4＝0 的根x ＝x ＝﹣2．符合题意；
1 2
综上所述，m＝2．
【点睛】
本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：牢记“当△≥0时，方程有两个
实数根”．
12．已知关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣4=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，且该方程的两个根都是整数，求m的值．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0，列出关于m的不等式，求出不等式的
解集即可得到m的范围；
（2）由m为正整数，可得出m=1、2，将m=1或m=2代入原方程求出x的值，由该方程的两个根都是整数，
即可确定m的值，
【详解】
解：
（1）∵一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣4=0有两个不相等的实数根，
∴
∴ ；(2)∵m为正整数，
∴m=1或2，
当m=1时，方程为：x2﹣3=0，解得： （不是整数，不符合题意，舍去)，
当m=2时，方程为：x2+2x=0，解得： 都是整数，符合题意，
综上所述：m=2.
【点睛】
本题主要考查了根的判别式，掌握根的判别式是解题的关键.
13．已知：关于x的一元二次方程x2-4x+2m=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果m为非负整数，且该方程的根都是整数，求m的值．
【答案】（1）m＜2；（2）m=0.
【解析】
【分析】
根据根的判别式直接确定m的范围，通过第一问中确定的m的范围，结合m为非负整数，直接代入进去
m存在的两个值来验证方程的根是否都是整数来确定m值.
【详解】
(1)∵方程有两个不相等的实数根，
∴ ＞0.
∴ △=16-8m＞0.
∴△m＜2
(2)∵m＜2，且m为非负整数，
∴m=0或1
当m=0时，方程为x2-4x=0，解得x =0，x =4，符合题意；
1 2
当m=1时，方程为x2-4x+2=0，根不是整数，不符合题意，舍去.
综上m=0
【点睛】
本题考查了学生通过根的判别式来确定一元二次方程中待定系数范围，掌握代入法解题是解决此题的关键.
14．已知：关于x的方程 有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；（2）若m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值．
【答案】（1） ；（2）m的值为3．
【解析】
【分析】
（1）根据题意得出 ＞0，代入求出即可；
（2）求出m=1，2或△3，代入后求出方程的解，即可得出答案．
【详解】
解：（1）∵关于x的方程 有两个不相等的实数根，
∴△= ．
∴ ；
（2）∵ 且m为正整数，
∴m可取1、2、3．
当m=1时， 的根不是整数，不符合题意；
当m=2时， 的根不是整数，不符合题意；
当m=3时， ，根为 ， ，符合题意．
∴m的值为3．
【点睛】
本题考查根的判别式和解一元二次方程，能根据题意求出m的值和m的范围是解题的关键．
15．已知关于 的方程 ．
(1)若该方程有两实数根，求实数 的取值范围；
(2)若该方程的根为整数，求正整数 的值及方程的根．
【答案】(1)a≤3
(2)a＝2时，x＝0或2；a＝3时，x＝x＝1
1 2
【解析】
【分析】
（1）根据根的判别式求出b2-4ac≥0，再求出不等式的解集即可；
（2）根据a的分为a≤3和a为正整数得出a=1或2或3，分别代入方程，再逐个判断即可．(1)
∵△＝b2－4ac＝（－2）2－4×1×（a－2）＝12－4a≥0，
解得：a≤3，
∴a的取值范围是a≤3；
(2)
由（1）知a≤3，又∵a正整数，
∴a＝1或 2或3，
当a＝1时，△＝8，方程的根为无理数，舍去；
当a＝2时，方程为x2－2x＝0，此时，x＝0或2；
当a＝3时，方程为x2－2x＋1＝0，此时，x＝x＝1，
1 2
综上所述：a＝2时，x＝0或2；a＝3时，x ＝x ＝1
1 2
【点睛】
本题考查了根的判别式和解一元二次方程，能根据根的判别式求出a的范围是解此题的关键．
16．关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，写出一个符合条件的m的值并求出此时方程的根．
【答案】（1） ；（2）m=1；
【解析】
【分析】
（1）根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解；
（2）由（1）及题意可选择一个合适的值，然后代入进行求解一元二次方程即可．
【详解】
解：（1）由题意得： ，
解得 ；
（2）由（1）及题意取当m=1时，此时方程为 ，
∴方程的根为 ．【点睛】
本题主要考查一元二次方程根的判别式及解法，熟练掌握一元二次方程根的判别式及解法是解题的关键．
17．已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m的值．
【答案】（1） ；（2）1
【解析】
【分析】
（1）直接利用根的判别式即可求解；
（2）根据韦达定理可得 ， ，得到 ，根据两个根和m都是整数，
进行分类讨论即可求解．
【详解】
解：（1）∵一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得 ；
（2）设该方程的两个根为 、 ，
∵该方程的两个根都是符号相同的整数，
∴ ， ，
∴ ，
∴m的值为1或2，
当 时，方程两个根为 、 ；
当 时，方程两个根 与 不是整数；
∴m的值为1．【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式、韦达定理，掌握上述知识点是解题的关键．
