专题21.1一元二次方程与公共根、整数根、整体代入（强化）（解析版）_初中数学人教版_9上-初中数学人教版_07专项讲练

专题 21.1 一元二次方程与公共根、整数根、 整体代入 【例题精讲】 【例1】已知关于 的方程 ． （1）试判断该方程根的情况，说明理由； （2）若该方程与方程 有且只有一个公共根，求 的值． 【解答】解：（1）方程有两个不相等的实数根，理由如下： △ ． ， ，即△ ， 无论 取何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）设两个方程的一个公共根为 ， 则 ， ② ①，得： ， 解得： ， ． 当 时，有 ， 解得： ， ， 符合题意；当 时， ， 不符合题意，舍去． 的值为 ． 【例2】关于 的一元二次方程 ． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）选取一个合适的 值，使得方程有两个整数根，并求出这两个整数根． 【解答】（1）证明： △ ， ， 方程有两个实数根； （3）解：取 时，则 ， ， 故方程为 ， ， 解得 或 ． 【例3】已知 是方程 的一个根．求： （1） 的值； （2）代数式 的值． 【解答】解：（1） 是方程 的一个根， ， ，； （2）原式 ． 【题组训练】 一．公共根（共15小题） 1．方程 和 有一个公共根，则 的值是 2 ． 【解答】解： 方程 和 有一个公共根， ， ， 解得， ， 当 时， ． 故答案是：2． 2．若方程 和 只有一个公共根，则 的值是多少？【解答】解：设公共根为 ，则 ． ① ②，得 ， 当 时，两方程完全一样，不合题意； 当 时， ，则 ． 答： 的值是1． 3．若两个方程 和 只有一个公共根，则 A． B． C． D． 【解答】解：设公共根为 ，则 ． ① ②，得 ， 当 时，方程可能有两个公共根，不合题意； 当 时， ． 故选： ． 4．若关于 的方程： 和 有且只有一个公共根，则 2 或 ． 【解答】解：解方程 得 ， ， 把 代入 得 ，解得 ； 把 代入 得 ，解得 ， 综上所述， 的值为2或 ． 故答案为：2或 ．5．已知三个关于 的一元二次方程 ， ， 恰有 一个公共实数根，则 的值为 3 ． 【解答】解：设公共实数根为 ， 则 ， ， ， 三式相加得 ， 即 ， 因为 ， 所以 ， 所以原式 ． 故答案为3． 6．已知关于 的一元二次方程 与 有一个公共实数根，则 ． 【解答】解： 与 有一个公共实数根， 有一个实数根， ，把 代入 得： ． 故答案为： ． 7．有三个方程：① ；② ；③ ，它们 的公共根是 A．5 B． C．1 D．以上都不是 【解答】解： ， ， 或 ， ， ， 把 ， 代入②③， 能使方程左右相等， 它们的公共根是5， 故选： ． 8．已知关于 的方程 ． （1）试判断该方程根的情况，说明理由； （2）若该方程与方程 有且只有一个公共根，求 的值． 【解答】解：（1）方程有两个不相等的实数根，理由如下： △ ． ， ，即△ ， 无论 取何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）设两个方程的一个公共根为 ，则 ， ② ①，得： ， 解得： ， ． 当 时，有 ， 解得： ， ， 符合题意； 当 时， ， 不符合题意，舍去． 的值为 ． 9．已知关于 的两个一元二次方程：方程①： ；方程②： ． （1）若方程①有两个相等的实数根，求解方程②； （2）若方程①和②中只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程没有实数根； （3）若方程①和②有一个公共根 ．求代数式 的值． 【解答】解：（1） 方程①有两个相等实数根， 且△ ，即 ，则 ，解此方程得 ， ， 而 ， ，当 时，方程②变形为： ，解得 ， ； （2） △ ， 无论 为何值时，方程②总有实数根， 方程①、②只有一个方程有实数根， 此时方程①没有实数根， （3）设 是方程①和②的公共根， ③， ④， 由 ③ ④ 得 ⑤， 由④得： ⑥， 将 ⑤ 、 ⑥ 代 入 ， 原 式 ． 10．已知关于 的两个一元二次方程： 方程①： ； 方程②： ． （1）若方程①有两个相等的实数根，求： 的值 （2）若方程①和②只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程没有实数根． （3）若方程①和②有一个公共根 ，求代数式 的值． 【解答】解： （1） 方程①有两个相等的实数根， ，则 ，△ ， 则 ， ， ， ， ； （ 2 ） △ ， 无论 为何值时，方程②总有实数根， 方程①、②只有一个方程有实数根， 此时方程①没有实数根． （3）根据 是方程①和②的公共根， ③， ④， ③ 得： ⑤， ⑤ ④得： ， 代数式 ． 故代数式的值为5． 11．已知三个关于 的一元二次方程 ， ， 恰有 一个公共实数根，则 的值为 A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：设 是它们的一个公共实数根， 则 ， ， ． 把上面三个式子相加，并整理得． 因为 ， 所以 ． 于是 故选： ． 12．是否存在某个实数 ，使得方程 和 有且只有一个公共的 实根？如果存在，求出这个实数 及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由． 【解答】解：假设存在符合条件的实数 ，且设这两个方程的公共实数根为 ，则 ① ②，得 或 ． 当 时，已知两个方程是同一个方程，且没有实数根，故 舍去； 当 时，代入②得 ， 把 代入已知方程，求出公共根为 ． 故实数 ，两方程的公共根为 ． 13．关于 的方程 和 有公共根，则 的值为 或 ． 【解答】解：设公共解为 ， 根据题意得 ， ② ①得 ，解得 ， ． 故答案为 或 ． 14．若方程 和 有公共根，则常数 的值是 ．【解答】解：设方程 和 的公共根为 ， 则 ①， ②， ① ②得 ， 如果 ，那么两个方程均为 ，△ ，不符合题意； 如果 ，那么 ， 把 代入①，得 ，解得 ． 故常数 的值为 ． 故答案为： ． 15．方程 和 有一个公共根，则 的值是 A．9 B．8 C．7 D．6 【解答】解：设该公共根为 ， 由题意可知： ， ， 代入 ， 故选： ． 二．整数根（共15小题） 16．关于 的一元二次方程 有两个同号非零整数根，关于 的一元二次方程 也有两个同号非零整数根，则下列说法正确的是 A． 是正数， 是负数 B．C． 是正数， 是负数 D． 【解答】解：设方程 的两根为 、 ，方程 的两根为 、 ． 关于 的一元二次方程 有两个同号非零整数根，关于 的一元二次方程 也有两个同号非零整数根， ， ， 故选项 与 说法均错误，不符合题意； 关于 的一元二次方程 有两个同号非零整数根，关于 的一元二次方程 也有两个同号非零整数根， ， ， 、 不能同时为2，否则两个方程均无实 数根）， 故选项 说法错误，不符合题意；选项 说法正确，符合题意； 故选： ． 17．关于 的方程 有两个不相等的正整数根，则整数 的值为 ． 【解答】解：由题意可知：△ ， ， 或 ， 由题可知： ，故答案为： 18．已知：关于 的一元二次方程 ． （1）求方程有实数根的实数 的取值范围； （2）若方程有两个不相等的正整数根，求出此时 的整数值． 【解答】，解：（1）由题意可知： ， △ ， △ ， 故 ，方程总有实数根； （2） ， ， 或 ， 方程有两个不相等的正整数根， ． 19．关于 的一元二次方程 ． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）选取一个合适的 值，使得方程有两个整数根，并求出这两个整数根． 【解答】（1）证明： △ ， ， 方程有两个实数根； （3）解：取 时，则 ， ， 故方程为 ，， 解得 或 ． 20．已知关于 的一元二次方程 ． （1）若此方程总有两个相等的实数根，求 的值．（用含 的代数式表示）； （2）当 时，此方程有两个不相等的整数根，写出一个满足条件的 的值，并求此时 方程的根． 【解答】解：（1）根据题意得△ ， 所以 ； （2）当 时，原方程变形为 ， 方程有两个不相等的根， △ ， 即 ， 当 时，方程变形为 ， 方程有两个整数根， 即 ， ． 21．已知关于 的一元二次方程 ． （1）求证：方程一定有实数根； （2）若此方程有两个不相等的整数根，求整数 的值． 【解答】（1）证明： ， △ ， 方程一定有实数根；（2） ， ， ， 当整数 取 ， 时， 为整数， 方程有两个不相等的整数根， 整数 为 ，1，2． 22．已知关于 的方程 有两个整数根，且 为正整数，则符合条件的所 有正整数的和是 A．6 B．5 C．4 D．3 【解答】解：根据题意得△ ， 解得 ， 为正整数， 为1、2、3， 当 时，△ ，所以方程的根为无理数，不合题意舍去； 当 时，方程化为 ，方程有两个整数解； 当 时，方程化为 ，方程有两个相等整数解； 所以符合条件的所有正整数 的和为 ． 故选： ． 23．已知关于 的方程 有两个不相等的正整数根，则 的值为 A．2 B．1 C． D．2或1 【解答】解： 方程 是一元二次方程， ，， ， 或 ， 方程有两个不相等的正整数根， ， 是正整数， ． 故选： ． 24．已知二次多项式 ． （1）当 时，该多项式的值为 ； （2）若关于 的方程 ，有两个不相等的整数根，则正数 的值为 ． 【解答】解（1）当 时， ， 故答案为 ； （2）设 ， 是方程两个不相等的整数根， 则 ， ． ， 均为整数， △ 为完全平方数， 设 为整数，且 ， 则 ．于是， ， 由于 ， 奇偶性相同，且 ， 或 或 ，解得 或 （舍去）或 ， 经检验 ， 符合要求， 或 ， 故答案为2或5． 25．已知关于 的方程 （1）求证：无论 取何值，此方程总有实数根； （2）若此方程有两个整数根，求正整数 的值； （3）若一元二次方程 满足 ，求 的值． 【解答】解：（1）证明：当 ，即 时，原方程为 ， 解得： ； 当 ，即 时，△ ， 方程有实数根． 综上可知：无论 取何值，此方程总有实数根． （2） 方程有两个整数根， ， ，且 ， 为整数， 为正整数， 或 ． （3）由（2）得 ， ，且 ， ， 解得： 或 ， 经检验 或 是原方程的解． 故 的值为 或0． 26．求正整数 ，使得关于 的方程 至少有一个正整数根．【解答】解： 方程 至少有1个正整数根， △ ， 正整数 可能取值为1，2，3，4，5，6，7，8， 只有当 时， ， ， 正整数 的值是1． 27．已知关于 的一元二次方程 有实数根， 为负整数． （1）求 的值； （2）如果这个方程有两个整数根，求出它的根． 【解答】解：（1）根据题意，得△ ， 解得 ． 为负整数， ， ． （2）当 时，不符合题意，舍去； 当 时，符合题意，此时方程的根为 ． 28．已知关于 的方程 ． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有两个不相等的负整数根，求整数 的值． 【解答】解：（1） ， 原方程为一元二次方程． △ ． ． 此方程总有两个实数根． （2）解原方程，得 ， ． 此方程有两个负整数根，且 为整数，或 ． ， ． ． ． 29．已知关于 的方程 ． （1）试说明方程根的情况； （2）求证：当 时，原方程总有一个不变的整数根为1． 【解答】（1）解：当 时，原方程化为 ，此时方程的根为 ． 当 时， △ ， 当 时，此方程有两个不相等的实数根， 综上所述，当 时，关于 的方程 的根为 ；当 时， 关于 的方程 有两个不相等的实数根； （2）证明：由求根公式，得 ， ， ， 无论 取何值，方程总有一个不变的整数根为1． 30．已知：关于 的方程： ． （1） 取何值时，方程有两个实数根？ （2）是否存在正整数 ，使方程的根均为整数？若存在，请求出它的整数根；若不存在， 请说明理由． 【解答】解：（1）根据题意得 且△ ， 解得 且 ； 故当 且 时，方程有两个实数根；（2）存在， 由（1）知 且 ， 为正整数， 或3， 当 时，方程为 ，无整数解，故 舍去； 当 时，方程为 ，解得 ； 综上，当 时，使方程的根 均为整数． 三．整体思想（共12小题） 31．若 是一元二次方程 的一个根，则 的值是 6 ． 【解答】解： 是一元二次方程 的一个根， ， ， ， 故答案为：6． 32．若 为方程 的解，则 的值为 A．4 B．2 C． D． 【解答】解： 为方程 的解， ， ， ， 故选： ． 33． 是方程 的根，则式子 的值为A．2018 B．2019 C．2021 D．2022 【解答】解： 是方程 的根， ， 即 ， ． 故选： ． 34．若 是方程 的一个根，则 的值为 A．2020 B． C．2019 D． 【解答】解： 是方程 的一个根， ， ， ， ． 故选： ． 35．若 是 的一个根，则 的值是 A．5 B．6 C．7 D．8 【解答】解： 是 的一个根， ， ， ． 故选： ． 36．若关于 的一元二次方程 有一根为 ，则一元二次方程必有一根为 A．2017 B．2020 C．2019 D．2018 【解答】解：对于一元二次方程 ， 设 ， 所以 ， 而关于 的一元二次方程 有一根为 ， 所以 有一个根为 ， 则 ， 解得 ， 所以一元二次方程 必有一根为 ． 故选： ． 37．已知 是方程 的一个根，则 的值为 A．2014 B．2015 C． D． 【解答】解： 是方程 的一个根， ， ，． 故选： ． 38．已知 是方程 的一个根．则 的值为 A．4 B．6 C． D． 【解答】解：把 代入方程 ，得 ， 所以 ， 则 ． 故选： ． 39．若 是方程 的解，则 ． 【解答】解： ， 是方程 的解， ， 原式 ． 故答案为： ． 40．已知实数 是元二次方程 的根，求代数式 的值为 ．【解答】解： 是方程 根， ， ， 原式 ． 故答案是： ． 41．若 是方程 的一个根，则代数式 的值为 202 3 ． 【解答】解： 是方程 的一个根， ， ， ， ． 故答案为：2023． 42．已知 是方程 的一个根．求： （1） 的值； （2）代数式 的值． 【解答】解：（1） 是方程 的一个根， ， ，； （2）原式 ．