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2021-2022 学年北师大版数学八年级下册压轴题专题精选汇编
专题 07 因式分解
一、选择题
1．下列因式分解正确的是（ ）
A．2x2﹣2＝2（x+1）（x﹣1） B．x2+2x﹣1＝（x﹣1）2
C．x2﹣1＝（x﹣1）2 D．x2﹣x+2＝x（x﹣1）+2
2．（2021八上·芜湖期末）下列因式分解结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022七下·）下列各式中，计算结果是x3+4x2-7x-28的是（ ）
A．（x2+7）（x+4） B．（x2-2）（x+14）
C．（x+4）（x2-7） D．（x+7）（x2-4）
4．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2020八上·阳信期末）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021八上·东平月考）若 有一个因式为 ，则k的值为（ ）
A．17 B．51 C．－51 D．－57
7．（2020七下·温州期中）如图，在长方形 ABCD 中，E 为 AB 中点，以 BE 为边作正方形 BEFG，边
EF 交 CD 于点H，在边 BE 上取点 M 使BM=BC，作 MN∥BG 交 CD 于点 L，交 FG 于点 N．欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了 ，连结AC，记△ABC的面积为
，图中阴影部分的面积为 ．若 ，则 的值为 （ ）
A． B． C． D．
8．已知△ABC的三边a,b,c满足 ,则△ABC为( ).
A．钝角三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
9．（2019八上·浦东期中）下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
10．下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．x2+5x-1=x（x+5）-1 B．x2-4+3x=（x+2）（x-2）+3x
C．x2-9=（x+3）（x-3） D．（x+2）（x-2）=x2-4
二、填空题
11．（2021八上·南充期末）已知 ， ，则 .
12．（2021八上·芜湖期末）已知a+b＝4，ab＝1，则a3b+2a2b2+ab3的值为 ．
13．（22021八上·东莞期末）已知x+y＝﹣2，xy＝4，则x2y+xy2＝
14．（2021八上·营口期末）分解因式：﹣8a3b+8a2b2﹣2ab3＝ ．
15．在○处填入一个整式，使关于 的多项式 可以因式分解，则○可以为 ．（写出一
个即可）
16．（2021七下·海曙月考）若m2＝n+2020，n2＝m+2020（m≠n），那么代数式m3﹣2mn+n3的值 ．17．（2020八上·张掖期末）如果 可以因式分解为 （其中 ，
均为整数），则 的值是 ．
18．（2019七上·静安期中）观察下列各式：
(x−1)(x+1)=x²−1
(x−1)(x²+x+1)=x³−1
(x−1)(x³+x²+x+1)=x −1…
根据以上规律， 求1+2+2²+…+ .
19．（2018九上·运城月考）如图，边长为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为
．
三、解答题
20．（2021八上·红桥期末）（Ⅰ）先化简，再求值： ，
其中 ， ；
（Ⅱ）分解因式：① ；② ．
21．（2021八上·密山期末）△ABC的三边长分别为a，b，c，且2a+ab＝2c+bc，请判断△ABC是等边三
角形、等腰三角形，还是直角三角形？并说明理由．22．（2021八上·东平月考）分解因式
（1） （2）
（3） （4）（a2+4）2﹣16a2
23．（2021八上·东平月考）求证:对于任意自然数n，（n+7）2-（n-5）2都能被24整除.
24．（）
（1）因式分解：（y+2x）2-（x+2y）2
（2）先化简，再求值:(1 )÷ ，其中m= .
25．（2021八上·长春期末）如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a
厘米的大正方形，2块是边长都为b厘米的小正方形，5块是长为a厘米，宽为b厘米的相同的小长方形，
且 ．
（1）观察图形，可以发现代数式 可以因式分解为 ．
（2）若图中阴影部分的面积为20平方厘米，大长方形纸板的周长为24厘米，求图中空白部分的面积．
26．（2021七下·杭州开学考）当我们利用2种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式.例如，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2.
（1）由图2，可得等式： .
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝12，ab+bc+ac＝47，求a2+b2+c2的值；
（3）利用图3中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：2a2+5ab+2b2＝
（2a+b）（a+2b）
27．（2021八下·长沙开学考）阅读理解：因式分解有多种方法，除了提公因式法，公式法，十字相乘法
等，还有分组分解法，拆项法，配方法等.一般情况下，我们需要综合运用多种方法才能解决问题.
例如：分解因式x3﹣4x2+x+6.步骤：
解：原式＝x3﹣3x2﹣x2+x+6 第1步：拆项法，将﹣4x2拆成﹣3x2和﹣x2；
＝（x3﹣3x2）﹣（x2﹣x﹣6）第2步：分组分解法，通过添括号进行分组；
＝x2（x﹣3）﹣（x+2）（x﹣3）第3步：提公因式法和十字相乘法（局部）；
＝（x﹣3）（x2﹣x﹣2）第4步：提公因式法（整体）；
＝（x﹣3）（x﹣2）（x+1）第5步：十字相乘法：最后结果分解彻底.
（1）请你试一试分解因式x3﹣7x+6.
（2）请你试一试在实数范围内分解因式x4﹣5x2+6.
28．（2021八上·内江期中）定义：对任意一个两位数a，如果a满足个位数字与十位数字互不相同，且
都不为零，那么称这个两位数为“湘一数”.将一个“湘一数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新
的两位数，把这个两位数与原两位数的和与11的商记为 .例如：a=23，对调个位数字与十位数字得到新两位数32，新两位数与原两位数的和为23+32=55，和与11的商为55÷11=5，所以 .
根据以上定义，回答下列问题：
（1）填空：①下列两位数：50、42，33中，“湘一数”为 ；②计算： .
（2）如果一个“湘一数”b的十位数字是k，个位数字是 ，且 ，请求出“湘一
数”b；
（3）如果一个“湘一数”c，满足 ，求满足条件的c的值.
29．已知a、b、c是△ABC的三边长，且a2+2b2+c2﹣2b（a+c）=0，试判断△ABC的形状，并证明你的结论．
30．请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）；
（2）由（1），你能得到怎样的等量关系？请用等式表示；
（3）如果图中的a，b（a＞b）满足a2＋b2＝53，ab＝14，求：①a＋b的值；②a4－b4的值．
31．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无
法分解，如x2－4y2－2x＋4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公
因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过
程为：x2－4y2－2x＋4y＝(x＋2y)(x－2y)－2(x－2y)＝(x－2y)(x＋2y－2)．这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式x2－2xy＋y2－16；
（2）△ABC三边a，b，c 满足a2－ab－ac＋bc＝0，判断△ABC的形状．
