专题 02 一次函数及其应用（分层训练）
【基础训练】
一、单选题
1．当−1<x<2时，下列函数y随x的增大而增大的是（ ）
2
A．y=−2x+1 B．y=2x2−1 C．y=− D．y=(x+3) 2
x
【答案】D
【知识点】判断反比例函数的增减性、y=ax²+bx+c的图象与性质、判断一次函数的增减性
【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的增减性．
一次函数当a>0时，函数值y总是随自变量x增大而增大，反比例函数当k<0时，在每一个象限内，
y随自变量x增大而增大，二次函数根据对称轴及开口方向判断增减性．
【详解】解：A．y=−2x+1为一次函数，且−2<0时，函数值y总是随自变量x增大而减小，故不
符合题意；
B．y=2x2−1为二次函数，对称轴为x=0，开口向上，故当x>0时，函数值y随自变量x增大而增
大，当−1<x<2时，函数值y随自变量x增大先减小后增大，故不符合题意；
2
C．y=− 为反比例函数，当x>0或者x<0时，函数值y随自变量x增大而增大，当−1<x<2时，
x
就不能确定增减性了，故不符合题意；
D．y=(x+3) 2为二次函数，对称轴为x=−3，开口向上，∵当x>−3时，函数值y随自变量x增大而
增大，故当−1<x<2时，函数值y随自变量x增大而增大，故符合题意；
故选：D．
2．直线y＝﹣x+1与y＝2x+a的交点在第一象限，则a的取值不可能是（ ）
1 1 3 5
A． B．﹣ C．﹣ D．﹣
2 2 2 2
【答案】D
【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、根据两条直线的交点求不等式的解集、已知函数
经过的象限求参数范围
【分析】联立两直线解析式，解关于x、y的二元一次方程组，然后根据交点在第一象限，横坐标是
正数，纵坐标是正数，列出不等式组求解即可．
【详解】解：解方程组¿，
可得¿，
∵直线y＝﹣x+1与y＝2x+a的交点在第一象限，
∴¿，即¿，解得﹣2＜a＜1，
5
∴a的取值不可能是− ，
2
故选：D．
【点睛】本题考查了函数与二元一次方程的关系，第一象限内点的横坐标是正数，纵坐标是正数，
以及一元一次不等式组的解法，把a看作常数表示出x、y是解题的关键．
1
3．如图，函数y=ax+b和y=− x的图象交于点P，则根据图象可得，关于x，y的二元一次方程组
3
¿中的解是( )
A．¿
B．¿
C．¿
D．¿
【答案】C
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）
【分析】先利用正比例函数解析式确定P点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图
象的交点坐标求解．
1
【详解】解：当y=1时，− x=1，解得x=−3，则点P的坐标为(−3,1)，
3
所以关于x，y的二元一次方程组¿中的解为¿．
故选C．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程(组)：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交
点坐标．
4．A，B两地相距20km，甲乙两人沿同一条路线从A 地到B 地，如图反映的是二人行进路程y (
km)与行进时间t(h)之间的关系，有下列说法：①甲始终是匀速行进，乙的行进不是匀速的；②乙用
了4个小时到达目的地；③乙比甲先出发1小时；④甲在出发4小时后被乙追上，在这些说法中，
正确的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)、从函数的图象获取信息
【分析】根据题意结合图象依次判断即可.
【详解】①甲始终是匀速行进，乙的行进不是匀速的，正确；
②乙用了4个小时到达目的地，错误；
③乙比甲先出发1小时，错误；
④甲在出发4小时后被乙追上，错误，
故选：A.
【点睛】此题考查一次函数图象，正确理解题意，会看函数图象，将两者结合是解题的关键.
5．正比例函数y❑ =kx(k≠0)和一次函数y❑ =kx−k(k≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是( )
1 2
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限
【分析】分k>0与k<0两种情况分别讨论即可得答案.
【详解】若k>0，正比例函数y❑ =kx(k≠0)的图象过一、三象限，一次函数y❑ =kx−k(k≠0)的图象过
1 2
一、三、四象限，观察各选项可知没有选项符合；
若k<0，正比例函数y❑ =kx(k≠0)的图象过二、四象限，一次函数y❑ =kx−k(k≠0)的图象过一、二、
1 2
四象限，观察各选项可知A选项符合，故选A.
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握是解题的关键.一次函数y=kx+b的图象有四
种情况：①当k＞0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；②当k＞0，b＜0时，函
数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、
四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限．
6．一次函数y=3x＋2和y=2x−4的图象的交点坐标为（ ）
A．(1,5) B．(6,20) C．(−6,16) D．(−6,−16)
【答案】D
【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】本题考查一次函数图像的交点坐标，联立两函数解析式，解方程组即可解题．
【详解】解：解方程组¿得¿，
∴一次函数y=3x＋2和y=2x−4的图象的交点坐标为(−6,−16)，
故选D．
7．如图，正方形OABC中，点C(0,4)，点D为AB边上一个动点，连接CD，点P为CD的中点，
绕点D将线段DP顺时针旋转90°得到线段DQ，连接BQ，当点Q在射线OB的延长线上时，点D的
坐标为（ ）．
8 10
A．(4,2) B．(4,3) C．(4, ) D．(4, )
3 3
【答案】C
【知识点】根据旋转的性质求解、正方形性质理解、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者
AAS）、正比例函数的性质
【分析】如图，过P作PN⊥OA，交x轴于点N, 过Q作QE⊥x轴于E, 过D作平行于x轴的直线
交PN于M，交QE于F，交y轴于G，则DP=DQ，∠PDQ=90°,证明△PDM≌△DQF,设
D(4,t),再求解Q的坐标，再代入直线OB的解析式即可．
【详解】解：如图，过P作PN⊥OA，交x轴于点N, 过Q作QE⊥x轴于E, 过D作平行于x轴的直线交PN于M，交QE于F，交y轴于G，则DP=DQ，∠PDQ=90°,
∴∠PMD=90°=∠QFD,
∴∠PDM+∠QDF=90°=∠QDF+∠DQF,
∴∠PDM=∠DQF,
∴△PDM≌△DQF,
∴PM=DF,QF=MD,
∵ 正方形OABC中，点C(0,4)，
∴OC=OA=AB=BC=4,
设D(4,t), 而点P为CD的中点，
4+t
∴P(2, ),
2
4+t 4−t 4−t 1
∴PM= −t= =DF, QF=MD=2, QE=2+t,OE=4+ =6− t,
2 2 2 2
1
∴Q(6− t,2+t),
2
设OB的解析式为y=kx, 而B(4,4),
∴4k=4, 解得：k=1,
∴OB的解析式为：y=x,
1
∴6− t=2+t,
2
8
解得：t= ,
3
8
∴D(4, ).
3
故选C
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，坐标与图形，正比例函数的性质，正方形的性质，1
求解Q(6− t,2+t)是解本题的关键．
2
3 9
8．已知一次函数y=3x与y=− x+ 图象的交点坐标是(1,3)，则方程组¿的解是（ ）
2 2
A．¿ B．¿ C．¿ D．¿
【答案】A
【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组之间的关系，两直线的交点横纵坐标即为联立
两直线解析式得到的方程组的解，据此可得答案．
3 9
【详解】解：∵一次函数y=3x与y=− x+ 图象的交点坐标是(1,3)，
2 2
∴方程组¿的解是¿，
故选：A．
9．小亮和小明周六到距学校24km的滨湖湿地公园春游，小亮8：00从学校出发，骑自行车去湿地
公园，小明8：30从学校出发，乘车沿相同路线去滨湖湿地公园，在同一直角坐标系中，小亮和小
明的行进路程S(km)与时间t（时）的函数图象如图所示．根据图象得到结论，其中错误的是（ ）
A．小亮骑自行车的平均速度是12km/h
B．小明比小亮提前0.5小时到达滨湖湿地公园
C．小明在距学校12km处追上小亮
D．9：30小明与小亮相距4km
【答案】D
【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题主要考查一次函数的实际应用能力，读懂图象中特殊点坐标的实际意义是解题的关键．
根据函数图象可知小亮行驶全程所用时间、可得速度，即可判断A；根据图象可知两人到达终点时
间，可判断B；当t=9时两人相遇，结合小亮速度可知其路程，判断C；分别求出9：30时小明与
小亮的路程即可判断D．【详解】解：A、根据函数图象小亮去滨湖湿地公园所用时间为10−8=2小时，则小亮骑自行车的
平均速度为：24÷2=12km/h，故该选项正确；
B、由图象可得，小明到滨湖湿地公园对应的时间t=9.5，小亮到滨湖湿地公园对应的时间t=10，
则10−9.5=0.5（小时），所以小明比小亮提前0.5小时到达滨湖湿地公园，故B选项正确；
C、由图象可知，当t=9时，小明追上小亮，此时小亮离开学校的时间为9−8=1小时，则小亮走的
路程为：1×12=12km，所以小明在距学校12km处追上小亮，故C选项正确；
D、由图象可知，当t=9.5时，小明的路程为24km,小亮的路程为12×(9.5−8)=18km,此时小明与
小亮相距24−18=6km,故D选项错误．
故选：D．
10．若一次函数y=(m−1)x−1的图像经过第一、三、四象限，则m的值可能为（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．2
【答案】D
【知识点】已知函数经过的象限求参数范围
【分析】利用一次函数图象与系数的关系可得出m-1＞0，解之即可得出m的取值范围，再对照四个
选项即可得出结论．
【详解】解：∵一次函数y=（m-1）x-1的图象经过第一、三、四象限，
∴m-1＞0，
∴m＞1，
∴m的值可能为2．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系、解一元一次不等式，牢记“k＞0，b＜0 y=kx+b
的图象经过一、三、四象限”是解题的关键． ⇔
11．甲、乙两车从A城出发前往B城．在整个行程中，两车离A城的距离y与时刻t的对应关系如图
所示，则两图象交点的纵坐标是（ ）
A．130 B．140 C．150 D．160
【答案】C【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)
【分析】根据图象分别求出两车的速度，再列方程解答即可．
【详解】解：由题意可知，A，B两城相距300千名，甲车比乙车先出发1小时，却晚1小时到城，
甲车的平均速度为：300÷(10−5)=60（千米/时），乙车的平均速度为：300÷(9−6)=100（千
米/时），
设乙追上甲时，乙行驶的时间为x小时，则：
100x=60(x+1)
解得x=1.5
1.5×100=150(km)
∴两图象交点的纵坐标是150，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，关键是正确从函数图象中得到正确的信息．
12．一次函数y =ax+b与y =cx+d的图象如图所示，下列结论中，正确的有（ ）
1 2
①对于函数y =cx+d来说，y随x的增大而减小；
2
②函数y =ax+b的图象经过第一、二、四象限；
1
d−b
③a−c=
2
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象与坐标轴的交点问题
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象与性质，利用数形结合是解题的
关键．
【详解】解：由图象可知，对于函数y =cx+d来说，y随x的增大而增大；函数y =ax+b的图象经
2 1
过第一、二、四象限，故①错误，②正确．
由图象可知，一次函数y ，y 的图象的交点横坐标为2．
1 2
∴2a+b=2c+d，
d−b
∴a−c= ，故③正确．
2
故答案：C．
13．如图，直线y=−x+1与x轴交于点A，直线m是过点A、B(−3,0)的抛物线y=ax2+bx+c的对称轴，直线y=−x+1与直线m交于点C，已知点D(n,5)在直线y=−x+1上，作线段CD关于直
线m对称的线段CE，若抛物线与折线DCE有两个交点，则a的取值范围为（ ）
A．a≥1 B．0<a≤1
1 1
C．− <a<0或0<a<1 D．a≥1或a<−
2 2
【答案】D
【知识点】抛物线与x轴的交点问题、一次函数与几何综合
【分析】根据题意求得C、D、E的坐标，由对称轴为x=−1，得出b=2a，由抛物线
y=ax2+bx+c过点A(1,0)得出c=3a，即可得出抛物线为y=ax2+2ax−3a，然后分两种情况：
（i）若a>0，抛物线开口向上且经过D(−4,5)，求得a=1，由对称性可知：当a≥1时，抛物线与折
1
线DCE有两个交点；ii）若a<0，抛物线开口向下且经过C(−1,2)，求得a=− ；由对称性可知：
2
1
当a<− 时，抛物线与折线DCE有两个交点；据此即可得出结论．
2
【详解】解：∵直线y=−x+1与x轴交于点A，点D(n,5)在直线y=−x+1上，
∴A(1,0)，D(−4,5)，
∴抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=−1，
∴y=1+1=2，
∴C(−1,2)，
∵C、E关于直线x=−1对称，
∴E(2,5)，
b
∵- =-1，
2a
∴b=2a，
把A(1,0)代入抛物线y=ax2+bx+c得c=−3a，
∴抛物线的解析式为：y=ax2+2ax−3a
（i）若a>0，抛物线开口向上且经过D(−4,5)，把(−4,5)代入y=ax2+2ax−3a求出：a=1；
由对称性可知：当a≥1时，抛物线与折线DCE有两个交点；1
（ii）若a<0，抛物线开口向下且经过C(−1,2)，把C(−1,2)代入y=ax2+2ax−3aa求出：a=− ；
2
1
由对称性可知：当a<− 时，抛物线与折线DCE有两个交点；
2
1
综上所述：当a≥1或a<− 时，抛物线与折线DCE有两个交点；
2
故选：D．
【点睛】此题考查抛物线的图像性质、对称轴，解题的关键是熟悉抛物线图像性质．
14．如图在平面直角坐标系中，等边三角形OAB的边长为4，点A在第二象限内，将ΔOAB沿射线
AO平移，平移后点A′的横坐标为4√3，则点B′的坐标为（ ）
A．(−6√3,2) B．(6√3,−2√3) C．(6,−2) D．(6√3,−2)
【答案】D
【知识点】平移综合题(几何变换)、一次函数与几何综合
【分析】先根据已知条件求出点A、B的坐标，再求出直线OA的解析式，继而得出点A′的纵坐标，
找出点A平移至点A′的规律，即可求出点B′的坐标．
【详解】解：∵三角形OAB是等边三角形，且边长为4，
∴A(−2√3，2)，B(0，4)，
√3
设直线OA的解析式为y=kx，将点A坐标代入，解得：k=− ，
3
√3
即直线OA的解析式为：y=− x，
3
将点A′的横坐标为4√3代入解析式可得：y=−4，即点A′的坐标为(4√3，−4) ，
∵点A向右平移6√3个单位，向下平移6个单位得到点A′，
∴B′的坐标为(0+6√√3，4−6)即(6√3，−2)．
故选：D．
【点睛】本题考查的知识点是坐标与图形变化-平移，熟练掌握坐标平面图形平移的规律是解决本题
的关键．
3
15．如图，在平面直角坐标系中，点P(a,b)在第一象限，其中b>a，且a，b满足b=a+ ，过点P
a
作y轴和直线y=x的垂线，垂足分别为A，B，连接AB，则△PAB的面积是（ ）
3 3 3
A． B． √2 C． D．随a，b的值变化
2 4 4
【答案】C
【知识点】坐标与图形、求一次函数自变量或函数值、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题主要考查了坐标与图形，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，一次函数性质，
3
延长AP交OB于点C，过点B作BD⊥PC于点D，根据PA⊥y轴，P(a,b)在第一象限，b=a+
a
3 ( 3 3)
得出OA=b=a+ ，PA=a，根据直线OB的解析式为y=x，得出点C的坐标为 a+ ,a+ ，求
a a a
3 3
出PC=AC−AP=a+ −a= ，证明△PBC是等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质得出
a a
1 3
BD= PC= ，求出三角形的面积即可．
2 2a
【详解】解：延长AP交OB于点C，过点B作BD⊥PC于点D，如图所示：3
∵PA⊥y轴，P(a,b)在第一象限，b=a+
a
3
∴OA=b=a+ ，PA=a，
a
∵直线OB的解析式为y=x，
( 3 3)
∴点C的坐标为 a+ ,a+ ，
a a
3
∴AC=OA=a+ ，
a
3 3
∴PC=AC−AP=a+ −a= ，
a a
∵PA⊥y轴，
∴∠OAC=90°，
1
∴∠ACO=∠AOC= ×90°=45°，
2
∵PB⊥OC，
∴∠PBC=90°，
∴△PBC是等腰直角三角形，
∵BD⊥PC，
1 3
∴BD= PC= ，
2 2a
1 1 3 3
∴S = AP×DB= a× = ，
△PAB 2 2 2a 4
故选：C．
二、填空题
3
16．在平面直角坐标系中，直线y=− x+3与两坐标轴分别交于M、N两点，过点O作
4
ON ⊥MN，过N 作N M ⊥OM，得阴影Rt△OM N ；再过M 作M N ⊥MN，过N 作
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2
N M ⊥MN，得阴影Rt△M N M ；……如此进行下去，则得到的所有阴影三角形的面积之和
2 2 1 2 2为 ．
96
【答案】
41
【知识点】求角的正弦值、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、由一元一次方程
的解判断直线与x轴的交点
【分析】根据相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，那么阴影部分面积与空
白部分面积之比为16：25，那么所有的阴影部分面积之和可求了．
【详解】解：当x=0时，y=3，
∴ON=3；
3
当y=0时，0=− x+3，∴x=4，
4
∴OM=4，
∴MN=5，
∵∠NON+∠ONN=90°，∠NON+∠M ON =90°，
1 1 1 1 1
∴∠ONN =∠M ON ，
1 1 1
∵∠ON N=∠OMN=90°，
1 1 1
∴△ON N∽△OM N，
1 1 1
∴相似比为ON ：ON=sin∠ONN =4：5，
1 1
∴S ：S =16：25，
OM1N1 ON1N
△ △
同理可得到其他三角形之间也是这个情况，
16 96
∴所有的阴影部分面积之和应等于=3×4÷2× = ．
25+16 41
96
故答案为： ．
41
【点睛】本题主要考查了一次函数图像与坐标轴的交点，勾股定理，锐角三角函数的知识，相似三
角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答本题的关键．
17．如图所示，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距．某项研究表明，一般情况下
人的身高h是指距d的函数．下表是测得的指距与身高的一组数据：
指距d/厘 20 21 22 23米
身高h/厘 16
160 178 187
米 9
某人身高为196厘米，一般情况下他的指距应是 厘米．
【答案】24
【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是首先根据表格数据得到d与h是一次函数
关系，然后可设此函数解析式为h=kd+b，利用待定系数法即可求出此函数解析式．
【详解】解：由表格可知随着指距的增加，身高增加相同的长度，
故设此函数解析式为h=kd+b，
依题意有¿，
解得¿，
故h与d之间的关系式为：h=9d−20，
把h=196代入可得：196=9d−20，
解得：d=24，
故答案为：24．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l:y=x+2交y轴于点A ，点A ,A ,……A ，在直线l
1 2 3 n
上，点B ,B ,B ……B 在x轴的正半轴上，若△OA B ,△A B B ,△A B B ……△A B B ，
1 2 3 n 1 1 2 1 2 3 2 3 n n−1 n
依次均为等腰直角三角形，则点A 的坐标是 ．
n
【答案】(2n−2,2n
)
【知识点】一次函数的规律探究问题【分析】根据点在直线l:y=x+2上，可得出相对应的坐标，进而得到结果；
【详解】根据题意可得：
△OA B ,△A B B ,△A B B ……△A B B 依次均为等腰直角三角形，
1 1 2 1 2 3 2 3 n n−1 n
∴OA =OB ，A B =B B ，…
1 1 2 1 1 2
由A在l:y=x+2上可知，A (0,2)，
1
∴B (2,0)，
1
则A 的纵坐标为：2+2=4，即A (2,4)，
2 2
∴B A =B B =4，
1 2 1 2
∴OB =4+2=6，
2
∴B (6,0)，
2
则A 的纵坐标为：6+2=8，即A (6,8)，
3 3
⋮
∴当n=1时，x =21−2=0，y =2，A (0,2)；
1 1 1
当n=2时，x =22−2=2，y =4，A (2,4)；
2 2 2
当n=3时，x =23−2=6，y =8，A (6,8)；
3 3 3
⋮
当n=n时，x =2n−2，y =2n，A (2n−2,2n )；
n n n
故点A 的点是(2n−2,2n )．
n
【点睛】本题主要考查了规律型点的坐标，准确分析是解题的关键．
19．若2x-y＝1．且0<y<1．则x的取值范围为 ．
1
【答案】 <x<1
2
【知识点】比较一次函数值的大小
【分析】根据2x−y=1可得y＝2x-1，k＝2>0进而得出，当y＝0时，x取得最大值，当y＝1时，x
取得最小值，将y＝0和y＝1代入解析式，可得答案．
【详解】解：根据2x−y=1可得y＝2x﹣1，
∴k＝2>0
∵0<y<1，
1
∴当y＝0时，x取得最小值，且最大值为 ，
2
当y＝1时，x取得最大值，且最小值为1，1
∴ <x<1
2
1
故答案为： <x<1．
2
【点睛】此题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
20．已知正比例函数y=kx（k为常数，且k≠0）的图象经过第二、四象限，点M(x ,y )，
1 1
N(x ,y )都在一次函数y=−kx+k的图象上，若x <x ，则y −y 的值可能是 （写出一个即
2 2 1 2 1 2
可）
【答案】−1（答案不唯一）
【知识点】正比例函数的性质、比较一次函数值的大小
【分析】本题考查了正比例函数和一次函数的图象与性质，对于一次函数y=kx+b，当k>0时，图
象经过第一、三象限，y随x的增大而增大，当k<0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而增
减小，熟练知识点是解题的关键．根据正比例函数y=kx（k为常数，且k≠0）的图象经过第二、四
象限得到k<0，继而−k>0，则能判断一次函数y随着x的增大而增大，继而得到y <y ，即可求解．
1 2
【详解】解：∵正比例函数y=kx（k为常数，且k≠0）的图象经过第二、四象限，
∴k<0，
∴−k>0，
∴一次函数y=−kx+k，y随着x的增大而增大，
∵x <x ，
1 2
∴y <y ，
1 2
∴y −y <0，
1 2
故答案为：−1（答案不唯一）．
21．正比例函数y=kx(k<0)，当1≤x≤3时，函数y的最大值和最小值之差为4，则k= ．
【答案】−2
【知识点】根据一次函数增减性求参数、正比例函数的性质
【分析】本题考查了正比例函数的性质，熟知正比例函数的增减性是解题的关键．先根据k<0判断
出函数的增减性，再把x=1与x=3代入一次函数，由函数y的最大值和最小值之差为4求出k的值
即可．
【详解】解：∵正比例函数y=kx(k<0)，
∴y随x的增大而减小，
∵当x=1时，y=k，当x=3时，y=3k，
∵当1≤x≤3时，函数y的最大值和最小值之差为4，∴k−3k=4，解得k=−2．
故答案为：−2．
22．已知两直线y=4x−2，y=3m−x的交点在第三象限，则m的取值范围为 ．
2
【答案】m<−
3
【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、坐标与图形、求不等式组的解集
【分析】联立两个函数解析式，计算出x、y的值，进而得到交点坐标，然后再根据交点在第三象限，
得到横纵坐标的取值范围，再解不等式组可得m的取值范围．
【详解】解：由题意得¿，解得：¿，
(3m+2 12m−2)
因此交点坐标为 , ，
5 5
∵交点在第三象限，
∴¿，
2
解得：m<− ，
3
2
故答案为：m<− ．
3
【点睛】此题主要考查了两函数图象交点问题，求不等式组的解集，关键是掌握两函数图象的交点，
就是联立两函数解析式，求出x、y的值．
23．如图，直线y=kx+b(k≠0)与直线y=mx(m≠0)交于点P(−1,−2)，则关于x的不等式
kx+b≤mx的解集为 ．
【答案】x⩾−1/−1⩽x
【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集
【分析】根据图象可知两直线交点P的坐标，根据图象可以看出当x＞−1时，直线y=kx+b在直线
y=mx下方，即可得到答案．
【详解】解：由图象可知：P点的坐标是（-1，-2），
当x＞−1时，直线y=mx在直线y=kx+b上方，
即关于x的不等式kx+b≤mx的解集为x≥−1．故答案为：x≥−1．
【点睛】本题考查一次函数与不等式的关系，从函数图象的交点处判断左右的大小关系即可．
24．甲、乙两名同学观察完某个一次函数的图象，各叙述如下：
甲：函数的图象经过点(0,1)；
乙：函数的图象不经过第三象限．
根据他们的叙述，写出满足上述性质的一个函数表达式为 ．
【答案】y=−x+1
【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、求一次函数解析式
【分析】设一次函数解析式为y＝kx＋b，根据函数的性质得出b=1，k< 0，从而确定一次函数解析式，
本题答案不唯一．
【详解】解：设一次函数解析式为y＝kx＋b，
∵函数的图象经过点(0,1)，
∴b=1，
∵函数的图象不经过第三象限，
∴k＜0，
当取k=−1时，一次函数表达式为：y=−x+1，
∴满足上述性质的一个函数表达式为：y=−x+1（答案不唯一）．
故答案为：y=−x+1．
【点睛】本题主要考查一次函数的性质，数形结合是解题的关键，属于开放型的题型．
25．一次函数y＝kx+3的图象不经过第四象限，则k的取值范围是 ．
【答案】k>0/0<k
【知识点】已知函数经过的象限求参数范围
【分析】根据图象在坐标平面内的位置关系确定k的取值范围，从而求解．
【详解】解：∵一次函数y=kx+3的图象不经过第四象限，
∴经过第一、二、三象限，
∴k>0，
故答案为：k＞0．
【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数系数与图象的关系是解题关键．
三、解答题
26．如图，甲骑自行车与乙骑摩托车沿相同路线由A地到B地行驶，两地之间的路程是60km，请
根据图象解决下列问题：(1)分别求出甲行驶的路程y （km）、乙行驶的路程y （km）与甲行驶的时间x(h)之间的函数表达
1 2
式；
(2)若甲、乙都行驶且甲与乙相距的路程为12km，求x的值．
【答案】(1)y =10x；y =40x−120
1 2
(2)3.6或4.4
【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用)
【分析】（1）根据函数图象上的数据，利用待定系数法求函数表达式即可；
（2）观察图象可知，有两种情况下甲与乙相距的路程为12km，一种是甲与乙相遇前，一种是甲与
乙相遇后，分情况列式计算即可求解．
【详解】（1）解：设甲行驶的路程y （km）与甲行驶的时间x(h)之间的函数表达式为y =k x，
1 1 1
∵函数图像经过(4,40)点，
∴40=4k ，
1
解得k =10，
1
∴甲行驶的路程y （km）与甲行驶的时间x(h)之间的函数表达式为y =10x；
1 1
设乙行驶的路程y （km）与甲行驶的时间x(h)之间的函数表达式为y =k x+b，
2 2 2
∵函数图像经过(4,40)和(4.5,60)，
∴¿，
解得k =40，b=−120，
2
∴ y =40x−120，
2
∴乙行驶的路程y （km）与甲行驶的时间x(h)之间的函数表达式为y =40x−120；
2 2
（2）解：甲、乙都行驶且甲与乙相遇前相距的路程为12km时，
10x−(40x−120)=12，
解得x=3.6；
甲、乙都行驶且甲与乙相遇后前相距的路程为12km时，
(40x−120)−10x=12，
解得x=4.4；
∴甲、乙都行驶且甲与乙相距的路程为12km时，x的值为3.6或4.4．【点睛】本题考查一次函数的实际应用，学会观察函数图象，利用数形结合思想是解答本题的关键．
27．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象经过(−3,12)，(6,0)两点，与x轴和y轴
分别交于点A和点B．
(1)求一次函数y=kx+b的解析式；
(2)若点P在线段AB上，过P点作PC⊥OA于点C，作PD⊥OB于点D，若四边形PCOD为正方形，
求点P的坐标；
(3)点M在x轴上，点N在第一象限，若以A，B，M，N为顶点的四边形是菱形，直接写出点N的坐
标．
4
【答案】(1)y=− x+8
3
(24 24)
(2)P ,
7 7
(25 )
(3)(10,8)或 ,8
3
【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、利用菱形的性质证明、根据正方形的性质证
明
【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式，把(−3,12)，(6,0)代入y=kx+b得方程组，解方
程组即可得到结论；
4
（2）根据正方形的性质得到PD=PC，设P(m,n)，得到m=n，把P(m,n)代入y=− x+8解方
3
程组即可得到结论；
（3）按照以AB为菱形的对角线和菱形的边长分类讨论求解即可得到答案．
【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象经过(−3,12)，(6,0)两点，把
(−3,12)，(6,0)代入y=kx+b得¿，解得¿，
4
∴一次函数y=kx+b的解析式为y=− x+8；
3
（2）解：∵四边形PCOD为正方形，
∴PD=PC，设P(m,n)，
∴m=n，
4 24
把P(m,n)代入y=− x+8得¿，解得m=n= ，
3 7
(24 24)
∴点P的坐标为 ， ；
7 7
4
（3）解：在y=− x+8中，令x=0，则y=8，令y=0，则x=6，
3
∴A(6,0)，B(0,8)，
由题意得点M在x轴上，点N在坐标平面内，以A，B，M，N为顶点的四边形是菱形，
当AB为菱形的边长，
①当AM=AB=√62+82=10时，M在A左侧时坐标为(−4，0)；M在A右侧时坐标为(16,0)，此
时AM=BN，AM∥BN，
∴当M坐标为(−4，0)时，N(−10,8)（舍去）；当M坐标为(16,0)时，N(10,8)；
②BM=AB=10时，此时△ABM、△BMN都为等腰三角形，故M(−6,0)，N(0,−8)（舍去）；
当AB为菱形的对角线时，由题意可得BM=AM，设M坐标为(a,0)，则(6−a) 2=82+a2，解得
7
a=− ，
3
( 7 )
∴M坐标为 − ，0 ，
3
∵BN=AM，且BN∥AM，
( 7) 25
∴BN=6− − = ，
3 3
(25 )
∴N坐标为 ,8 ；
3
(25 )
综上所述，N(10,8)， ,8 ．
3
【点睛】本题一次函数与特殊平行四边形综合，难度较大，涉及一次函数的图象与性质、待定系数
法确定函数解析式、正方形性质、解二元一次方程组求做标、勾股定理、菱形的性质、两点之间距
离公式、等腰三角形的判定与性质等知识，解答该题的关键是熟练掌握一次函数的相关知识点及正
方形、菱形的性质．28．已知平面直角坐标系如图所示：
(1)画出函数y=2x+1的图象；
(2)写一条关于这个一次函数图象的性质：____________；
(3)把直线y=2x+1向下平移一个单位，得到的函数表达式是____________；
【答案】(1)见解析
(2)函数图像的增减性，y随x的增大而增大
(3)y=2x
【知识点】判断一次函数的增减性、一次函数图象平移问题、画一次函数图象
【分析】本题考查了一次函数图像及性质，
（1）根据一次函数特殊点法即可作出一次函数图像，
（2）根据一次函数的性质即可求解，
（3）根据一次函数的平移性质即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，
（2）解：函数图像的增减性，y随x的增大而增大，
故答案为：函数图像的增减性，y随x的增大而增大；
（3）解：由一次函数的平移性质可知，把直线y=2x+1向下平移一个单位，得到y=2x+1−1，即y=2x，
故答案为：y=2x．
29．某水果店进行了一次水果促销活动，在该店一次性购买A种水果的单价y（元）与购买量x（千
克）的函数关系如图所示，
（1）当0<x≤5时，单价y为______元；当单价y为8.8元时，购买量x（千克）的取值范围为
______；
（2）根据函数图象，当5≤x≤11时，求出函数图象中单价y（元）与购买量x（千克）的函数关系
式；
（3）促销活动期间，张亮计划去该店购买A种水果10千克，那么张亮共需花费多少元？
【答案】（1）10；x≥11；（2）函数图象的解析式：y=−0.2x+11(5≤x≤11)；（3）促销活动
期间，去该店购买A种水果10千克，那么共需花费9元．
【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式、从函数的图象获取信息
【分析】（1）根据观察函数图象的横坐标，纵坐标，可得结果；
（2）根据待定系数法，设函数图象的解析式y=kx+b （k是常数，b是常数，k≠0），将(5,10)，
(11,8.8)两个点代入求解即可得函数的解析式；
（3）将x=10代入（2）函数解析式即可．
【详解】解：（1）观察函数图象的横坐标，纵坐标，不超过5千克时，单价是10元，数量不少于
11千克时，单价为8.8元．
故答案为：10；x≥11；
（2）设函数图象的解析式y=kx+b （k是常数，b是常数，k≠0），
图象过点(5,10)，(11,8.8)，
可得：¿，
解得¿，
函数图象的解析式：y=−0.2x+11(5≤x≤11)；
（3）当x=10时，
y=−0.2×10+11=9，
答：促销活动期间，去该店购买A种水果10千克，那么共需花费9元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，待定系数法确定函数解析式等，理解题意，根据函数图象得出信息是解题关键．
30．如图，已知直线l：y=-x+3与直线l：y=2x-4相交于点A，请回答题：
1 1 2 2
（1）求出点A的坐标．
（2）请直接写出y＜y 时，x的取值范围是： ．
1 2
（3）若将直线l 向左平移2个单位后得到直线l：y=kx+b，请直接写出不等式解集 ．
1 3 3
7 2 7 5 5
【答案】（1）( , )（2）x＞ （3）l ≥l ,x≥ ;l ＜l ,x＜
3 3 3 2 3 3 2 3 3
【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集
【分析】(1)联立两直线解析式,解出A点坐标即可．
(2)由函数图象判断即可．
(3)先求出l 的解析式,再解出l ≥l 和l ＜l 的解集即可．
3 2 3 2 3
7 2
【详解】(1)令y=y,可得-x+3=2x-4,解得x= ,y= ．
1 2 3 3
7 2
故答案为:( , )．
3 3
7
(2)由图象可得y＜y 时,x＞ ．
1 2 3
7
故答案为:x＞ ．
3
(3)由题意可得y=-(x+2)+3=-x+1,
3
5
l ≥l ,2x-4≥-x+1,解得x≥ ,
2 3 3
5
l ＜l ,2x-4<-x+1,解得x＜ ,
2 3 3
5 5
故答案为: l ≥l ,x≥ ;l ＜l ,x＜ ．
2 3 3 2 3 3
【点睛】本题考查一次函数和不等式的结合,关键在于牢记一次函数的图象性质,利用图象解决不等式
的问题．31．某商场计划采购A，B两种不同型号的电视机共50台，已知A型电视机进价1500元，售价2000
元；B型电视机进价为2400元，售价3000元．
（1）设该商场购进A型电视机x台，请写出全部售出后该商店获利y与x之间函数表达式．
（2）若该商场采购两种电视机的总费用不超过108300元，全部售出所获利润不低于28500元，请
设计出所有采购方案，并求出使商场获得最大利润的采购方案及最大利润．
【答案】（1）y=−100x+30000；（2）共有三种采购方案：①甲型13台，乙型37台，②甲型
14台，乙型36台，③甲型15台，乙型35台，采购甲型电脑13台，乙型电脑37台时商店获得最大
利润，最大利润是28700元
【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、一元一次不等式组的其他应用
【分析】（1）由题意，获得总利润等于A、B两种型号利润之和即可列出函数解析式；
（2）由采购两种电视机的总费用不超过108300元，全部售出所获利润不低于28500元列出不等式
组，求出x的取值范围，再根据函数的性质求解即可．
【详解】解：（1）（1）由题意得：y=（2000-1500）x+（3000-2400）×（50-x）=-100x+30000，
∴全部售出后该商店获利y与x之间函数表达式为：y=−100x+30000；
（2）由题意得：1500x+2400(50−x)≤108300且−100x+30000≥28500
解得13≤x≤15，
∵x为正整数，∴x=13、14、15，
共有三种采购方案：①甲型13台，乙型37台，②甲型14台，乙型36台，③甲型15台，乙型35台，
∵−100<0，∴y随x的增大而减小，∴当x取最小值时，y有最大值，
即x=13时，y最大值=−100×13+30000=28700，
∴采购甲型电脑13台，乙型电脑37台时商店获得最大利润，最大利润是28700元．
【点睛】本题考查一次函数和一元一次不等式组的应用，由题意正确列出函数关系式和不等式组是
解题关键．
32．甲、乙两人沿同一直道从A处跑步到B处，图①、②分别表示甲跑步的路程y（单位：m），甲
乙两人之间的距离s（单位：m）与甲出发的时间x（单位：min）的函数关系，若乙先出发2min．
(1)甲的跑步速度是______m/min，乙的跑步速度是______m/min；
(2)求甲到达B处所用的时间；
(3)直接写出甲、乙两人之间的距离不超过100m的总时间．【答案】(1)150，100
(2)甲从A处到达B处用了16min
(3)6min．
【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用)
【分析】（1）根据图①甲的跑步速度是150(m/min)，设乙的跑步速度是am/min，根据图②得4
秒时，两人间距离是0即甲追上了乙，由此得方程150×4=2x+4x，解方程即可；
（2）根据图②从第一次追上到目的地，乙行驶了22−4=18min，乙独立行驶全程共用时
2+4+18=24min，计算全程长再除以甲的速度即可得解．
（3）分乙出发甲没出发，都出发追上前与追上后，以及甲到乙没到这几种情况结合图形分别求解即
可．
本题考查了函数图象信息题，待定系数法，熟练掌握图象信息的搜集与处理是解题的关键．
300
【详解】（1）根据图①甲的跑步速度是 =150(m/min)，
2
设乙的跑步速度是am/min，根据图②得4秒时，两人间距离是0即甲追上了乙，
由此得150×4=2a+4a，
解得a=100，
故乙的跑步速度是100m/min，
故答案为：150，100．
（2）根据图②从第一次追上到目的地，乙行驶了22−4=18min，乙独立行驶全程共用时
2+4+18=24min，
故全程长24×100=2400m，
2400
甲行驶全程用时间为： =16(min)．
150
（3）乙先行1min，乙在甲前面100m，
根据图②得到，乙2min行驶了2×100=200(m)，
设解析式为s=kx+200，确定解析式为s=−50x+200，得到100=−50x+200，解得x=2(min)；
根据甲16min走完全程，得甲追上乙以后，再行驶12min两人距离最大，最大为
12(150−100)=600m，
设此段的解析式为s=mx+b，结合题意，得¿，
得¿，
故s=50x−200，
当s=50x−200=100，
解得x=6(min)；
此时，持续时间为6−4=2(min)乙最后行驶1min，乙在甲后面100m，
故总时间为：1+2+2+1=6(min)．
33．如图，在平面直角坐标系中，直线l:y=2x+b分别与x轴，y轴交于点A，B(0,1)，且直线l经
m
过双曲线CD:y= (1≤x≤3)的左端点C．
x
(1)求点A的坐标和m的值．
(2)平移直线l到直线l′的位置，使其经过双曲线的右端点D，交x轴于点E，求AE的长．
( 1 )
【答案】(1)A − ,0 ，m=3
2
(2)3
【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式、一次函数图象平移问题、求
一次函数解析式
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数，一次函数的平移等知识，
( 1 )
（1）将B(0,1)代入y=2x+b，可得直线l的解析式为：y=2x+1，进而可得A − ,0 ，再根据
2
m
直线l经过双曲线CD:y= (1≤x≤3)的左端点C，可得C(1,3)，问题随之得解；
x
3
（2）结合（1）的结果得反比例函数解析式为：y= (1≤x≤3)，即可得D(3,1)，根据平移直线
x
y=2x+1到直线l′，设直线l′的解析式为：y=2x+t，代入D(3,1)，可得设直线l′的解析式为：
(5 )
y=2x−5，即可得E ,0 ，问题随之得解．
2【详解】（1）∵B(0,1)在直线y=2x+b的图象上，
∴1=0+b，即b=1，
∴直线l的解析式为：y=2x+1，
当y=0时，y=2x+1=0，
1
解得：x=− ，
2
( 1 )
∴A − ,0 ，
2
m
∵直线l经过双曲线CD:y= (1≤x≤3)的左端点C，
x
∴当x=1时，y=2x+1=3，
∴C(1,3)，
m
∴3= ，即m=3；
1
（2）∵m=3，
3
∴反比例函数解析式为：y= (1≤x≤3)，
x
3 3
当x=3时，y= = =1，
x 3
∴D(3,1)，
∵平移直线y=2x+1到直线l′，
∴设直线l′的解析式为：y=2x+t，
∵直线l′经过D(3,1)，
∴当x=3时，y=2×3+t=1，
∴t=−5，
∴设直线l′的解析式为：y=2x−5，
∴当y=0时，2x−5=0，
5
解得：x= ，
2
(5 )
∴E ,0 ，
2
( 1 )
∵A − ,0 ，
25 ( 1)
∴AE= − − =3．
2 2
34．2022年第19届亚运会（(The19thAsianGamesHangzhou2022)），简称“杭州2022年亚运
会”，将于2023年9月23日至10月8日在中国浙江杭州举行．杭州亚运会吉祥物是一组承载深厚底
蕴和充满时代活力的机器人，组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是
杭州”．它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因，三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”
“莲莲”．某专卖店购进A、B两种杭州亚运会吉祥物礼盒共50个，共花去7500元，这两种吉祥物
礼盒的进价、售价如表：
进价（元/个） 售价（元/个）
A种礼
168 198
盒
B种礼
138 158
盒
(1)求A、B两种吉祥物礼盒分别购进了多少个；
(2)由于销售情况很好，第一次购进的50个礼盒很快就销售完了，专卖店老板又计划用不超过12000
元购进A、B两种礼盒共80个，则应该如何进货，才能使得第二批礼盒全部售完后获得最大利润？
最大利润为多少？
【答案】(1)购进A种吉祥物礼盒20个，购进B种吉祥物礼盒30个；
(2)购进A种礼盒32个，B种礼盒48个售完后获得最大利润，最大利润1920元
【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(一元
一次方程的应用)
【分析】（1）设购进A种吉祥物礼盒x个，则购进B种吉祥物礼盒(50−x)个，根据购进A，B两种
杭州亚运会吉祥物礼盒共花去7500元列方程，解方程即可；
（2）设购进A种礼盒a个，B种礼盒(80−a)个，获得利润为y元，根据两种礼盒进价不超过12000
元求出a的取值范围，再根据总利润=两种礼盒利润之和列出函数解析式，由函数的性质即可求最值．
【详解】（1）解：设购进A种吉祥物礼盒x个，则购进B种吉祥物礼盒(50−x)个，
根据题意：168x+138(50−x)=7500，
解得：x=20，∴50−x=30，
答：购进A种吉祥物礼盒20个，购进B种吉祥物礼盒30个；
（2）解：设购进A种礼盒a个，B种礼盒(80−a)个，获得利润为y元，
∵购买A、B两种礼盒的费用不超过12000元，
∴168a+138(80−a)≤12000，
解得：a≤32，
根据题意得：y=(198−168)a+(158−138)(80−a)=10a+1600，
∵10>0，
∴y随a的增大而增大，
∴当a=32时，y有最大值，最大值为10×32+1600=1920，
80−a=80−32=48，
答：购进A种礼盒32个，B种礼盒48个售完后获得最大利润，最大利润1920元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，不等式的应用，一次函数的应用，根据题意正确列方程
和解析式是解题关键．
35．“疫苗接种，利国利民”，甲、乙两地分别对本地各40万人进行新冠疫苗接种.甲地在前期完
成5万人疫苗接种后，与乙地同时以相同速度进行疫苗接种，甲地经过a天后疫苗接种人数达到25
万人，由于情况变化，疫苗接种速度放缓，结果用了100天完成疫苗接种任务；乙地用了80天完成
疫苗接种任务.甲、乙两地的疫苗接种人数y（万人）与乙地疫苗接种所用时间x（天）之间的关系如
图所示.
(1)乙地每天疫苗接种的人数为____________万人；a的值为____________；
(2)当甲地疫苗接种速度放缓后，求甲地疫苗接种人数y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值
范围；
(3)在0<x≤80这段时间内，当两地疫苗接种人数的差不超过3万人时，直接写出疫苗接种所用时间
x的取值范围.
【答案】(1)0.5；401
(2)y= x+15（40⩽x⩽100）
4
(3)48⩽x⩽72
【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)
【分析】（1）由接种速度=接种人数÷接种天数求解
（2）利用待定系数法求解
（3）求出乙地y与x的函数解析式，求出甲乙两地接种疫苗刚好为3万人时对应天数，结合函数图
像直接写出x范围
【详解】（1）解：乙地的接种速度为40÷80=0.5（万人/天）
0.5a=25-5
解得a=40
故答案为：0.5；40
（2）设y=kx+b，将(40,25)，(100,40)代入得：
¿
1
解得k= ，b=15，
4
1
∴y= x+15（40⩽x⩽100）；
4
1
（3）由（1）得乙地疫苗接种人数y与接种所用时间x之间的关系式为y= x．
2
1 1
令 x+15− x=3，解得x=48；
4 2
1 (1 )
令 x− x+15 =3，解得x=72.
2 4
结合图像可得符合要求的x的取值范围是48⩽x⩽72
【点睛】本题考查一次函数的应用，解题关键是熟练掌握待定系数法求解．
【能力提升】
1
36．如图，在平面直角坐标系中，直线y=− x+b与x轴、y轴分别交于点A，B，与直线y=x交
2
于点M，点M的横坐标为2，在x轴上有一点P(a,0)（a>2），过点P作x轴的垂线，分别交函数
1
y=− x+b和y=x的图像于点C，D．
2(1)求直线AB的函数表达式；
(2)若OB=CD，求a的值；
(3)在（2）的条件下，求四边形OMCP的面积．
1
【答案】(1)y=− x+3
2
(2)4
(3)5
【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题
【分析】本题主要考查了一次函数的图像及性质，求函数值，熟练掌握一次函数的图像及性质是解
题的关键．
（1）点M在直线y=x的图象上，且点M的横坐标为2，得到点M的坐标为(2，2)，再把M(2，2)
1
代入y=− x+b.即可求得b的值，即可求得；
2
( 1 )
（2）先确定B点坐标为(0，3)，则OB=CD=3， 再表示出C点坐标为 a，− a+3， D点
2
( 1 )
坐标为(a，a)，所以a− − a+3 =3， 然后解方程即可；
2
（3）根据四边形OMCP的面积等于S −S 求解即可．
△AOM △ACP
【详解】（1）解：把x=2代入y=x中，可得y=2，
所以M的坐标为(2,2)，
1
把M(2,2)代入y=− x+b，解得b=3，
2
1
所以直线AB的函数表达式是y=− x+3．
2
1
（2）解：把x=0代入y=− x+3得y=3，
2
所以点B的坐标为(0,3)，
因为CD=OB，
所以CD=3，因为PC⊥x轴，
( 1 )
所以点C的坐标为 a,− a+3 ，点D的坐标为(a,a)，
2
( 1 )
所以a− − a+3 =3，
2
所以a=4；
（3）解：如图，过点M作MF⊥DP于点F，
由（2）知，点C的坐标为(4,1)，D坐标为(4,4)，
1 1
四边形OMCP的面积=△ODP的面积−△MCD的面积= ×4×4− (4−1)×(4−2)=5．
2 2
37．如图，在平面直角坐标系中，直线l :y=kx+b与x轴、y轴分别交于点A，B(0,4)，与直线
1
( 2)
l :y=x−1交于点E m, ，直线l 与x轴、y轴分别交于点D,C(0,−1)．
2 3 2
(1)求m的值及直线l 的函数表达式．
1
(2)若P是x轴上方且位于直线l 上的一点，且S −S =3，求点P的坐标．
2 四边形BODE △AEP
(3)在（2）的条件下，若Q是直线l 上的一点，F是y轴上的一点，试探究△FPQ能否成为以Q为直
1
角顶点的等腰直角三角形？若能，求出所有符合要求的点Q的坐标；若不能，请说明理由．
5
【答案】(1)m= ，y=−2x+4
3
(2)点P(3,2)(2 8)
(3)点Q的坐标为 , 或(2,0)
3 3
【知识点】求一次函数解析式、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、坐标与图形、
等腰三角形的定义
( 2) 2 5 (5 2)
【分析】（1）由点E m, 在直线l :y=x−1上，可得 =m−1，可求m= ，即E , ．将
3 2 3 3 3 3
(5 2)
B(0,4)，E , ，代入y=kx+b得，可求¿，进而可得直线l 的函数表达式．
3 3 1
（2）当y=0时，可求A(2,0)，D(1,0)．设P(c,c−1)，由题意知，
11 1 10
S =S −S = ，S = ，由S −S = >3，可知P在E点右侧，
四边形BODE △AOB △ADE 3 △ADE 3 四边形BODE △ADE 3
如图1，由S =S −S ，S =S −S ，S −S =3，可得
四边形BODE △AOB △ADE △AEP △ADP △ADE 四边形BODE △AEP
1 1
S −S =3，即 ×2×4− ×1×(c−1)=3，计算求解，进而可求P(3,2)．
△AOB △ADP 2 2
（3）如图2，过点Q作QH⊥y轴于点H，过点P作PG⊥HQ的延长线于点G．设Q(a,−2a+4)．
证明△HFQ≌△GQP(AAS)，则HQ=GP，即|a|=|−2a+4−2|，分当a=−2a+4−2时，当
a=−(−2a+4−2)时，两种情况求解作答即可．
( 2)
【详解】（1）解：∵点E m, 在直线l :y=x−1上，
3 2
2
∴ =m−1，
3
5
解得m= ，
3
(5 2)
∴E , ．
3 3
(5 2)
将B(0,4)，E , ，代入y=kx+b得，¿，
3 3
解得，¿，
∴直线l 的函数表达式为y=−2x+4．
1
（2）解：当y=0时，−2x+4=0，
解得，x=2，∴A(2,0)，
当y=0时，x−1=0，
解得，x=1，
∴D(1,0)．
设P(c,c−1)，
11 1
由题意知，S =S −S = ，S = ，
四边形BODE △AOB △ADE 3 △ADE 3
10
∵S −S = >3，
四边形BODE △ADE 3
∴P在E点右侧，如图1，
∴S =S −S ，S =S −S ，
四边形BODE △AOB △ADE △AEP △ADP △ADE
∵S −S =3，
四边形BODE △AEP
1 1
∴S −S =3，即 ×2×4− ×1×(c−1)=3，
△AOB △ADP 2 2
解得c=3，
∴P(3,2)．
（3）解：能
如图2，过点Q作QH⊥y轴于点H，过点P作PG⊥HQ的延长线于点G．
设Q(a,−2a+4)．
∵△FQP是以Q为直角顶点的等腰直角三角形，
∴∠FQP=90°，FQ=QP，∵∠HFQ+∠FQH=∠GQP+∠FQH，
∴∠HFQ=∠GQP，
又∵FQ=QP，∠FHQ=∠QGP=90°，
∴△HFQ≌△GQP(AAS)，
∴HQ=GP，
∴|a|=|−2a+4−2|．
2 (2 8)
当a=−2a+4−2时，解得a= ，此时点Q的坐标为 , ；
3 3 3
当a=−(−2a+4−2)时，解得a=2，此时点Q的坐标为(2,0)；
(2 8)
综上所述，点Q的坐标为 , 或(2,0)．
3 3
【点睛】本题考查了一次函数解析式，直线与坐标轴的交点，坐标与图形，等腰三角形的性质，全
等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握一次函数解析式，直线与坐标轴的交点，坐标与图形，等
腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．
38．如图，已知点A(2，0)、B(−1，1)，点P是直线y=−x+4上任意一点．
(1)当点P在什么位置时，△PAB的周长最小？求出点P的坐标及周长的最小值；
(2)在（1）的条件下，求出△PAB的面积．
(7 5)
【答案】(1)P , ，△PAB的周长是√26+√10
3 3
8
(2)
3
【知识点】一次函数与几何综合、根据成轴对称图形的特征进行求解、求一次函数解析式、用勾股
定理解三角形
【分析】（1）先根据对称找出P点的位置，求出A的对称点C的坐标，求出直线BC解析式，求出
两函数组成的方程组的解，即可求出P的坐标，即可求出答案；
（2）设直线BC与x轴交于F点， 求出点F的坐标，根据S =S −S 代入求出即可．
△PAB △PAF △BAF
【详解】（1）解：作出点A关于直线y=−x+4的对称点C，连结BC交直线于点P，∴PA=PC，AD=CD ，
则PB+PA=PB+PC=BC，
由直线y=−x+4得与x轴上的交点D为(4,0)，与y轴的交点为E为(0,4)，
∴OD=OE=4，
∴∠ODE=45°，
∴∠ADC=90°，
∴AD=CD=2，
∴点C的坐标是(4,2)，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
则¿，
解得：¿
1 6
即直线BC的解析式为∶y= x+ ．
5 5
联立两直线解析式∶¿，
解得：¿，
(7 5)
∴P , ，
3 3
由勾股定理得BC=√(4+1) 2+(2−1) 2=√26，AB=√(2+1) 2+(0−1) 2=√10·
∴△PAB的周长是√26+√10；
（2）设直线BC与x轴交于F点，如图2，1 6
另y=0，则 x+ =0，解得：x=−6
5 5
∴点F的坐标是(−6,0)，
∴AF=2−(−6)=8
∴S =S −S
△PAB △PAF △BAF
1 1
= ⋅y ⋅AF− y ⋅AF
2 P 2 B
1 (5 ) 8
= ×8⋅ −1 =
2 3 3
【点睛】本题考查了轴对称性的应用，勾股定理，用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的
几何问题等知识点的应用，利用轴对称的性质是解题的关键．
39．在平面直角坐标系中，点A(−1,1)，点B(m,m)，其中m>1．
(1)如图1，若∠ABO=30°，求m的值．
(2)如图2，点P是x轴正半轴上一点，PA⊥PB，AB交y轴于点D，AC⊥OD于点C，求
(PD+CD)的值．（用含m的式子表示）
【答案】(1)√3
(2)m
【知识点】求一次函数解析式、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆
定理求解
【分析】（1）先根据勾股定理逆定理证明△ABO为直角三角形，再根据30°角的直角三角形性质求
解即可；
（2）设P(p,0)，表示出PA,PB，由PA⊥PB，根据勾股定理得到p与m的关系式，化简得：
m−1 2m
2p(p+1−m)=0，解得：p=m−1故P(m−1,0)，求出直线AB的表达为为y= x+ ，得
m+1 m+1
2m
出D(0, )，由两点坐标公式可求PD，以及CD，则得出PD+CD的值．
m+1
【详解】（1）解：连接AO，∵ A(−1,1) B(m,m)
点 ，点 ，
∴AB2=(m+1) 2+(m−1) 2=2m2+2，AO2=2，OB2=2m2，
∴AO2+OB2=AB2，
∴∠AOB=90°，
∵∠ABO=30°，
∴AB=2OA，
则AB2=4OA2，
∴2m2+2=8，
解得：m=√3（舍负）；
（2）解：设P(p,0)，
∴PA2=(p+1) 2+(0−1) 2=p2+2p+2，PB2=(p−m) 2+m2=p2−2pm+2m2，
∵PA⊥PB，
∴PA2+PB2=AB2，
∴p2+2p+2+p2−2pm+2m2=2m2+2，
化简得：2p(p+1−m)=0，
解得：p=m−1或p=0（舍），
∴P(m−1,0)，
设l :y=kx+b，代入A,B得，
AB
¿，
m−1 2m
解得：k= ，b= ，
m+1 m+1
m−1 2m
∴y= x+ ，
m+1 m+1
2m
当x=0时，y= ，
m+1
2m
∴D(0, )，
m+1
√ 2m 2 m2+1 2m m−1
∴PD= (m−1) 2+( ) = ，CD= −1= ，
m+1 m+1 m+1 m+1m2+1 m−1
∴PD+CD= + =m．
m+1 m+1
【点睛】本题考查了勾股定理及逆定理，一次函数解析式的求解，一次函数与坐标轴的交点，已知
两点求距离，30°角的直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
40．据悉，上海市发改委拟于今年4月27日举行居民用水价格调整听证会，届时将有两个方案提供
听证．如图1，射线OA、射线OB分别表示现行的、方案一的每户每月的用水费y(元)与每户每月的
用水量x(立方米)之间的函数关系，已知方案一的用水价比现行的用水价每立方米多0.96元；方案二
如图2表格所示，每月的每立方米用水价格由该月的用水量决定，且第一、二、三级的用水价格之比
为1：1.5：2(精确到0.01元)．
级数 水量基数(m3) 调整后的价格（元/m3）
第一
0~15（含15） 2.61
级
第二
15~25（含25） 3.92
级
第三
25以上 n
级
图（2）
(1)写出现行的用水价是每立方米多少元？
(2)求图1中m的值和射线OB所对应的函数解析式，并写出定义域；
(3)若小明家某月的用水量是a立方米，请分别写出三种情况下(现行的、方案一和方案二)该月的水费
b(用a的代数式表示)；
(4)小明家最近10个月来的每月用水量的频数分布直方图如图3所示，估计小明会赞同采用哪个方案
请说明理由．
【答案】(1)每立方米1.84元
(2)m=140，y=2.8x (x≥0)
(3)现行的：b=1.84a；方案一：b=2.8a；方案二：当0≤a≤15，b=2.61a；当15<a≤25，b=3.92a−19.65；当a>25时，b=5.22a−52.15
(4)小明会赞同采用方案二，理由见解析
【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式
【分析】（1）用总价92元除以每月的用水量50立方米即可得出答案；
（2）根据方案一的用水价比现行的用水价每立方米多0.96元先得出现行的用水价，即可再求得m
的值，设射线OB所对应的函数解析式为y=kx，代入即可求得；
（3）分别根据每月的每立方米用水价格计算该月的水费b；
（4）根据小明家的平均月用水量估计每月的用水费哪一种更合算即可．
【详解】（1）92÷50=1.84，
故现行的用水价是每立方米1.84元；
（2）1.84+0.96=2.8，
m=2.8×50=140，
设射线OB所对应的函数解析式为y=kx (x≥0)，
则140=50k，
∴k=2.8，
∴y=2.8x(x≥0)；
（3）现行的：b=1.84a；
方案一：b=2.8a；
方案二：∵第一、二、三级的用水价格之比为1：1.5：2，
∴n=2.61×2=5.22，
当0≤a≤15，b=2.61a；
当15<a≤25，b=3.92(a−15)+15×2.61=3.92a−19.65；
当a>25时，b=5.22(a−25)+15×2.61+10×3.92=5.22a−52.15；
（4）小明会赞同采用方案二，理由如下：
小明家的月平均用水量：(13×1+14×2+15×4+16×3)÷10=14.9 <15，
当0≤a≤15时，水价为2.61元，此时方案一的水价为2.8元，
所以他可能会赞同方案二．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是根据函数图象找出自变量与因变量的关系式．
