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专题 02 一次函数及其应用（分层训练）
【基础训练】
一、单选题
1．当−10时，函数值y总是随自变量x增大而增大，反比例函数当k<0时，在每一个象限内，
y随自变量x增大而增大，二次函数根据对称轴及开口方向判断增减性．
【详解】解：A．y=−2x+1为一次函数，且−2<0时，函数值y总是随自变量x增大而减小，故不
符合题意；
B．y=2x2−1为二次函数，对称轴为x=0，开口向上，故当x>0时，函数值y随自变量x增大而增
大，当−10或者x<0时，函数值y随自变量x增大而增大，当−1−3时，函数值y随自变量x增大而
增大，故当−10与k<0两种情况分别讨论即可得答案.
【详解】若k>0，正比例函数y❑ =kx(k≠0)的图象过一、三象限，一次函数y❑ =kx−k(k≠0)的图象过
1 2
一、三、四象限，观察各选项可知没有选项符合；
若k<0，正比例函数y❑ =kx(k≠0)的图象过二、四象限，一次函数y❑ =kx−k(k≠0)的图象过一、二、
1 2
四象限，观察各选项可知A选项符合，故选A.
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握是解题的关键.一次函数y=kx+b的图象有四
种情况：①当k＞0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；②当k＞0，b＜0时，函
数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、
四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限．
6．一次函数y=3x＋2和y=2x−4的图象的交点坐标为（ ）
A．(1,5) B．(6,20) C．(−6,16) D．(−6,−16)
【答案】D
【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】本题考查一次函数图像的交点坐标，联立两函数解析式，解方程组即可解题．
【详解】解：解方程组¿得¿，
∴一次函数y=3x＋2和y=2x−4的图象的交点坐标为(−6,−16)，
故选D．
7．如图，正方形OABC中，点C(0,4)，点D为AB边上一个动点，连接CD，点P为CD的中点，
绕点D将线段DP顺时针旋转90°得到线段DQ，连接BQ，当点Q在射线OB的延长线上时，点D的
坐标为（ ）．
8 10
A．(4,2) B．(4,3) C．(4, ) D．(4, )
3 3
【答案】C
【知识点】根据旋转的性质求解、正方形性质理解、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者
AAS）、正比例函数的性质
【分析】如图，过P作PN⊥OA，交x轴于点N, 过Q作QE⊥x轴于E, 过D作平行于x轴的直线
交PN于M，交QE于F，交y轴于G，则DP=DQ，∠PDQ=90°,证明△PDM≌△DQF,设
D(4,t),再求解Q的坐标，再代入直线OB的解析式即可．
【详解】解：如图，过P作PN⊥OA，交x轴于点N, 过Q作QE⊥x轴于E, 过D作平行于x轴的直线交PN于M，交QE于F，交y轴于G，则DP=DQ，∠PDQ=90°,
∴∠PMD=90°=∠QFD,
∴∠PDM+∠QDF=90°=∠QDF+∠DQF,
∴∠PDM=∠DQF,
∴△PDM≌△DQF,
∴PM=DF,QF=MD,
∵ 正方形OABC中，点C(0,4)，
∴OC=OA=AB=BC=4,
设D(4,t), 而点P为CD的中点，
4+t
∴P(2, ),
2
4+t 4−t 4−t 1
∴PM= −t= =DF, QF=MD=2, QE=2+t,OE=4+ =6− t,
2 2 2 2
1
∴Q(6− t,2+t),
2
设OB的解析式为y=kx, 而B(4,4),
∴4k=4, 解得：k=1,
∴OB的解析式为：y=x,
1
∴6− t=2+t,
2
8
解得：t= ,
3
8
∴D(4, ).
3
故选C
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，坐标与图形，正比例函数的性质，正方形的性质，1
求解Q(6− t,2+t)是解本题的关键．
2
3 9
8．已知一次函数y=3x与y=− x+ 图象的交点坐标是(1,3)，则方程组¿的解是（ ）
2 2
A．¿ B．¿ C．¿ D．¿
【答案】A
【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组之间的关系，两直线的交点横纵坐标即为联立
两直线解析式得到的方程组的解，据此可得答案．
3 9
【详解】解：∵一次函数y=3x与y=− x+ 图象的交点坐标是(1,3)，
2 2
∴方程组¿的解是¿，
故选：A．
9．小亮和小明周六到距学校24km的滨湖湿地公园春游，小亮8：00从学校出发，骑自行车去湿地
公园，小明8：30从学校出发，乘车沿相同路线去滨湖湿地公园，在同一直角坐标系中，小亮和小
明的行进路程S(km)与时间t（时）的函数图象如图所示．根据图象得到结论，其中错误的是（ ）
A．小亮骑自行车的平均速度是12km/h
B．小明比小亮提前0.5小时到达滨湖湿地公园
C．小明在距学校12km处追上小亮
D．9：30小明与小亮相距4km
【答案】D
【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题主要考查一次函数的实际应用能力，读懂图象中特殊点坐标的实际意义是解题的关键．
根据函数图象可知小亮行驶全程所用时间、可得速度，即可判断A；根据图象可知两人到达终点时
间，可判断B；当t=9时两人相遇，结合小亮速度可知其路程，判断C；分别求出9：30时小明与
小亮的路程即可判断D．【详解】解：A、根据函数图象小亮去滨湖湿地公园所用时间为10−8=2小时，则小亮骑自行车的
平均速度为：24÷2=12km/h，故该选项正确；
B、由图象可得，小明到滨湖湿地公园对应的时间t=9.5，小亮到滨湖湿地公园对应的时间t=10，
则10−9.5=0.5（小时），所以小明比小亮提前0.5小时到达滨湖湿地公园，故B选项正确；
C、由图象可知，当t=9时，小明追上小亮，此时小亮离开学校的时间为9−8=1小时，则小亮走的
路程为：1×12=12km，所以小明在距学校12km处追上小亮，故C选项正确；
D、由图象可知，当t=9.5时，小明的路程为24km,小亮的路程为12×(9.5−8)=18km,此时小明与
小亮相距24−18=6km,故D选项错误．
故选：D．
10．若一次函数y=(m−1)x−1的图像经过第一、三、四象限，则m的值可能为（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．2
【答案】D
【知识点】已知函数经过的象限求参数范围
【分析】利用一次函数图象与系数的关系可得出m-1＞0，解之即可得出m的取值范围，再对照四个
选项即可得出结论．
【详解】解：∵一次函数y=（m-1）x-1的图象经过第一、三、四象限，
∴m-1＞0，
∴m＞1，
∴m的值可能为2．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系、解一元一次不等式，牢记“k＞0，b＜0 y=kx+b
的图象经过一、三、四象限”是解题的关键． ⇔
11．甲、乙两车从A城出发前往B城．在整个行程中，两车离A城的距离y与时刻t的对应关系如图
所示，则两图象交点的纵坐标是（ ）
A．130 B．140 C．150 D．160
【答案】C【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)
【分析】根据图象分别求出两车的速度，再列方程解答即可．
【详解】解：由题意可知，A，B两城相距300千名，甲车比乙车先出发1小时，却晚1小时到城，
甲车的平均速度为：300÷(10−5)=60（千米/时），乙车的平均速度为：300÷(9−6)=100（千
米/时），
设乙追上甲时，乙行驶的时间为x小时，则：
100x=60(x+1)
解得x=1.5
1.5×100=150(km)
∴两图象交点的纵坐标是150，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，关键是正确从函数图象中得到正确的信息．
12．一次函数y =ax+b与y =cx+d的图象如图所示，下列结论中，正确的有（ ）
1 2
①对于函数y =cx+d来说，y随x的增大而减小；
2
②函数y =ax+b的图象经过第一、二、四象限；
1
d−b
③a−c=
2
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象与坐标轴的交点问题
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象与性质，利用数形结合是解题的
关键．
【详解】解：由图象可知，对于函数y =cx+d来说，y随x的增大而增大；函数y =ax+b的图象经
2 1
过第一、二、四象限，故①错误，②正确．
由图象可知，一次函数y ，y 的图象的交点横坐标为2．
1 2
∴2a+b=2c+d，
d−b
∴a−c= ，故③正确．
2
故答案：C．
13．如图，直线y=−x+1与x轴交于点A，直线m是过点A、B(−3,0)的抛物线y=ax2+bx+c的对称轴，直线y=−x+1与直线m交于点C，已知点D(n,5)在直线y=−x+1上，作线段CD关于直
线m对称的线段CE，若抛物线与折线DCE有两个交点，则a的取值范围为（ ）
A．a≥1 B．00，抛物线开口向上且经过D(−4,5)，求得a=1，由对称性可知：当a≥1时，抛物线与折
1
线DCE有两个交点；ii）若a<0，抛物线开口向下且经过C(−1,2)，求得a=− ；由对称性可知：
2
1
当a<− 时，抛物线与折线DCE有两个交点；据此即可得出结论．
2
【详解】解：∵直线y=−x+1与x轴交于点A，点D(n,5)在直线y=−x+1上，
∴A(1,0)，D(−4,5)，
∴抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=−1，
∴y=1+1=2，
∴C(−1,2)，
∵C、E关于直线x=−1对称，
∴E(2,5)，
b
∵- =-1，
2a
∴b=2a，
把A(1,0)代入抛物线y=ax2+bx+c得c=−3a，
∴抛物线的解析式为：y=ax2+2ax−3a
（i）若a>0，抛物线开口向上且经过D(−4,5)，把(−4,5)代入y=ax2+2ax−3a求出：a=1；
由对称性可知：当a≥1时，抛物线与折线DCE有两个交点；1
（ii）若a<0，抛物线开口向下且经过C(−1,2)，把C(−1,2)代入y=ax2+2ax−3aa求出：a=− ；
2
1
由对称性可知：当a<− 时，抛物线与折线DCE有两个交点；
2
1
综上所述：当a≥1或a<− 时，抛物线与折线DCE有两个交点；
2
故选：D．
【点睛】此题考查抛物线的图像性质、对称轴，解题的关键是熟悉抛物线图像性质．
14．如图在平面直角坐标系中，等边三角形OAB的边长为4，点A在第二象限内，将ΔOAB沿射线
AO平移，平移后点A′的横坐标为4√3，则点B′的坐标为（ ）
A．(−6√3,2) B．(6√3,−2√3) C．(6,−2) D．(6√3,−2)
【答案】D
【知识点】平移综合题(几何变换)、一次函数与几何综合
【分析】先根据已知条件求出点A、B的坐标，再求出直线OA的解析式，继而得出点A′的纵坐标，
找出点A平移至点A′的规律，即可求出点B′的坐标．
【详解】解：∵三角形OAB是等边三角形，且边长为4，
∴A(−2√3，2)，B(0，4)，
√3
设直线OA的解析式为y=kx，将点A坐标代入，解得：k=− ，
3
√3
即直线OA的解析式为：y=− x，
3
将点A′的横坐标为4√3代入解析式可得：y=−4，即点A′的坐标为(4√3，−4) ，
∵点A向右平移6√3个单位，向下平移6个单位得到点A′，
∴B′的坐标为(0+6√√3，4−6)即(6√3，−2)．
故选：D．
【点睛】本题考查的知识点是坐标与图形变化-平移，熟练掌握坐标平面图形平移的规律是解决本题
的关键．
3
15．如图，在平面直角坐标系中，点P(a,b)在第一象限，其中b>a，且a，b满足b=a+ ，过点P
a
作y轴和直线y=x的垂线，垂足分别为A，B，连接AB，则△PAB的面积是（ ）
3 3 3
A． B． √2 C． D．随a，b的值变化
2 4 4
【答案】C
【知识点】坐标与图形、求一次函数自变量或函数值、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题主要考查了坐标与图形，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，一次函数性质，
3
延长AP交OB于点C，过点B作BD⊥PC于点D，根据PA⊥y轴，P(a,b)在第一象限，b=a+
a
3 ( 3 3)
得出OA=b=a+ ，PA=a，根据直线OB的解析式为y=x，得出点C的坐标为 a+ ,a+ ，求
a a a
3 3
出PC=AC−AP=a+ −a= ，证明△PBC是等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质得出
a a
1 3
BD= PC= ，求出三角形的面积即可．
2 2a
【详解】解：延长AP交OB于点C，过点B作BD⊥PC于点D，如图所示：3
∵PA⊥y轴，P(a,b)在第一象限，b=a+
a
3
∴OA=b=a+ ，PA=a，
a
∵直线OB的解析式为y=x，
( 3 3)
∴点C的坐标为 a+ ,a+ ，
a a
3
∴AC=OA=a+ ，
a
3 3
∴PC=AC−AP=a+ −a= ，
a a
∵PA⊥y轴，
∴∠OAC=90°，
1
∴∠ACO=∠AOC= ×90°=45°，
2
∵PB⊥OC，
∴∠PBC=90°，
∴△PBC是等腰直角三角形，
∵BD⊥PC，
1 3
∴BD= PC= ，
2 2a
1 1 3 3
∴S = AP×DB= a× = ，
△PAB 2 2 2a 4
故选：C．
二、填空题
3
16．在平面直角坐标系中，直线y=− x+3与两坐标轴分别交于M、N两点，过点O作
4
ON ⊥MN，过N 作N M ⊥OM，得阴影Rt△OM N ；再过M 作M N ⊥MN，过N 作
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2
N M ⊥MN，得阴影Rt△M N M ；……如此进行下去，则得到的所有阴影三角形的面积之和
2 2 1 2 2为 ．
96
【答案】
41
【知识点】求角的正弦值、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、由一元一次方程
的解判断直线与x轴的交点
【分析】根据相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，那么阴影部分面积与空
白部分面积之比为16：25，那么所有的阴影部分面积之和可求了．
【详解】解：当x=0时，y=3，
∴ON=3；
3
当y=0时，0=− x+3，∴x=4，
4
∴OM=4，
∴MN=5，
∵∠NON+∠ONN=90°，∠NON+∠M ON =90°，
1 1 1 1 1
∴∠ONN =∠M ON ，
1 1 1
∵∠ON N=∠OMN=90°，
1 1 1
∴△ON N∽△OM N，
1 1 1
∴相似比为ON ：ON=sin∠ONN =4：5，
1 1
∴S ：S =16：25，
OM1N1 ON1N
△ △
同理可得到其他三角形之间也是这个情况，
16 96
∴所有的阴影部分面积之和应等于=3×4÷2× = ．
25+16 41
96
故答案为： ．
41
【点睛】本题主要考查了一次函数图像与坐标轴的交点，勾股定理，锐角三角函数的知识，相似三
角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答本题的关键．
17．如图所示，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距．某项研究表明，一般情况下
人的身高h是指距d的函数．下表是测得的指距与身高的一组数据：
指距d/厘 20 21 22 23米
身高h/厘 16
160 178 187
米 9
某人身高为196厘米，一般情况下他的指距应是 厘米．
【答案】24
【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是首先根据表格数据得到d与h是一次函数
关系，然后可设此函数解析式为h=kd+b，利用待定系数法即可求出此函数解析式．
【详解】解：由表格可知随着指距的增加，身高增加相同的长度，
故设此函数解析式为h=kd+b，
依题意有¿，
解得¿，
故h与d之间的关系式为：h=9d−20，
把h=196代入可得：196=9d−20，
解得：d=24，
故答案为：24．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l:y=x+2交y轴于点A ，点A ,A ,……A ，在直线l
1 2 3 n
上，点B ,B ,B ……B 在x轴的正半轴上，若△OA B ,△A B B ,△A B B ……△A B B ，
1 2 3 n 1 1 2 1 2 3 2 3 n n−1 n
依次均为等腰直角三角形，则点A 的坐标是 ．
n
【答案】(2n−2,2n
)
【知识点】一次函数的规律探究问题【分析】根据点在直线l:y=x+2上，可得出相对应的坐标，进而得到结果；
【详解】根据题意可得：
△OA B ,△A B B ,△A B B ……△A B B 依次均为等腰直角三角形，
1 1 2 1 2 3 2 3 n n−1 n
∴OA =OB ，A B =B B ，…
1 1 2 1 1 2
由A在l:y=x+2上可知，A (0,2)，
1
∴B (2,0)，
1
则A 的纵坐标为：2+2=4，即A (2,4)，
2 2
∴B A =B B =4，
1 2 1 2
∴OB =4+2=6，
2
∴B (6,0)，
2
则A 的纵坐标为：6+2=8，即A (6,8)，
3 3
⋮
∴当n=1时，x =21−2=0，y =2，A (0,2)；
1 1 1
当n=2时，x =22−2=2，y =4，A (2,4)；
2 2 2
当n=3时，x =23−2=6，y =8，A (6,8)；
3 3 3
⋮
当n=n时，x =2n−2，y =2n，A (2n−2,2n )；
n n n
故点A 的点是(2n−2,2n )．
n
【点睛】本题主要考查了规律型点的坐标，准确分析是解题的关键．
19．若2x-y＝1．且00进而得出，当y＝0时，x取得最大值，当y＝1时，x
取得最小值，将y＝0和y＝1代入解析式，可得答案．
【详解】解：根据2x−y=1可得y＝2x﹣1，
∴k＝2>0
∵00时，图
象经过第一、三象限，y随x的增大而增大，当k<0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而增
减小，熟练知识点是解题的关键．根据正比例函数y=kx（k为常数，且k≠0）的图象经过第二、四
象限得到k<0，继而−k>0，则能判断一次函数y随着x的增大而增大，继而得到y 0，
∴一次函数y=−kx+k，y随着x的增大而增大，
∵x 0/00，
故答案为：k＞0．
【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数系数与图象的关系是解题关键．
三、解答题
26．如图，甲骑自行车与乙骑摩托车沿相同路线由A地到B地行驶，两地之间的路程是60km，请
根据图象解决下列问题：(1)分别求出甲行驶的路程y （km）、乙行驶的路程y （km）与甲行驶的时间x(h)之间的函数表达
1 2
式；
(2)若甲、乙都行驶且甲与乙相距的路程为12km，求x的值．
【答案】(1)y =10x；y =40x−120
1 2
(2)3.6或4.4
【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用)
【分析】（1）根据函数图象上的数据，利用待定系数法求函数表达式即可；
（2）观察图象可知，有两种情况下甲与乙相距的路程为12km，一种是甲与乙相遇前，一种是甲与
乙相遇后，分情况列式计算即可求解．
【详解】（1）解：设甲行驶的路程y （km）与甲行驶的时间x(h)之间的函数表达式为y =k x，
1 1 1
∵函数图像经过(4,40)点，
∴40=4k ，
1
解得k =10，
1
∴甲行驶的路程y （km）与甲行驶的时间x(h)之间的函数表达式为y =10x；
1 1
设乙行驶的路程y （km）与甲行驶的时间x(h)之间的函数表达式为y =k x+b，
2 2 2
∵函数图像经过(4,40)和(4.5,60)，
∴¿，
解得k =40，b=−120，
2
∴ y =40x−120，
2
∴乙行驶的路程y （km）与甲行驶的时间x(h)之间的函数表达式为y =40x−120；
2 2
（2）解：甲、乙都行驶且甲与乙相遇前相距的路程为12km时，
10x−(40x−120)=12，
解得x=3.6；
甲、乙都行驶且甲与乙相遇后前相距的路程为12km时，
(40x−120)−10x=12，
解得x=4.4；
∴甲、乙都行驶且甲与乙相距的路程为12km时，x的值为3.6或4.4．【点睛】本题考查一次函数的实际应用，学会观察函数图象，利用数形结合思想是解答本题的关键．
27．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象经过(−3,12)，(6,0)两点，与x轴和y轴
分别交于点A和点B．
(1)求一次函数y=kx+b的解析式；
(2)若点P在线段AB上，过P点作PC⊥OA于点C，作PD⊥OB于点D，若四边形PCOD为正方形，
求点P的坐标；
(3)点M在x轴上，点N在第一象限，若以A，B，M，N为顶点的四边形是菱形，直接写出点N的坐
标．
4
【答案】(1)y=− x+8
3
(24 24)
(2)P ,
7 7
(25 )
(3)(10,8)或 ,8
3
【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、利用菱形的性质证明、根据正方形的性质证
明
【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式，把(−3,12)，(6,0)代入y=kx+b得方程组，解方
程组即可得到结论；
4
（2）根据正方形的性质得到PD=PC，设P(m,n)，得到m=n，把P(m,n)代入y=− x+8解方
3
程组即可得到结论；
（3）按照以AB为菱形的对角线和菱形的边长分类讨论求解即可得到答案．
【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象经过(−3,12)，(6,0)两点，把
(−3,12)，(6,0)代入y=kx+b得¿，解得¿，
4
∴一次函数y=kx+b的解析式为y=− x+8；
3
（2）解：∵四边形PCOD为正方形，
∴PD=PC，设P(m,n)，
∴m=n，
4 24
把P(m,n)代入y=− x+8得¿，解得m=n= ，
3 7
(24 24)
∴点P的坐标为 ， ；
7 7
4
（3）解：在y=− x+8中，令x=0，则y=8，令y=0，则x=6，
3
∴A(6,0)，B(0,8)，
由题意得点M在x轴上，点N在坐标平面内，以A，B，M，N为顶点的四边形是菱形，
当AB为菱形的边长，
①当AM=AB=√62+82=10时，M在A左侧时坐标为(−4，0)；M在A右侧时坐标为(16,0)，此
时AM=BN，AM∥BN，
∴当M坐标为(−4，0)时，N(−10,8)（舍去）；当M坐标为(16,0)时，N(10,8)；
②BM=AB=10时，此时△ABM、△BMN都为等腰三角形，故M(−6,0)，N(0,−8)（舍去）；
当AB为菱形的对角线时，由题意可得BM=AM，设M坐标为(a,0)，则(6−a) 2=82+a2，解得
7
a=− ，
3
( 7 )
∴M坐标为 − ，0 ，
3
∵BN=AM，且BN∥AM，
( 7) 25
∴BN=6− − = ，
3 3
(25 )
∴N坐标为 ,8 ；
3
(25 )
综上所述，N(10,8)， ,8 ．
3
【点睛】本题一次函数与特殊平行四边形综合，难度较大，涉及一次函数的图象与性质、待定系数
法确定函数解析式、正方形性质、解二元一次方程组求做标、勾股定理、菱形的性质、两点之间距
离公式、等腰三角形的判定与性质等知识，解答该题的关键是熟练掌握一次函数的相关知识点及正
方形、菱形的性质．28．已知平面直角坐标系如图所示：
(1)画出函数y=2x+1的图象；
(2)写一条关于这个一次函数图象的性质：____________；
(3)把直线y=2x+1向下平移一个单位，得到的函数表达式是____________；
【答案】(1)见解析
(2)函数图像的增减性，y随x的增大而增大
(3)y=2x
【知识点】判断一次函数的增减性、一次函数图象平移问题、画一次函数图象
【分析】本题考查了一次函数图像及性质，
（1）根据一次函数特殊点法即可作出一次函数图像，
（2）根据一次函数的性质即可求解，
（3）根据一次函数的平移性质即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，
（2）解：函数图像的增减性，y随x的增大而增大，
故答案为：函数图像的增减性，y随x的增大而增大；
（3）解：由一次函数的平移性质可知，把直线y=2x+1向下平移一个单位，得到y=2x+1−1，即y=2x，
故答案为：y=2x．
29．某水果店进行了一次水果促销活动，在该店一次性购买A种水果的单价y（元）与购买量x（千
克）的函数关系如图所示，
（1）当00，
∴y随a的增大而增大，
∴当a=32时，y有最大值，最大值为10×32+1600=1920，
80−a=80−32=48，
答：购进A种礼盒32个，B种礼盒48个售完后获得最大利润，最大利润1920元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，不等式的应用，一次函数的应用，根据题意正确列方程
和解析式是解题关键．
35．“疫苗接种，利国利民”，甲、乙两地分别对本地各40万人进行新冠疫苗接种.甲地在前期完
成5万人疫苗接种后，与乙地同时以相同速度进行疫苗接种，甲地经过a天后疫苗接种人数达到25
万人，由于情况变化，疫苗接种速度放缓，结果用了100天完成疫苗接种任务；乙地用了80天完成
疫苗接种任务.甲、乙两地的疫苗接种人数y（万人）与乙地疫苗接种所用时间x（天）之间的关系如
图所示.
(1)乙地每天疫苗接种的人数为____________万人；a的值为____________；
(2)当甲地疫苗接种速度放缓后，求甲地疫苗接种人数y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值
范围；
(3)在02），过点P作x轴的垂线，分别交函数
1
y=− x+b和y=x的图像于点C，D．
2(1)求直线AB的函数表达式；
(2)若OB=CD，求a的值；
(3)在（2）的条件下，求四边形OMCP的面积．
1
【答案】(1)y=− x+3
2
(2)4
(3)5
【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题
【分析】本题主要考查了一次函数的图像及性质，求函数值，熟练掌握一次函数的图像及性质是解
题的关键．
（1）点M在直线y=x的图象上，且点M的横坐标为2，得到点M的坐标为(2，2)，再把M(2，2)
1
代入y=− x+b.即可求得b的值，即可求得；
2
( 1 )
（2）先确定B点坐标为(0，3)，则OB=CD=3， 再表示出C点坐标为 a，− a+3， D点
2
( 1 )
坐标为(a，a)，所以a− − a+3 =3， 然后解方程即可；
2
（3）根据四边形OMCP的面积等于S −S 求解即可．
△AOM △ACP
【详解】（1）解：把x=2代入y=x中，可得y=2，
所以M的坐标为(2,2)，
1
把M(2,2)代入y=− x+b，解得b=3，
2
1
所以直线AB的函数表达式是y=− x+3．
2
1
（2）解：把x=0代入y=− x+3得y=3，
2
所以点B的坐标为(0,3)，
因为CD=OB，
所以CD=3，因为PC⊥x轴，
( 1 )
所以点C的坐标为 a,− a+3 ，点D的坐标为(a,a)，
2
( 1 )
所以a− − a+3 =3，
2
所以a=4；
（3）解：如图，过点M作MF⊥DP于点F，
由（2）知，点C的坐标为(4,1)，D坐标为(4,4)，
1 1
四边形OMCP的面积=△ODP的面积−△MCD的面积= ×4×4− (4−1)×(4−2)=5．
2 2
37．如图，在平面直角坐标系中，直线l :y=kx+b与x轴、y轴分别交于点A，B(0,4)，与直线
1
( 2)
l :y=x−1交于点E m, ，直线l 与x轴、y轴分别交于点D,C(0,−1)．
2 3 2
(1)求m的值及直线l 的函数表达式．
1
(2)若P是x轴上方且位于直线l 上的一点，且S −S =3，求点P的坐标．
2 四边形BODE △AEP
(3)在（2）的条件下，若Q是直线l 上的一点，F是y轴上的一点，试探究△FPQ能否成为以Q为直
1
角顶点的等腰直角三角形？若能，求出所有符合要求的点Q的坐标；若不能，请说明理由．
5
【答案】(1)m= ，y=−2x+4
3
(2)点P(3,2)(2 8)
(3)点Q的坐标为 , 或(2,0)
3 3
【知识点】求一次函数解析式、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、坐标与图形、
等腰三角形的定义
( 2) 2 5 (5 2)
【分析】（1）由点E m, 在直线l :y=x−1上，可得 =m−1，可求m= ，即E , ．将
3 2 3 3 3 3
(5 2)
B(0,4)，E , ，代入y=kx+b得，可求¿，进而可得直线l 的函数表达式．
3 3 1
（2）当y=0时，可求A(2,0)，D(1,0)．设P(c,c−1)，由题意知，
11 1 10
S =S −S = ，S = ，由S −S = >3，可知P在E点右侧，
四边形BODE △AOB △ADE 3 △ADE 3 四边形BODE △ADE 3
如图1，由S =S −S ，S =S −S ，S −S =3，可得
四边形BODE △AOB △ADE △AEP △ADP △ADE 四边形BODE △AEP
1 1
S −S =3，即 ×2×4− ×1×(c−1)=3，计算求解，进而可求P(3,2)．
△AOB △ADP 2 2
（3）如图2，过点Q作QH⊥y轴于点H，过点P作PG⊥HQ的延长线于点G．设Q(a,−2a+4)．
证明△HFQ≌△GQP(AAS)，则HQ=GP，即|a|=|−2a+4−2|，分当a=−2a+4−2时，当
a=−(−2a+4−2)时，两种情况求解作答即可．
( 2)
【详解】（1）解：∵点E m, 在直线l :y=x−1上，
3 2
2
∴ =m−1，
3
5
解得m= ，
3
(5 2)
∴E , ．
3 3
(5 2)
将B(0,4)，E , ，代入y=kx+b得，¿，
3 3
解得，¿，
∴直线l 的函数表达式为y=−2x+4．
1
（2）解：当y=0时，−2x+4=0，
解得，x=2，∴A(2,0)，
当y=0时，x−1=0，
解得，x=1，
∴D(1,0)．
设P(c,c−1)，
11 1
由题意知，S =S −S = ，S = ，
四边形BODE △AOB △ADE 3 △ADE 3
10
∵S −S = >3，
四边形BODE △ADE 3
∴P在E点右侧，如图1，
∴S =S −S ，S =S −S ，
四边形BODE △AOB △ADE △AEP △ADP △ADE
∵S −S =3，
四边形BODE △AEP
1 1
∴S −S =3，即 ×2×4− ×1×(c−1)=3，
△AOB △ADP 2 2
解得c=3，
∴P(3,2)．
（3）解：能
如图2，过点Q作QH⊥y轴于点H，过点P作PG⊥HQ的延长线于点G．
设Q(a,−2a+4)．
∵△FQP是以Q为直角顶点的等腰直角三角形，
∴∠FQP=90°，FQ=QP，∵∠HFQ+∠FQH=∠GQP+∠FQH，
∴∠HFQ=∠GQP，
又∵FQ=QP，∠FHQ=∠QGP=90°，
∴△HFQ≌△GQP(AAS)，
∴HQ=GP，
∴|a|=|−2a+4−2|．
2 (2 8)
当a=−2a+4−2时，解得a= ，此时点Q的坐标为 , ；
3 3 3
当a=−(−2a+4−2)时，解得a=2，此时点Q的坐标为(2,0)；
(2 8)
综上所述，点Q的坐标为 , 或(2,0)．
3 3
【点睛】本题考查了一次函数解析式，直线与坐标轴的交点，坐标与图形，等腰三角形的性质，全
等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握一次函数解析式，直线与坐标轴的交点，坐标与图形，等
腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．
38．如图，已知点A(2，0)、B(−1，1)，点P是直线y=−x+4上任意一点．
(1)当点P在什么位置时，△PAB的周长最小？求出点P的坐标及周长的最小值；
(2)在（1）的条件下，求出△PAB的面积．
(7 5)
【答案】(1)P , ，△PAB的周长是√26+√10
3 3
8
(2)
3
【知识点】一次函数与几何综合、根据成轴对称图形的特征进行求解、求一次函数解析式、用勾股
定理解三角形
【分析】（1）先根据对称找出P点的位置，求出A的对称点C的坐标，求出直线BC解析式，求出
两函数组成的方程组的解，即可求出P的坐标，即可求出答案；
（2）设直线BC与x轴交于F点， 求出点F的坐标，根据S =S −S 代入求出即可．
△PAB △PAF △BAF
【详解】（1）解：作出点A关于直线y=−x+4的对称点C，连结BC交直线于点P，∴PA=PC，AD=CD ，
则PB+PA=PB+PC=BC，
由直线y=−x+4得与x轴上的交点D为(4,0)，与y轴的交点为E为(0,4)，
∴OD=OE=4，
∴∠ODE=45°，
∴∠ADC=90°，
∴AD=CD=2，
∴点C的坐标是(4,2)，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
则¿，
解得：¿
1 6
即直线BC的解析式为∶y= x+ ．
5 5
联立两直线解析式∶¿，
解得：¿，
(7 5)
∴P , ，
3 3
由勾股定理得BC=√(4+1) 2+(2−1) 2=√26，AB=√(2+1) 2+(0−1) 2=√10·
∴△PAB的周长是√26+√10；
（2）设直线BC与x轴交于F点，如图2，1 6
另y=0，则 x+ =0，解得：x=−6
5 5
∴点F的坐标是(−6,0)，
∴AF=2−(−6)=8
∴S =S −S
△PAB △PAF △BAF
1 1
= ⋅y ⋅AF− y ⋅AF
2 P 2 B
1 (5 ) 8
= ×8⋅ −1 =
2 3 3
【点睛】本题考查了轴对称性的应用，勾股定理，用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的
几何问题等知识点的应用，利用轴对称的性质是解题的关键．
39．在平面直角坐标系中，点A(−1,1)，点B(m,m)，其中m>1．
(1)如图1，若∠ABO=30°，求m的值．
(2)如图2，点P是x轴正半轴上一点，PA⊥PB，AB交y轴于点D，AC⊥OD于点C，求
(PD+CD)的值．（用含m的式子表示）
【答案】(1)√3
(2)m
【知识点】求一次函数解析式、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆
定理求解
【分析】（1）先根据勾股定理逆定理证明△ABO为直角三角形，再根据30°角的直角三角形性质求
解即可；
（2）设P(p,0)，表示出PA,PB，由PA⊥PB，根据勾股定理得到p与m的关系式，化简得：
m−1 2m
2p(p+1−m)=0，解得：p=m−1故P(m−1,0)，求出直线AB的表达为为y= x+ ，得
m+1 m+1
2m
出D(0, )，由两点坐标公式可求PD，以及CD，则得出PD+CD的值．
m+1
【详解】（1）解：连接AO，∵ A(−1,1) B(m,m)
点 ，点 ，
∴AB2=(m+1) 2+(m−1) 2=2m2+2，AO2=2，OB2=2m2，
∴AO2+OB2=AB2，
∴∠AOB=90°，
∵∠ABO=30°，
∴AB=2OA，
则AB2=4OA2，
∴2m2+2=8，
解得：m=√3（舍负）；
（2）解：设P(p,0)，
∴PA2=(p+1) 2+(0−1) 2=p2+2p+2，PB2=(p−m) 2+m2=p2−2pm+2m2，
∵PA⊥PB，
∴PA2+PB2=AB2，
∴p2+2p+2+p2−2pm+2m2=2m2+2，
化简得：2p(p+1−m)=0，
解得：p=m−1或p=0（舍），
∴P(m−1,0)，
设l :y=kx+b，代入A,B得，
AB
¿，
m−1 2m
解得：k= ，b= ，
m+1 m+1
m−1 2m
∴y= x+ ，
m+1 m+1
2m
当x=0时，y= ，
m+1
2m
∴D(0, )，
m+1
√ 2m 2 m2+1 2m m−1
∴PD= (m−1) 2+( ) = ，CD= −1= ，
m+1 m+1 m+1 m+1m2+1 m−1
∴PD+CD= + =m．
m+1 m+1
【点睛】本题考查了勾股定理及逆定理，一次函数解析式的求解，一次函数与坐标轴的交点，已知
两点求距离，30°角的直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
40．据悉，上海市发改委拟于今年4月27日举行居民用水价格调整听证会，届时将有两个方案提供
听证．如图1，射线OA、射线OB分别表示现行的、方案一的每户每月的用水费y(元)与每户每月的
用水量x(立方米)之间的函数关系，已知方案一的用水价比现行的用水价每立方米多0.96元；方案二
如图2表格所示，每月的每立方米用水价格由该月的用水量决定，且第一、二、三级的用水价格之比
为1：1.5：2(精确到0.01元)．
级数 水量基数(m3) 调整后的价格（元/m3）
第一
0~15（含15） 2.61
级
第二
15~25（含25） 3.92
级
第三
25以上 n
级
图（2）
(1)写出现行的用水价是每立方米多少元？
(2)求图1中m的值和射线OB所对应的函数解析式，并写出定义域；
(3)若小明家某月的用水量是a立方米，请分别写出三种情况下(现行的、方案一和方案二)该月的水费
b(用a的代数式表示)；
(4)小明家最近10个月来的每月用水量的频数分布直方图如图3所示，估计小明会赞同采用哪个方案
请说明理由．
【答案】(1)每立方米1.84元
(2)m=140，y=2.8x (x≥0)
(3)现行的：b=1.84a；方案一：b=2.8a；方案二：当0≤a≤15，b=2.61a；当1525时，b=5.22a−52.15
(4)小明会赞同采用方案二，理由见解析
【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式
【分析】（1）用总价92元除以每月的用水量50立方米即可得出答案；
（2）根据方案一的用水价比现行的用水价每立方米多0.96元先得出现行的用水价，即可再求得m
的值，设射线OB所对应的函数解析式为y=kx，代入即可求得；
（3）分别根据每月的每立方米用水价格计算该月的水费b；
（4）根据小明家的平均月用水量估计每月的用水费哪一种更合算即可．
【详解】（1）92÷50=1.84，
故现行的用水价是每立方米1.84元；
（2）1.84+0.96=2.8，
m=2.8×50=140，
设射线OB所对应的函数解析式为y=kx (x≥0)，
则140=50k，
∴k=2.8，
∴y=2.8x(x≥0)；
（3）现行的：b=1.84a；
方案一：b=2.8a；
方案二：∵第一、二、三级的用水价格之比为1：1.5：2，
∴n=2.61×2=5.22，
当0≤a≤15，b=2.61a；
当1525时，b=5.22(a−25)+15×2.61+10×3.92=5.22a−52.15；
（4）小明会赞同采用方案二，理由如下：
小明家的月平均用水量：(13×1+14×2+15×4+16×3)÷10=14.9 <15，
当0≤a≤15时，水价为2.61元，此时方案一的水价为2.8元，
所以他可能会赞同方案二．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是根据函数图象找出自变量与因变量的关系式．
