文档内容
2026 年中考数学一轮复习精讲精练
模块一 数与式
专题4 实数的大小比较与无理数的估算
知识梳理
【考点一】实数的大小比较
数轴比较法 同一数轴上表示的两个数，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。
类别比较法 正数大于零，负数小于零，正数＞0＞负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
差值比较法
设a，b是两实数，若 。
若a，b是两负实数，若 a＜b；若a，b是两正实数，若 a＞b；
平方比较法
主要应用于二次根式的估值及比较含有根式的实数大小。
倒数法
对于符号相同的两个数，若 ，则a＞b；若 ，则a＜b。
求商比较法
设a，b是两正实数，若 。
先估算出数或数中某部分的取值范围，再进行比较.例如√2≈1.414，√3≈1.732，√5
估算法
≈2.236。
【考点二】无理数的估算例题讲解
【题型一】实数的大小比较
√5−1 1
◇典例：比较大小： （填“>”“ <”“ =”）．
3 3
【答案】>
【思路引导】本题考查了实数的大小比较和无理数的估算的知识，掌握以上知识是解答本题的关键；
通过比较分子的大小来确定分数的大小，由于分母相同，只需比较分子√5−1和1的大小，然后即可求解
【规范解答】解：∵√5>2，
∴√5−1>2−1=1，
√5−1 1
∴ > ，
3 3
故答案为：>
◆变式训练
1.“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，若a−b>0，则a>b；若a−b=0，则a=b；若
a−b<0，则a1；
(2)√17+1<7．【思路引导】本题考查无理数的估算，实数的大小比较．
（1）根据“作差法”比较大小即可；
（2）根据“作差法”比较大小即可．
【规范解答】（1）解：√5−1−1=√5−2，
∵√4<√5<√9，
∴2<√5<3，
∴√5−2>0，
∴√5−1>1．
（2）解：√17+1−7=√17−6，
∵√16<√17<√25，
∴4<√17<5，
∴√17−6<0，
∴√17+1<7．
2.比较大小：
(1)3√5与5√3；
(2)−2√33与−3√32．
【答案】(1)3√5<5√3
(2)−2√33>−3√32
【思路引导】本题考查实数的比较大小，把两个数分别进行平方或立方是解题的关键．
（1）先将两个数分别进行平方，再根据实数的大小比较方法，从而得出原数的大小关系；
（2）先将两个数分别进行立方，再根据实数的大小比较方法，从而得出原数的大小关系．
【规范解答】（1）∵ (3√5)
2=45,(5√3) 2=75,45<75,3√5>0,5√3>0，
∴ 3√5<5√3．
（2）∵ (−2√33) 3=−24,(−3√32) 3=−54,−24>−54，
∴ −2√33>−3√32．
【题型二】无理数的估算
◇典例1：估计 的值应在（ ）A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【答案】A
【分析】先计算二次根式的乘法，再根据无理数的估算即可得．
【详解】解： ，
，
，即 ，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法、无理数的估算，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题关键．
◆变式训练
1.估算 的值在（ ）
A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间
【答案】C
【分析】本题考查二次根式的乘法，无理数的估算，先根据乘法法则进行计算，再利用夹逼法求出范围即
可．
【详解】解： ，
∵ ，
∴ ，
故选：C．
2.设 ，则实数m所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】本题题考查了二次根式的加减法，无理数的估算能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们
具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
先化简得 ，再找到与 最接近的两个完全平方数，即可判断 在哪两个和它接近的整数之间，
然后判断出所求的无理数的范围即可求解．
【详解】解：∵
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
3.估计 的值在（ ）
A．0和1之间 B．1和2之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【答案】B
【分析】本题考查二次根式的混合运算，无理数的估值．先根据二次根式的混合运算化简式子为 ，
由 即可解答．
【详解】解： ，
∵ ，
∴ ．即 的值在1和2之间．
故选：B
真题在线
一、单选题
1．（2025·福建·中考真题）下列实数中，最小的数是（ ）
A． B．0 C． D．2
【答案】A
【分析】本题考查比较实数的大小，首先确定各数的正负性，再按负数小于0小于正数的顺序比较大小即
可．
【详解】解：∵ ，
∴最小的数为 ；
故选：A
2．（2025·山东淄博·中考真题）下列四个实数中，比 大的无理数是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了无理数和实数的比较大小，先比较大小，然后找出比 大的无理数解答即可．
【详解】解： ，
∵ 是无理数，
故答案为：C．
3．（2025·湖南·中考真题）下列四个数中，最大的数是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查实数比较大小，掌握实数大小的比较方法是关键.
根据零大于负数，正数大于零，比较各数的大小，先排除负数与零，再比较正数的大小.
【详解】解：1. 确定数的正负性：
D选项为 ，是负数；C选项为 ，非正非负；A选项 和B选项 均为正数，负数一定小于非负数，则D和C均小于A和B，
2. 比较正数的大小：
，显然 ，
故A选项 大于B选项 ，
故选：A.
4．（2024·四川资阳·中考真题）若 ，则整数m的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】此题考查了无理数的估算，解题的关键是熟练掌握无理数的估算方法．首先确定 和 的范
围，然后求出整数m的值的值即可．
【详解】解：∵ ，即 ， ，即 ，
又∵ ，
∴整数m的值为：3，
故选：B．
5．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，数轴上点 表示的数可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查实数与数轴，无理数的估算，设点 表示的数为 ，根据点在数轴上的位置，判断出
的范围，夹逼法求出无理数的范围进行判断即可．
【详解】解：设点 表示的数为 ，由图可知： ，
∵ ，即： ，故选项A不符合题意；
∵ ，即： ，故选项B不符合题意；
∵ ，即： ，故选项C符合题意；∵ ，即： ，故选项D不符合题意；
故选C．
6．（2024·天津·中考真题）估计 的值应在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【答案】C
【分析】本题考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键，要估计 的值，可以通过
比较已知的平方数来确定其范围．
【详解】解： ， ，且10介于9和16之间，
∵
应在3和4之间，
∴
故选：C．
7．（2023·江苏·中考真题）实数 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据实数在数轴上的位置，判断实数的大小关系，即可得出结论．
【详解】解：由图可知， ， ，
A、 ，错误；
B、 ，错误；
C、 ，错误；
D、 ，正确；
故选D．
【点睛】本题考查利用数轴比较实数的大小关系．正确的识图，掌握数轴上的数从左到右依次增大，是解
题的关键．
8．（2024·江苏淮安·中考真题）如图，用 个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角
三角形都有一条直角边长为 ．记这个图形的周长（实线部分）为 ，则下列整数与 最接近的是（ ）A．14 B．13 C．12 D．11
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理，无理数的估算，掌握勾股定理的计算，无理数的估算方法是解题的关键．
根据勾股定理得到第九个直角三角形的斜边长，得到该图形周长 ，根据无理数的估算即可求解．
【详解】解：每一个直角三角形都有一条直角边长为 ，如图所示，
∴左起第一个直角三角形的斜边长为 ，
第二个直角三角形的斜边长为 ，
第三个直角三角形的斜边长为 ，
第四个直角三角形的斜边长为 ，
，
∴第九个直角三角形的斜边长为 ，
∴这个图形的周长（实线部分）为 ，
∵ ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ 最接近的是13，
故选：B ．
二、填空题9．（2025·贵州·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则 与 的大小关系是
b．（填“ ”“ ”或“ ”）
【答案】
【分析】本题考查了实数的大小比较，实数与数轴，熟练掌握数轴上右边的点表示的数总比左边的大是解
题的关键．
根据在数轴上，右边的点表示的数总比左边的大即可得到答案．
【详解】解：由数轴得： ，
∴ ，
故答案为： ．
10．（2025·山东烟台·中考真题）实数 的整数部分为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是实数的整数部分问题的理解，化为最简二次根式，由 ， ，从
而可得答案．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴实数 的整数部分为 ，
故答案为：
11．（2023·内蒙古·中考真题）若 为两个连续整数，且 ，则 ．
【答案】3
【分析】根据夹逼法求解即可．
【详解】解：∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．故答案为：3．
【点睛】题目主要考查无理数的估算，熟练掌握估算方法是解题关键．
12．（2024·安徽·中考真题）我国古代数学家张衡将圆周率取值为 ，祖冲之给出圆周率的一种分数形
式的近似值为 ．比较大小： （填“>”或“<”）．
【答案】>
【分析】本题考查的是实数的大小比较，先比较两个正数的平方，从而可得答案．
【详解】解：∵ ， ，
而 ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：
三、解答题
13．（2024·山东淄博·中考真题）化简分式： ，并求值（请从小宇和小丽的对话中确
定 ， 的值）
【答案】 ；
【分析】本题考查分式的化简求值，无理数估算；根据对话可求得 ， 的值，将原分式化简后代入数值
计算即可．
【详解】解：依题意， ， 且 为整数，又 ，则 ，；
当 ， 时，原式 ．
14．（2024·云南·中考真题）已知抛物线 的对称轴是直线 ．设 是抛物线
与 轴交点的横坐标，记 ．
(1)求 的值；
(2)比较 与 的大小．
【答案】(1)
(2)当 时， ；当 时， ．
【分析】（1）由对称轴为直线 直接求解；
（2）当 时， ；当 时， ．
【详解】（1）解：∵抛物线 的对称轴是直线 ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ 是抛物线 与 轴交点的横坐标，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
而
代入得： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
解得： ，
当 时，
∴ ；
当 时， ，
∴ ．
【点睛】本题考查了二次函数的对称轴公式，与x轴交点问题，解一元二次方程，无理数的大小比较，解
题的关键是对 进行降次处理．
专项练习
一、单选题
1．下列四个数：2， ， ， ，其中最小的数是（ ）A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较
大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键．
根据负数小于正数,比较负数即可.
【详解】解： ，
最小的数是：
故选：B
2．下列各数中最小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了实数大小的比较，先取各数的近似值，然后计算比较大小解答即可．
【详解】解： ，
，
，
，
，
最小的是 ，
故选：D．
3．能说明命题“若 ，则 ”是假命题的反例为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【分析】本题考查的是命题与定理，判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据实数的绝对值、假命题的概念解答．反例需满足 但 ，只有选项D符合条件．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ；
但 ， ，
∴ ，
故命题不成立，选项D为反例．
选项A、C中 且 ，选项B中 ，均不满足反例条件．
故选：D．
4．已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】考查算术平方根的性质（被开方数越大，算术平方根越大）．解题关键是将有理数转化为算术平
方根形式，统一比较标准；易错点是忽略“将有理数化为相同形式”的步骤，直接凭直觉比较．
把 转化为算术平方根形式（ ），结合 、 ，比较被开方数：因为 ，根
据算术平方根的性质，得 ，即 ．
【详解】解：∵ ， ， ，且 ，
∴ ，即 ．
5．我国古代数学著作《九章算术》中记载了“方田术”：“今有正方形田，面积十三平方步，问边长几
何？”为了估算边长，需要知道 的近似值，它介于哪两个连续整数之间（ ）
A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6
【答案】B
【分析】本题考查了无理数的估算．
通过比较相邻整数的平方与13的大小关系，即可确定 的范围．【详解】解：∵ ，
∴ ，
故 介于3和4之间．
故选：B．
6．下图是小明和小亮比较 与 大小的过程，关于两人的思路说法正确的是（ ）
A．小明对，小亮错 B．小明错，小亮对 C．两人都错 D．两人都对
【答案】D
【分析】本题考查了实数比较大小，勾股定理，三角形三边关系，根据两个正数比较大小，平方数越大，
则这个正数就越大，则小明的思路进行判断，再根据勾股定理和三角形的三边关系对小亮的思路进行判断
即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：由 ， ，
∵ ，
∴ ，故小明思路正确；
设直角三角形的两直角边为 ， ，
∴斜边为 ，
∴根据三角形的三边关系得， ，故小亮思路正确；
综上可得：两人都对，
故选： ．7．已知 ，则n的小数部分是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查无理数的估算．先计算 ，确定 的范围，从而得到整数部分，再求小数部分．
【详解】解： ，
又 ∵ ，
∴ ，
∴ 的整数部分为6，
∴ 小数部分为 ．
故选：D．
8．估计 的值应在（ ）
A． 和 之间 B． 和 之间 C． 和 之间 D． 和 之间
【答案】A
【分析】本题考查估算无理数的大小，根据二次根式混合运算的计算方法求出计算结果，再根据算术平方
根的定义估算无理数 的大小即可．正确估算 的大小是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
又∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
即 的值应在 和 之间．故选：A．
9．如图，若数轴上的点 ， ， ， ， 分别表示数 ， ， ， ， ，则表示 的点 应在线
段（ ）
A．线段 上 B．线段 上
C．线段 上 D．线段 上
【答案】D
【分析】本题主要考查了实数与数轴，无理数的大小估计， 先估算出 ，然后根据数轴上点的
位置即可得出答案．
【详解】解： ，
，
，
点 代表数 ， 点 代表数 ，
表示 的点 应在线段 上，
故选：D．
10．若 的整数部分是a，小数部分是b，求 的值为（ ）
A． B．3 C．5 D．
【答案】B
【分析】本题考查了无理数的估算，求代数式的值，估算出 ，从而可得 ， ，代入
所求式子计算即可得解，正确估算出 是解此题的关键．
【详解】解：∵ ，∴ ，
∵ 的整数部分是a，小数部分是b，
∴ ， ，
∴ ，
故选：B．
二、填空题
11．比较大小： ．
【答案】
【分析】本题考查无理数的大小比较，通过分子有理化将差式转化为分式形式，利用分母大小比较分式值
的大小．
【详解】设 ， ，
对 分子有理化：
，
对 分子有理化：
，
由于 ，因此 ，
故 ，即 ，
所以 ．
故答案为<．
12．比较大小： （填“ ”、“ ”或“ ”）．【答案】
【分析】本题考查了实数的大小比较，熟悉掌握二次根式的估算是解题的关键．
由于两个分数的分母相同，只需比较分子的大小关系即可．
【详解】解：比较分子 和
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
13．若 ，其中 ， 为相邻整数，则 ．
【答案】20
【分析】本题考查估算无理数的大小，解题关键是找到与61相邻的两个为平方数的整数．
根据 ，得出 ，从而确定 介于两个相邻整数之间的值，再计算它们
的乘积．
【详解】解：因为 ，
所以 ，
所以 ．
因此 ， ，
所以 ．
故答案为：20．
14．大于 且小于 的整数的和是 ．
【答案】
2
【分析】本题主要考查无理数的估算、有理数的加法，熟练掌握无理数的估算是解题的关键．
先估算 和 ，确定符合条件的整数，再求和．【详解】∵ ， ，
∴大于 且小于 的整数有 ，
∴这些整数的和为 ．
故答案为： 2．
15．已知a、b分别是 的整数部分和小数部分，则 ．
【答案】
【分析】本题考查无理数的整数部分和小数部分，以及代数式求值．先估算 的范围，确定整数部分
和小数部分 ，然后代入 计算．
【详解】解：∵ ，
∴ ，则 ．
∵ 、 分别是 的整数部分和小数部分，
∴ ， ，
则 ．
故答案为： ．
16．如图，长方形 的边 长为2， 长为1，点A在数轴上对应的数是0，以A点为圆心，对角
线 长为半径画弧，交数轴于点E，则点E表示的数与 的大小关系是 ．
【答案】小于
【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴，实数比较大小，根据勾股定理求出 的长，进而得到
点E表示的数，再根据实数比较大小的方法求解即可．【详解】解：由题意得， ，
∴ ，
∴ ，
∴点E表示的数为 ，
∵ ，
∴ ，
∴点E表示的数小于 ，
故答案为：小于．
三、解答题
17．把下列各数按从小到大的顺序用“ ”排列起来：
， ， ， ， ．
【答案】
【分析】本题考查了实数大小的比较，先对无理数进行估算，再根据无理数的大小比较方法即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ； ；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
18．比较下列各组中两个数的大小：
(1) 和3；
(2) 和 ；
(3) 和 ；
(4) 和 ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了实数的大小比较，解题的关键是掌握实数大小比较的法则．
利用平方法逐项比较实数的大小即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ；
（3）解：∵ ， ，
∴ ；（4）解：∵ ， ，且 ，
∴ ．
19．“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法．
例如：比较 与6的大小．
解： ，
，即 ，
，
．
(1)已知 为整数，且 ，求 的值；
(2)根据作差法，
①比较 与 的大小；
②已知 ，则 _____ （填“>”“<”或“=”）．
【答案】(1) 的值为6；
(2)① ；②
【分析】本题考查了无理数的大小估算、实数的大小比较、分式的大小比较，熟练掌握无理数的估算是解
题的关键．
（1）根据无理数的估算得出 ，得到 ，即可求解；
（2）①作差可得 ，根据无理数的估算得出 ，则有 ，即可得
出结论；
②作差可得 ，由 ，得到 ，据此判断即可．
【详解】（1）解：∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 的值为6；
（2）解：①作差得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②作差得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
20．期中复习，小李同学利用《数的开方》和《整式的乘除》知识，探索 的近似值，过程如下：
∵面积为86的正方形的边长是 ，且 ，
∴可设 ，其中 ，画出示意图，如图所示．根据示意图，可得图中正方形的面积 ，
又 ， ．
， 可忽略 ，得 ，
解得 ， ．
仿照小李的探索过程，解答下列问题：
(1) 的整数部分为________；
(2)求 的近似值（要求：画出示意图，标注数据，并写出求解过程）．
【答案】(1)13
(2)
【分析】本题考查了估计无理数的大小，理解示例并合理解答是解题关键．
（1）判断出 ，即可解答；
（2）仿照示例画出图形，可得 ，即可解答．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ 的整数部分为13，
故答案为：13；
（2）解：示意图如图所示：∵面积为176的正方形边长为 ，
且 ，
∴设 ，其中 ，
根据示意图，可得图中正方形面积为 ，
∵ ，
∴ ，
当 时，可忽略 ，
得： ，解得： ，
即 ．
21．【阅读理解】大家知道， 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能
全部写出来，于是小明用 来表示 的小数部分，因为 的整数部分是1，将这个数减去其整数部
分，差就是小数部分．
【解决问题】
(1) 的整数部分是______，小数部分是______；
(2) ，n分别是 的整数部分和小数部分，求 的值；
(3)若 ，其中x是整数，且 ，则 的值是______（直接写出）．
【答案】(1)4，(2)
(3)
【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键．
（1）根据算术平方根的定义估算无理数 的大小即可；
（2）根据算术平方根的定义估算无理数 的大小，确定m、n的值，再代入计算即可；
（3）根据算术平方根的定义估算无理数 的大小，进而得到 的大小，确定x、y的值，再代入计
算即可．
【详解】（1）解： ，而 ，
，
的整数部分是4，小数部分为 ，
故答案为：4， ；
（2）解： ，而 ，
，
的整数部分 ，小数部分为 ，
；
（3）解： ，
，
又 ，其中x是整数，且 ，
，，
故答案为： .
