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专题 01 图形的初步（1）（分层训练）
【基础训练】
一、单选题
1．下列命题中：①若实数满足2|a|÷a＝2．则a≥0；②立方根等于它本身的数是±1；③三角形的内心
到三角形各顶点的距离相等；④连接两点之间的线段叫做这两个点之间的距离．真命题的个数是（
）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【知识点】立方根概念理解、两点间的距离、三角形内心有关应用、判断命题真假
【分析】利用实数的性质、立方根的定义、三角形的内心的定，以及两点之间的距离的知识分别判
断后即可确定正确的选项．
【详解】解：①若实数满足2|a|÷a＝2．则a＞0，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
②立方根等于它本身的数是0、士1，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
③三角形的内心到三角形各边的距离相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
④连接两点之间的线段的长度叫做这两个点之间的距离，故原命题错误，是假命题，不符合
题意．
因此真命题有0个，
故选： A．
【点睛】考查了命题与定理的知识，了解实数的性质、立方根的定义、三角形的内心的定义及两点
之间的距离的知识是解题的关键．
2．如图，把这个平面展开图折叠成立方体，与“考”字相对的字是（ ）
A．祝 B．你 C．成 D．功
【答案】D
【知识点】正方体相对两面上的字
【分析】正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，据此作答．
【详解】解：∵正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，
∴在此正方体上与“考”字相对的面上的汉字是“功”．
故选：D．
【点睛】本题考查了正方体的展开图形，解题关键是从相对面入手进行分析及解答问题．3．已知点C在线段AB上，AC=2BC，点D，E在线段AB上，点D在点E的左侧．若AB=2DE，
AD+EC 3 CD
线段DE在线段AB上移动，且满足关系式 = ，则 的值为（ ）
BE 2 CB
5 17 17 5 11
A． B． C． 或 D．
6 14 14 6 10
【答案】B
【知识点】线段的和与差、两点间的距离
【分析】设BC=x，则AC=2BC=2x，求得AB=3x，设CE= y，当点E在线段BC之间时，得到
2 CD
AE=2x+ y，BE=x−y，求得y= x，继续求 ；当点E在线段之间AC时，与条件不符，舍去；
7 CB
【详解】设BC=x，
则AC=2BC=2x,
∴AB=3x，
∵AB=2DE，
∴DE=1.5x，
设CE= y，
当点E在线段BC之间时，如图，
∴AE=2x＋y,BE=x−y
，
∴AD=AE−DE=2x+ y−1.5x=0.5x+ y，
AD+EC 3
∵ = ，
BE 2
0.5x+ y+ y 3
∴ = ，
x−y 2
2
∴y= x，
7
2 17
∴CD=1.5x− x= x，
7 14
17
x
CD 14 17；
∴ = =
CB x 14
当点E在线段AC之间时，如图，
AE=AC−CE=2x−y
，3 1
AD=AE−DE=2x− x−y= x−y,BE=x+ y，
2 2
AD+CE 3
∵ = ，
BE 2
1
x−y+ y
2 3，
∴ =
x+ y 2
2
解得y=− x，不符合题意，故舍去；
3
CD 17
综上可得 = ，
CB 14
故选：B．
【点睛】本题主要考查两点间的距离及线段的和差，解答的关系是分类讨论点E的位置．
4．如图，一只蚂蚁从长为4cm、宽为3cm、高为5cm的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那
么它所爬行的最短路线的长是（ ）
A．5√2cm B．4√5cm C．3√10cm D．√74cm
【答案】D
【知识点】两点之间线段最短、求最短路径(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用−最短路线问题，把长方体按照三种方式展开，根据两点之间
线段最短，利用勾股定理分别求出AB的长度即可求解，正确画出长方体的展开图是解题的关键．
【详解】解：将长方体按如图1所示展开，连接A、B，根据两点之间线段最短，线段AB为点A到
点B的最短路线，此时AB=√(4+3) 2+52=√74cm；
将长方体按如图2所示展开，得AB=√(5+3) 2+42=4√5cm；
将长方体按如图3所示展开，得AB=√(4+5) 2+32=3√10cm；
∵√74<4√5<3√10，
∴蚂蚁爬行的最短路线的长是√74cm，
故选：D．5．如图，点C把线段AB从左至右依次分成2：3两部分，点D是AB的中点，若CD＝2，则线段
AB的长是（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
【答案】C
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、线段中点的有关计算
【分析】设AC＝2x，则BC＝3x，利用线段中点的性质表示出CD，列出方程即可解决．
【详解】解：设AC＝2x，则BC＝3x，
∴AB＝AC＋BC＝5x，
∵点D是AB的中点，
1
∴AD＝ AB＝2.5x，
2
∴CD＝AD−AC＝2.5x−2x＝0.5x，
∵CD＝2，
∴0.5x＝2，
∴x＝4，
∴AB＝5x＝20，
故选：C．
【点睛】本题考查了两点间距离，根据题目的已知并结合图形分析是解题的关键．
6．下列图形中，能折成棱柱的有（ ）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【知识点】几何体展开图的认识
【分析】本题考查了展开图折叠成几何体，根据棱柱展开图的形状，可得答案．【详解】解：第1个图能折成圆柱，第2个图能折成四棱柱，第3个图能折成五棱柱，第4个图能折
成圆锥，第5个图能折成三棱柱，第6个图不能折成立体图形．
故选：C．
7．《红楼梦》第57回有这么一句话：自古道：“千里姻缘一线牵”，请问这里所说的“线”若是
真的，则在数学中指的应是（ ）
A．直线 B．线段 C．射线 D．以上都不对
【答案】B
【知识点】直线、射线、线段的联系与区别
【分析】本题考查了线段的定义，直线上两点用两间之间的部分叫线段，掌握线段的定义是解题的
关键．根据线段的定义解答即可．
【详解】解：“千里姻缘一线牵”这里所说的“线”若是真的，则在数学中指的应是线段．
故选：B．
8．已知线段AB=6cm，C为AB的中点，D是AB上一点，CD=2cm，则线段BD的长为( )
A．1cm B．4cm C．1cm或5cm D．1cm或4cm
【答案】C
【知识点】线段中点的有关计算
【分析】本题考查的是两点间的距离，根据题意画出图形，由于点D的位置不能确定，故应分两种
情况进行讨论．
【详解】解：∵线段AB=6cm，C为AB的中点，
1
∴AC=BC= AB=3cm．
2
当点D如图1所示时，
BD=BC+CD=3+2=5cm；
当点D如图2所示时，
BD=BC−CD=3−2=1cm．
∴线段BD的长为1cm或5cm．
故选：C．
9．木工师傅用两根钉子就能将木条固定在墙上，其数学原理是（ ）
A．连接两点的线段的长度叫做两点间的距离
B．两点之间，线段最短
C．两点确定一条直线D．射线AB和射线BA是不同的两条射线
【答案】C
【知识点】直线、射线、线段的联系与区别
【分析】根据直线的性质分析判断即可．
【详解】解：木工师傅用两根钉子就能将木条固定在墙上，其数学原理是两点确定一条直线．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了直线、线段、射线、两点间的距离等知识，理解相关概念是解题关键．
10．如图是一个正方体纸盒的平面展开图，已知纸盒相对两个面上的数相等．则a、b、c的值分别
是（ ）
A．a=−2，b=−1，c=3 B．a=−1，b=3，c=−2
C．a=3，b=−1，c=−2 D．a=−1，b=−2，c=3
【答案】B
【知识点】正方体相对两面上的字
【分析】根据正方体的平面展开图找相对面的方法，“Z”字两端是对面判断即可．
【详解】解：由题意得：
a与-1相对，c与-2相对，b与3相对，
∵纸盒相对两个面上的数相等，
∴a=-1，c=-2，b=3，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的平面展开图找相对面的方
法是解题的关键．
11．如图，在正方体的展开图中，与汉字“抗”相对的面上的汉字是（ ）
A．共 B．同 C．疫 D．情
【答案】D
【知识点】正方体相对两面上的字【分析】根据正方体展开图的特点即可得．
【详解】由正方体展开图的特点得：“共”与“击”处于相对面上，“同”与“疫”处于相对面上，
“抗”与“情”处于相对面上，
故选：D．
【点睛】本题考查了正方体的展开图，熟练掌握正方体展开图的特点是解题关键．
12．如图，小丽同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的
周长小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两点之间，直线最短 B．两点之间，线段最短
C．两点确定一条直线 D．两点确定一条线段
【答案】B
【知识点】两点之间线段最短
【分析】根据线段的性质，可得答案．
【详解】解：由于两点之间线段最短，所以剩下树叶的周长比原树叶的周长小．
故选： B．
【点睛】本题考查的是线段的性质，利用线段的性质是解题关键．
13．如图，C是AB的中点，AD:DB=1:2，若DC=2，则线段AB的长是（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】B
【知识点】两点间的距离
1 1
【分析】根据已知条件得到AD= AB，由点C是线段AB的中点，得到AC= AB，根据线段的和差，
3 2
可得关于AB的方程，根据解方程，可得到结论．
【详解】由题意，得：
1 1
AD= AB，AC= AB，
3 2由线段的和差，得：
1 1
CD=AC-AD，即 AB- AB=2，
2 3
解得AB=12，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了两点间的距离，正确的识别图形是解题的关键．
14．平面上有A、B、C三点，如果AB=7cm,BC=3cm，那么A、C两点之间的距离为（ ）．
A．10cm B．4cm C．4cm或10cm D．不能确定
【答案】D
【分析】分类讨论：（1）A、B、C三点不在一条直线上；（2）A、B、C三点在一条直线上，①C
在线段AB上，②C在线段AB的延长线上，根据线段的和差，可得答案．
【详解】解：（1）A、B、C三点不在一条直线上，A、C两点之间的距离不能确定；
（2）A、B、C三点在一条直线上，
①当C在线段AB上时，AC=AB-BC=7-3=4（cm），
②当C在线段AB的延长线上时，AC=AB+BC=7+3=10（cm）．
故选：D．
【点睛】本题考查了两点间的距离，利用线段的和差是解题关键，要注意分类讨论，以防遗漏．
15．已知线段AB=35cm，C是线段AB上的一点，若在射线AB上取一点D，使得C是AD的中点，
1
且BD= BC，则线段AC的长度是（ ）
3
A．5cm B．20cm或14cm C．7cm D．5cm或7cm
【答案】B
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、线段中点的有关计算、两点间的距离
【分析】本题考查了两点间的距离，线段中点的有关计算，一元一次方程的应用及分类讨论的思想．
1
根据题意：分两种情况，由线段中点定义和BD= BC，即可解决问题．
3
【详解】解：设DB=xcm，
当D在B的右侧，如图（1），
1
∵BD= BC
3 ，
∴BC=3xcm，
∴CD=CB+BD=4xcm，
∵C是AD的中点，∴AC=CD=4xcm，
∴AB=AC+CB=7x=35，
∴x=5，
∴AC=4x=20cm；
当D在B的左侧，如图（2），
1
∵BD= BC
3 ，
∴CD=2BD=2x，
∵C是AD中点，
∴AC=CD=2x，
∴AB=AC+CD+BD=5x=35cm，
∴x=7cm，
∴AC=2x=14cm
∴AC的长是20cm或14cm．
故选：B．
二、填空题
16．如图，C，D为线段AB上两点，AB=7cm，AD=1.5cm，D为线段AC的中点，则线段CB=
cm．
【答案】4
【知识点】线段之间的数量关系、线段中点的有关计算
【分析】本题主要考查了线段的和、差及中点的定义，准确理解线段之间的数量关系是解题的关键．
根据题意，可得AC=2AD=3cm，再CB=AB−AC代入数据即可求解．
【详解】解：∵D为线段AC的中点，AD=1.5cm，
∴AC=2AD=3cm，
∵AB=7cm，
∴CB=AB−AC=7−3=4cm，
故答案为：4．
17．如图所示是正方体的一种平面展开图，各面都标有数，则标有数“−4”的面与其对面上的数之
积是 ．【答案】12
【知识点】正方体相对两面上的字
【分析】此题主要考查了正方体相对两个面上的文字，关键是掌握正方体展开图的特点，根据正方
体的平面展开图的特征知，其相对面的两个正方形之间一定相隔一个正方形，则可找出“−4”的面
与其对面上的数是−3，据此可得答案．
【详解】解：由正方体展开图的特点可知，“−4”与“−3”相对，“1”和“0”相对，“2”和“−1
”，
∴标有数“−4”的面与其对面上的数之积是−4×(−3)=12，
故答案为：12．
18．飞机表演的“飞机拉线”用数学知识解释为 ，三角板绕它的一条直角边旋转一周，形成一个
圆锥体，这说明了 ．
【答案】 点动成线， 面动成体．
【知识点】点、线、面、体四者之间的关系
【分析】线是由无数点组成，所以点动成线；直角三角形是一个面，形成圆锥体，所以是面动成体．
【详解】解：飞机表演的“飞机拉线”，说明了点动成线；直角三角形绕它的直角边旋转一周，形
成了一圆锥体，这说明了面动成体．
故答案为：点动成线，面动成体．
【点睛】本题考查了点、线、面、体，关键是掌握点动成线，线动成面，面动成体．
19．有下列生活现象：
①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；
②在 A、B 两地架设电线，为了节约成本，总是尽可能沿着线段 AB 假设；
③植树时，只要确定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；
④将弯曲的河道改直，可以缩短航程.
其中能用“两点之间，线段最短”来解释的现象有 (请填上所有正确的序号).
【答案】②④
【知识点】两点之间线段最短
【分析】由题意，认真分析题干，运用线段的性质直接做出判断即可．
【详解】①③现象可以用两点可以确定一条直线来解释；
②④现象可以用两点之间，线段最短来解释．
故答案为②④．【点睛】本题主要考查两点之间线段最短和两点确定一条直线的性质，应注意理解区分．
20．如图，数学知识在生产和生活中被广泛应用．下列实例所应用的最主要的几何知识为：
①射击时，瞄准星的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”；
②车轮做成圆形，应用了“圆上各点到圆心的距离相等”；
③学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直平分”；
④地板砖可以做成矩形，应用了“矩形对边相等”．
上述说法正确的是 ．（填序号）
【答案】 /
【知识点①】两②点②确①定一条直线、矩形性质理解、圆的基本概念辨析
【分析】①根据两点确定一条直线进行判断；
②利用车轮中心与地面的距离保持不变，坐车的人感到非常平稳进行判断；
③根据菱形的性质进行判断；
④根据矩形的性质进行判断．
【详解】解：①在正常情况下，射击时要保证瞄准的一只眼在准星和缺口确定的直线上，才能射中
目标，应用了“两点确定一条直线”，故①符合题意；
②因为圆上各点到圆心的距离相等，所以车轮中心与地面的距离保持不变，坐车的人感到非常平稳，
故②符合题意；
③学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形四边相等和平行四边形的不稳定
性”，故③不符合题意；
④地板砖可以做成矩形，应用了“矩形四个内角都是直角”的性质，故④不符合题意．
故答案是：①②．
【点睛】本题主要考查了圆的认识，菱形的性质，矩形的性质等知识点，属于基础题，熟记相关的
性质或定理是解题的关键．
21．如图，为一正方体的侧面展开图，那么“于”字所在的面与“ ”字所在的面是对面．
【答案】聪
【知识点】正方体相对两面上的字【分析】本题考查了正方体的表面展开图，属于常考题型，明确解答的方法是解题关键．正方体的
表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答即可．
【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，所以图中“于”字所在面
的对面所标的字是“聪”．
故答案为：聪．
22．一个正方体的表面展开图如图所示，六个面上各有一字，连起来的意思是“全面落实双减”，
把它折成正方体后，与“实”相对的字是 ；
【答案】面
【知识点】正方体相对两面上的字
【分析】根据正方体展开图特点求解即可得到答案；
【详解】解：由正方体展开图可得，
“落”与“双”相对，“全”与“减”相对，“实”与“面”相对，
故答案为：面．
【点睛】本题考查正方体展开图的特点，解题的关键是熟练掌握几种展开图形．
23．已知点C在线段AB上，AC=2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧．
（1）若AB=18，点D与点A重合，DE=8，则EC= ；
AD+EC 3 CD
（2）若AB=2DE，线段DE在直线AB上移动，且满足关系式 = ，则 = ．
BE 2 AB
11 17
【答案】 （1）4 （2） 或 ．
6 42
【知识点】线段的和与差、与线段有关的动点问题
【分析】（1）画出符合题意的图形，由AB=18,AC=2BC，求解BC，再利用线段的和差关系求
解EC即可得到答案；
AD+EC 3
（2）根据AC=2BC，AB=2DE，线段DE在直线AB上移动，满足关系式 = ，再分六种
BE 2
情况讨论，①当DE在点A左侧时，②当A在DE之间时，③当DE在线段AC上时，④当C在DE之间时，⑤当D在CB之间时，⑥当D在B的右边时，可以设CE=x，DC=y，用含x和y的式子表示
CD
AD,EC,BE的长，从而得出x与y的等量关系，即可求出 的值．
AB
【详解】解：（1）如图，
∵AB=DB=18， AC=2BC,
1
∴BC= AB=6，
3
∵DE=8，
∴EC=AB−DE−BC=18−8−6=4.
AD+EC 3
（2）∵AC=2BC，AB=2DE，满足关系式 = ，
BE 2
①当DE在点A左侧时，如图，
设CE=x，DC=y， 则DE= y−x，
2 4 1 2 2
∴AB=2(y−x),AC= AB= (y−x)，BC= (2y−2x)= y− x,
3 3 3 3 3
4 1
∴AD=DC−AC= x− y,
3 3
2 1
∴BE=BC+CE= y+ x
3 3
7 1
∴AD+EC= x− y
3 3
AD+EC 3
∵ = ，
BE 2
∴ 2(AD+EC)=3BE,
7 1 2 1
∴2( x− y)=3( y+ x)，
3 3 3 3
8
解得，x= y，
11
CD y y 11
= = = .
∴ AB 2(y−x) 8 6
2(y− y)
11
②当A在DE之间时，如图，设CE=x,CD= y, 则DE= y−x，
CD 11
同理可得： = .
AB 6
③当DE在线段AC上时，
设CE=x,CD= y, 则DE= y−x，
∴DE= y−x,AB=2DE=2y−2x,
2 4 4 2 2
∴AC= AB= y− x,BC= y− x,
3 3 3 3 3
1 4 1 1
∴AD=AC−CD= y− x,AD+CE= y− x,
3 3 3 3
2 1
BE=BC+CE= y+ x,
3 3
∴AD+CE＜BE,
AD+EC 3
∵ = ,
BE 2
∴AD+CE＞BE,
∴ 不合题意舍去；
④当C在DE之间时，如图，
设CE=x，DC=y， 则DE=x+y，
2 4 1 1 2
∴AB=2(x+ y),AC= AB= (x+ y), BC= AB= (x+ y)= (x+ y),
3 3 3 3 3
4 1
∴AD=AC−DC= x+ y,
3 3
7 1
∴AD+EC= x+ y
3 3
2 1
∴BE=BC−CE= y− x,
3 3
AD+EC 3
∵ =
BE 2
∴ 2(AD+EC)=3BE,
7 1 2 1
∴2( x+ y)=3( y− x)，
3 3 3 34
解得，x= y，
17
CD y y 17
= = =
∴ AB 2(x+ y) 4 42．
2( y+ y)
17
⑤当D在CB之间时，
设CD= y,CE=x, 则DE=x−y,AB=2DE=2x−2y,
4 4 2 2
∴AC= x− y,BC= x− y,
3 3 3 3
4 1 1 2
∴AD=AC+CD= x− y,BE=CE−BC= x+ y,
3 3 3 3
7 1
∴AD+CE= x− y,
3 3
AD+EC 3
∵ =
BE 2
∴ 2(AD+EC)=3BE,
8
同理可得：x= y, 与图形条件x＞y不符舍去，
11
⑥当D在B的右边时，
设CD= y,CE=x, 则DE=x−y,AB=2DE=2x−2y,
4 4 2 2
∴AC= x− y,BC= x− y,
3 3 3 3
4 1 1 2
∴AD=AC+CD= x− y,BE=CE−BC= x+ y,
3 3 3 3
7 1
∴AD+CE= x− y,
3 3
AD+EC 3
∵ =
BE 2
∴ 2(AD+EC)=3BE,
8
同理可得：x= y, 与图形条件x＞y不符，舍去，
11
CD 11 17
综上： 的值为： 或 ．
AB 6 42
11 17
故答案为 或 ．
6 42【点睛】本题考查的是线段的和差关系，二元一次方程思想，与线段相关的动态问题，分类讨论的
思想，掌握以上知识是解题的关键．
24．如图，△ABC中，AB=AC=4,BC=6，则△ABC的面积为 ．
【答案】3√7
【知识点】线段中点的有关计算、根据三线合一证明、用勾股定理解三角形
【分析】取BC中点为D，连接AD．根据线段中点的性质求出BD的长度，根据等腰三角形三线合
一的性质确定AD⊥BC，根据勾股定理求出AD的长度，再根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：如下图所示，取BC中点为D，连接AD．
∵D是BC中点，BC=6，
1
∴BD= BC=3．
2
∵AB=AC=4，
∴AD⊥BC．
∴AD=√AB2−BD2=√7．
1
∴S = BC⋅AD=3√7．
△ABC 2
故答案为：3√7．
【点睛】本题考查线段中点的性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，熟练掌握这些知识点
是解题关键．
25．如图是由四个正方体拼接而成的图形，一只蚂蚁沿着正方体的棱爬行，从A经过B最终到达C
的最短路线有 种．【答案】9
【知识点】两点之间线段最短
【分析】从A到B最短爬行3条正方体的棱，有3种方法，从B到C同样最短爬行3条正方体的棱，
也有3种方法，据此可知从A经过B到达C的最短路线有几种．找出从A到B的最短路线有几种，从
B到C的最短路线有几种，两者相乘就是从A经过B到达C最短路线的种数．
【详解】解：从A到B的最短路线有3种，从B到C的最短路线也有3种．
3×3=9（种)
所以从A经过B最终到达C的最短路线有9种．
故答案为：9．
三、解答题
26．如图所示，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点都在小正方形的顶点处．
（1）画出△ABC关于直线l对称的△A'B'C'；
（2）直接写出△A'B'C'的面积等于 ；
（3）在直线l上求作一点P，使PA+PC的长度最小，并写出这个最小值为 ．
【答案】（1）见解析；（2）5；（3）5
【知识点】最短路径问题、勾股定理与网格问题、画轴对称图形
【分析】（1）依据轴对称的性质，即可得出△ABC关于直线l对称的△A'B'C'；
（2）依据割补法进行计算，即可得出△A'B'C'的面积；
（3）连接 A'C，与直线l的交点即为点P，依据勾股定理即可得到A'C 的长度等于5即为PA＋PC
的长度最小值．【详解】：（1）如图所示，△A'B'C'即为所求；
1 1 1
（2）△A'B'C'的面积＝3×4﹣ ×2×2﹣ ×1×4﹣ ×2×3＝12﹣2﹣2﹣3＝5；
2 2 2
故答案为：5；
（3）如图所示，点P即为所求，PA+PC的长度最小值等于A'C的长，
由勾股定理得，A'C＝√32+42＝5，
∴PA+PC的长度最小值等于5．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了利用轴对称变换作图以及勾股定理的运用，凡是涉及最短距离的问题，一
般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
27．如图，一辆汽车在笔直的公路AB上由A处向B处行驶，M，N分别是位于公路AB两侧的村庄．
利用尺规作图，找出符合条件的点．
(1)当汽车行驶到哪个位置（用点P表示）时，其到村庄M，N的距离相等？
(2)当汽车从A处出发向B处行驶时，在哪一个位置，其到村庄M，N的距离之和最短？请在图中标
出这个位置（用点Q表示）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】两点之间线段最短、作垂线(尺规作图)
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质及应用、两点间线段最短，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
（1）根据线段垂直平分线的性质，连接MN作垂直平分线，交AB于点P即为所求；
（2）根据两点间线段最短，连接MN交AB于点Q即为所求．
【详解】（1）解：根据题意，连接MN作垂直平分线，交AB于点P，
如图点P即为所求，
（2）解：根据题意，连接MN交AB于点Q，
如图点Q即为所求，
28．如图，点C在∠AOB的边OA上，按要求画图，保留作图痕迹并写出结论．
(1)反向延长射线OB，得到射线OD，用量角器画∠AOD的角平分线OE；
(2)用圆规在射线OD上截取一点F，使得OF=OC；
(3)在射线OE上作一点P，使得CP+FP最小；
(4)写出你完成（3）的作图依据：________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)两点之间线段最短
【知识点】两点之间线段最短、画出直线、射线、线段
【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）用圆规在射线OD上截取一点F，使得OF=OC；
（3）根据两点之间线段最短，连接CF交OE于点P，即可得到所求；
（4）根据作图的依据写出答案即可．此题考查了线段、射线、线段的性质等知识，熟练掌握线段、射线的作法与线段的性质是解题的关
键．
【详解】（1）解：如图，射线OD、OE即为所求；
（2）如图所示，点F即为所求，
（3）如图所示，连接CF交OE于点P，点P即为所求，
（4）（3）的作图依据是两点之间线段最短，
故答案为：两点之间线段最短．
29．已知：如图，△ABC
(1)画出与△ABC关于x轴对称的图形△A B C ，并直接写出点C 的坐标．
1 1 1 1
(2)在y轴上找一点P，使得点P到点B、点C的距离的和最短，并画出最短路径．
【答案】(1)画图见解析，
(2)见解析
【知识点】最短路径问题、画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称
【分析】（1）根据轴对称性质即可画出与△ABC关于x轴对称的图形△A B C ，并写出点C 的坐
1 1 1 1
标即可；
（2）根据轴对称的性质即可在y轴上找一点P，使得点P到点B、点C的距离的和最短，进而可以画
出最短路径．【详解】（1）解：如图，△A B C 即为所求．其中C (4,1)；
1 1 1 1
（2）点P即为所求，
最短路径为：PB+PC．
设点B关于y轴的对称点为B′，
连接B′C交y轴于点P，
∴PB+PC=PB′+PC=B′C，
根据两点之间线段最短，
∴最短路径为：PB+PC．
【点睛】本题考查了作图−轴对称变换、轴对称−最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性
质．
30．如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且AB=14．动点P从点A出发，以每
秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(t>0)秒．
(1)写出数轴上点B表示的数，点P表示的数（用含t的代数式表示）；
(2)若M为AP的中点，N为PB的中点，点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变
化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长；
(3)若点D是数轴上一点，点D表示的数是x，请你探索式子|x+6|+|x−8|是否有最小值．如果有，
直接写出最小值；如果没有，说明理由．
【答案】(1)点B表示的数为−6；点P表示的数为8−5t
(2)没有变化；画图见解析；MN=7
(3)|x+6|+|x−8|有最小值14【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、绝对值的意义、线段中点的有关计
算
【分析】（1）仔细阅读题意，根据数轴的特征及路程、速度、时间的关系即可得到结果；
（2）分两种情况：①当点P在点A、B两点之间运动时，②当点P运动到点B的左侧时，根据中点
的性质即可得到结果，注意要有整体意识；
（3）根据数轴上两点间的距离公式即可作出判断．
【详解】（1）解：∵点A表示的数为8，B是数轴上一点，且AB=14，
∴点B表示的数为8−14=−6；
∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
∴点P表示的数为8−5t；
（2）解：没有变化．分两种情况：
①当点P在点A、B两点之间运动时：
1 1 1 1
MN=MP+NP= AP+ BP= (AP+BP)= AB=7
2 2 2 2 ；
②当点P运动到点B的左侧时：
1 1 1 1
MN=MP−NP= AP− BP= (AP−BP)= AB=7
2 2 2 2 ，
∴综上所述，线段MN的长度不发生变化，其值为7；
（3）解：∵点D是数轴上一点，点D表示的数是x，
∴|x+6|+|x−8|表示点D到−6在数轴上表示的点的距离与点D到8在数轴上表示的点的距离之和，
∴当点D在−6在数轴上表示的点与8在数轴上表示的点之间时，|x+6|+|x−8|的值最小，且这个
最小值为|−6−8|=14．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，用数轴上点表示有理数，中点的定义，解题的关
键是数形结合，熟练掌握数轴上两点间距离公式．
31．如图，点M位于数轴原点，C点从M点出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，D点
从B点出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动．
(1)若点A表示的数为−3，点B表示的数为7，当点C，D运动时间为2秒时，求线段CD的长；
(2)若点A，B分别表示−2，6，运动时间为t，当t为何值时，点D是线段BC的中点．
1 MN
(3)若AM= AB，N是数轴上的一点，且AN−BN=MN，求 的值．
4 AB【答案】(1)CD=3
6
(2)当t= 时点D是线段BC的中点
5
MN 1
(3) = 或1
AB 2
【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、线段的和与差、线段中点的有关计算
【分析】（1）根据路程=速度×时间可以计算出C、D运行的路程，进而求出MD的值，根据
CD=CM+MD可求；
（2）先表示出BD和CD，再根据点D是线段BC的中点，列方程求解；
（3）分N在线段AB上和点N在线段AB的延长线上两种情况，分别求解．
【详解】（1）解：∵CM=2×1=2，BD=2×3=6，
又∵点A表示−3，点B表示7，
∴AM=3，BM=7
∴MD=BM−BD=7−6=1
∴CD=CM+MD=2+1=3．
（2）解：∵点A，B分别表示−2，6，
所以AM=2，BM=6，MC=t，BD=3t，MD=6−3t，CD=MD+MC=t+6−3t
6
当D是BC的中点时CD=BD，即t+6−3t=3t， t=
5
6
∴当t= 时点D是线段BC的中点．
5
（3）解：①当点N在线段AB上时，如图
∵AN−BN=MN，
又∵AN−AM=MN
∴BN=AM，
1
又∵AM= AB
4
1 MN 1
∴MN= AB，即 =
2 AB 2
②当点N在线段AB的延长线上时，如图
∵AN−BN=MN，又∵AN−BN=ABMN
∴MN=AB，即 =1
AB
MN 1
综上所述 = 或1．
AB 2
【点睛】本题考查了线段的和差和中点，及两点间的距离，一元一次方程，解题分关键是掌握点的
移动路程与线段的关系．
32．如图，线段AB=10cm，点C是线段AB上的一个动点，点C从点A出发，以2cm/s的速度从点
A运动到点B，再从点B运动到点A，然后停止．设点C运动的时间为t(s)．
(1)当t=2时，AC=________cm；当t=6时，AC=________cm；
(2)用含t的式子表示整个运动过程中AC的长度；
(3)设D是线段AC的中点，E是线段BC的中点．
①当点C从点A向点B运动时，线段DE的长度是否变化？若不变，求出DE的长度；若变化，说明
理由；
②当AD=BE时，直接写出t的值，t=________．
【答案】(1)4；8
(2)①当点C从A运动到点B时，AC=2t；②当点C从B运动到点A时，AC=20−2t
(3)①当点C从点A向点B运动时，线段DE的长度不变，DE=5；②2.5或7.5
【知识点】列代数式、几何问题(一元一次方程的应用)、线段的和与差、线段中点的有关计算
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，用代数式表示式，线段的和差以及线段中点的有关计算，
根据情况分情况计算是解题关键．
（1）根据题意先得出当t=5时，点C运动到点B处，51时，则m+3+m−1=8，解得m=3；
综上所述，点D表示的数为−5或3，
故答案为：−5或3．
【能力提升】
36．如图1，笔直的公路上有A、B两个站点相距40km，在公路的同侧有C、D两个村庄，
DA⊥AB，CB⊥AB，且DA=20km，CB=10km，现政府决定在A、B之间建一个土特产加工基地E．
（1）若要使土特产加工基地E点到C、D两村的距离相等，请用直尺和圆规在图1中作出点E；
（2）在（1）的条件下求出基地E到A站的距离；
（3）若要使土特产加工基地E点到C、D两村的距离和（即DE +EC）最小，求出此最小的距离和．
130
【答案】（1）见解析；（2） km；（3）50km
8
【知识点】最短路径问题、作已知线段的垂直平分线、作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形
【分析】（1）连接CD作CD的垂直平分线交AB于点E；
（2）连接DE、CE，利用线段的垂直平分线的性质得到DE=CE，再根据勾股定理建立等式求出
AE；
（3）作点D关于AB的对称点D′，连接C，D′交AB于点E，(DE+CE)的最小值即为(D′E+EC)的值，
延长CB至点D″，使BD″=AD′=AD=20km，则四边形AD′ D″B是矩形，
利用勾股定理求出答案即可.
【详解】解：(1)如图(2)连接DE、CE，
∵E为CD的垂直平分线与AB，的交点
∴DE=CE，
在 RtΔDAE和 ，DAR=t2Δ0CkBmE，中CB=10km，AB=40km，
∴AD2+AE2=EB2+CB 2 ❑,
❑
∴202+AE2=(40−AE) 2+102,
130
∴AE= km；
8
(3)作点D关于AB的对称点D′，连接C，D′交AB于点E，(DE+CE)的最小值即为(D′E+EC)的值，
延长CB至点D″，使BD″=AD′=AD=20km，则四边形AD′ D″B是矩形，
∴D′ D″=AB=40km，
∵BC=10km，
∴CD″=30km，
∴D′E+EC= CD′=√CD″2+D′D″2=√302+40 2 ❑=50km.
❑【点睛】此题考查线段垂直平分线的作图，最短路径的作图与求解，勾股定理，矩形的性质.
37．问题情景：某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动．
【知识准备】
（1）如图，下列四幅图中不是长方体的表面展开图的是______．
【制作纸盒】
（2）综合实践小组利用边长为a(cm)的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖
的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．其中a=30cm，b=5cm．
①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为b(cm)的
小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面积为______cm2；
②根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒，方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为b(cm)的
小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，则该长方体纸盒的体积为______cm3；
③制作成的无盖盒子的体积是有盖盒子体积的______倍．
（3）若有盖长方体的长、宽、高分别为6、4、3，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，
则该长方体表面展开图的最大外围周长为______，外围周长最大时的表面展开图共有______种不同
的形状，请任选一种画出该长方体的展开图（要求：借助直尺或三角板作图，图中标明长、宽、高
的数据）．
【答案】（1）③；（2）①400；②1000；③2；（3）70；3；见解析
【知识点】几何体展开图的认识、由展开图计算几何体的体积
【分析】本题考查简单几何体的展开图，熟练根据简单几何的展开图得出长方体的长宽高是解题的
关键．
（1）根据无盖正方体纸盒的面数和构成进行判断即可；
（2）①根据长方形面积公式即可得解；
②根据长方体的体积公式即可得解；
③分别求出无盖盒子的体积和有盖盒子体积，即可求解；（3）根据边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，可得答案．
【详解】解：（1）根据长方体的结构，③不能折成一个长方体，因此③不是长方体的表面展开图．
（2）①长方体纸盒的底面面积为(a−2b) 2=(30−2×5) 2=400(cm2)，
∴长方体纸盒的底面积为400cm2，
(30−2×5) 2
②长方体纸盒的底面积为 =200(cm2)，
2
∴该长方体纸盒的体积为5×200=1000(cm3)，
③无盖盒子的体积：5×400=2000(cm3)，
有盖盒子的体积：1000cm3，
∵2000÷1000=2，
∴制作成的无盖盒子的体积是有盖盒子体积的2倍；
（3）如图所示，
∴该长方体表面展开图的最大外围周长为6×8+4×4+3×2=70；
外围周长最大时的表面展开图共有3种不同的形状；长方体的展开图，如图所示：
38．如图，已知数轴上点 A 表示的数为 8，B 是数轴上一点，且 AB=12．动点P从点A出发，
以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(t>0)秒．
(1)写出数轴上点 B 表示的数________，点P表示的数________（用含t的代数式表示）；
(2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问
点P运动多少秒时追上点Q？
(3)若 M为AP的中点，N为PB的中点：点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长．
【答案】(1)−4,8−5t
(2)6秒
(3)不变，6
【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、几何问题(一元一次方程的应用)、线段中
点的有关计算
【分析】本题考查了数轴一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，解答本题
的关键是根据题意画出图形，注意分两种情况进行讨论．
（1）根据AB=12，点A表示的数为8，即可得出B表示的数；再根据动点P从点A出发，以每秒5
个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，即可得出点P表示的数；
（2）点P运动x秒时，在点C处追上点Q，则AC=5x，BC=3x，根据AC−BC=AB，列出方程
求解即可；
（3）分①当点P在点A、B两点之间运动时，②当点P运动到点B的左侧时，利用中点的定义和线段
的和差求出MN的长即可．
【详解】（1）解： ∵点A表示的数为8，B在A点左边，AB=12，
∴点B表示的数是8−12=−4，
∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(t>0)秒，
∴点P表示的数是8−5t．
故答案为：−4，8−5t；
（2）设点P运动x秒时，在点C处追上点Q，
则AC=5x，BC=3x，
∵AC−BC=AB，
∴5x−3x=12，
解得：x=6，
∴点P运动6秒时追上点Q；
（3）线段MN的长度不发生变化，都等于6；理由如下：
∵①当点P在点A、B两点之间运动时：
1 1 1 1 1
MN=MP+NP= AP+ BP= (AP+BP)= AB= ×12=6；
2 2 2 2 2②当点P运动到点B的左侧时：
1 1 1 1
MN=MP−NP= AP− BP= (AP−BP)= AB=6，
2 2 2 2
∴线段MN的长度不发生变化，其值为6．
39．已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为−10，点B表示的数为6．若动点M从点A出发，
以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点N从点B出发，以每秒1个单位长度的
速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒．
(1)当t=2时，点M表示的数是____________，点N表示的数是____________；
(2)当MN=4时，求t的值；
(3)若点C为AM的中点，点D为BN的中点，当点M、N在线段AB上运动，且点M在点N的左侧时，
试猜想MN与CD之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)−4，4
(2)t的值为3或5
(3)2CD−MN=16，理由见详解
【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上的动点问题、行程问题(一元一次方程的应用)、线段
中点的有关计算
【分析】（1）根据点的运动列式即可求解；
（2）分别表示点M表示的数为−10+3t，点N表示的数为6−t，分点M在点N左侧和点M在点N
右侧两种情况分类列出方程，解方程即可求解；
16−MN
（3）当点M在点N的左侧时，AB=16，AM=3t,BN=t，即可求出MN=16−4t，t= ，
4
3 1 16−CD
根据中点定义得到AC= t，BD= t，CD=16−2t，进而得到t= ，即可得到
2 2 2
16−MN 16−CD
= ，整理得到2CD−MN=16．
4 2
【详解】（1）解：当t=2时，点M表示的数是−10+2×3=−4，点N表示的数是6−2×1=4．
故答案为：−4，4；
（2）解：由题意得，点M表示的数为−10+3t，点N表示的数为6−t，
当点M在点N左侧时，(6−t)−(−10+3t)=4，解得t=3；当点M在点N右侧时，(−10+3t)−(6−t)=4，解得t=5．
所以当MN=4时，求t的值为3或5；
（3）解：2CD−MN=16．
证明：如图，当点M在点N的左侧时，AB=6−(−10)=16，AM=3t,BN=t，
所以MN=AB−AM−BN=16−3t−t=16−4t，
16−MN
所以t= ，
4
因为点C为AM的中点，点D为BN的中点，
1 3 1 1
所以AC= AM= t，BD= BN= t，
2 2 2 2
3 1
所以CD=AB−AC−BD=16− t− t=16−2t，
2 2
16−CD
所以t= ，
2
16−MN 16−CD
所以 = ，
4 2
所以2CD−MN=16．
【点睛】本题考查了数轴上点的运动，一元一次方程的应用，与中点有关的线段的计算等知识，根
据题意用含t的式子表示点表示的数和线段的长度是解题关键．
40．名师原创综合与实践：制作无盖盒子
任务一：如图①，有一块矩形纸板，长是宽的2倍，要将其四角各剪去一个正方形，折成高为4cm
，容积为616cm3的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）．
（1）请在图①的矩形纸板中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕；
（2）请求出这块矩形纸板的长和宽．
任务二：图②是一个高为4cm的无盖的五棱柱盒子（直棱柱），图③是其底面，在五边形ABCDE
中，BC=12cm，AB=DC=6cm，∠ABC=∠BCD=120°，∠EAB=∠EDC=90°．
（1）多解法 试判断图③中AE与ED的数量关系，并加以证明；
（2）图②中的五棱柱盒子可按图④所示的示意图，将矩形纸板剪切折合而成，那么这个矩形纸板的
长和宽至少各为多少厘米？请直接写出结果（图中实线表示剪切线，虚线表示折痕，纸板厚度及剪
切接缝处损耗均忽略不计）．【答案】任务一：（1）见解析；（2）矩形纸板的长为30cm，宽为15cm；任务二：（1）AE=ED
．证明见解析；（2）长至少为(18+4√3)cm，宽至少为(4+8√3)cm
【知识点】几何体展开图的认识、全等三角形综合问题、与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、
根据菱形的性质与判定求线段长
【分析】任务一：
（1）按要求画出示意图即可；
（2）设矩形纸板的宽为xcm，则长为2xcm，根据题意列出一元二次方程并求解，即可获得答案；
任务二：
（1）证法一：延长EA,ED分别交直线BC于点M,N，证明EM=EN，△MAB≌△NDC，进而可
得AM=DN，即可证明结论；证法二：取BC的中点F，连接AF,DF，△ABF≌△DCF，易得
AF=DF，再证明四边形AFDE为菱形，即可证明结论；证法三：连接AD，延长AB,DC相交于
点M，证明△MBC为等边三角形，易得BM=CM，进而证明∠EAD=∠EDA，即可证明结论；
证法四：延长AB,DC交于点M，连接EM，易得△MBC为等边三角形，进而可得BM=CM，然
后证明Rt△EAM≌Rt△EDM(HL)，即可证明结论；证法五：连接AD，作BC的垂直平分线交AD
于点M，连接BM,CM，证明△BAM≌△CDM(SAS)，易得∠BAM=∠MDC，进而可得
∠EAD=∠EDA，即可证明结论；证法六：作BF⊥BC交AE于点F,CG⊥BC交DE于点G，连
接FG，证明△ABF≌△DCG，易得∠5=∠6,BF=CG,AF=DG，进而证明四边形BCGF是矩
形，可得∠7=∠8=90°，进一步证明EF=EG，即可证明结论；证法七：作AF∥BC，
CF∥BA，交点为F，连接DF，可知四边形ABCF为平行四边形，易得AB=CF，再证明△FCD
是等边三角形，可知A,F,D三点在同一条直线上，进而可得∠EAD=∠EDA=30°，即可证明结
论；
（2）连接AD，并向两个方向延长分别交矩形纸板的宽于点K,H，过点B,C分别作BP⊥AD于点
P,CQ⊥AD于点Q,GI⊥KH于点F，则KH即为矩形纸板的长，GI即为矩形纸板的宽，
AD∥BC，进而可得PQ=BC=12，利用直角三角形的性质解得
1
AP=DQ=3,BP=CQ=FJ=3√3，可知AF= AD=9，AE=6√3,FE=3√3，再求得GE，GI，
2
AK，DH的值，即可获得答案．【详解】解：任务一：
（1）按要求画出示意图如图①；
（2）设矩形纸板的宽为xcm，则长为2xcm，
由题意，得4(x−2×4)(2x−2×4)=616，
解得x =15，x =−3（不合题意，舍去），
1 2
∴2x=2×15=30．
答：矩形纸板的长为30cm，宽为15cm．
任务二：
（1）AE=ED．证明如下：
证法一：如图②，延长EA,ED分别交直线BC于点M,N，
∵∠ABC=∠BCD=120°，
∴∠ABM=∠DCN=60°，
又∵∠EAB=∠EDC=90°，
∴∠M=∠N=90°−60°=30°，
∴EM=EN，
在△MAB与△NDC中，
¿，
∴△MAB≌△NDC(AAS)，
∴AM=DN，
∴EM−AM=EN−DN，
∴AE=ED；
多解法
证法二：如图③，取BC的中点F，连接AF,DF，∵BC=12cm,AB=DC=6cm，
∴AB=BF=CF=CD=6cm，
∵∠ABC=∠BCD=120°，
∴∠1=∠2=∠3=∠4=30°，
∴△ABF≌△DCF(AAS)，
∴AF=DF，
∵∠EAB=90°,∠1=30°，
∴∠EAF=60°
∵∠AFD=180°−∠2−∠3=120°，
∴∠EAF+∠AFD=180°，
∴AE∥FD，同理AF∥ED，
∴四边形AFDE为平行四边形，
∵AF=DF，
∴四边形AFDE为菱形，
∴AE=ED，
证法三：如图④，连接AD，延长AB,DC相交于点M，
∵∠ABC=∠BCD=120°，
∴∠MBC=∠MCB=60°，
∴△MBC为等边三角形，
∴BM=CM，
又∵AB=CD，
∴AM=DM，
∴∠MAD=∠MDA，又∵∠EAB=∠EDC=90°，
∴∠EAD=∠EDA，
∴AE=ED；
证法四：如图⑤，延长AB,DC交于点M，连接EM，
∵∠ABC=∠BCD=120°，
∴∠MBC=∠MCB=60°，
∴△MBC为等边三角形，
∴BM=CM，
又∵AB=CD，
∴AM=DM，
又∵∠EAB=∠EDC=90°,EM=EM，
∴Rt△EAM≌Rt△EDM(HL)，
∴AE=ED，
证法五：如图⑥，连接AD，作BC的垂直平分线交AD于点M，连接BM,CM，
∴MB=MC，
∴∠MBC=∠MCB，
∵∠ABC=∠BCD=120°，
∴∠ABM=∠MCD，
∵AB=CD,MB=MC，
∴△BAM≌△CDM(SAS)，
∴∠BAM=∠MDC，
又∵∠EAB=∠EDC=90°，
∴∠EAD=∠EDA，∴AE=ED；
证法六：如图⑦，作BF⊥BC交AE于点F,CG⊥BC交DE于点G，连接FG，
∴∠1=∠2=90°，
∵∠ABC=∠BCD=120°，
∴∠3=∠4=30°，
∵∠A=∠D=90°,AB=DC，
∴△ABF≌△DCG(ASA)，
∴∠5=∠6,BF=CG,AF=DG，
∵∠1+∠2=180°，
∴BF∥CG，
∴四边形BCGF是平行四边形，
∵∠1=90°，
∴四边形BCGF是矩形，
∴∠7=∠8=90°，
∴∠9=∠10，
∴EF=EG，
∴AE=ED；
证法七：如图⑧，作AF∥BC，CF∥BA，交点为F，连接DF，
∴四边形ABCF为平行四边形，AB=CF，
又∵∠ABC=∠BCD=120°，
∴∠BCF=∠BAF=60°,∠B=∠AFC=120°，
∴∠FCD=60°，
∵AB=CD，∴CD=CF，
∴△FCD是等边三角形，
∴∠CFD=∠CDF=60°，
∴∠AFC+∠CFD=180°，
∴A,F,D三点在同一条直线上，
∵∠BAE=∠CDE=90°，
∴∠EAD=∠EDA=30°，
∴AE=ED；
（2）如图⑨，连接AD，并向两个方向延长分别交矩形纸板的宽于点K,H，过点B,C分别作
BP⊥AD于点P,CQ⊥AD于点Q,GI⊥KH于点F，
则KH即为矩形纸板的长，GI即为矩形纸板的宽，AD∥BC，
∴PQ=BC=12，
∵∠ABC=∠BCD=120°，
∴∠BAP=∠CDQ=60°，
∵AB=CD=6 cm，
∴AP=DQ=3,BP=CQ=FJ=3√3，
1 1
∴AF= AD= ×(3+3+12)=9，
2 2
∴AE=6√3,FE=3√3，
易得∠AED=120°，
∴∠MEN=60°，
∵ME=NE=4，
∴¿=2√3，
∴GI=≥+EJ+JI=2√3+6√3+4=8√3+4，
∵∠KAS=90°−∠PAB=30°=∠HDT，
∴AK=DH=2√3，
∴KH=3+3+12+4√3=18+4√3，∴矩形纸板的长至少为(18+4√3)cm，矩形纸板的宽至少为(8√3+4)cm．
【点睛】本题主要考查了展开与折叠、一元二次方程的应用、全等三角形的判定与性质、等腰三角
形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行四边形
的判定与性质、矩形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．
