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专题 01 图形的初步（1）（分层训练）
【基础训练】
一、单选题
1．下列命题中：①若实数满足2|a|÷a＝2．则a≥0；②立方根等于它本身的数是±1；③三角形的内心
到三角形各顶点的距离相等；④连接两点之间的线段叫做这两个点之间的距离．真命题的个数是（
）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．如图，把这个平面展开图折叠成立方体，与“考”字相对的字是（ ）
A．祝 B．你 C．成 D．功
3．已知点C在线段AB上，AC=2BC，点D，E在线段AB上，点D在点E的左侧．若AB=2DE，
AD+EC 3 CD
线段DE在线段AB上移动，且满足关系式 = ，则 的值为（ ）
BE 2 CB
5 17 17 5 11
A． B． C． 或 D．
6 14 14 6 10
4．如图，一只蚂蚁从长为4cm、宽为3cm、高为5cm的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那
么它所爬行的最短路线的长是（ ）
A．5√2cm B．4√5cm C．3√10cm D．√74cm
5．如图，点C把线段AB从左至右依次分成2：3两部分，点D是AB的中点，若CD＝2，则线段
AB的长是（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
6．下列图形中，能折成棱柱的有（ ）个．A．5 B．4 C．3 D．2
7．《红楼梦》第57回有这么一句话：自古道：“千里姻缘一线牵”，请问这里所说的“线”若是
真的，则在数学中指的应是（ ）
A．直线 B．线段 C．射线 D．以上都不对
8．已知线段AB=6cm，C为AB的中点，D是AB上一点，CD=2cm，则线段BD的长为( )
A．1cm B．4cm C．1cm或5cm D．1cm或4cm
9．木工师傅用两根钉子就能将木条固定在墙上，其数学原理是（ ）
A．连接两点的线段的长度叫做两点间的距离
B．两点之间，线段最短
C．两点确定一条直线
D．射线AB和射线BA是不同的两条射线
10．如图是一个正方体纸盒的平面展开图，已知纸盒相对两个面上的数相等．则a、b、c的值分别
是（ ）
A．a=−2，b=−1，c=3 B．a=−1，b=3，c=−2
C．a=3，b=−1，c=−2 D．a=−1，b=−2，c=3
11．如图，在正方体的展开图中，与汉字“抗”相对的面上的汉字是（ ）
A．共 B．同 C．疫 D．情
12．如图，小丽同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的
周长小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）A．两点之间，直线最短 B．两点之间，线段最短
C．两点确定一条直线 D．两点确定一条线段
13．如图，C是AB的中点，AD:DB=1:2，若DC=2，则线段AB的长是（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
14．平面上有A、B、C三点，如果AB=7cm,BC=3cm，那么A、C两点之间的距离为（ ）．
A．10cm B．4cm C．4cm或10cm D．不能确定
15．已知线段AB=35cm，C是线段AB上的一点，若在射线AB上取一点D，使得C是AD的中点，
1
且BD= BC，则线段AC的长度是（ ）
3
A．5cm B．20cm或14cm C．7cm D．5cm或7cm
二、填空题
16．如图，C，D为线段AB上两点，AB=7cm，AD=1.5cm，D为线段AC的中点，则线段CB=
cm．
17．如图所示是正方体的一种平面展开图，各面都标有数，则标有数“−4”的面与其对面上的数之
积是 ．
18．飞机表演的“飞机拉线”用数学知识解释为 ，三角板绕它的一条直角边旋转一周，形成一个圆锥体，这说明了 ．
19．有下列生活现象：
①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；
②在 A、B 两地架设电线，为了节约成本，总是尽可能沿着线段 AB 假设；
③植树时，只要确定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；
④将弯曲的河道改直，可以缩短航程.
其中能用“两点之间，线段最短”来解释的现象有 (请填上所有正确的序号).
20．如图，数学知识在生产和生活中被广泛应用．下列实例所应用的最主要的几何知识为：
①射击时，瞄准星的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”；
②车轮做成圆形，应用了“圆上各点到圆心的距离相等”；
③学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直平分”；
④地板砖可以做成矩形，应用了“矩形对边相等”．
上述说法正确的是 ．（填序号）
21．如图，为一正方体的侧面展开图，那么“于”字所在的面与“ ”字所在的面是对面．
22．一个正方体的表面展开图如图所示，六个面上各有一字，连起来的意思是“全面落实双减”，
把它折成正方体后，与“实”相对的字是 ；
23．已知点C在线段AB上，AC=2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧．
（1）若AB=18，点D与点A重合，DE=8，则EC= ；
AD+EC 3 CD
（2）若AB=2DE，线段DE在直线AB上移动，且满足关系式 = ，则 = ．
BE 2 AB24．如图，△ABC中，AB=AC=4,BC=6，则△ABC的面积为 ．
25．如图是由四个正方体拼接而成的图形，一只蚂蚁沿着正方体的棱爬行，从A经过B最终到达C
的最短路线有 种．
三、解答题
26．如图所示，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点都在小正方形的顶点处．
（1）画出△ABC关于直线l对称的△A'B'C'；
（2）直接写出△A'B'C'的面积等于 ；
（3）在直线l上求作一点P，使PA+PC的长度最小，并写出这个最小值为 ．
27．如图，一辆汽车在笔直的公路AB上由A处向B处行驶，M，N分别是位于公路AB两侧的村庄．
利用尺规作图，找出符合条件的点．(1)当汽车行驶到哪个位置（用点P表示）时，其到村庄M，N的距离相等？
(2)当汽车从A处出发向B处行驶时，在哪一个位置，其到村庄M，N的距离之和最短？请在图中标
出这个位置（用点Q表示）．
28．如图，点C在∠AOB的边OA上，按要求画图，保留作图痕迹并写出结论．
(1)反向延长射线OB，得到射线OD，用量角器画∠AOD的角平分线OE；
(2)用圆规在射线OD上截取一点F，使得OF=OC；
(3)在射线OE上作一点P，使得CP+FP最小；
(4)写出你完成（3）的作图依据：________．
29．已知：如图，△ABC
(1)画出与△ABC关于x轴对称的图形△A B C ，并直接写出点C 的坐标．
1 1 1 1
(2)在y轴上找一点P，使得点P到点B、点C的距离的和最短，并画出最短路径．
30．如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且AB=14．动点P从点A出发，以每
秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(t>0)秒．(1)写出数轴上点B表示的数，点P表示的数（用含t的代数式表示）；
(2)若M为AP的中点，N为PB的中点，点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变
化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长；
(3)若点D是数轴上一点，点D表示的数是x，请你探索式子|x+6|+|x−8|是否有最小值．如果有，
直接写出最小值；如果没有，说明理由．
31．如图，点M位于数轴原点，C点从M点出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，D点
从B点出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动．
(1)若点A表示的数为−3，点B表示的数为7，当点C，D运动时间为2秒时，求线段CD的长；
(2)若点A，B分别表示−2，6，运动时间为t，当t为何值时，点D是线段BC的中点．
1 MN
(3)若AM= AB，N是数轴上的一点，且AN−BN=MN，求 的值．
4 AB
32．如图，线段AB=10cm，点C是线段AB上的一个动点，点C从点A出发，以2cm/s的速度从点
A运动到点B，再从点B运动到点A，然后停止．设点C运动的时间为t(s)．
(1)当t=2时，AC=________cm；当t=6时，AC=________cm；
(2)用含t的式子表示整个运动过程中AC的长度；
(3)设D是线段AC的中点，E是线段BC的中点．
①当点C从点A向点B运动时，线段DE的长度是否变化？若不变，求出DE的长度；若变化，说明
理由；
②当AD=BE时，直接写出t的值，t=________．
33．如图1，线段AB长为24个单位长度，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB
运动，M为AP的中点，设P的运动时间为x秒．
（1）当PB=2AM时，求x的值
（2）当P在线段AB上运动时，2BM−BP=________，请填空并说明理由．
（3）如图2，当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点，下列两个结论：①MN长度不变；②MA+PN的值不变，选择一个正确的结论，并求出其值．
34．如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为2．网格中有一个格点△ABC（即三
角形的顶点都在格点上）．
(1)在图中作出△ABC关于直线l对称的△A B C ；（要求∶A与A ，B与B ，C与C 相对应）
1 1 1 1 1 1
(2)若有一格点P到点B、C的距离相等，则网格中满足条件的点P共有______个；
(3)在直线l上找一点Q，使QA+QB的值最小，并直接写出此时QA+QB的最小值的平方______．
35．已知数轴上两点A、B，若在数轴上存在一点C，使得AC+BC=nAB，则称点C为线段AB的
“n倍点”．例如如图1所示：当点A表示的数为−2，点B表示的数为2，点C表示的数为0，有
AC+BC=2+2=4=AB，则称点C为线段AB的“1倍点”．
请根据上述规定回答下列问题：
已知图2中，点A表示的数为−3，点B表示的数为1，点C表示的数为x．
(1)当−3≤x≤1时，点C______（填“一定是”或“一定不是”或“不一定是”）线段AB的“1倍
点”；
(2)若点C为线段AB的“n倍点”，且x=−4，求n的值；
(3)若点D是线段AB的“2倍点”，则点D表示的数是多少？请说明理由．
【能力提升】
36．如图1，笔直的公路上有A、B两个站点相距40km，在公路的同侧有C、D两个村庄，
DA⊥AB，CB⊥AB，且DA=20km，CB=10km，现政府决定在A、B之间建一个土特产加工基地E．（1）若要使土特产加工基地E点到C、D两村的距离相等，请用直尺和圆规在图1中作出点E；
（2）在（1）的条件下求出基地E到A站的距离；
（3）若要使土特产加工基地E点到C、D两村的距离和（即DE +EC）最小，求出此最小的距离和．
37．问题情景：某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动．
【知识准备】
（1）如图，下列四幅图中不是长方体的表面展开图的是______．
【制作纸盒】
（2）综合实践小组利用边长为a(cm)的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖
的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．其中a=30cm，b=5cm．
①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为b(cm)的
小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面积为______cm2；
②根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒，方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为b(cm)的
小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，则该长方体纸盒的体积为______cm3；
③制作成的无盖盒子的体积是有盖盒子体积的______倍．
（3）若有盖长方体的长、宽、高分别为6、4、3，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，
则该长方体表面展开图的最大外围周长为______，外围周长最大时的表面展开图共有______种不同
的形状，请任选一种画出该长方体的展开图（要求：借助直尺或三角板作图，图中标明长、宽、高
的数据）．
38．如图，已知数轴上点 A 表示的数为 8，B 是数轴上一点，且 AB=12．动点P从点A出发，
以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(t>0)秒．(1)写出数轴上点 B 表示的数________，点P表示的数________（用含t的代数式表示）；
(2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问
点P运动多少秒时追上点Q？
(3)若 M为AP的中点，N为PB的中点：点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变
化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长．
39．已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为−10，点B表示的数为6．若动点M从点A出发，
以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点N从点B出发，以每秒1个单位长度的
速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒．
(1)当t=2时，点M表示的数是____________，点N表示的数是____________；
(2)当MN=4时，求t的值；
(3)若点C为AM的中点，点D为BN的中点，当点M、N在线段AB上运动，且点M在点N的左侧时，
试猜想MN与CD之间的数量关系，并说明理由．
40．名师原创综合与实践：制作无盖盒子
任务一：如图①，有一块矩形纸板，长是宽的2倍，要将其四角各剪去一个正方形，折成高为4cm
，容积为616cm3的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）．
（1）请在图①的矩形纸板中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕；
（2）请求出这块矩形纸板的长和宽．
任务二：图②是一个高为4cm的无盖的五棱柱盒子（直棱柱），图③是其底面，在五边形ABCDE
中，BC=12cm，AB=DC=6cm，∠ABC=∠BCD=120°，∠EAB=∠EDC=90°．
（1）多解法 试判断图③中AE与ED的数量关系，并加以证明；
（2）图②中的五棱柱盒子可按图④所示的示意图，将矩形纸板剪切折合而成，那么这个矩形纸板的
长和宽至少各为多少厘米？请直接写出结果（图中实线表示剪切线，虚线表示折痕，纸板厚度及剪
切接缝处损耗均忽略不计）．
