文档内容
专题 01 利用三角形全等和相似的性质进行求解的问题
在几何压轴题中，全等三角形的性质和相似三角形的性质一般作为工具性质进行使用，用以帮助解决角
度的相等问题或者线段的数量关系。
（1）在具体的压轴题中可以通过证明三角形全等或三角形相似，得到某两个角相等，再结合所求进行转
化，从而得到我们想要的角度关系。
（2）压轴题中关于证明线段相等关系或者和差关系的证明时，一般通过三角形全等的性质，找出中间线
段与所求线段的倍数关系，进行等量代换或者转化。
（3）压轴题中关于证明或探究线段之间的积关系或者比值关系时，一般利用三角形相似的性质进行转
化，有时也会用到三角形全等的性质进行转化。
（2022·辽宁丹东·统考中考真题）已知矩形ABCD，点E为直线BD上的一个动点（点E不与点B重合），
连接AE，以AE为一边构造矩形AEFG（A，E，F，G按逆时针方向排列），连接DG．
(1)如图1，当 ＝ ＝1时，请直接写出线段BE与线段DG的数量关系与位置关系；
(2)如图2，当 ＝ ＝2时，请猜想线段BE与线段DG的数量关系与位置关系，并说明理由；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接BG，EG，分别取线段BG，EG的中点M，N，连接MN，MD，ND，若AB＝ ，∠AEB＝45°，请直接写出△MND的面积．
（1）证明△BAE≌△DAG，进一步得出结论；
（2）证明BAE∽△DAG，进一步得出结论；
（3）解斜三角形ABE，求得BE＝3，根据（2） 可得DG＝6，从而得出三角形BEG的面积，可证
得△MND≌△MNG，△MNG与△BEG的面积比等于1：4，进而求得结果．
【答案】(1)BE＝DG，BE⊥DG
(2)BE＝ ，BE⊥DG，理由见解析
(3)S MNG＝
△
【详解】（1）解：由题意得：四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°，
∴∠BAD﹣∠DAE＝∠EAG﹣∠DAE，
∴∠BAE＝∠DAG，
∴△BAE≌△DAG（SAS），
∴BE＝DG，∠ABE＝∠ADG，
∴∠ADG+∠ADB＝∠ABE+∠ADB＝90°，
∴∠BDG＝90°，
∴BE⊥DG；
（2）BE＝ ，BE⊥DG，理由如下：
由（1）得：∠BAE＝∠DAG，
∵ ＝ ＝2，
∴△BAE∽△DAG，
∴ ，∠ABE＝∠ADG，
∴∠ADG+∠ADB＝∠ABE+∠ADB＝90°，∴∠BDG＝90°，
∴BE⊥DG；
（3）如图，
作AH⊥BD于H，
∵tan∠ABD＝ ，
∴设AH＝2x，BH＝x，
在Rt△ABH中，
x2+（2x）2＝（ ）2，
∴BH＝1，AH＝2，
在Rt△AEH中，
∵tan∠ABE＝ ，
∴ ，
∴EH＝AH＝2，
∴BE＝BH+EH＝3，
∵BD＝ ＝5，
∴DE＝BD﹣BE＝5﹣3＝2，
由（2）得： ，DG⊥BE，
∴DG＝2BE＝6，
∴S BEG＝ ＝ ＝9，
△在Rt△BDG和Rt△DEG中，点M是BG的中点，点N是CE的中点，
∴DM＝GM＝ ，
∵NM＝NM，
∴△DMN≌△GMN（SSS），
∵MN是△BEG的中位线，
∴MN BE，
∴△BEG∽△MNG，
∴ ＝（ ）2＝ ，
∴S MNG＝S MNG＝ S BEG＝ ．
△ △ △
本题主要考查了正方形，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决
问题的关键是类比的方法．
（2022·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在 中， ， ，点 在直线 上，连接
，将 绕点 逆时针旋转 ，得到线段 ，连接 ， ．
(1)求证： ；
(2)当点 在线段 上（点 不与点 ， 重合）时，求 的值；
(3)过点 作 交 于点 ，若 ，请直接写出 的值．（1）作AH⊥BC于H，可得BH＝ AB，BC＝2BH，进而得出结论；
（2）证明△ABD∽△CBE，进而得出结果；
（3）当点D在线段AC上时，作BF⊥AC，交CA的延长线于F，作AG⊥BD于G，设AB＝AC＝3a，则
AD＝2a，解直角三角形BDF，求得BD的长，根据△DAG∽△DBF求得AQ，进而求得AN，进一步得出结
果；当点D在AC的延长线上时，设AB＝AC＝2a，则AD＝4a，同样方法求得结果．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
(3) 或
【详解】（1）证明：如图1，
作AH⊥BC于H，
∵AB＝AB，
∴∠BAH＝∠CAH＝ ∠BAC＝ ×120°＝60°，BC＝2BH，
∴sin60°＝ ，
∴BH＝ AB，
∴BC＝2BH＝ AB；
（2）解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝ ，
由（1）得， ，
同理可得，
∠DBE＝30°， ，
∴∠ABC＝∠DBE， ，
∴∠ABC−∠DBC＝∠DBE−∠DBC，
∴∠ABD＝∠CBE，
∴△ABD∽△CBE，
∴ ；
（3）如图2，
当点D在线段AC上时，
作BF⊥AC，交CA的延长线于F，作AG⊥BD于G，
设AB＝AC＝3a，则AD＝2a，
由（1）得， ，
在Rt△ABF中，∠BAF＝180°−∠BAC＝60°，AB＝3a，
∴AF＝3a•cos60°＝ ，BF＝3a•sin60°＝ ，
在Rt△BDF中，DF＝AD＋AF＝ ，，
∵∠AGD＝∠F＝90°，∠ADG＝∠BDF，
∴△DAG∽△DBF，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵AN DE，
∴∠AND＝∠BDE＝120°，
∴∠ANG＝60°，
∴ ，
∴ ，
如图3，
当点D在AC的延长线上时，
设AB＝AC＝2a，则AD＝4a，
由（1）得，CE＝ ，
作BR⊥CA，交CA的延长线于R，作AQ⊥BD于Q，
同理可得，
AR＝a，BR＝ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
综上所述： 的值为 或 ．
本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是正确
分类和较强的计算能力．
（2022·湖北宜昌·统考中考真题）已知菱形 中， 是边 的中点， 是边 上一点．
(1)如图1，连接 ， ． ， ．①求证： ；
②若 ，求 的长；
(2)如图2，连接 ， ．若 ， ，求 的长．
（1）①根据 可证得： ，即可得出结论；
②连接 ，可证得 是等边三角形，即可求出 ；
（2）延长 交 的延长线于点 ，根据 可证得 ，可得出 ， ，
，则 ，即可证得 ，即可得出 的长．
【答案】(1)①见解析；②
(2)
【详解】（1）①∵ ， ，
∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ .
②如图，连接 .
∵ 是边 的中点， ，
∴ ，
又由菱形 ，得 ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ .（2）如图，延长 交 的延长线于点 ，
由菱形 ，得 ， ，
∴ ， ，
∵ 是边 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，而 为公共角.
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ .本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，锐角三角函数求线段长度，全等三角形的性质和判
定，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键.
1．（2022·吉林长春·校联考模拟）【教材呈现】
在华师版八年级下册数学教材第111页学习了以下内容：菱形的对角线互相垂直．
【结论运用】
(1)如图①，菱形 的对角线 与 相交于点 ， ， ，则菱形 的面积是 ；
(2)如图②，四边形 是平行四边形，点 在 上，四边形 是菱形，连接 、 、 ，求
证： ；
(3)如图③，四边形 是菱形，点 在 上，四边形 是菱形，连接 ，若 ，则
度．
2．（2022·四川德阳·模拟）已知：四边形 是正方形，点 在 边上，点 在 边上，且
．
(1)如图 ， 与 有怎样的关系．写出你的结果，并加以证明；
(2)如图 ，对角线 与 交于点 ． ， 分别与 ， 交于点 ，点 ．
①求证： ；②连接 ，若 ， ，求 的长．
3．（2022·山东日照·校考二模）在 中， ， ，点 为线段 延长线上一动点，连
接 ，将线段 绕点 逆时针旋转，旋转角为 ，得到线段 ，连接 ， ．
(1)如图1，当 时，①求证： ；②求 的度数；
(2)如图2，当 时，请直接写出 和 的数量关系．
(3)当 时，若 ， ，请直接写出点 到 的距离为
4．（2022·山东济南·山东师范大学第二附属中学校考模拟）如图，在 中，点D、E分别是边 、
上的点，且 ．
(1)如图1，若 ，求证： ；
(2)若 ．
①如图2，当 时，求 的长；
②如图3，当 时，直接写出 的长是______．
5．（2022·辽宁葫芦岛·统考二模）在平行四边形 中， ， ， 平分 交线
段 于点 ，在□ 的外部作 ，使 ， ，连接 ， ，线段 与
交于点 ．(1)当 时，请直接写出线段 和 的数量关系；
(2)当 时，
①请写出线段 ， ， 之间的数量关系，并说明理由；
②若点 是 的三等分点，请直接写出 的值．
6．（2022·河北保定·统考二模）两个完全相同的直角三角板按如图1所示方式放置，
，直角顶点 和 重合， ，连接 ， ．
(1)论证：求证： ．
(2)探索：如图2， 、 为两个三角板斜边上的两动点，且 ， ，当 最小时，求
的长．
(3)拓展：将两个三角板按图3所示方式放置，直角顶点 在 上，两三角板的直角边分别交于 、 两
点，当 与 相似时，求 的长．
