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专题 01 一次方程（组）及其应用（分层训练）
【基础训练】
一、单选题
1．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七
客多七客，一房九客一房空．”其大意为：有一批客人去住店，如果每一间客房住7人，那么就有7
人没有房住；如果每一间客房住9人，那么就会多出来一间房．若设该店有x间客房，则可列方程为
（ ）
A．7x+7=9x−9 B．7x−7=9x+9
C．7x+7=9x+9 D．7x−7=9x−9
2．2020年12月30日，连云港市图书馆新馆正式开馆．小明同学从家步行去图书馆，他以5km/h的
速度行进24min后，爸爸骑自行车以15km/h的速度按原路追赶小明．设爸爸出发xh后与小明会合，
那么所列方程正确的是（ ）
24
A．5(x+ )=15x B．5(x+24)=15x C．5x=15(x+24) D．
60
24
5x=15(x+ )
60
3．已知x=1是关于x的方程2-ax=x+a的解，则a的值是（ ）
1 3
A． B．−1 C． D．1
2 2
4．已知关于x的方程2x+m=n的解为x=1，则方程2x+m=n−4的解为（ ）
A．x=1 B．x=2 C．x=−1 D．无法确定
5．已知关于x的方程2x−a+5=0的解是x=2，则a的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
6．某班有若干个活动小组，其中书法小组人数的3倍比绘画小组的人数多15人，绘画小组人数的2
倍比书法小组的人数多5人，问：书法小组和绘画小组各有多少人？若设书法小组有x人，绘画小
组有y人，那么可列方程组为（ ）
A．¿ B．¿ C．¿ D．¿
7．《孙子算经》是中国古代最重要的数学著作，约成书于四五世纪．其中记载：“今有木，不知长
短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺．木长几何？”译文：“用一根绳子去量一根
长木，绳子还余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木多少尺？”两名同学分别列出了正确的方程．嘉嘉：1 ；琪琪： (1 ) ．下列说法正确的是（ ）
(x+4.5)=x−1 x− x+1 =4.5
2 2
A．琪琪所列方程中的x表示长木长，方程的等量关系依据是“将绳子对折再量长木，长木还剩
余1尺”
B．琪琪所列方程中的x表示绳子长，方程的等量关系依据是“将绳子对折再量长木，长木还剩
余1尺”
C．嘉嘉所列方程中的x表示长木长，方程的等量关系依据是“将绳子对折再量长木，长木还剩
余1尺”
D．嘉嘉所列方程中的x表示绳子长，方程的等量关系依据是“用一根绳子去量一根长木，绳子
还余4.5尺”
8．把一根长9m的钢管截成1m长和2m长两种规格均有的短钢管，且没有余料，设某种截法中1m
长的钢管有a根，则a的值可能有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．9种
9．某商品的标价为150元，八折销售仍盈利20%，则商品进价为（ ）元．
A．100 B．110 C．120 D．130
10．根据等式的性质，下列等式变形中，不一定成立的是（ ）
A．若x= y，则x+2= y+2 B．若x= y，则1−x=1−y
x y
C．若ax=ay，则x= y D．若 = ，则x= y
a a
1 5 y x y
11．已知x=y≠﹣ ，且xy≠0，下列各式：①x﹣3=y﹣3； ② = ；③ = ；
2 x 5 2y+1 2x+1
④2x+2y=0，其中一定正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．已知¿是方程2x﹣ay=3b的一个解，那么a﹣3b的值是（ ）
A．2 B．0 C．﹣2 D．1
13．若x=−5是方程a+3x=−16的解，则a的值是（ ）
A．1 B．−1 C．−5 D．−31
14．某文具店一支铅笔的售价为1.2元，一支圆珠笔的售价为2元．该店在“6•1儿童节”举行文具
优惠售卖活动，铅笔按原价打8折出售，圆珠笔按原价打9折出售，结果两种笔共卖出60支，卖得
金额87元．若设铅笔卖出x支，则依题意可列得的一元一次方程为（ ）
A．1.2×0.8x+2×0.9（60+x）=87 B．1.2×0.8x+2×0.9（60﹣x）=87
C．2×0.9x+1.2×0.8（60+x）=87 D．2×0.9x+1.2×0.8（60﹣x）=87
15．乡村旅游越来越受广大市民的喜爱，罗甸县为发展乡村旅游，对某村基础设施进行升级改造，若甲工程队单独施工，5个月完成，乙工程队单独施工，10个月完成，政府决定先由甲工程队单独
施工2个月，再由甲乙两队共同完成剩下的部分，则完成这项工程共需（ ）个月．
A．6 B．4 C．5 D．3
二、填空题
16．现有牌面编码为1、2、3、4、5的五张卡片，背面向上，从中随机抽取一张，记其数字为k，放
回打乱后，再抽一张记其数字为m，则事件“关于a、b的方程组¿的解满足0≤a−b≤1，且二次函
数y=x2−2x+m图象与坐标轴至少有一个交点”成立的概率为 ．
17．如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120°，点E，F同时由A，C两点出发，分别
沿AB，CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经
过t秒ΔDEF为等边三角形，则t的值为 ．
18．．对于任意实数a，b，定义关于“⊕”的一种运算如下：a⊕b＝2a＋b．例如：3⊕4＝2×3＋4＝
10．若x⊕(－y)＝2，且2y⊕x＝－1，则x＋y= ．
19．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，记有许多有趣而又不乏技巧的算术程式．其中记载：
“今有甲、乙二人，持钱各不知数．甲得乙中半，可满四十八．乙得甲太半，亦满四十八．问甲、
乙二人原持钱各几何？”
译文：“甲，乙两人各有若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文．如果乙得到甲
2
所有钱的 ，那么乙也共有钱48文．问甲，乙二人原来各有多少钱？”
3
设甲原有x文钱，乙原有y文钱，可列方程组为 ．
20．将15个编号为1~15的小球全部放入甲、乙、丙三个盘子内，每个盘子里的小球不少于4个，
甲盘中小球编号的平均值为3．
（1）写出一种甲盘中小球的编号是 ；
（2）若乙、丙盘中小球编号的平均值分别为8，13，则乙盘中小球的个数可以是 ．
21．《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足
一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木
条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y尺，可列方程组为 ．a b c
22．若实数a，b，c满足 = = =k，且a+2b+3c=40，则k= ．
2 3 4
23．在平面直角坐标系中，点P（2，3）与点P′（2a+b，a+2b）关于原点对称，则（﹣a+b）2021的
值为 ．
24．甲、乙两人分别在相距100米的A，B两地上进行匀速往返跑训练，速度分别为5cm/s和
4cm/s，甲从A到B，乙从B到A，他们同时从A，B出发，到达对方的出发地后，立即以各自的
100
原速度折返，易知经过 s第1次相遇：
9
（1）再经过 s，第2次相遇；
（2）5内分钟（含5分钟），他们共相遇 次．
25．《九章算术》中的“方程”一章中讲述了算筹图，如图1，图2所示，图中各行从左到右列出的
算筹数分别表示未知数x、y的系数与相应的常数项，图1表示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组
形式表述出来为¿类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为 。
三、解答题
26．某苹果经销商在销售苹果时，经市场调查：当苹果的售价为10元/千克时，日销售量为40千克，
若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克．设苹果售价为x元/千克（x≥10，且x为整数）．
(1)若某日苹果的销售量为28千克，求该日苹果的销售单价；
(2)若政府将销售价格定为不超过18元/千克，设该经销商的日销售额为W元，求W的最大值和最小
值；
(3)若政府每日给该经销商补贴10m元后（m为正整数），发现只有5种不同的售价使日收入不少于
500元，请求出m的值．（日收入=销售额+政府补贴）
27．如图，AB、CD为数轴上两条线段，其中A与原点重合，AB=10，且CD=3AB+2．
（1）当B为AC中点时，求线段AD的长；
（2）线段AB和CD以（1）中图形为初始位置，同时开展向右运动，线段AB的运动速度为每秒5
个单位长度，线段CD运动速度为每秒3个单位长度，设运动时间为t秒，请结合运动过程解决以下问题：
①当AC=16时，求t的值；
②当AC+BD=38时，请直接写出t的值．
28．为民中学租用两辆速度相同的小汽车送1名带队老师和6名学生到城区中学参加数学竞赛，每
辆限坐4人（不包括司机）．其中一辆小汽车在距离考场16.5 km的地方出现故障，此时离截止进考
场的时刻还有50分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车，且这辆车的平均速度是55
km/h，人步行的速度是5 km/h（上、下车时间忽略不计）．
（1）若小汽车送4人到达考场，然后再回到出故障处接其他人，请你通过计算说明他们能否在截止
进考场的时刻前到达考场；
（2）假如你是带队的老师，请设计一种你认为较优的运送方案，使他们能在截止进考场的时刻前到
达考场，并通过计算说明方案的可行性．
29．某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，投资建设了日废水处理为a吨的废水
处理车间，对该厂工业化废水进行无害化处理，但随着工厂生产规模扩大，该厂需将超出日废水处
理量的废水交给第三方企业处理．已知该车间处理废水，每天需固定成本20元，并且每处理一吨废
水还需要其他费用7元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付11元．根据记录，某日该工厂产
生废水30吨，共花费废水处理费270元．
(1)求该车间的日废水处理量a；
(2)为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的平均费用
不超过9元/吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围．
30．如图，以长方形OBCD的顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系，B点坐标为（0，a），C点
坐标为（c，b），且a、b、C满足√a+6+|2b+12|+（c﹣4）2＝0．
（1）求B、C两点的坐标；
（2）动点P从点O出发，沿O→B→C的路线以每秒2个单位长度的速度匀速运动，设点P的运动
时间为t秒，DC上有一点M（4，﹣3），用含t的式子表示三角形OPM的面积；1
（3）当t为何值时，三角形OPM的面积是长方形OBCD面积的 ？直接写出此时点P的坐标．
3
31．为实现“乡村振兴”的战略目标，幸福乡实施了“村村亮化”工程． 计划投入40万元分三批
次购买甲、乙两种型号的路灯（每种型号的路灯单价不变）安装在村公路两旁．第一批次购买甲
型路灯300盏、乙型路灯400盏，共花资金150000元； 第二批次购买甲型路灯400盏，乙型路灯
300盏，共花资金144000元．
(1)求甲、乙两种型号路灯的单价分别是多少元；
(2)由于工程的需要，第三批次购买的甲型路灯不能少于350盏，那么第三批次最多能购进乙型路灯
多少盏？
32．列方程或方程组解应用题：
周末小明和爸爸准备一起去商场购买一些茶壶和一些茶杯，了解情况后发现甲、乙两家商场都在出
售两种同样品牌的茶壶和茶杯，定价相同，茶壶每把定价30元，茶杯每只定价5元，且两家都有优
惠．甲商场买一送一大酬宾（买一把茶壶送一只茶杯）；乙商场全场九折优惠．小明的爸爸需茶壶
5把，茶杯若干只（不少于5只）．当去两家商场付款一样时，求需要购买茶杯的数量．
33．如图，整数m，n，t在数轴上分别对应点M，N，T．
(1)若m，n互为相反数，描出原点O的位置并求t的值；
(2)当点T为原点，且：m−n+□=−3时，求“□”所表示的数．
34．北斗卫星导航系统是我国自行研制的全球卫星导航系统，它极大地方便了航海时轮船的定位．
如图，位于东西方向海北岸线上的码头A，B相距70海里，一艘供给船从码头A出发沿北东偏东
45°方向匀速行驶，到达C处后收到信号，位于码头B正北方向80海里的D处有一渔船需要物资，
故该供给船按原速沿北偏东37°方向行驶50min后到达D处：求供给船行驶时的速度(结果保留整数
3 4 3
参考数据： sin37°≈ ， cos37°≈ ， tan37°≈ )．
5 5 4
35．某航空公司开展网络购机票优惠活动：凡购机票每张不超过2000元的一律八折优惠；超过2000元的，其中2000元按八折算，超过2000的部分按七折算．
（1）甲旅客购买了一张机票的原价为1500元，需付款 元；
（2）乙旅客购买了一张机票的原价为x（x＞2000）元，___需__付_ 款 元（用含x的代数式表示）；
（3）丙旅客因出差购买了两张机票，第一张机票实际付款1440_元___，__第二张机票享受了七折优惠，
他查看了所买机票的原价，发现两张票共节约了910元，求丙旅客第二张机票的原价和实际付款各
多少元？
【能力提升】
36．共享经济来临，某企业决定在无锡投入共享单车（自行车）和共享电单车（电动车）共2000辆，
已知每辆共享单车成本380元，每台共享电单车成本1500元，2辆共享单车和1辆共享电单车每周
毛利31元，4辆共享单车和3辆共享电单车每周毛利81元，
（1）求共享单车和共享电单车每周每辆分别可以盈利多少元？
（2）为考虑投资回报率，该企业计划投入成本不超过174万元，每周的毛利不低于23050元，现要
求投入的单车数量为10的倍数，请你列举出所有投入资金方案．
37．A、B两个动点在数轴上同时做匀速运动，运动方向不变，它们的运动时间和在数轴上的位置所
对应的数记录如下表．
(1)根据题意，填写下列表格：
时间（秒） 0 5 7
A点在数轴上的位置 10 0 ___________
1
B点在数轴上的位置 ___________ 20
2
(2)A、B两点在___________秒时相遇，此时A、B点对应的数是___________；
(3)在A、B两点上分别安装一个感应器，感应距离为3至8（即当两点距离大于等于3，小于等于8
时会一直发出震动提示，距离太远或太近都不提示）．
①A、B两点开始运动后，经过几秒感应器开始发出提示？第一次提示持续多长时间？
②数轴上有一动点C，在感应器开始发出第二次提示时，从原点出发，沿数轴以3个单位长度/秒的
速度运动，C点运动几秒，C点到A点的距离与C点到B点的距离比是1：3？
38．我国最新的个人所得税“起征点”是5000元，即月工资超过5000元的部分需要缴纳税收，具
体如表，其中应纳税所得额＝月工资﹣5000﹣专项扣除金额﹣依法确定的其他扣除金额．
（1）某员工的应纳税所得额为4000元，求该员工缴纳的税额是多少？
（2）我国专项扣除的常见项目及金额如下：①每个子女教育扣除2000元；②住房贷款扣除2000元；
③赡养每位老人扣除2000元．某公司一技术专家的月工资是40000元，他有1个读初中的子女、一
套住房的贷款和赡养2位老人，则该技术专家缴纳的税额是多少元？（3）公益捐赠属于依法确定的其他扣除项目，在（2）的基础上，该技术专家在三月份参加了公益
捐赠活动后，实际收入33610元，求该技术专家在三月份捐赠了多少元？
2020年个人所得税税收表（工资薪金所得适用）
级数 应纳税所得额 税率
1 0至3000元的部分 3%
2 超过3000元至12000元的部分 10%
3 超过12000元至25000元的部分 20%
4 超过25000元至35000元的部分 25%
5 超过35000元至55000元的部分 30%
39．为了引领当代中学生迈向未来航空新纪元，2019年，在中国空军航空开放日上，“南天门计
划”首次被提出，2023年6月央视官方宣传片播出，它的核心是构建一个全球性综合战略防卫体系，
以应对未来可能的外星和硅基生命体的威胁，体现了中国航空工业对未来技术发展的前瞻性思维．
在对“南天门计划”的小组学习中，我们对在平面直角坐标系中任一点(a,b)，规定以下三种变换为
“南天门变换”：
①N(a,b)=(−a,b)，如：N(7,3)=(−7,3)；
②T(a,b)=(b,a)，如：T(7,3)=(3,7)；
③M(a,b)=(−a,−b)，如：M(7,3)=(−7,−3)；
例如： ．
N(T(2,−3))=N(−3,2)=(3,2)
请回答下列问题：
(1)利用“南天门变换”化简： ______； ______； ______；
T(−2,8)= M(6,−5)= N(M(5,−3))=
(2)通过以上“南天门变换”得到的坐标叫做“南天门”坐标，规定“南天门”坐标可以进行如下运
算：
(a,c)+(b,d)=(a+b,c+d)，(a,c)−(b,d)=(a−b,c−d)；
，当 时， 且 ．
(a,c)∧(b,d)=(ab,cd) (a,c)=(b,d) a=b c=d
①“南天门”坐标 中横坐标为整数，满足：
P(x,y) [T(M(−2,−6))]∧[M(N(tx,−2))]=(36,8y)
（常数t为正整数），求存在的点P的坐标．
②“南天门”坐标Q(m,n)在第四象限，满足：，当 为正整数时，求
N(T(2m,−km))−M(N(1+n,−2))=M(T(kn−1,−1))+N(M(n,m)) k
7(m−n)+2013k的值．
40．一个四位自然数m，若它的千位数字与百位数字的差等于5，十位数字与个位数字的差等于4，
则称这个四位自然数m为“青年数”．“青年数”m的千位数字与百位数字的和的2倍与十位数字及
个位数字的和记为 ；“青年数” 的千位数字与4的差记为 ，令 P(m)．
P(m) m Q(m) F(m)=
Q(m)
例如：∵对7240，7−2=5，4−0=4，∴7240是“青年数”．
∵P(7240)=2×(7+2)+4+0=22，Q(7240)=7−4=3，
∴ P(7240) 22．
F(7240)= =
Q(7240) 3
又如：∵对5093，5−0=5，但9−3≠4，∴5093不是“青年数”．
(1)请判断8273，9462是否为“青年数”？并说明理由；如果是，请求出对应的F(m)的值；
(2)若一个“青年数”m，当F(m)能被10整除时，求出所有满足条件的m．
