文档内容
2026 年中考数学一轮复习精讲精练
模块一 数与式
专题5 实数的运算
知识梳理
【考点一】实数的运算
1.实数运算法则
1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
2)异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的
符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
实数的加法法则
3)互为相反数的两个数相加之和为0；
4) 一个数同0相加，仍得这个数。
实数的减法法则 减去一个数等于加上这个数的相反数。
1)两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
实数的乘法法则
2)任何数同0相乘，都得0。
1)除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数，即： ；
实数的除法法则
2)两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；
3)0除以任何不为0的数，都得0。
求几个相同因数乘积的运算，写作aⁿ，aⁿ表示 n个a连续相乘。
1)正数的任何次幂都是正数；
实数的乘方
2) 0的任何正整数次幂都是0；
3)负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，可称为奇负偶正。
1)开平方是求一个数的平方根的运算；
实数的开方
2) 开立方是求一个数的立方根的运算。
2.加法、乘法运算律
类别 表示
加法交换律
加法结合律
乘法交换律
乘法结合律
乘法分配律3.实数的混合运算顺序
先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果有括号，则先进行括号里的运算，在同一级运算中
要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算。
例题讲解
【题型一】实数的混合运算
◇典例1：
计算： ．
【答案】
【分析】此题考查了二次根式的乘法和实数的混合运算，先计算二次根式的乘法、算术平方根、立方根，
最后计算加减即可．
【详解】解：原式 ．
◆变式训练
计算： ．
【答案】8
【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，积的乘方的逆用运算等知识，先计算零指数幂，负整
数指数幂，然后再进行加减运算即可．
【详解】解：
【题型二】程序设计与实数运算
◇典例2：
有一个数值转换器，流程如图：当输入 的值为36时，输出 的值是 ．【答案】
【分析】本题主要考查了算术平方根，无理数，熟练掌握算术平方根的意义是解答本题的关键，根据流程
图求算术平方根，再根据无理数的定义判断即可求解．
【详解】解：由题意得， 的算术平方根是6，6不是无理数，
6的算术平方根是 ， 是无理数，
则输出 ．
故答案为： ．
◆变式训练
如图为一个数值转换器，某次输入 后经过两次取算术平方根运算，输出的 值为 ，则 为（ ）
A．3 B．9 C．27 D．81
【答案】B
【分析】本题考查了算术平方根的运算与数值转换器的逻辑，解题的关键是从输出结果反向推导输入值．
从输出的 反向推导，先求出第二次取算术平方根前的数，再根据“是有理数则再次输入”的规则，
求出第一次取算术平方根前的数 ．
【详解】解：两次取算术平方根，即 ，
两边平方得 ，
再平方得 ，
故选B．
【题型三】与实数运算相关的规律题
◇典例3：观察下列各式：
；
；
．
请你根据以上信息，计算 ______．（直接写出计算结果）
【答案】
【分析】本题考查数字的变化规律，正确找到数字的变化规律是解题的关键．
观察已知等式的规律，发现对于形如 的式子，其计算结果为 ，将 ，代
入公式计算即可．
【详解】解：由题意得：
，
，
，
由此发现规律： ，
那么 ，
计算 ，通分后， ， ，
则 ，
因此 ．
故答案为： ．
◆变式训练
观察下列各式：
请你根据以上三个等式提供的信息归纳：根据你的观察、猜想，写出一个用n（n为正整数）表示的等式：
．
【答案】 （ 为正整数）
【分析】本题考查了数字类规律探究根据前几个式子的规律，写出第 个式子即可求解．通过观察给定等
式，发现每个等式均符合相同规律，即根式部分的结构和简化形式具有一致性，从而归纳出用正整数 表
示的一般等式．
【详解】解：根据等式的规律可得： （ 为正整数）
故答案为： （ 为正整数）．
真题在线
一、单选题1．（2023·内蒙古·中考真题）定义新运算“ ”，规定： ，则 的运算结果为
（ ）
A． B． C．5 D．3
【答案】D
【分析】根据新定义的运算求解即可．
【详解】解： ，
∵
，
∴
故选：D．
【点睛】题目主要考查新定义的运算，理解题意中的运算法则是解题关键．
2．（2023·山东·中考真题）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据数轴可得， ，再根据 逐项判定即可．
【详解】由数轴可知 ，
∴ ，故A选项错误；
∴ ，故B选项错误；
∴ ，故C选项正确；
∴ ，故D选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查实数与数轴，根据 进行判断是解题关键．
3．（2024·江苏宿迁·中考真题）规定：对于任意实数a、b、c，有 ，其中等式右面是通
常的乘法和加法运算，如 ．若关于x的方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． 且 D． 且
【答案】D
【分析】此题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，根据题意得到 ，再由有两个不相等
的实数根得到 ，且 ，即可得到答案.
【详解】解：∵ ，
∴ ，即 ，
∵关于x的方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，且 ，
解得 且 ，
故选：D．
4．（2023·湖南娄底·中考真题）从n个不同元素中取出 个元素的所有组合的个数，叫做从n个不
同元素中取出m个元素的组合数，用符号 表示， （ ，n、m为正
整数）；例如： ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据新定义分别进行计算比较即可得解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
A选项， ，B选项， ，
C选项， ，
D选项， ，
故选C．
【点睛】本题考查了新定义运算以及求代数式的值．正确理解新定义是解题的关键．
5．（2024·山东威海·中考真题）定义新运算：
①在平面直角坐标系中， 表示动点从原点出发，沿着 轴正方向（ ）或负方向（ ）．平移
个单位长度，再沿着 轴正方向（ ）或负方向（ ）平移 个单位长度．例如，动点从原点出
发，沿着 轴负方向平移 个单位长度，再沿着 轴正方向平移 个单位长度，记作 ．
②加法运算法则： ，其中 ， ， ， 为实数．
若 ，则下列结论正确的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【分析】本题考查了新定义运算，平面直角坐标系，根据新定义得出 ，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴
解得： ，
故选：B．
6．（2025·四川泸州·中考真题）对于任意实数 ，定义新运算： ，给出下列结论：①
；②若 ，则 ；③ ；④若 ，则 的取值范围为．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了实数的新定义运算，解一元一次不等式组，根据新定义运算分类讨论是解题的关键．
根据新定义运算法则，逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：①∵ ，
∴ ，故①正确，
②∵ ，
当 时， ，
当 时， ，即 ，故②不正确；
③ 不成立，例如 ，则 ，故③不正确；
④当 即 时，
则： ，
解得： ，
∴ ；
当 ，即 时，
则： ，
解得： ，
∴ ，
综上所述， ，故④正确，
故正确的有①和④，共2个，
故选：B．
7．（2023·山东济南·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，对于点 ，当点 满足
时，称点 是点 的“倍增点”，已知点 ，有下列结论：①点 ， 都是点 的“倍增点”；
②若直线 上的点A是点 的“倍增点”，则点 的坐标为 ；
③抛物线 上存在两个点是点 的“倍增点”；
④若点 是点 的“倍增点”，则 的最小值是 ．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】①根据题目所给“倍增点”定义，分别验证 即可；②点 ，根据“倍增点”定义，
列出方程，求出a的值，即可判断；③设抛物线上点 是点 的“倍增点”，根据“倍增点”
定义列出方程，再根据判别式得出该方程根的情况，即可判断；④设点 ，根据“倍增点”定义可
得 ，根据两点间距离公式可得 ，把 代入化简并配方，即可得出
的最小值为 ，即可判断．
【详解】解：①∵ ， ，
∴ ，
∴ ，则 是点 的“倍增点”；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，则 是点 的“倍增点”；
故①正确，符合题意；②设点 ，
∵点A是点 的“倍增点”，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
故②不正确，不符合题意；
③设抛物线上点 是点 的“倍增点”，
∴ ，整理得： ，
∵ ，
∴方程有两个不相等实根，即抛物线 上存在两个点是点 的“倍增点”；
故③正确，符合题意；
④设点 ，
∵点 是点 的“倍增点”，
∴ ，
∵ ， ，
∴
，
∵ ，∴ 的最小值为 ，
∴ 的最小值是 ，
故④正确，符合题意；
综上：正确的有①③④，共3个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了新定义，解一元一次方程，一元二次方程根的判别式，两点间的距离公式，解题
的关键是正确理解题目所给“倍增点”定义，根据定义列出方程求解．
8．（2024·江苏无锡·中考真题）已知 是 的函数，若存在实数 ，当 时， 的取值
范围是 ．我们将 称为这个函数的“ 级关联范围”．例如：函数 ，存在
， ，当 时， ，即 ，所以 是函数 的“2级关联范围”．下列结
论：
① 是函数 的“1级关联范围”；
② 不是函数 的“2级关联范围”；
③函数 总存在“3级关联范围”；
④函数 不存在“4级关联范围”．
其中正确的为（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】A
【分析】本题考查了新定义，一次函数的性质，反比例函数的性质，二次函数的性质．
推出 在 时， ，即 ，即可判断①；推出 在 时， ，即
，即可判断②；③设当 ，则 ，当函数 存在“3级关联范围”时 ，整理得 ，即可判断③；设 ，则
，当函数 存在“4级关联范围”时， ，求出
m和n的值，即可判断④．
【详解】解：①当 时， ，当 时， ，
∵ ，
∴y随x的增大而减小，
∴ 在 时， ，即 ，
∴ 是函数 的“1级关联范围”；故①正确，符合题意；
②当 时， ，当 时， ，
∵ 对称轴为y轴， ，
∴当 时，y随x的增大而增大，
∴ 在 时， ，即 ，
∴ 是函数 的“2级关联范围”，故②不正确，不符合题意；
③∵ ，
∴该反比例函数图象位于第一象限，且在第一象限内，y随x的增大而减小．
设当 ，则 ，
当函数 存在“3级关联范围”时 ，
整理得： ，
∵ ， ，∴总存在 ，
∴函数 总存在“3级关联范围”；故③正确，符合题意；
④函数 的对称轴为 ，
∵ ，
∴当 时，y随x的增大而增大，
设 ，则 ，
当函数 存在“4级关联范围”时， ，
解得： ，
∴ 是函数 的“4级关联范围”，
∴函数 存在“4级关联范围”，故④不正确，不符合题意；
综上：正确的有①③，
故选：A．
二、填空题
9．（2024·山东日照·中考真题）计算：
【答案】1
【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握知识点是解题的关键．分别化简绝对值，零指数幂，再进行加
减计算．
【详解】解：原式 ，
．
故答案为：1
10．（2025·山东威海·中考真题）计算： ．【答案】
【分析】本题考查了实数的运算，根据负整数指数幂，零指数幂，二次根式的化简求解即可，掌握相关知
识是解题的关键．
【详解】解：
．
11．（2023·内蒙古·中考真题）观察下列各式：
， ， ，…
请利用你所发现的规律，计算： ．
【答案】 /
【分析】直接根据已知数据变化规律进而将原式变形求出答案．
【详解】
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查数字变化规律，正确将原式变形是解题的关键．
12．（2024·山东德州·中考真题）观察下列等式：……
则 的值为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了数字的规律的探究，算术平方根．通过前三个式子找出其中的规律即可．
【详解】解： ，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
三、解答题
13．（2025·陕西·中考真题）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，负整数指数幂，先运算乘法，乘方，负整数指数幂，再运算加减法，
即可作答．【详解】解：
．
14．（2025·广东深圳·中考真题）计算： ．
【答案】7
【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键：先进行开方，去绝对值，零
指数幂和乘方运算，再进行加减运算即可.
【详解】原式
.
15．（2024·陕西·中考真题）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了零次幂，化简绝对值，有理数的乘法，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先计算
有理数的乘法，零次幂，化简绝对值，再计算加减，即可作答．
【详解】解：
．
专项练习
一、单选题
1．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查合并同类项和平方根的计算，解题的关键是掌握各运算法则．根据合并同类项法则，只有系数相加减，字母部分不变；平方根不能直接相加．
【详解】解：选项A： ，故A错误；
选项B： ，故B错误；
选项C： ，符合合并同类项法则，故C正确；
选项D： ，故D错误；
故选：C．
2．下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查平方根、立方根和绝对值的概念．根据算术平方根的非负性、立方根的性质以及平方运
算规则，逐一判断各选项．
【详解】解：A． ，故原计算错误；
B． ，故原计算错误；
C． ， ，则 ，故原计算错误；
D． ，故原计算正确，
故选：D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查幂的乘方、实数的运算、积的乘方及同底数幂的除法，熟练掌握各个运算是解题的关键；
根据幂的乘方、积的乘方、同底数幂除法以及实数的运算，逐一判断各选项即可．【详解】解：对于选项A：∵ ，∴A错误；
对于选项B：∵ ，∴ ，∴B正确；
对于选项C：∵ ，∴C错误；
对于选项D：∵ ，∴D错误；
故选B．
4．如图，小辰用计算机设计了一个数值转换器，当输入 为64时，输出 是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】本题考查了求一个数立方根和算术平方根，无理数的定义，正确理解流程图是解题的关键．
将 输入，按照流程图计算，直至求出 是无理数，输出即可．
【详解】解：当 时， 的立方根为 ，4的算术平方根为 ，是有理数；
2的算术平方根为 ，
故选：B．
5．小明编写了一个程序，如图，若输入 ，则输出的值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【分析】本题考查了程序式计算，熟练掌握程序式计算是解题的关键．根据流程图分别代入计算，根据计
算结果判断即可．
【详解】解：根据题意得： ，
∴ ，∴ ，
∴ 的倒数为 ，
∴ ，
故选：A．
6．如图，这是一个简单的数值运算程序，当输入 的值为 时，输出的值为（ ）
A．5 B．7 C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键；由运算程序图可直接代值
进行求解即可．
【详解】解：当 时，由运算程序图可得： ；
故选C．
7．定义一种新运算： ，则 的值为（ ）
A．25 B．1 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查新定义运算，直接根据新运算的定义代入数值计算即可．
将 ， 代入 即可求出答案．
【详解】∵ ，
∴
故选A．
8．实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了数轴，判断式子正负，实数的运算，由数轴得到 ， ，逐一判断即可，
掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：A、由数轴得： ， ，
∴ ，
∴ ，故选项不符合题意；
B、由数轴得： ， ，
∴ ， ，
∴ ，故选项不符合题意；
C、由数轴得： ，
∴ ， ，
∴ ，故选项不符合题意；
D、由数轴得： ，
∴ ， ，
∴ ，故选项符合题意；
故选：D．
9．已知 为实数，规定运算： ，…， ，按上述方法
计算：当 时， 的值等于（ ）
A． B． C． D．3
【答案】C【分析】本题考查了实数的运算，数字规律探索，找到规律是解题的关键．
通过计算序列的前几项，发现序列呈现周期为3的循环规律，根据2025除以3的余数即可确定 的值．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴序列每3项循环一次： ．
∵ ，余数为0，
∴ ．
故选C．
10．设 ， ， ，…， ，
，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查实数的混合运算，算术平方根，总结归纳出规律，由
， ，
， ，得出 ，然后求出
，再代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵ ，，
，
，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ，
故选： ．
二、填空题
11．计算： ．
【答案】 /
【分析】本题考查零指数幂和绝对值的性质．任何非零数的零次幂等于1；负数的绝对值等于它的相反数．
【详解】解：
故答案为： ．
12．计算： ．
【答案】5
【分析】本题考查了实数的混合运算．先计算27的立方根和4的算术平方根，再将结果相加．
【详解】解： ．
故答案为： ．
13．计算： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握负整数指数幂运算法则，是解题的关键．先计算负整数
指数幂和绝对值，再相减即可．
【详解】解：
．
故答案为： ．
14．如图是一个数值转换器，当输入的 为64时，输出的 是 ．
【答案】
【分析】本题考查了算术平方根，根据图示进行求算术平方根，并判断是否无理数．
【详解】解：由图示得： ， 是有理数，
2的算术平方根是 ， 是无理数，输入此值，
故答案为： ．
15．计算 的值 ．
【答案】 /
【分析】此题考查了实数的混合运算．
分别计算算术平方根、绝对值、立方根，再进行加减法即可．【详解】解：原式
故答案为：
16．实数 、 在数轴上的位置如图所示，化简 的结果是 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了实数与数轴，实数的运算，根据数轴可得 ，据此计算算术平方根和绝对值，
再合并同类项即可得到答案．
【详解】解：由数轴可知： ，
∴ ，
∴
，
故答案为： ．
三、解答题
17．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数的运算，
根据 ，再计算即可．
【详解】解：原式 ，．
18．计算：
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的化简，绝对值，负整数指数幂，零指数幂，熟练掌握公式计算是解题的关
键．本题根据 计算即可．
【详解】解：
．
19．计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查实数的混合运算，二次根式的混合运算，包括乘法、平方根、绝对值和负指数幂的计算．
（1）先计算乘法和平方根的乘积，再求和；
（2）先计算平方、绝对值和负指数，再综合运算．
【详解】（1）解：．
（2）解：
．
20．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查实数的混合运算，二次根式的混合运算，立方根、绝对值、平方根和算术平方根的计算，
以及完全平方公式和平方差公式的应用；
（1）根据立方根，化简绝对值，二次根式的性质化简，再进行加减计算即可求解；
（2）根据完全平方公式以及平方差公式进行计算即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：21．计算：
(1)
(2) （ ）
【答案】(1)2
(2)
【分析】本题考查了求一个数的绝对值，求一个数的算术平方根，实数的混合运算，同底数幂的除法运算，
计算单项式乘单项式，单项式乘多项式的应用，整式的混合运算，零指数幂，负整数指数幂等知识点，解
题关键是掌握上述知识点并能运用来求解．
（1）先计算绝对值，算术平方根，零次幂，负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减；
（2）先计算同底数幂相除，中间用分配律展开，最后用单项式乘以单项式法则计算，再合并同类项即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
