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专题26 锐角三角函数
一、锐角三角函数概念
【高频考点精讲】
在Rt△ABC中，∠C＝90°
1、正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA＝＝
2、余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA＝
3、正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA＝
4、三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数。
【热点题型精练】
1．（2022•天津中考）tan45°的值等于（ ）
√2 √3
A．2 B．1 C． D．
2 3
解：tan45°的值等于1，
答案：B．
2．（2022•淮南模拟）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA
的值是（ ）
√5 √10 1
A． B． C．2 D．
5 5 2
解：连接BD．
则BD=√2，AD＝2√2，
BD √2 1
则tanA= = = ．
AD 2√2 2答案：D．
3．（2022•荆州中考）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，
OC：BC＝1：2，连接 AC，过点 O作OP∥AB交AC 的延长线于 P．若 P（1，1），则 tan∠OAP 的值是
（ ）
√3 √2 1
A． B． C． D．3
3 2 3
解：如图，过点P作PQ⊥x轴于点Q，
∵OP∥AB，
∴∠CAB＝∠CPO，∠ABC＝∠COP，
∴△OCP∽△BCA，
∴CP：AC＝OC：BC＝1：2，
∵∠AOC＝∠AQP＝90°，
∴CO∥PQ，
∴OQ：AO＝CP：AC＝1：2，
∵P（1，1），
∴PQ＝OQ＝1，
∴AO＝2，
PQ 1 1
∴tan∠OAP= = = ．
AQ 2+1 3
答案：C．4．（2022•深圳模拟）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点A的坐标为
（0，3），tan∠ABO=√3，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．6 B．6√3 C．12√3 D．8√3
解：∵点A的坐标为（0，3），
∴AO＝3，
∵tan∠ABO=√3，
AO
∴ =√3，
BO
3
∴ =√3，
BO
∴BO=√3，
∵△AOB是直角三角形，
∴AB 2 ，
=√AO2+BO2=√32+(√3) 2=√12= √3
∵菱形的四条边相等，
∴菱形ABCD的周长为2√3×4＝8√3．
答案：D．
12
5．（2022•滨州中考）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则sinA的值为 ．
13
解：如图所示：∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB 13，
=√122+52=
12
∴sinA= ．
13
12
答案： ．
13
6．（2022•扬州中考）在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若b2＝ac，则sinA的值√5−1
为 ． ．
2
解：在△ABC中，∠C＝90°，
∴c2＝a2+b2，
∵b2＝ac，
∴c2＝a2+ac，
等式两边同时除以ac得：
c a
= +1，
a c
a 1
令 =x，则有 =x+1，
c x
∴x2+x﹣1＝0，
√5−1 −1−√5
解得：x = ，x = （舍去），
1 2
2 2
√5−1
当x= 时，x≠0，
2
√5−1
∴x= 是原分式方程的解，
2
a √5−1
∴sinA= = ．
c 2
√5−1
答案： ．
2
7．（2022•绥化中考）定义一种运算：
sin（ + ）＝sin cos +cos sin ，
sin（α﹣β ）＝sinα coβs ﹣coαs sβin ．
α β α β α β √2 √3 √2 1 √6+√2 √6−√2
例如：当 ＝45°， ＝30°时，sin（45°+30°）= × + × = ，则sin15°的值为 ．
2 2 2 2 4 4
α β
解：sin15°＝sin（45°﹣30°）
＝sin45°cos30°﹣cos45°sin30°
√2 √3 √2 1
= × − ×
2 2 2 2
√6 √2
= −
4 4
√6−√2
= ．
4
√6−√2
答案： ．
48．（2022•湖州中考）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3．求AC的长和sinA的值．
解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，
∴AC 4，
=√AB2−BC2=√52−32=
BC 3
sinA= = ．
AB 5
3
答：AC的长为4，sinA的值为 ．
5
二、解直角三角形
【高频考点精讲】
1、解直角三角形常用关系
（1）锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
（2）三边之间的关系：a2+b2＝c2；
（3）边角之间的关系
sinA＝ ，cosA＝ ，tanA＝ （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
2、 sin30°＝ ； cos30°＝ ；tan30°＝ ；
sin45°＝ ；cos45°＝ ；tan45°＝1；
sin60°＝ ；cos60°＝ ； tan60°＝ ；
【热点题型精练】
1
9．（2022•乐山中考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=√5，点D是AC上一点，连结BD．若tan∠A= ，
2
1
tan∠ABD= ，则CD的长为（ ）
3A．2√5 B．3 C．√5 D．2
解：过D点作DE⊥AB于E，
DE 1 DE 1
∵tan∠A= = ，tan∠ABD= = ，
AE 2 BE 3
∴AE＝2DE，BE＝3DE，
∴2DE+3DE＝5DE＝AB，
1
在Rt△ABC中，tan∠A= ，BC=√5，
2
BC √5 1
∴ = = ，
AC AC 2
解得AC=2√5，
∴AB ，
=√AC2+BC2=5
∴DE＝1，
∴AE＝2，
∴AD ，
=√AE2+DE2=√12+22=√5
∴CD＝AC﹣AD=√5，
答案：C．
10．（2022•通辽中考）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆
经过点C，D，则cos∠ADC的值为（ ）2√13 3√13 2 √5
A． B． C． D．
13 13 3 3
解：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
又∵点A，B，C都在格点上，
∴∠ADC＝∠ABC，
在Rt△ABC中，
cos∠ABC BC 3 3√13 cos∠ADC，
= = = =
AB √32+22 13
答案：B．
11．（2022•宜宾中考）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3，将△BCD沿BD折叠到△BED位置，DE交
AB于点F，则cos∠ADF的值为（ ）
8 7 15 8
A． B． C． D．
17 15 17 15
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AB∥CD，AD＝BC＝3，AB＝CD＝5，
∴∠BDC＝∠DBF，
由折叠的性质可得∠BDC＝∠BDF，
∴∠BDF＝∠DBF，
∴BF＝DF，
设BF＝x，则DF＝x，AF＝5﹣x，
在Rt△ADF中，32+（5﹣x）2＝x2，17
∴x= ，
5
3 15
= =
∴cos∠ADF 17 17，
5
答案：C．
1
12．（2022•济宁中考）如图，点A，C，D，B在 O上，AC＝BC，∠ACB＝90°．若CD＝a，tan∠CBD= ，则
3
⊙
AD的长是 2√2 a ．
解：连接AB，作直径CE．连接DE，设AD交BC于点T．
∵∠ACB＝90°，
∴AB是直径，
∵EC是直径，
∴∠CDE＝90°，
∵∠CBD＝∠E，
1
∴tanE＝tan∠CBD= ，
3
CD 1
∴ = ，
ED 3
∴DE＝3a，
∴EC＝AB a，
=√CD2+DE2=√a2+(3a) 2=√10√2
∴AC＝BC= AB=√5a，
2
∵∠CAT＝∠CBD，
1
∴tan∠CAT＝tan∠CBD= ，
3
√5 2√5
∴CT= a，BT= a，
3 3
∴AT √ √5 5√2a，
=√AC2+CT2= (√5a) 2+( a) 2=
3 3
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
DT 1
∵tan∠DBT= = ，
DB 3
√10 √2
∴DT= BT= a，
10 3
∴AD＝AT+DT＝2√2a，
13．（2022•河池中考）如图，把边长为 1：2的矩形ABCD沿长边BC，AD的中点E，F对折，得到四边形
2
ABEF，点G，H分别在BE，EF上，且BG＝EH= BE＝2，AG与BH交于点O，N为AF的中点，连接ON，作
5
5
OM⊥ON交AB于点M，连接MN，则tan∠AMN＝ ．
8
解：∵点E，F分别是BC，AD的中点，
1 1
∴AF= AD，BE= BC，
2 2
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，AD＝BC，
1
∴AF＝BE= AD，
2
∴四边形ABEF是矩形，
由题意知，AD＝2AB，∴AF＝AB，
∴矩形ABEF是正方形，
∴AB＝BE，∠ABE＝∠BEF＝90°，
∵BG＝EH，
∴△ABG≌△BEH（SAS），
∴∠BAG＝∠EBH，
∴∠BAG+∠ABO＝∠EBH+∠ABO＝∠ABG＝90°，
∴∠AOB＝90°，
2
∵BG＝EH= BE＝2，
5
∴BE＝5，
∴AF＝5，
∵∠OAB＝∠BAG，∠AOB＝∠ABG，
∴△AOB∽△ABG，
OA OB
∴ = ，
AB BG
OA AB 5
∴ = = ，
OB AG 2
∵OM⊥ON，
∴∠MON＝90°＝∠AOB，
∴∠BOM＝∠AON，
∵∠BAG+∠FAG＝90°，∠ABO+∠EBH＝90°，∠BAG＝∠EBH，
∴∠OBM＝∠OAN，
∴△OBM∽△OAN，
OB BM
∴ = ，
OA AN
∵点N是AF的中点，
1 5
∴AN= AF= ，
2 2
5 BM
=
∴2 5 ，
2
∴BM＝1，
∴AM＝AB﹣BM＝4，5
在Rt△MAN中，tan∠AMN AN 2 5，
= = =
AM 4 8
5
答案： ．
8
14．（2022•张家界中考）我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用 4个全等的直角
三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．如图，
3
已知大正方形ABCD的面积是100，小正方形EFGH的面积是4，那么tan∠ADF＝ ．
4
解：∵大正方形ABCD的面积是100，
∴AD＝10，
∵小正方形EFGH的面积是4，
∴小正方形EFGH的边长为2，
∴DF﹣AF＝2，
设AF＝x，则DF＝x+2，
由勾股定理得，x2+（x+2）2＝102，
解得x＝6或﹣8（负值舍去），
∴AF＝6，DF＝8，
AF 6 3
∴tan∠ADF= = = ，
DF 8 4
3
答案： ．
4
三、解直角三角形的应用
【高频考点精讲】
1、坡度坡角问题
（1）坡度是坡面的垂直高度h和水平宽度l的比，常用i表示。
（2）坡面与水平面的夹角 叫做坡角，坡度i与坡角 之间的关系：i＝h:l＝tan 。
（3）解决坡度问题，一般通α过作高构成直角三角形，α坡角是锐角，坡度是锐角的α 正切值，水平宽度或垂直高度是
直角边，本质是解直角三角形问题。2、仰角俯角问题
（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角。
（2）解决此类问题需要了解角之间的关系，找到与条件和所求相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，
要通过作高构造直角三角形，把实际问题转化为直角三角形中边角关系问题加以解决。
3、方向角问题
（1）辨别方向角：以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数。
（2）解决方向角问题，要根据题意理清图形中各角的关系，如果所给方向角不在直角三角形中，可以用“两直线
平行，内错角相等”“余角”等知识转化为所需要的角。
【热点题型精练】
15．（2022•黑龙江中考）小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5：12的山坡上走1300米，此时
小明看山顶的角度为60°，山高为（ ）米
A．600﹣250√5 B．600√3−250 C．350+350√3 D．500√3
解：设EF＝5x米，
∵斜坡BE的坡度为5：12，∴BF＝12x米，
由勾股定理得：（5x）2+（12x）2＝（1300）2，
解得：x＝100，
则EF＝500米，BF＝1200米，
由题意可知，四边形DCFE为矩形，
∴DC＝EF＝500米，DE＝CF，
AD
在Rt△ADE中，tan∠AED= ，
DE
AD √3
则DE= = AD，
tan60° 3
AC
在Rt△ACB中，tan∠ABC= ，
BC
500+AD √3
=
∴ √3 3 ，
1200+ AD
3
解得：AD＝600√3−750，
∴山高AC＝AD+DC＝600√3−750+500＝（600√3−250）米，
答案：B．
16．（2022•济南中考）数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度．如图，他们在地面上C点测得最高点
A的仰角为22°，再向前70m至D点，又测得最高点A的仰角为58°，点C，D，B在同一直线上，则该建筑物
AB的高度约为（ ）
（精确到1m．参考数据：sin22°≈0.37，tan22°≈0.40，sin58°≈0.85，tan58°≈1.60）
A．28m B．34m C．37m D．46m
解：由题意可知：AB⊥BC，
在Rt△ADB中，∠B＝90°，∠ADB＝58°，
AB
∵tan∠ADB＝tan58°= ，
BD
AB AB
∴BD= ≈ （m），
tan58° 1.60在Rt△ACB中，∠B＝90°，∠C＝22°，
∵CD＝70m，
AB
∴BC＝CD+BD＝（70+ ）m，
1.60
AB
∴AB＝BC×tanC≈（70+ ）×0.40（m），
1.60
解得：AB≈37m，
答：该建筑物AB的高度约为37m．
答案：C．
3
17．（2022•柳州中考）如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为 ，sin = ，堤坝高BC＝30m，则迎水坡面AB
5
α α
的长度为 5 0 m．
3
解：∵sin = ，堤坝高BC＝30m，
5
α
3 BC 30
∴sin = = = ，
5 AB AB
α
解得：AB＝50．
答案：50．
18．（2022•黄石中考）某校数学兴趣小组开展“无人机测旗杆”的活动：已知无人机的飞行高度为 30m，当无人
机飞行至A处时，观测旗杆顶部的俯角为30°，继续飞行20m到达B处，测得旗杆顶部的俯角为60°，则旗杆的
高度约为 12. 7 m．
（参考数据：√3≈1.732，结果按四舍五入保留一位小数）
解：设旗杆底部为点C，顶部为点D，过点D作DE⊥AB，交直线AB于点E．则CE＝30m，AB＝20m，∠EAD＝30°，∠EBD＝60°，
设DE＝xm，
DE x
在Rt△BDE中，tan60°= = =√3，
BE BE
√3
解得BE= x，
3
√3
则AE＝AB+BE＝（20+ x）m，
3
DE x √3
= = =
在Rt△ADE中，tan30° AE √3 3 ，
20+ x
3
解得x=10√3≈17.3，
经检验，x=10√3≈17.3是原方程的解，且符合题意，
∴CD＝CE﹣DE＝12.7m．
答案：12.7．
19．（2022•巴中中考）一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔30海里的A处，它沿北偏东30°方向航
行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东67°方向上的B处，此时与灯塔P的距离约为 5 0 海里．（参考数
3 4 3
据：sin37°≈ ，cos37°≈ ，tan37°≈ ）
5 5 4
解：如图所示标注字母，根据题意得，∠CAP＝∠EPA＝60°，∠CAB＝30°，PA＝30海里，
∴∠PAB＝90°，∠APB＝180°﹣67°﹣60°＝53°，
∴∠B＝180°﹣90°﹣53°＝37°，
AP 30 3
在Rt△PAB中，sin37°= = ≈ ，
PB PB 5
解得PB≈50，
∴此时与灯塔P的距离约为50海里．
答案：50．
20．（2022•长沙中考）为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数．某小区物业公司决定对小区环境进
行优化改造．如图，AB表示该小区一段长为20m的斜坡，坡角∠BAD＝30°，BD⊥AD于点D．为方便通行，
在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为15°．
（1）求该斜坡的高度BD；
（2）求斜坡新起点C与原起点A之间的距离．（假设图中C，A，D三点共线）
解：（1）在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，∠BAD＝30°，BA＝20m，
1
∴BD= BA＝10（m），
2
答：该斜坡的高度BD为10m；
（2）在△ACB中，∠BAD＝30°，∠BCA＝15°，
∴∠CBA＝15°，
∴AB＝AC＝20（m），
答：斜坡新起点C与原起点A之间的距离为20m．
21．（2022•广州中考）某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的高度．如图，在某一时刻，
旗杆AB的影子为BC，与此同时在C处立一根标杆CD，标杆CD的影子为CE，CD＝1.6m，BC＝5CD．（1）求BC的长；
（2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求旗杆AB的高度．
条件①：CE＝1.0m；条件②：从D处看旗杆顶部A的仰角 为54.46°．
注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分α．
参考数据：sin54.46°≈0.81，cos54.46°≈0.58，tan54.46°≈1.40．
解：（1）∵BC＝5CD，CD＝1.6m，
∴BC＝5×1.6＝8（m），
∴BC的长为8m；
（2）若选择条件①：
由题意得：
AB DC
= ，
BC CE
AB 1.6
∴ = ，
8 1
∴AB＝12.8，
∴旗杆AB的高度为12.8m；
若选择条件②：
过点D作DF⊥AB，垂足为F，
则DC＝BF＝1.6m，DF＝BC＝8m，
在Rt△ADF中，∠ADF＝54.46°，∴AF＝DF•tan54.46°≈8×1.4＝11.2（m），
∴AB＝AF+BF＝11.2+1.6＝12.8（m），
∴旗杆AB的高度约为12.8m．
22．（2022•重庆中考）湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面B点处的快艇和湖岸A处的
救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头 C接该游客，再沿CA方向行驶，与救援船相
遇后将该游客转运到救援船上．已知C在A的北偏东30°方向上，B在A的北偏东60°方向上，且在C的正南方
向900米处．
（1）求湖岸A与码头C的距离（结果精确到1米，参考数据：√3≈1.732）；
（2）救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，在接到通知后，快艇能否在5分钟内将该
游客送上救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计）
解：（1）如图，延长CB到D，则CD⊥AD于点D，
根据题意可知：∠NAC＝∠CAB＝30°，BC＝900米，BC∥AN，∴∠C＝∠NAC＝30°＝∠BAD，
∴AB＝BC＝900米，
∵∠BAD＝30°，
∴BD＝450米，
∴AD=√3BD＝450√3（米），
∴AC＝2AD＝900√3≈1559（米）
答：湖岸A与码头C的距离约为1559米；
（2）设快艇在x分钟内将该游客送上救援船，
∵救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，
∴150x+（400x﹣900）＝1559，
∴x≈4.5，
答：快艇能在5分钟内将该游客送上救援船．
