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专题03 代数式
一、同类项及合并同类项
【高频考点精讲】
1．同类项判定
（1）定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项。
（2）注意事项：
①所含字母相同并且相同字母的指数也相同，两者缺一不可；
②同类项与系数的大小无关；
③同类项与它们所含的字母顺序无关；
④所有常数项都是同类项。
2．合并同类项
（1）定义：把多项式中的同类项合成一项，叫做合并同类项。
（2）法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。
【热点题型精练】
1．（2022•湘潭中考）下列整式与ab2为同类项的是（ ）
A．a2b B．﹣2ab2 C．ab D．ab2c
解：在a2b，﹣2ab2，ab，ab2c四个整式中，与ab2为同类项的是：﹣2ab2，
答案：B．
2．（2022•永州中考）若单项式3xmy与﹣2x6y是同类项，则m＝ 6 ．
解：∵3xmy与﹣2x6y是同类项，
∴m＝6．
答案：6．
3．（2022•定西模拟）已知3x2y+xmy＝4x2y，则m的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
解：∵3x2y+xmy＝4x2y，
∴3x2y与xmy是同类项，
∴m＝2，
答案：C．
4．（2022•西藏中考）下列计算正确的是（ ）
A．2ab﹣ab＝ab B．2ab+ab＝2a2b2
C．4a3b2﹣2a＝2a2b D．﹣2ab2﹣a2b＝﹣3a2b2
解：A、2ab﹣ab＝（2﹣1）ab＝ab，计算正确，符合题意；B、2ab+ab＝（2+1）ab＝3ab，计算不正确，不符合题意；
C、4a3b2与﹣2a不是同类项，不能合并，计算不正确，不符合题意；
D、﹣2ab2与﹣a2b不是同类项，不能合并，计算不正确，不符合题意．
答案：A．
5．（2022•玉林中考）计算：3a﹣a＝ 2 a ．
解：3a﹣a＝2a．
答案：2a．
6．（2022•荆州模拟）单项式 xm+1y2﹣n与2y2x3的和仍是单项式，则mn＝ 1 ．
解：依题意得：m+1＝3，2﹣n＝2，
m＝2，n＝0，
∴mn＝20＝1．
答案：1．
二、列代数式及求值
【高频考点精讲】
1．列代数式
（1）在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量。
（2）要注意书写的规范性，用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略
不写。
（3）在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面。
（4）含有字母的除法，一般不用“÷”，而是写成分数的形式。
2．代数式求值
（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值。
（2）代数式求值步骤：①代入；②计算。如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值。
【热点题型精练】
7．（2022•长沙中考）为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．现需
购买甲，乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购
买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为（ ）
A．8x元 B．10（100﹣x）元
C．8（100﹣x）元 D．（100﹣8x）元
解：设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为：8（100﹣x）元．
答案：C．
8．（2022•杭州中考）某体育比赛的门票分A票和B票两种，A票每张x元，B票每张y元．已知10张A票的总价与19张B票的总价相差320元，则（ ）
A．| |＝320 B．| |＝320
C．|10x﹣19y|＝320 D．|19x﹣10y|＝320
解：由题意可得：|10x﹣19y|＝320．
答案：C．
9．（2022•嘉兴中考）某动物园利用杠杆原理称象：如图，在点 P处挂一根质地均匀且足够长的钢梁（呈水平状
态），将装有大象的铁笼和弹簧秤（秤的重力忽略不计）分别悬挂在钢梁的点A，B处，当钢梁保持水平时，
弹簧秤读数为k（N）．若铁笼固定不动，移动弹簧秤使BP扩大到原来的n（n＞1）倍，且钢梁保持水平，则
弹簧秤读数为 （N）（用含n，k的代数式表示）．
解：如图，设装有大象的铁笼重力为aN，将弹簧秤移动到B′的位置时，弹簧秤的度数为k′，
由题意可得BP•k＝PA•a，B′P•k′＝PA•a，
∴BP•k＝B′P•k′，
又∵B′P＝nBP，
∴k′＝ ＝ ，
答案： ．
10．（2022•六盘水中考）已知（x+y）4＝a x4+a x3y+a x2y2+a xy3+a y4，则a +a +a +a +a 的值是（ ）
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
A．4 B．8 C．16 D．32解：∵（x+y）4＝x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4，
∴a ＝1，a ＝4，a ＝6，a ＝4，a ＝1，
1 2 3 4 5
∴a +a +a +a +a
1 2 3 4 5
＝1+4+6+4+1
＝16，
答案：C．
11．（2022•广西中考）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知3a﹣b＝2，求代数式6a﹣2b﹣1的
值．”可以这样解：6a﹣2b﹣1＝2（3a﹣b）﹣1＝2×2﹣1＝3．根据阅读材料，解决问题：若x＝2是关于x的
一元一次方程ax+b＝3的解，则代数式4a2+4ab+b2+4a+2b﹣1的值是 1 4 ．
解：∵x＝2是关于x的一元一次方程ax+b＝3的解，
∴2a+b＝3，
∴b＝3﹣2a，
∴4a2+4ab+b2+4a+2b﹣1
＝4a2+4a（3﹣2a）+（3﹣2a）2+4a+2（3﹣2a）﹣1
＝4a2+12a﹣8a2+9﹣12a+4a2+4a+6﹣4a﹣1
＝14．
12．（2022•苏州中考）已知3x2﹣2x﹣3＝0，求（x﹣1）2+x（x+ ）的值．
解：原式＝x2﹣2x+1+x2+ x
＝2x2﹣ x+1，
∵3x2﹣2x﹣3＝0，
∴x2﹣ x＝1，
∴原式＝2（x2﹣ x）+1
＝2×1+1
＝3．
三、数字及图形变化规律
【高频考点精讲】
1．数字变化规律
（1）探寻数列规律：将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式。
（2）利用方程解决问题：当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程。
2．图形变化规律
找出图形哪些部分发生变化，按照什么规律发生变化，通过分析，找到各部分变化规律后直接利用规律求解。
【热点题型精练】
13．（2022•牡丹江中考）观察下列数据： ，﹣ ， ，﹣ ， ，…，则第12个数是（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
解：根据给出的数据特点可知第n个数是 ×（﹣1）n+1，
∴第12个数就是 ×（﹣1）12+1＝﹣ ．
答案：D．
14．（2022•新疆中考）将全体正偶数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第10行第5个数是（ ）
A．98 B．100 C．102 D．104
解：由三角形的数阵知，第n行有n个偶数，
则得出前9行有1+2+3+4+5+6+7+8+9＝45个偶数，
∴第9行最后一个数为90，
∴第10行第5个数是90+2×5＝100，
答案：B．
15．（2022•嘉兴中考）设 是一个两位数，其中a是十位上的数字（1≤a≤9）．例如，当a＝4时， 表示的
两位数是45．
（1）尝试：
①当a＝1时，152＝225＝1×2×100+25；
②当a＝2时，252＝625＝2×3×100+25；
③当a＝3时，352＝1225＝ 3×4×100+2 5 ；……
（2）归纳： 与100a（a+1）+25有怎样的大小关系？试说明理由．
（3）运用：若 与100a的差为2525，求a的值．
解：（1）∵①当a＝1时，152＝225＝1×2×100+25；②当a＝2时，252＝625＝2×3×100+25；
∴③当a＝3时，352＝1225＝3×4×100+25，
答案：3×4×100+25；
（2） ＝100a（a+1）+25，理由如下：
＝（10a+5）（10a+5）＝100a2+100a+25＝100a（a+1）+25；
（3）由题知， ﹣100a＝2525，
即100a2+100a+25﹣100a＝2525，
解得a＝5或﹣5（舍去），
∴a的值为5．
16．（2022•安徽中考）观察以下等式：
第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，
第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，
第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，
第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： （ 2×5+ 1 ） 2 ＝（ 6×10+ 1 ） 2 ﹣（ 6×1 0 ） 2 ；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
解：（1）因为第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，
第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，
第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，
第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，
第5个等式：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2，
答案：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2；
（2）第n个等式：（2n+1）2＝[（n+1）×2n+1]2﹣[（n+1）×2n]2，
证明：左边＝4n2+4n+1，右边＝[（n+1）×2n]2+2×（n+1）×2n+12﹣[（n+1）×2n]2
＝4n2+4n+1，
∴左边＝右边．
∴等式成立．
17．（2022•重庆中考）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9
个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中
正方形的个数为（ ）
A．32 B．34 C．37 D．41
解：由题知，第①个图案中有5个正方形，
第②个图案中有9个正方形，
第③个图案中有13个正方形，
第④个图案中有17个正方形，
…，
第n个图案中有4n+1个正方形，
∴第⑨个图案中正方形的个数为4×9+1＝37，
答案：C．
18．（2022•广州中考）如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第 1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需
要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第n个图形需要2022根小木棒，
则n的值为（ ）
A．252 B．253 C．336 D．337
解：由题意知，第1个图形需要6根小木棒，
第2个图形需要6×2+2＝14根小木棒，
第3个图形需要6×3+2×2＝22根小木棒，
按此规律，第n个图形需要6n+2（n﹣1）＝（8n﹣2）根小木棒，
当8n﹣2＝2022时，解得n＝253，
答案：B．
19．（2022•十堰中考）如图，某链条每节长为2.8cm，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为1cm，按这种连
接方式，50节链条总长度为 9 1 cm．
解：由题意得：
1节链条的长度＝2.8cm，
2节链条的总长度＝[2.8+（2.8﹣1）]cm，
3节链条的总长度＝[2.8+（2.8﹣1）×2]cm，
..．
∴50节链条总长度＝[2.8+（2.8﹣1）×49]＝91（cm），
答案：91．
20．（2022•德阳中考）古希腊的毕达哥拉斯学派对整数进行了深入的研究，尤其注意形与数的关系，“多边形
数”也称为“形数”，就是形与数的结合物．用点排成的图形如下：
其中：图①的点数叫做三角形数，从上至下第一个三角形数是1，第二个三角形数是1+2＝3，第三个三角形数
是1+2+3＝6，……
图②的点数叫做正方形数，从上至下第一个正方形数是 1，第二个正方形数是1+3＝4，第三个正方形数是
1+3+5＝9，……
……
由此类推，图④中第五个正六边形数是 4 5 ．
解：图①的点数叫做三角形数，从上至下第一个三角形数是1，第二个三角形数是1+2＝3，第三个三角形数是
1+2+3＝6，……
图②的点数叫做正方形数，从上至下第一个正方形数是 1，第二个正方形数是1+3＝4，第三个正方形数是
1+3+5＝9，……
图③的点数叫做五边形数，从上至下第一个五边形数是 1，第二个五边形数是1+4＝5，第三个五边形数是1+4+7＝12，……
由此类推，图④中第五个正六边形数是1+5+9+13+17＝45．
答案：45．
