文档内容
专题 03 位似
模块一 考点类型
模块二 知识点一遍过
（一）位似图形的概念
（1）如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位似图形，这个
点叫做位似中心．
注意：
①成位似的两个图形必须是相似形；但相似图形不一定是位似图形
②位似图形对应点的连线都经过同一个点；
③位似图形对应边平行．
（二）位似图形的性质
①对应角相等，对应边之比等于位似比；
②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．
③位似三角形的对应边的比、周长比、对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于位似
比，但面积的比等于位似比的平方．
模块三 考点一遍过
考点1：位似图形的识别
典例1：视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，图中的“ ”均是相似图形，其中不是位似图形的是（ ）
A．①和② B．②和③ C．①和④ D．②和④
【变式1】下列每组的两个图形中，不是位似图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】在如图所示的网格中，△ABC的位似图形是 ．
【变式3】△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，则与△ADF位似的三角形是
.
考点2：判断位似中心
典例2：如图，在4×7的方格中，点A，B，C，D在格点上，线段CD是由线段AB位似放大得到，
则它们的位似中心是（ ）A．点P B．点P C．点P D．点P
1 2 3 4
【变式1】把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，则位似中心可以是（ ）
A．D点 B．E点 C．F点 D．G点
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正
方形之间，则位似中心的坐标为 ．
【变式3】如图，在边长为1的正方形网格中，两个三角形的顶点都在小正方形的顶点，且两个三角
形是位似图形，点O和点P也在小正方形的顶点，则这两个三角形的位似中心是点 ．
考点3：求位似图形的位似比
典例3：如图，△ABC 与△A′B′C′、位似，位似中心为点 O ，OC′:CC′=3:1，△A′B′C′的周长为18，则△ABC周长为（ ）
9
A．54 B．24 C．32 D．
16
【变式1】如图，已知△A′B′C′与△ABC是以点O为位似中心的位似图形，位似比为2:3，则下列
说法错误的是（ ）
A．△BCO∽△B′C′O
B．△A′B′C′与△ABC周长比为2:3
C．
S :S =4:9
△A′B′C′ △ABC
D．OB′:BB′=3:2
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O．若点
的对应点为 ，则点 的对应点 的坐标为（ ）
A(−3,1) A′(−6,2) B(−2,4) B′
A．(−4,8) B．(8,−4) C．(−8,4) D．(4,−8)
拓展设问：△ABC与△A′B′C′的面积比为________，周长之比为________．
AO 3
【变式3】如图，已知△ABC与△≝¿位似，位似中心为点O．若 = ，△ABC的周长与△≝¿的
DO 2
周长之比为 ．考点4：求位似图形的坐标
典例4：在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是O(0,0)，A(6,0)，B(3,6)，
C(−3,3)，以原点O为位似中心画一个四边形，使它与四边形OABC位似且相似比是2:3，则点B的
对应点的坐标为（ ）
A．(9 )或( 9 ) B．
,9 − ,−9 (2,4)
2 2
C． 或 D．(9 )
(2,4) (−2,−4) ,9
2
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，A，B，C，D四个点都在格点上．若正方形ABCD和正方
形A′B′C′D′是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1:2，则点B′的坐标为（ ）
A．(4,2)或(4,−2) B．(−4,−2)或(−4,2)
C．(4,2)或(−4,−2) D．(4,−2)或(−4,2)
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，点A(−2,1)、B(0,−2)，以O为位似中心将△OAB放大，
若点B的对应点B′坐标为(0,4)，则点A的对应点A′坐标为 ．【变式3】如图，点E(−4,2)，F(−2,−2)，以O为位似中心，将△EFO放大2倍，则点E的对应点
E 的坐标是 ．
1
考点5：坐标系中求位似图形相似比
典例5：如图，在平面直角坐标中，已知A(1，0)，D(3，0)，△ABC与△≝¿位似，原点O是位
似中心．若AB=1.5，则DE长为（ ）
A．4. 5 B．6 C．7.5 D．9
【变式1】如图，线段AB两个端点的坐标分别为A(−2,0)，B(−1,2)，以原点为位似中心，将线段
AB放大得到线段CD，若点C坐标为(−6,0)，则点D的坐标为（ ）A．(3,6) B．(−3,6) C．(2,4) D．(−2,4)
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心是原点O，已知
点 、 ，则 与 的相似比是 ．
A(2,a) A′ (4,b) △ABC △A′B′C′
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点为O(0，0)，A(4，3)，B(3，0)，以点
1
O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为 的位似图形△OCD，则边CD的长为 ．
3
考点6：坐标系中位似图形周长比、面积
典例6：如图，在直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′位似，位似中心为点O，点A(−1,2)、点
，若 的面积为4，则 的面积是（ ）
A′(2,−4) △ABC △A′B′C′
A．2 B．4 C．8 D．16
【变式1】如图，△ABC与△≝¿是位似图形，位似中心为点O．若OA:AD=1:3，△ABC的周长
为9，则△≝¿的周长为（ ）A．18 B．27 C．32 D．36
【变式2】如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是位似图形，点O是位似中心，点A′是线段OA
S
的中点，则 A′B′C′D′= ．
S
ABCD
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，△OAB和△OCD是以原点O为位似中心的位似图形．若
OB=2OD，△OCD的周长为3，则△OAB的周长为 ．
考点7：坐标系中画位似图形
典例7：在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(1,3)，B(4,1)，C(1,1)．
(1)画出△ABC关于x轴成轴对称的△A B C 并写出A ，B ，C 坐标．
1 1 1 1 1 1
(2)画出△ABC以点O为位似中心，位似比为1:2的△A B C （关于点O异侧）．并写出A ，B ，
2 2 2 2 2
C 坐标．
2(3)求△AB B 的面积（写出求解过程）
1 2
【变式1】如图，△ABC与△A B C 是位似图形．
1 1 1
(1)在网格上建立平面直角坐标系，使得点A的坐标为(−6,−1)，点C 的坐标为(−3,2)，则点B的坐
1
标为 ．
(2)以点A为位似中心，在网格图中作△AB C ，使△AB C 和△ABC位似，位似比为1:2；
2 2 2 2
(3)在图上标出△ABC与△A B C 的位似中心P，并写出点P的坐标为 ．
1 1 1
【变式2】如图，已知O是坐标原点，A，B两点的坐标分别为(3,−1)，(2,1)．
(1)以点O为位似中心，在y轴左侧将△OAB放大为原来的两倍，画出△OA′B′；
(2)A点的对应点A′的坐标是 ；△OA′B′的面积是 ；
(3)在y轴上找一点P，使△A A P是以A A′为底边的等腰三角形，则P点坐标为 ．
1
【变式3】如图所示，已知O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为(3,−1)，(2,1)，△OB′C′与
位似， 点为位似中心，点 的对应点为 ．
△OBC O B B′(−6,2)(1)△OB′C′与△OBC的相似比为______；
(2)在图中画出△OB′C′；
(3)点M(1,0)是△OBC内部一个点，M的对应点M′的坐标为______．
考点8：坐标系中确定位似中心
典例8：图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，
它们的顶点都在小正方形的顶点上．
(1)画出位似中心点O；
(2)求△ABC与△A′B′C′的相似比；
(3)以点O为位似中心，再画一个△A B C ，使它与△ABC的相似比等于1.5．
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【变式1】如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是关于点O为位似中心
的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
(1)画出位似中心点O；
(2)求出△ABC与△A′B′C′的位似比．
【变式2】如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．
若△ABC与△A′B′C′是位似图形且顶点均在格点上．(1)请在图中画出位似中心的位置，位似中心的坐标为______．
(2)△ABC与△A′B′C′的位似比为______，面积比为______．
(3)若通过平移△ABC，使点B与点B′重合，直接写出平移的最短路程．
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为(−4,3)，(−3,−1)，(0,2)．
(1)△A B C 与△ABC是位似图形，位似中心是点E，请在图中标出点E的位置，并写出点E的坐
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标；
(2)以点D(−2,1)为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍得到△A B C （其中A 与A，B 与B，
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C 与C是对应点，并且每对对应点分别在点D的同侧）．
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