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专题 03 二次根式、分式
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目录
【直击中考】.....................................................................................................................................................1
【考向一 二次根式有意义的条件】................................................................................................................1
【考向二 二次根式的运算】............................................................................................................................2
【考向三 分式有意义的条件】........................................................................................................................5
【考向四 分式的值为零及求分式的值】........................................................................................................6
【考向五 分式的化简运算】............................................................................................................................8
【考向六 分式的化简求值】..........................................................................................................................11
【考向七 分式化简中错解复原问题】..........................................................................................................15
【直击中考】
【考向一 二次根式有意义的条件】
例题：（2022·北京·统考中考真题）若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是___________．
【答案】x≥8
【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x-8≥0，然后进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
x-8≥0，
解得：x≥8．
故答案为：x≥8．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式 是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·江苏徐州·统考中考真题）要使得式子 有意义，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次根式有意义，被开方数大于等于 ，列不等式求解．
【详解】解：根据题意，得
，
解得 ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件的知识点，代数式的意义一般从三个方面考虑： 当代数式是整式时，字母可取全体实数； 当代数式是分式时，分式的分母不能为 ； 当代数式是二次根式
时，被开方数为非负数．
2．（2022·湖南湘西·统考中考真题）要使二次根式 有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x＜2 C．x≤2 D．x≥2
【答案】D
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案．
【详解】解：∵3x﹣6≥0，
∴x≥2，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数是解题的关
键．
3．（2022·广西河池·统考中考真题）若二次根式 有意义，则a的取值范围是 _____．
【答案】
【分析】要根据二次根式有意义的条件列式计算即可求解．
【详解】解：由题意得，
a－1≥0，
解得，a≥1，
故答案为：
【点睛】此题主要考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义时被开方数为非负数是解题的关键．
4．（2022·广西贵港·中考真题）若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是________．
【答案】
【分析】二次根式要有意义，则二次根式内的式子为非负数．
【详解】解：由题意得：
，
解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件．
【考向二 二次根式的运算】
例题：（2022·甘肃武威·统考中考真题）计算： ．
【答案】
【分析】根据二次根式的混合运算进行计算即可求解．
【详解】解：原式 .
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确的计算是解题的关键．
【变式训练】1．（2022·贵州六盘水·统考中考真题）计算： __________．
【答案】0
【分析】先把 化简为 ，再作差，即可．
【详解】解：
=
=
故答案为： ．
【点睛】本题考查二次根式的减法运算，熟练掌握二次根式的基础知识是解题的关键．
2．（2022·山西·中考真题）计算 的结果是________．
【答案】3
【分析】直接利用二次根式的乘法法则计算得出答案．
【详解】解：原式＝
＝
＝3．
故答案为：3．
【点睛】此题主要考查了二次根式的乘法法则，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题关键．
3．（2022·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）计算 的结果是___________．
【答案】
【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【详解】解：
=
= ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式的加减，把二次根式化为最简二次根式是解题的关键．
4．（2022·山东泰安·统考中考真题）计算： __________．
【答案】
【分析】先计算乘法，再合并，即可求解．
【详解】解：，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．
5．（2022·广西河池·统考中考真题）计算： ．
【答案】
【分析】根据化简绝对值，负整数指数幂，二次根式的乘法，零次幂进行计算即可求解．
【详解】解：原式＝
【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握化简绝对值，负整数指数幂，二次根式的乘法，零次幂是解题
的关键．
6．（2022·辽宁沈阳·统考中考真题）计算： ．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，化简绝对值进行计算即可求解．
【详解】解：原式＝
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握二次根式的性质，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，化简
绝对值是解题的关键．
7．（2022·四川广元·统考中考真题）计算：2sin60°﹣| ﹣2|+（π﹣ ）0﹣ +（﹣ ）﹣2．
【答案】3
【分析】代入特殊角的三角函数值，按照实数的混合运算法则计算即可得答案．
【详解】解：2sin60°﹣| ﹣2|+（π﹣ ）0﹣ +（﹣ ）﹣2
=2× -2+ +1-2 +4
= -2+ +1-2 +4
=3．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂及二次根式的性质与化简，熟练掌握实数的混合运算法则，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
【考向三 分式有意义的条件】
例题：（2022·山东菏泽·统考中考真题）若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是________．
【答案】x>3
【分析】根据分式有意义条件和二次根式有意义的条件得x-3>0，求解即可．
【详解】解：由题意，得
所以x-3>0，
解得：x>3，
故答案为：x>3．
【点睛】本题考查分式有意义条件和二次根式有意义的条件，熟练掌握分式有意义条件：分母不等于0，
二次根式有意义的条件：被开方数为非负数是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·湖北黄石·统考中考真题）函数 的自变量x的取值范围是（ ）
A． 且 B． 且 C． D． 且
【答案】B
【分析】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．
【详解】解：依题意，
∴ 且
故选B
【点睛】此题主要考查了函数自变量的取值范围，正确掌握二次根式与分式有意义的条件是解题关键．
2．（2022·辽宁丹东·统考中考真题）在函数y＝ 中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥3 B．x≥﹣3 C．x≥3且x≠0 D．x≥﹣3且x≠0
【答案】D
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式组，解不等式组即可得到答案．
【详解】解：由题意得：x+3≥0且x≠0，
解得：x≥﹣3且x≠0，
故选：D．
【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是
解题的关键．3．（2022·江苏南通·统考中考真题）分式 有意义，则x应满足的条件是___________．
【答案】
【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0得出不等式，求解即可．
【详解】解：分式 有意义，即 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查分式有意义的条件，牢记分式有意义的条件是分式的分母不为0．
4．（2022·青海·统考中考真题）若式子 有意义，则实数x的取值范围是______.
【答案】
【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0，以及二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，即可
求解．
【详解】由题意得： 解得：
故答案为：
【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件．熟练的掌握分式分母不等于0以及
二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
5．（2022·内蒙古包头·中考真题）若代数式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是
___________．
【答案】 且
【分析】根据二次根式与分式有意义的条件求解即可．
【详解】解：由题意得：x+1≥0，且x≠0，
解得： 且 ，
故答案为： 且 ．
【点睛】本题考查二次根式与分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：被开方数为非负数；
分式有意义的条件：分母不等于零是解题的关键．
【考向四 分式的值为零及求分式的值】
例题：（2022·湖南郴州·统考中考真题）若 ，则 ________．
【答案】
【分析】由分式的运算法则进行计算，即可得到答案．【详解】解：
，
；
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式的运算法则，解题的关键是掌握运算法则进行计算．
【变式训练】
1．（2022·广西·统考中考真题）当 ______时，分式 的值为零．
【答案】0
【分析】根据分式值为零，分子等于零，分母不为零得2x=0，x+2≠0求解即可．
【详解】解：由题意，得2x=0，且x+2≠0，解得：x=0，
故答案为：0．
【点睛】本题考查分式值为零的条件，熟练掌握分式值为零的条件“分子为零，分母不为零”是解题的关
键．
2．（2022·浙江湖州·统考中考真题）当a＝1时，分式 的值是______．
【答案】2
【分析】直接把a的值代入计算即可．
【详解】解：当a=1时，
．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了分式求值问题，在解题时要根据题意代入计算即可．
3．（2022·山东菏泽·统考中考真题）若 ，则代数式 的值是________．
【答案】15
【分析】先按分式混合运算法则化简分式，再把已知变形为a2-2a=15，整体代入即可．
【详解】解：
=
=a(a-2)=a2-2a，
∵a2-2a-15=0,
∴a2-2a=15，
∴原式=15．
故答案为：15．
【点睛】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．
4．（2022·湖北鄂州·统考中考真题）若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则
的值为 _____．
【答案】
【分析】先根据题意可以把a、b看做是一元二次方程 的两个实数根，利用根与系数的关系
得到a+b=4，ab=3，再根据 进行求解即可．
【详解】解：∵a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，
∴可以把a、b看做是一元二次方程 的两个实数根，
∴a+b=4，ab=3，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了分式的求值，一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系
是解题的关键．
【考向五 分式的化简运算】
例题：（2022·甘肃兰州·统考中考真题）计算： ．
【答案】
【分析】根据分式的加法法则和除法法则计算即可．
【详解】解： ，
= ，
= ，= ．
【点睛】本题考查的是分式的混合运算，掌握分式的加法法则和除法法则是解题关键．
【变式训练】
1．（2022·西藏·统考中考真题）计算： ．
【答案】1
【分析】首先对各项进行因式分解，然后约分，最后得到的两个分式相减即可得到答案．
【详解】
=
=
=1
【点睛】本题考查了分式的化简，理解并掌握分式的计算法则，注意在解题过程中需注意的事项，仔细计
算是本题的解题关键．
2．（2022·湖北十堰·统考中考真题）计算： ．
【答案】
【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【详解】解：原式＝
．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，正确的计算是解题的关键．
3．（2022·四川泸州·统考中考真题）化简：
【答案】
【分析】直接根据分式的混合计算法则求解即可．
【详解】解：．
【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
4．（2022·湖南常德·统考中考真题）化简：
【答案】
【分析】原式括号中通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，再将分子分母分别
因式分解，进而约分得到最简结果即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式运算法则是解本题的关键．
5．（2022·陕西·统考中考真题）化简： ．
【答案】
【分析】分式计算先通分，再计算乘除即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，正确地计算能力是解决问题的关键．【考向六 分式的化简求值】
例题：（2022·内蒙古·中考真题）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【分析】分式的混合运算，根据加减乘除的运算法则化简分式，代入求值即可求出答案．
【详解】解：原式
当 时，原式 ，
故答案是： ．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则即可，包括完全平方公式，能约分的要
约分等，理解和掌握乘法公式，分式的乘法，除法法则是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·辽宁鞍山·统考中考真题）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【分析】先根据分式的混合运算将式子进行化简，再代值计算即可．
【详解】解：原式
，
当 时，
．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解题关键是掌握分式的混合运算法则．2．（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）先化简，再求值． ，其中 ．
【答案】x-1； ．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简
结果，把x的值代入计算即可求出值．
【详解】解：
．
当 时，
原式 ．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，涉及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．（2022·辽宁锦州·统考中考真题）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【分析】先对分式进行化简，然后再代入求解即可．
【详解】解：原式=
=
=
= ，
把 代入得：原式= ．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值及二次根式的运算，熟练掌握分式的化简求值及二次根式的运算是
解题的关键．
4．（2022·山东聊城·统考中考真题）先化简，再求值： ，其中．
【答案】 ，
【分析】运用分式化简法则：先算括号里，再算括号外，然后把a，b的值代入化简后的式子进行计算即可
解答．
【详解】解：
，
∵ ，
代入得：原式 ；
故答案为： ； ．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
5．（2022·湖南·统考中考真题）先化简 ，再从1，2，3中选一个适当的数代入
求值．
【答案】 ，
【分析】先根据分式的混合运算的法则进行化简后，再根据分式有意义的条件确定 的值，代入计算即可．
【详解】解：原式
；
因为 ， 时分式无意义，所以 ，
当 时，原式 ．
【点睛】本题考查分式的化简与求值，掌握分式有意义的条件以及分式混合运算的方法是正确解答的关键．
6．（2022·四川广安·统考中考真题）先化简： ，再从0、1、2、3中选择一个适
合的数代人求值．
【答案】x；1或者3
【分析】根据分式的混合运算法则即可进行化简，再根据分式有意义的条件确定x可以选定的值，代入化简后的式子即可求解．
【详解】
根据题意有： ， ，
故 ， ，
即在0、1、2、3中，
当x=1时，原式=x=1；
当x=3时，原式=x=3．
【点睛】本题主要考查了运用分式的混合运算法则将分式的化简并求值、分式有意义的条件等知识，熟练
掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
7．（2022·内蒙古通辽·统考中考真题）先化简，再求值： ，请从不等式组 的
整数解中选择一个合适的数求值．
【答案】 ，3
【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后根据不等式组求出a的值并代入原式即可
求出答案．
【详解】解：
，
，
解不等式①得：
解不等式②得： ，
∴ ，∵a为整数，
∴a取0，1，2，
∵ ，
∴a=1，
当a=1时，原式 ．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解一元一次不等式组，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则以
及乘除运算法则，本题属于基础题型．
【考向七 分式化简中错解复原问题】
例题：（2022·宁夏·中考真题）下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务．
第一步
第二步
第三步
第四步
任务一：填空
①以上化简步骤中，第______步是通分，通分的依据是______．
②第______步开始出现错误，错误的原因是______．
任务二：直接写出该分式化简后的正确结果．
【答案】任务一：①一 ，分式的性质； ②二，去括号没有变号；任务二：
【分析】任务一：①根据分式的基本性质分析即可；②利用去括号法则得出答案；
任务二：利用分式的混合运算法则计算得出答案．
【详解】任务一： 以上化简步骤中，第一步是通分，通分的依据是分式的性质．
第二步开始出现错误，错误的原因是去括号没有变号．
故答案为： 一，分式的性质；②二，去括号没有变号．
任务二：．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质．
【变式训练】
1．（2022·江西·统考中考真题）以下是某同学化筒分式 的部分运算过程：
解：原式 ①
② 解：
③
…
(1)上面的运算过程中第__________步出现了错误；
(2)请你写出完整的解答过程．
【答案】(1)③
(2)见解析
【分析】根据分式的运算法则：先乘方，再加减，最后乘除，有括号先算括号里面的计算即可．
【详解】（1）第③步出现错误，原因是分子相减时未变号，
故答案为：③；
（2）解：原式＝
【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解决本题的关键．
2．（2022·江苏泰州·统考中考真题）计算:(1)计算： ；
(2)按要求填空：
小王计算 的过程如下：
解：
小王计算的第一步是 (填“整式乘法”或“因式分解”)，计算过程的第 步出现错误.直接
写出正确的计算结果是 .
【答案】(1)
(2)因式分解；三和五；
【分析】(1)先化成最简二次根式，然后根据二次根式的四则运算法则求解即可；
(2)按照分式的加减运算法则逐步验算即可.
（1）
解：原式 ；
（2）
解：由题意可知：故小王的计算过程中第三步和第五步出现了错误；最终正确的计算结果为 .
故答案为：因式分解，第三步和第五步，
【点睛】本题考查二次根式的四则运算法则及分式的加减运算法则，属于基础题，熟练掌握运算法则是解
题的关键.
