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专题03 二次函数含参解析式问题
一、【知识回顾】
（1）二次函数的一般形式： y=a x 2 +bx+ c (a,b,c是常数，a≠0)
注：未知数的最高次数是2，a≠0,b,c是任意实数。
（2）二次函数的图像与性质
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
图象
(a＞0) (a＜0)
开口方向 开口向上 开口向下
对称轴 直线x＝－ 直线x＝－
顶点坐标
当x＜－时，y随x的增大而减
当x＜－时，y随x的增大而增大；
增减性 小；当x＞－时，y随x的增大而
当x＞－时，y随x的增大而减小
增大
最值 当x＝－时，y有最小值 当x＝－时，y有最大值
（3）二次函数图像与系数的关系
决定抛物线的 某些特殊形式代数式的
当a＞0时，抛物线开口向上；
a 开口方向及开 符号：
当a＜0时，抛物线开口向下.
口大小 a±b+c即为x=±1时，
当a，b同号，-＜0，对称轴在y y
轴左边； 的值；②4a±2b+c即为
决定对称轴
当b＝0时，-=0，对称轴为y x=±2时，y的值.
a、b （x=-）的位
轴； 2a+b的符号，需判
置
当a，b异号，-＞0，对称轴在y 对称轴-与1的大小.若
轴右边． 对称轴在直线x=1的左
决定抛物线与 当c＞0时，抛物线与y轴的交点 边，则-＞1，再根据a
c y轴的交点的 在正半轴上； 的符号即可得出结
位置 当c＝0时，抛物线经过原点； 果.④2a-b的符号，需当c＜0时，抛物线与y轴的交点 判断对称轴与-1的大
在负半轴上. 小.
b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有
2 个交点;
决定抛物线与
b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有
b2－4ac x轴的交点个
1 个交点;
数
b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没
有交点
（4）利用二次函数的对称轴判断函数值大小关系（福建常考选择题10）
方法技巧：
①已知点A（a，b）为二次函数图像上一点，对称轴已知x=c，则A点对称点B（2c-a，b）
②已知点A（a，c）、B（b，c）为二次函数图像上一点，则根据两点纵坐标相等，可知 A、B为对称点，
a+b
2
那么对称轴x=
|a-c|＞|b−c|
③不等式解读： →a到对称轴c的距离＞b到对称轴的距离
|a-c|=|b−c|
→a到对称轴c的距离＝b到对称轴的距离
|a-c|＜|b−c|
→a到对称轴c的距离＜b到对称轴的距离
二、【考点类型】
考点1：二次函数函数图像与系数的关系
典例1：（2022·福建莆田·校考一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象如图所示，对
称轴为直线x＝﹣1．有以下结论：①abc＞0；②a（k2+2）2+b（k2+2）＜a（k2+1）2+b（k2+1）（k为实
数）；③m（am+b）≤﹣a（m为实数）；④c＜﹣3a；⑤ax2+bx+c+1＝0有两个不相等的实数根．其中正
确的结论有 _____（只填写序号）．【变式1】（2019秋·福建漳州·九年级统考期末）一次函数 和反比例函数 在同一个平面直角
坐标系中的图象如图所示，则二次函数 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2021秋·福建福州·九年级福州华伦中学校考期末）已知点A（x，y）、B（x，y）在二次函
1 1 2 2
数y＝x2＋bx＋c的图象上，当 ＝1， ＝3时， ．若对于任意实数x、x 都有 ≥2，则c的
1 2
范围是（ ）
A．c≥5 B．c≥6 C．c＜5或c＞6 D．5＜c＜6
【变式3】（2021·福建厦门·厦门双十中学思明分校校考二模）已知二次函数 （其中x
是自变量）的图象经过不同两点 ， ，且该二次函数的图象与x轴有公共点，则
的值（ ）
A． B．2 C．3 D．4考点2：利用二次函数的对称轴判断函数值的大小关系
典例2：（2021·贵州贵阳·统考一模）在平面直角坐标系中，点 和 在函数 的图象
上，若 ，则 的取值范围是___________．
【变式1】（2022·贵州毕节·统考二模）二次函数 的图象过
四个点，下列说法一定正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【变式2】13．（2022·福建福州·福建省福州教育学院附属中学校考模拟预测）已知抛物线
与 轴的交点为 和 ，点 ， 是抛物线上不同于 ，
的两个点，记 的面积为 ， 的面积为 ，有下列结论：
①当 时， ；
②当 时， ；
③当 时， ；
④当 时， ．
其中正确结论的序号是（ ）
A．②③ B．①③ C．①②③④ D．③
【变式3】（2022·吉林长春·统考模拟预测）点 、 均在抛物线 （ ，a、
b为常数）上，若 ，则t的取值范围为________.巩固训练
一、单选题
1．（2023·辽宁鞍山·统考一模）已知点 ， 是函数 图象上的两点，且当
时，有 ，则m的取值范围是（）
A． B． C． D．
2．（2022·广东·校联考模拟预测）已知抛物线 经过 和 两点，则n的值为
（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4
3.（2020·福建三明·统考二模）已知抛物线y=ax2+bx-2(a＞0)过A(-2，y )，B(-3，y )，C(1，y )，D( ，y )四
1 2 2 3
点，则y ，y ，y 的大小关系是( )
1 2 3
A．y ＞y ＞y B．y ＞y ＞y C．y ＞y ＞y D．y ＞y ＞y
1 2 3 2 1 3 1 3 2 3 2 1
4．（2023·福建泉州·泉州五中校考三模）关于 的一元二次方程 有一个根是 ，若二次函
数 的图象的顶点在第四象限，设 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·福建厦门·校考二模）小明在研究抛物线 （h为常数）时，得到如下结论，其
中正确的是（ ）
A．无论x取何实数，y的值都小于0
B．该抛物线的顶点始终在直线y＝x－1上
C．当－1＜x＜2时，y随x的增大而增大，则h＜2D．该抛物线上有两点A（ ， ），B（ ， ），若 ＜ ， + ＞2h，则 ＞
6．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考一模）已知二次函数y=2（x﹣3）2﹣2，下列说法：①其图象
开口向上；②顶点坐标为（3，﹣2）；③其图象与y轴的交点坐标为（0，﹣2）；④当x≤3时，y随x的增
大而减小，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2019·福建泉州·统考一模）已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的
情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（ ）
A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3
8.（2020·广东·统考一模）若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：则下列说法错误的是（
）
x … -1 0 1 2 3 …
y … …
A．二次函数图像与x轴交点有两个
B．x≥2时y随x的增大而增大
C．二次函数图像与x轴交点横坐标一个在－1~0之间，另一个在2~3之间
D．对称轴为直线x=1.5
9．（2022·福建漳州·统考模拟预测）已知点A(1，0)，B(3，0)，C(x，y)，D(x，y)都在抛物线y=ax2+bx+c
1 1 2 2
上，记 ABC的面积为S， ABD的面积为S，则下列结论正确的是( )
1 2
△ △
A．当 时， B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
10.（2022·福建三明·统考模拟预测）已知A（ ， ），B（ ， ）是抛物线 上的两
点，下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则B．若 ，则
C．若 ，且 ，则
D．若 ，且 ，则
二、填空题
11.（2019·福建漳州·校联考一模）对于任意实数t，抛物线y＝x2+（2﹣t）x+t总经过一个固定的点P，若反
比例函数 经过点P，则k＝_____．
12.（2021·四川绵阳·统考二模）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3在t≤x≤t+3时的最小值是t，则t的值为
__________________.
13.（2022·江苏无锡·校考一模）若函数图像 与x轴的两个交点坐标为 和 ，则
__________．
14.（2022·福建福州·校考一模）对于实数a，b，定义符号min{a，b}，其意义为：当a≥b时，min{a，b}＝
b；当a＜b时，min{a，b}＝a．例如：min{2，﹣1}＝﹣1，若关于x的函数y＝min{﹣x2+x+1，﹣x﹣2}，则该
函数的最大值为_____．
15.（2022·湖北黄冈·校考模拟预测）已知关于x的一元二次方程 的两个根分别是1和－3，若
二次函数 与x轴有两个交点，其中一个交点坐标是（4，0），则另一个交点坐标
是________．
16.（2022·广东珠海·统考二模）已知抛物线的解析式为 （m为常数），则下列说法
正确的是____________．
①当 时，点 在抛物线上；
②对于任意的实数m， 都是方程 的一个根；
③若 ，当 时，y随x的增大而增大；
④已知点 ，则当 时，抛物线与线段 有两个交点．
三、解答题
17.（2019·福建漳州·校考一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣8mx+16m﹣1（m＞0）．（1）求证：抛物线总与x轴有两个不同的交点；
（2）若抛物线与x轴的交点分别为A（x，0），B（x，0）且AB＝2，求此抛物线的解析式；
1 2
（3）已知x轴上两点C（2，0），D（5，0），若抛物线y＝mx2﹣8mx+16m﹣1（m＞0）与线段CD有且只
有两个交点，求m的取值范围．
18.（2022·北京顺义·统考一模）在平面直角坐标系 中，点 在抛物线 上．
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)已知点 ， ， 在抛物线 上．若 ，比较 ， ，
的大小，并说明理由．
19.（2019·福建·统考一模）请阅读下列解题过程：
解一元二次不等式： .解：
，或 ，
解得 或 .
一元二次不等式 的解集为 或 .
结合上述解答过程回答下列问题：
（1）上述解题过程渗透的数学思想为________；
（2）一元二次不等式 的解集为________；
（3）请用类似的方法解一元二次不等式： .
20.（2022·北京东城·东直门中学校考一模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax．
（1）二次函数图象的对称轴是直线x＝ ；
（2）当0≤x≤3时，y的最大值与最小值的差为4，求该二次函数的表达式；
（3）若a＜0，对于二次函数图象上的两点P（x，y），Q（x，y），当t≤x≤t+1，x≥3时，均满足
1 1 2 2 1 2
y≥y，请结合函数图象，直接写出t的取值范围．
1 221.（2020·福建南平·校考模拟预测）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A(n，b)，B(m，a)且m﹣n＝
1．
（1）当b＝a时，直接写出函数图象的对称轴；
（2）求b和c（用只含字母a、n的代数式表示）；
（3）当a＜0时，函数有最大值﹣1，b＋c≥a，n≤ ，求a的取值范围．
