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专题 03 三角形及基本性质（分层训练）
【基础训练】
一、单选题
1．如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=25°，∠3=65°，连接BE，点D恰好在
BE上，则∠2=（ ）
A．80° B．40° C．45° D．无法计算
【答案】B
【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判断，三角形外角的性质，证明
△BAD≌△CAE(SAS)，得到∠ABD=∠2，再根据三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC−∠CAD=∠DAE−∠CAD，
∴∠1=∠CAE，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴∠ABD=∠2，
∵∠1=25°，∠3=65°，
∴∠ABD=∠2=∠3−∠1=40°，
故选：B．
2．下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，4cm B．1cm，2cm，3cm C．3cm，4cm，5cm D．
4cm，5cm，6cm
【答案】B
【知识点】三角形三边关系的应用
【分析】看哪个选项中两条较小的边的和大于最大的边即可．
【详解】A．2+3>4，能构成三角形，不合题意；
B．1+2=3，不能构成三角形，符合题意；
C．4+3>5，能构成三角形，不合题意；D．4+5>6，能构成三角形，不合题意．
故选B．
【点睛】此题考查了三角形三边关系，解题关键在于看较小的两个数的和能否大于第三个数．
3．如图，点O是△ABC内一点，∠A=60°，∠1=15°，∠2=40°，则∠BOC等于（ ）
A．105° B．115° C．125° D．无法确定
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了三角形内角和定理，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键．在△ABC中，
利用三角形内角和定理，可求出∠OBC+∠OCB的度数，再在△OBC中，利用三角形内角和定理，
即可求出∠BOC的度数．
【详解】解：在△ABC中，∠A=60°，∠1=15°，∠2=40°，
∴∠OBC+∠OCB
=180°−∠A−∠1−∠2
=180°−60°−15°−40°
=65°，
在△OBC中，∠OBC+∠OCB=65°，
∴∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)
=180°−65°
=115°，
故选：B．
4．设a、b、c是△ABC的三边，化简：|a+b−c|−|c−a−b|=（ ）
A．2a−b B．2c C．0 D．a−b
【答案】C
【知识点】三角形三边关系的应用、化简绝对值
【分析】根据a、b、c是△ABC的三边得a+b−c>0，c−a−b<0，化简绝对值即可得．
【详解】解：∵a、b、c是△ABC的三边，
∴a+b−c>0，c−a−b<0，
∴|a+b−c|−|c−a−b|=a+b−c+c−a−b
=0
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形三边关系，绝对值，解题的关键是掌握这些知识点．
5．一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于110°，∠B，∠D应分别是25°和15°，则
∠BCD应是下列哪个度数（ ）
A．150° B．140° C．155° D．120°
【答案】A
【知识点】三角形的外角的定义及性质
【分析】本题考查了三角形外角的性质“三角形的一个外角，等于与它不相邻的两个内角的和”．
延长BC，交AD于点E，根据三角形外角的性质可得∠1=∠B+∠A，再根据三角形外角的性质可
得∠BCD=∠1+∠D．
【详解】解：如图，延长BC，交AD于点E，
∵∠1是△ABE的外角，∠A=110°，∠B=25°，
∴∠1=∠B+∠A=25°+110°=135°，
∵∠BCD是△DEC的外角，∠D=15°，
∴∠BCD=∠1+∠D=135°+15°=150°．
故选：A．
6．将长分别为3，4．6，8的木棍用4颗螺丝按如图所示的方式安在一起，且相邻两木根之间的夹
角均可调整，则任意两颗螺丝的距离的最大值是（ ）A．8 B．10 C．11 D．14
【答案】B
【知识点】三角形三边关系的应用、确定第三边的取值范围、构成三角形的条件
【分析】本题考查的是三角形的三边关系定理，即“三角形两边之和大于第三边；三角形两边之差
小于第三边”，据此分情况讨论，能够正确的判断出调整角度后三角形木框的组合方法是解答的关
键．
【详解】已知4条木棍的四边长为3、4、6、8．
选3+4、6、8三条边作为三角形，则三边长为7、6、8，
5−4<6<5+4，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为8；
选3+6、4、8作为三角形，则三边长为9、4、8，
8−4<9<8+4，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为9；
选3+8、4、6作为三角形，则三边长为11、4、6，
4+6<11，不能构成三角形，此种情况不成立；
选4+6、3、8作为三角形，则三边长为10、3、8，
8−3<10<8+3，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为10；
选4+8、3、6作为三角形，则三边长为12、3、6，
3+6<12， 不能构成三角形，此种情况不成立；
选6+8、3、4作为三角形，则三边长为14、3、4，
3+4<14， 不能构成三角形，此种情况不成立；
综上所述，任意两螺丝的距离之最大值为10．
故选B．
7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD、AE分别是边BC上的中线和高，AE＝2，
S =√5，则CE＝（ ）
△ABD3
A．√5－1 B．√3－1 C．1 D．
2
【答案】A
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，求三角形的面积，先根据三角形的面积公式求出BD，
再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得AD=CD，然后根据勾股定理求出DE，进而得出答案．
【详解】∵AE=2，S =√5，
△ABD
1
∴ BD⋅AE=√5，
2
解得BD=√5．
∵AD是Rt△ABC的中线，
∴AD=CD=BD=√5．
在Rt△ADE中，DE=√AD2−AE2=1，
∴CE=CD−DE=√5−1．
故选：A．
8．△ABC中，AC=2，BC=3，AD⊥AB，AD=2AB，连接CD，则CD最大值为（ ）
A．7√2 B．8+√3 C．2√13 D．6+2√5
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、圆的基本概念辨析、用勾股定理解三角形、三角形三边
关系的应用
1
【分析】过A作AF⊥AC且使AF= AC=1，连接BF，根据条件证明△BAF∽△DAC，根据相
2
似的性质得出CD=2BF，由于点B在以C 为圆心，CB为半径的圆上运动，连接FC并延长交⊙C
于点G ，然后根据三角形三边的关系得出当B与G重合时，BF=CF+CG最大，然后根据勾股定理
求出FC，则可得出FG长，即BF的最大值，从而得出CD的最大值．
1
【详解】解：如图，过A作AF⊥AC且使AF= AC=1，连接BF，
2∵AD⊥AB，
∴∠BAD=∠FAC=90°，
∴∠BAD+∠DAF=∠FAC+∠DAF，
∴∠BAF=∠DAC，
AD AC
又∵ = =2，
AB AF
AD AB
∴ = ，
AC AF
又∵∠BAF=∠DAC，
∴△BAF∽△DAC，
CD AC
∴ = =2，
BF AF
∴CD=2BF，
又∵CB=3，
∴点B在以C为圆心，CB为半径的圆上运动，连接CF并延长交⊙C于点G，
则CG=CB=3，
在Rt△AFC中，FC=√AF2+FC2=√12+22=√5，
∴FG=√5+3，
当B与G不重合时，
在△BCF中，BF＜CF+CB=CF+CG，
当B与 G重合时，BF=CF+CG，
综上所述，BF≤CF+CG，
即BF≤√5+3，
∴CD=2BF≤2(√5+3)=2√5+6，∴CD的最大值为2√5+6．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质，勾股定理，三角形三边的关系，解题的关键是根据
条件，作辅助线构造三角形相似以及作辅助圆找出动点B的运动轨迹．
9．如图，在△ABC中，D，E是△ABC内的两点，且
∠EBC=∠EBD=∠DBA，∠ECB=∠ECD=∠DCA，若∠BAC=60°，则∠BDE=（ ）
A．45° B．50° C．55° D．75°
【答案】B
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】本题主要考查三角形内角和与角平分线，设∠ABC=3α,∠ACB=3β，则α+β=40°，
即∠EBC=∠EBD=∠DBA=α，∠ECB=∠ECD=∠DCA=β，判定点E为△BCD三条角平
1
分线的交点，且∠BEC=140°和∠BDC=100°，则∠BDE= ∠BDC．
2
【详解】解：设∠ABC=3α,∠ACB=3β，
∵∠BAC=60°，
∴3α+3β=180°−60°=120°，则α+β=40°，
∵∠EBC=∠EBD=∠DBA，∠ECB=∠ECD=∠DCA，
∴∠EBC=∠EBD=∠DBA=α，∠ECB=∠ECD=∠DCA=β，
∠BEC=180°−α−β=180°−40°=140°
∴点E为△BCD三条角平分线的交点，∠BDC=180°−2α−2β=180°−80°=100°
1
∴∠BDE= ∠BDC=50°．
2
故选：B．
10．已知两个等腰三角形可按如图所示方式拼接在一起，则边AC的长可能为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B
【知识点】确定第三边的取值范围、等腰三角形的定义
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解题的关键是掌握相关知识．根据等
腰三角形的性质和三角形的三边关系求解即可．
【详解】解：∵ △ABC为等腰三角形，
∴ AC为3或4，
∵ AC<AD+CD=2+2=4，
∴ AC=3，
故选：B．
11．如图，直线AB∥CD,∠ABE=45°,∠D=20°，则∠E的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】B
【知识点】三角形的外角的定义及性质、根据平行线的性质求角的度数
【分析】先根据平行线的性质可得∠BCD=∠ABE=45°，再根据三角形的外角性质即可得．
【详解】解：∵AB∥CD,∠ABE=45°，
∴∠BCD=∠ABE=45°，
∵∠D=20°，
∴∠E=∠BCD−∠D=25°，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
12．如图， ABC中，∠A=25°，∠B=65°，CD为∠ACB的平分线，CE⊥AB于点E，则∠ECD的
度数是（ △ ）A．25° B．20° C．30° D．15°
【答案】B
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】根据∠ECD=∠DCB-∠ECB，求出∠DCB，∠ECB即可．
【详解】∵∠ACB=180°-∠A-∠B=90°，
又∵CD平分∠ACB，
1
∴∠DCB= ×90°=45°，
2
∵CE⊥AB，
∴∠CEB=90°，
∴∠ECB=90°-65°=25°，
∴∠ECD=45°-25°=20°．
故选B．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，
属于中考常考题型．
13．如图，AD是△ABC的角平分线，点O在AD上，且OE⊥BC于点E，∠BAC=60°，
∠EOD=20°，则∠C的度数为（ ）
A．80° B．75° C．70° D．65°
【答案】A
【知识点】三角形角平分线的定义、与角平分线有关的三角形内角和问题、直角三角形的两个锐角
互余、垂线的定义理解
【分析】根据OE⊥BC可知∠OED=90°，再由∠EOD=20°可求得∠ODE的度数，再由角平分
线的定义可得∠CAD=30°，再利用三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵OE⊥BC，
∴∠OED=90°，
∵∠EOD=20°，
∴∠ODE=90°−20°=70°，
∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC=60°，1
∴∠CAD= ∠BAC=30°，
2
∴∠C=180°−∠ODE−∠CAD=180°−70°−30°=80°，
故选：A．
【点睛】本题考查三角形内角和定理、角平分线的定义、垂线的定义、直角三角形的性质，熟练掌
握三角形内角和定理是解题的关键．
14．已知△ABC中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三
角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的二分割线．如图1，Rt△ABC中，
显然直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．在图2的△ABC中，∠ABC=110°，若直线BD是
△ABC的关于点B的二分割线，则∠CDB的度数是（ ）
A．40°或140° B．90°或140° C．40°或75°或140° D．40°或90°或140°
【答案】D
【知识点】三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理的应用、直
角三角形的两个锐角互余
【分析】本题考查了直角三角形，等腰三角形，三角形内角和与外角和的综合，理解题目中“二分
割线”的定义，掌握直角三角形，等腰三角形的性质，三角形内角和与外角和的计算和性质，分类
讨论思想是解题的关键．
根据题意，分类讨论：当∠CDB=90°，DA=DB，即△ABD是等腰三角形，△BCD是直角三角
形，满足条件；当∠ABD=90°，DB=DC，即△ABD是直角三角形，△BCD是等腰三角形，满
足条件；当∠CBD=90°，DA=DB，即△ABD是等腰三角形，△BCD是直角三角形，满足条件；
数形结合，分类讨论即可求解．
【详解】解：在△ABC中，∠ABC=110°，若直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，
∴①如图所示，当∠CDB=90°，DA=DB，即△ABD是等腰三角形，△BCD是直角三角形，满
足条件，
∴∠CDB=90°；②如图所示，当∠ABD=90°，DB=DC，即△ABD是直角三角形，△BCD是等腰三角形，满足
条件，
∴∠CBD=∠ABC−∠ABD=110°−90°=20°=∠C，
∴∠CDB=180°−2∠C=180°−2×20°=140°；
③如图所示，当∠CBD=90°，DA=DB，即△ABD是等腰三角形，△BCD是直角三角形，满足
条件，
∴∠A=∠ABD=∠ABC−∠CBD=110°−90°=20°，
∵∠CDB是△ABD的外角，
∴∠CDB=∠A+∠ABD=20+20=40°，
综上所述，∠CDB的度数是40°或90°或140°，
故选：D ．
CE
15．已知：△ABC中，AD是中线，点E在AD上，且CE=CD,∠BAD=∠ACE．则 的值为
AC
（ ）
3−√5 √2 2 √5−1
A． B． C． D．
2 2 3 2
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据等边对等角证明、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题主要考查了相似三角形、等腰三角形的性质、三角形外角与内角的关系等知识点，先
利用等腰三角形的性质及外角与内角的关系说明∠B=∠DAC，再判断△ABC∽△DAC，利用相似三角形的性质用CE表示出AC，最后代入比例可得结论．
【详解】解：∵ AD是△ABC的中线，
∴ BC=CD，
∵ CE=CD，
∴ ∠CED=∠ADC，
∴ ∠DAC+∠ACE=∠B+∠BAD，
∵ ∠ACE=∠BAD，
∴ ∠DAC=∠B，
又∵ ∠ACD=∠BCA，
∴ △ABC∽△DAC，
BC AC
∴ = ，
AC CD
∴ AC2=BC⋅CD=2CD2=2CE2，
∴ AC=√2CE，
CE CE √2
∴ = = ，
AC √2CE 2
故选B．
二、填空题
16．如图，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转30°，得到Rt△A′B′C′，点B′恰好落在斜边AC上，连接
A A′，则∠A A′B′= ．
【答案】15°/15度
【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、根据旋转的性质求解
【分析】
本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，先由旋转的性质得到
AC=A′C，∠BCA=∠A′CB′=30°，∠A′B′C=90°，再由等边对等角得到∠C A′ A=75°，
由三角形内角和定理得到∠C A′B′=60°，则∠A A′B′=∠C A′ A−∠C A′B′=15°．
【详解】解：由旋转的性质可得AC=A′C，∠BCA=∠A′CB′=30°，∠A′B′C=90°，
1
∴∠C A' A= ×(180°−30°)=75°，
2又∵∠C A′B′=90°−30°=60°，
∴∠A A′B′=∠C A′ A−∠C A′B′=15°，
故答案为：15°．
17．如图，已知∠A=α，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线相交于点
A ，得∠A ；若∠A BC的平分线与∠A CD的平分线相交于点A ，得∠A ；…∠A BC的平
1 1 1 1 2 2 2023
分线与∠A CD的平分线相交于点A ，得∠A ．则∠A = ．（用含α的式子表
2024 2024 2024 2024
示）
1 α
【答案】 α/
22024 22024
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，图形类的规律探索．先根据角平分
1 1
线的定义得到∠A BC= ∠ABC，∠A CD= ∠ACD，再由三角形外角的性质证明
1 2 1 2
1 1 1 1 1
∠A = ∠A，同理可证∠A = ∠A = ∠A，∠A = ∠A = ∠A，…据此求解即可．
1 2 2 2 1 4 3 2 2 8
【详解】解：∵A B平分∠ABC，A C平分∠ACD，
1 1
1 1
∴∠A BC= ∠ABC，∠A CD= ∠ACD，
1 2 1 2
∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A CD=∠A +∠A BC，
1 1 1
1 1 1
∴ ∠A+ ∠ABC=∠A + ∠ABC，
2 2 1 2
1 1
∴∠A = ∠A= α，
1 2 2
1 1
同理可得∠A = ∠A = ∠A，
2 2 1 4
1 1
∠A = ∠A = ∠A，
3 2 2 8
…
1 1 1
∴∠A = ∠A = ∠A= α，
2024 2 2023 22024 220241
故答案为： α．
22024
18．若△ABC≌△A′B′C′，且∠C=50°，∠BAC−∠A′B′C′=10°，则∠BAC= ．
【答案】70°/70度
【知识点】全等三角形的性质、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查的是全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，本题先证明
∠ABC=∠A′B′C′，可得∠BAC−∠ABC=10°，再结合三角形的内角和定理可得
∠ABC+∠BAC=180°−50°=130°，从而可得答案．
【详解】解：∵△ABC≌△A′B′C′，
∴∠ABC=∠A′B′C′，
∵∠BAC−∠A′B′C′=10°，
∴∠BAC−∠ABC=10°，
∵∠C=50°，
∴∠ABC+∠BAC=180°−50°=130°，
∴2∠BAC=10°+130°=140°，
∴∠BAC=70°，
故答案为：70°
19．如图，在△ABC中，∠B=40°，E是△ABC两外角平分线的交点，则∠AEC= ．
【答案】70°/70度
【知识点】三角形内角和定理的应用、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义
及性质
【分析】此题考查了三角形内角和定理，三角外角的性质和角平分线的概念，首先根据三角形内角
和定理得到∠BAC+∠BCA=180°−∠A=140°，然后利用三角外角的性质和角平分线的概念得
1
到∠EAC+∠ECA= (∠DAC+∠FCA)=110°，然后利用三角形内角和定理求解即可．解题的
2
关键是熟练掌握三角形内角和定理，三角外角的性质和角平分线的概念．三角形内角和为180°．
【详解】∵∠B=40°
∴∠BAC+∠BCA=180°−∠A=140°
∴∠DAC+∠FCA=360°−(∠BAC+∠BCA)=220°∵E是△ABC两外角平分线的交点
1 1
∴∠EAC= ∠DAC，∠ECA= ∠FCA
2 2
1
∴∠EAC+∠ECA= (∠DAC+∠FCA)=110°
2
∴∠E=180°−(∠EAC+∠ECA)=70°．
故答案为：70°．
20．如图，△ABC≌△ADE，∠C=80°，∠D=30°，∠BAD=40°，则∠CAD= °．
【答案】30
【知识点】全等三角形的性质、三角形内角和定理的应用
【分析】先由△ABC≌△ADE得出∠B=∠D=30°，再根据三角形内角和定理得出∠BAC=70°，
然后由∠CAD=∠BAC−∠BAD求解即可．
【详解】解：∵△ABC≌△ADE
∴∠B=∠D=30°
∵∠C=80°
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−30°−80°=70°
∴∠CAD=∠BAC−∠BAD=70°−40°=30°
故答案为：30．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质、三角形内
角和定理是解题的关键．
21．如图，直线l ∥l ，有一个含30°的直角三角板的直角顶点A在直线l 上，若边AC与直线l 的
1 2 2 2
夹角∠1=70°，则边BC与直线l 的夹角∠2= °．
1
【答案】40
【知识点】利用邻补角互补求角度、两直线平行内错角相等、三角形内角和定理的应用
【分析】延长CB交l 于点D，由题意可得∠CAB=90°，∠ABC=60°，利用平角的定义求得
1∠ABD=120°，∠BAD=20°，利用三角形内角和定理求得∠ADB=40°，由平行线的性质即可
得到∠2=∠ADB．
【详解】解：如图，延长CB交l 于点D，
1
由题意可得，∠CAB=90°，∠ABC=60°，
∴∠ABD=180°−∠ABC=180°−60°=120°，
∵∠1=70°，
∴∠BAD=180°−∠1−∠BAC=180°−70°−90°=20°，
在△ABD中，∠ADB=180°−∠BAD−∠ABD=180°−20°−120°=40°，
∵l ∥l ，
1 2
∴∠2=∠ADB=40°．
故答案为：40．
【点睛】本题主要考查平行线的性质、平角的定义、三角形内角和定理，灵活运用所学知识解决问
题是解题关键．
22．如图，在▱ABCD中，∠A=40°，AD=BD，将△BCD沿对角线BD翻折，点C的对应点为
点F，DF交AB于点E，则∠BEF的度数是 ．
【答案】80°/80度
【知识点】三角形内角和定理的应用、利用平行四边形的性质求解、折叠问题
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，折叠的性质，解题的关键是掌握相关
的知识．由平行四边形的性质得出∠C=∠A=40°，∠ABC=140°，由等边对等角得出
∠ABD=∠A=40°，由折叠的性质可得：∠DBF=∠DBC=100°，∠F=∠C=40°，最后由三
角形的内角和，即可得解．
【详解】解：∵在▱ABCD中，∠A=40°，
∴ ∠C=∠A=40°，AD∥BC，
∴ ∠ABC=180°−∠A=140°，∵ AD=BD，
∴ ∠ABD=∠A=40°，
∴ ∠CBD=∠ABC−∠ABD=140°−40°=100°，
由折叠可得：∠DBF=∠DBC=100°，∠F=∠C=40°，
∴ ∠EBF=∠DBF−∠ABD=100°−40°=60°，
∴ ∠BEF=180°−∠F−∠EBF=180°−40°−60°=80°，
故答案为：80°．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=8,BC=6，点P是平面内一个动点，且AP=3，Q
为BP的中点，在P点运动过程中，设线段CQ的长度为m，则m的取值范围是 ．
7 13
【答案】 ≤m≤
2 2
【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、用勾股定理解三角形、确定第三边的取值范围
【分析】作AB的中点M，连接CM、QM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角
形的中位线定理求得QM和CM的长，然后在△CQM中根据三边关系即可求解．
【详解】解：作AB的中点M，连接CM、QM．
∵AP=3,
∴ P在以A为圆心，3为半径的圆上运动，
在直角△ABC中，AB＝√AC2＋BC2=√82+62=10，
∵M是直角△ABC斜边AB上的中点，
1
∴CM＝ AB＝5．
2
∵Q是BP的中点，M是AB的中点，1 3
∴MQ＝ AP＝ ．
2 2
3 3 7 13
∴在△CMQ中，5− ≤CQ≤ ＋5，即 ≤m≤ ．
2 2 2 2
7 13
故答案是： ≤m≤ ．
2 2
【点睛】本题考查了三角形的中位线的性质，三角形三边长关系，勾股定理、直角三角形斜边上的
中线等于斜边的一半，作圆，作AB的中点M，连接CM、QM，构造三角形，是解题的关键．
24．如图，在⊙O中，直径AB，弦CD相交于点P．连接OC．且OC⊥AB，若∠A=20°，则
∠BPD的度数为 ．
【答案】65°
【知识点】三角形的外角的定义及性质、同弧或等弧所对的圆周角相等
【分析】本题考查圆周角定理，根据OC⊥AB，利用圆周角与圆心角关系可求出∠ADC，再由三
角形外角定理即可求得．
【详解】解：∵OC⊥AB，
∴∠AOC=90°，
∵A´C=A´C，
1
∴∠ADC= ∠AOC=45°，
2
∵∠A=20°，
∠BPD=∠ADC+∠A=45°+20°=65°
∴ ¿ ．
¿
故答案为：65°．
25．在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B，C重合），连接AD．（1）如图①，AD是∠BAC的平分线．若AB=m，AC=n，则S :S = ；（用含m，
△ABD △ACD
n的式子表示）
（2）如图②，AD平分∠BAC，延长AD到点E，使得AD=DE，连接BE．若AC=3，AB=5，
S =10，则△ABC的面积为 ．
△BDE
m
【答案】 m:n/ 16
n
【知识点】角平分线的性质定理、根据三角形中线求面积
【分析】（1）过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线性质求出DE=DF，根据三角
形面积公式求出即可；
（2）根据已知和求出△ABD和△ACD的面积，即可求出答案．
【详解】（1）如图，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD为∠BAC的角平分线，
∴DE=DF，
∵AB=m，AC=n，
1 1
∴S :S =( ×AB×DE):( ×AC×DF)=m:n；
△ABD △ACD 2 2
故答案为：m:n
（2）如图，
∵AD=DE，
∴ S =S ，
△ABD △EBD
∵S =10，
△BDE
∴S =10，
△ABD
∵AC=3，AB=5，AD平分∠CAB，
∴由（2）知：S :S =AB:AC=5:3，
△ABD △ACD
∴S =6，
△ACD
∴S =6+10=16．
△ABC故答案为：16
【点睛】本题考查了角平分线性质和三角形的面积公式，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会
利用面积法解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题
26．如图，在△ABC中，AB=AC．
(1)利用尺规，作AB边的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E．（保留作图痕迹）
(2)在（1）中，连接BD，若AB=10，BC=4，则△BCD的周长为__________．
(3)在（1）中，连接BD，若∠DBC=27°，试求出∠A的度数．
【答案】(1)图见详解
(2)14
(3)42°
【知识点】等腰三角形的性质和判定、作垂线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、三角形内角和
定理的应用
【分析】（1）根据垂直平分线的性质作图即可；
（2）根据等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质即可求解；
（3）由AD=BD得∠A=∠ABD，由∠ABC=∠C=∠ABD+∠DBC，
∠A+∠ABC+∠C=180°，即可求解；
【详解】（1）作AB边的垂直平分线如图：
（2）∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，AD=BD，
∵AB=AC，
∴AC=10，∴BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC=10+4=14，
∴△BCD的周长为14．
（3）∵AD=BD，
∴∠A=∠ABD，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=∠ABD+∠DBC，
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴∠A+∠A+∠DBC+∠A+∠DBC=3∠A+2∠DBC=180°，
∵∠DBC=27°，
1 1
∴∠A+= (180°−2∠DBC)= (180°−2×27°)=42°．
3 3
【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握相关知识并灵活应用是解
题的关键．
27．如图，△ABC中，DE∥BC，CD⊥ΑB于点D，FG⊥AB于点G．
(1)求证∠1=∠2；
(2)若∠1=40°，若CD平分∠ACB，直接写出∠A的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)50°
【知识点】三角形内角和定理的应用、根据平行线判定与性质证明、角平分线的有关计算
【分析】（1）根据平行线的判定与性质求解即可；
（2）根据平行线的性质、角平分线定义、直角三角形的性质求出∠ACB=80°，∠B=50°，根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵ED∥BC，
∴∠1=∠BCD．
又∵CD⊥AB，FG⊥AB，
∴∠CDB=∠FGB=90°，
∴FG∥CD．
∴∠2=∠BCD．
∴∠1=∠2．
（2）解：∵∠1=∠BCD，∠1=40°，
∴∠BCD=40°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠BCD=80°，
∵CD⊥AB，
∴∠B=90°−∠BCD=50°，
∴∠A=180°−∠B−∠ACB=50°．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识点，熟记平行线的判定定理
与性质定理是解题的关键．
28．【发现】（1）如图1，在△ABC中，∠B=30°，∠ACB=70°，AD是角平分线，AM是高，
求∠BAD及∠DAM的度数；
【探究】（2）如图2，在△ABC中，∠ACB−∠B=α，AD是角平分线，动点F在线段AD上（不
与点A，D重合），FG⊥BC，垂足为G．求∠DFG的度数；（用含α的式子表示）
【拓展】（3）将【探究】中“动点F的线段AD上”改为“动点F在射线AD上”．其余条件不变，
分别作DP平分∠ADC，GQ平分∠FGC，且DP所在的直线与射线GQ交于点N，直接写出
∠DNG的度数．（用含α的式子表示）
1 1
【答案】（1）∠BAD=40°，∠DAM=20°；（2）∠DFG= α；（3）∠DNG的度数为 α或
2 4
1
90°+ α．
4
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质、直角三角形的两个锐角互余
【分析】（1）根据三角形的内角和求出∠BAC，再进一步利用角平分线的定义（从一个角的顶点
引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线）即可得到解答；
（2）根据已知得到∠ACB=α+∠B，利用三角形内角和定理求得∠BAC=180°−α−2∠B，利
1
用三角形的外角性质得到∠ADG=90°− α，据此求解即可求得答案；
2
（3）分两种情况讨论，①当点F在射线AD上且在△ABC外时，②当点F在线段AD上时，同（2）
计算即可求解．
【详解】解：（1）∵∠B=30°，∠ACB=70°，
∴∠BAC=180°−30°−70°=80°，
∵AD是角平分线，
1
∴∠BAD=∠CAD= ∠BAC=40°，
2
∵AM是高，
∴∠AMC=90°，
∴∠CAM=90°−70°=20°，
∴∠DAM=∠CAD−∠CAM=40°−20°=20°；
（2）∵∠ACB−∠B=α，
∴∠ACB=α+∠B，
∴∠BAC=180°−∠B−(α+∠B)=180°−α−2∠B，
∵AD是角平分线，
1 1
∴∠BAD=∠CAD= ∠BAC=90°− α−∠B，
2 2
1
∴∠ADG=∠B+∠BAD=90°− α，
2
∵FG⊥BC，
∴∠FGD=90°，
1
∴∠DFG=90°−∠FDG= α；
2
（3）①当点F在射线AD上且在△ABC外时，∴∠DNG=180°−∠DGN−∠GDN，
1
由（2）可得∠ADC=90°− α，
2
∵DP平分∠ADC，
1 1
∴∠PDC= ∠ADC=45°− α=∠GDN，
2 4
∵FG⊥BC，
∴∠FGD=90°，
∵GQ平分∠FGC，
∴∠DGN=45°，
( 1 ) 1
∴∠DNG=180°−45°− 45°− α =90°+ α；
4 4
②当点F在线段AD上时，
1
由①得∠PDC=45°− α，
4
∵FG⊥BC，
∴∠FGD=∠FGC=90°，
∵GQ平分∠FGC，
∴∠QGC=45°，
( 1 ) 1
∴∠DNG=∠QGC−∠PDC=45°− 45°− α = α；
4 4
1 1
综上，∠DNG的度数为 α或90°+ α．
4 4【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义和高的性质，解决本题的关键是掌握角平
分线的定义．
29．如图，点A、B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合），AC、BC分别是∠BAO和
∠ABO的角平分线，BC延长线交OM于点G．
解决问题：
(1)若∠OBA=80°，∠OAB=40°，则∠ACG=________；
(2)若∠MON=a，求出∠ACG的度数．
【答案】(1)60°
1
(2)90°− a
2
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质
【分析】（1）由角平分线的定义可求出∠CBA和∠CAB的度数，再根据三角形外角的性质求出
∠ACG的度数即可；
（2）先根据三角形内角和定理求出∠OBA+∠OAB的度数，然后再根据角平分线的定义求出
∠CBA+∠CAB的度数，最后根据三角形外角的性质求出结果即可．
【详解】（1）解：∵AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，
1 1
∴∠CBA= ∠OBA，∠CAB= ∠OAB，
2 2
∵∠OBA=80°，∠OAB=40°，
∴∠CBA=40°，∠CAB=20°，
∴∠ACG=∠CBA+∠CAB=60°，
故答案为：60°；
（2）解：∵∠MON=a，
∴∠BAO+∠ABO=180°−a，
∵AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，1 1
∴∠CBA= ∠OBA，∠CAB= ∠OAB，
2 2
1 1 1
∴∠CBA+∠CAB= (∠ABO+∠BAO)= ×(180°−a)=90°− a，
2 2 2
1
∴∠ACG=∠CBA+∠CAB=90°− a．
2
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理、外角的性质及角平分线的定义，解答本题的关键是
把∠CBA+∠CAB看作一个整体，运用整体思想进行解答．
30．如图，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），连接AM，作∠AME=60°．
(1)尺规作图：作射线CN∥AB，交ME与点N；（尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）
(2)求证：AM=MN．
【答案】(1)作图见解析
(2)证明见解析
【知识点】三角形的外角的定义及性质、尺规作一个角等于已知角、全等的性质和ASA（AAS）综
合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质
【分析】（1）作∠GCD=∠ABC，CG交ME于点N即可；
（2）由等边三角形的性质得∠ACB=∠BAC=∠B=60°，AB=BC，根据平行线的性质得
∠ACN=∠BAC=60°，推出∠BAM=∠CMN，过点M作MF∥AC交AB于点F，证明△BFM
是等边三角形，再证明△AFM≌△MCN(ASA)即可．
【详解】（1）解：如图，作∠GCD=∠ABC，CG交ME于点N，
∵∠GCD=∠ABC，
∴CN∥AB，
则CN即为所作；
（2）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=∠BAC=∠B=60°，AB=BC，
由（1）知：CN∥AB，
∴∠ACN=∠BAC=60°，∴∠MCN=∠ACN+∠ACB=60°+60°=120°，
∵∠AME=60°，
∴∠B+∠BAM=∠AMC=∠CMN+∠AME，即60°+∠BAM=∠CMN+60°，
∴∠BAM=∠CMN，
过点M作MF∥AC交AB于点F，
∴∠FMB=∠ACB=60°=∠B，
∴△BFM是等边三角形，
∴BF=BM，∠BFM=60°，
∴BC−BM=AC−BF，即MC=AF，
∠AFM=180°−∠BFM=180°−60°=120°=∠MCN，
在△AFM和△MCN中，
¿，
∴△AFM≌△MCN(ASA)，
∴AM=MN．
【点睛】本题考查尺规作图（作一个角等于已知角），平行线判定和性质，等边三角形的判定和性
质，三角形外角的定义及性质，全等三角形的判定和性质．通过作辅助线构造全等三角形是解题的
关键．
31．如图，P为△ABC内一点，过点P作线段MN交AC于M、N．
(1)若∠B =80°，PA平分∠BAC，PC平分∠BCA，求∠APC的度数；
(2)若∠APC =110°，且M、N分别在PA、PC的垂直平分线上，求∠B的度数．
【答案】(1)130 °
(2)40 °
【知识点】等边对等角、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理的应用、与角平分线有关的三
角形内角和问题
【分析】（1）根据角平分线的定义以及三角形内角和定理计算，得到答案．（2）根据垂直平分线的性质得出MA=MP,NP=PC，根据等边对等角可得
∠MAP=∠MPA,∠NPC=∠NCP，进而根据三角形内角和定理，即可求解．
【详解】（1）解：∵∠B=80°，
∴∠BAC+∠BCA=100°，
∵ PA平分∠BAC，PC平分∠BCA，
1 1
∴∠PAB=∠PAC= ∠BAC,∠PCA=∠PCN= ∠ACB，
2 2
1 1
∴∠PAC+∠PCA= (∠BAC+∠BCA)= ×100°=50°
2 2
∴∠APC=180°−50°=130°，
（2）解：∵M、N分别在PA、PC的垂直平分线上，
∴MA=MP,NP=PC，
∴∠MAP=∠MPA,∠NPC=∠NCP，
∵∠APC =110°，
∴∠MPA+∠NPC=180°−110°=70°,∠PAC+∠PCA=180°−110°=70°，
∴∠BAC+∠ACB=∠PAB+∠PAC+∠PCN+∠PCA=140°
∴∠B=180°−(∠BAC+∠ACB)=180°−140°=40°
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点
的距离相等是解题的关键．
32．如图，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．
(1)已知∠B=70°，∠C=40°，求∠DAE的度数；
(2)设∠B=α，∠C=β(α>β)，请直接写出用α，β表示∠DAE的关系式．
【答案】(1)∠DAE=15°
α−β
(2)∠DAE=
2
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、与三角形的高有关的计算问题
【分析】（1）先根据三角形的内角和求出∠BAC=70°，再根据△ABC的高和角平分线求出
∠BAE,∠BAD，进而求解；
（2）仿照（1）的思路解答即可．【详解】（1）解：∵∠B=70°，∠C=40°，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=70°，
∵AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，
1
∴∠ADB=90°，∠BAE= ∠BAC=35°，
2
∴∠BAD=180°−∠ADB−∠B=20°，
∴∠DAE=∠BAE−∠BAD=15°；
（2）解：∵∠B=α，∠C=β(α>β)，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−α−β，
∵AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，
1 1
∴∠ADB=90°，∠BAE= ∠BAC= (180°−α−β)，
2 2
∴∠BAD=180°−∠ADB−∠B=90°−α，
1 α−β
∴∠DAE=∠BAE−∠BAD= (180°−α−β)−(90°−α)= ．
2 2
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的高和角平分线等知识，熟练掌握三角形的基本
知识是解题的关键．
33．阅读作答：
（1）等腰三角形中两个底角为72°，顶角为36°，这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比约为
0.618；
（2）等腰三角形中两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比0.618．
我们把满足上述条件之一的三角形都叫做“黄金三角形”．
已知：如图，在△ABC中，D是AC上一点，AB=AC，BD=AD=BC，该图中有黄金三角形吗？
若有，有几个，请说明理由．【答案】该图中有黄金三角形3个，理由见解析
【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质
【分析】设∠A=x，根据等边对等角求出∠1=∠A=x，∠C=∠2=2x，∠ABC=∠C=2x，然
后利用三角形内角和定理求出x，得到∠1=∠A=36°，∠ABC=∠C=∠2=72°，进而根据黄金
三角形的定义得出答案．
【详解】该图中有黄金三角形3个，
理由：设∠A=x，
∵BD=AD，
∴∠1=∠A=x，
∴∠2=∠1+∠A=2x，
∵BD=BC，
∴∠C=∠2=2x，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=2x，
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴x+2x+2x=180°，
∴x=36°，
即∠1=∠A=36°，∠ABC=∠C=∠2=72°，
∴△ABD，△BCD，△ABC是黄金三角形．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，求出各角的度数，
正确理解黄金三角形的定义是解题的关键．
34．如图，在凹四边形ABCD中，∠A=55°，∠B=30°，∠D=20°，求∠BCD的度数．下面是学习小组的同学们交流时得到的解决问题的三种方法：
方法一：作射线AC；
方法二：延长BC交AD于点E；
方法三：连接BD．
请选择上述一种方法，求∠BCD的度数．
【答案】∠BCD=105°，方法见解析
【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质
【分析】选择方法一：作射线AC并在线段AC的延长线上任取一点E，根据外角的性质求出
∠BCE=∠B+∠BAE即可解得；
选择方法二：延长BC交AD于点E， 根据外角的性质求出∠BED=∠B+∠A即可解得；
选择方法三：连接BD，根据三角形内角和求出∠A+∠ABD+∠ADB=180°，在△BCD中，
∠BCD=180°−∠CBD−∠CDB，再根据角之间的和差即可求出．
【详解】解：选择方法一：
如答图1，作射线AC并在线段AC的延长线上任取一点E．
∵∠BCE是△ABC的外角，
∴∠BCE=∠B+∠BAE．
同理可得∠DCE=∠D+∠DAE．
∴∠BCD=∠B+∠BAE+∠D+∠DAE．
∴∠BCD=∠B+∠BAD+∠D．
∵∠BAD=55°，∠B=30°，∠D=20°，
∴∠BCD=105°选择方法二：
如答图2，延长BC交AD于点E．
∵∠BED是△ABE的外角，
∴∠BED=∠B+∠A．
同理可得∠BCD=∠BED+∠D．
∴∠BCD=∠B+∠A+∠D．
∵∠A=55°，∠B=30°，∠D=20°，
∴∠BCD=105°
选择方法三：
如答图3，连接BD．
在△ABD中，∠A+∠ABD+∠ADB=180°．
∴∠A+∠ABC+∠CBD+∠ADC+∠CDB=180°
∴∠A+∠ABC+∠ADC=180°−∠CBD−∠CDB．
在△BCD中，∠BCD=180°−∠CBD−∠CDB．
∴∠BCD=∠A+∠ABC+∠ADC．
∵∠A=55°，∠ABC=30°，∠ADC=20°，
∴∠BCD=105°
【点睛】此题考查了三角形的外角性质、三角形内角和，解题的关键是构造辅助线，会用三角形的
外角性质、三角形内角和解题．
35．如图，D是△ABC中BC边上一点，∠C=∠DAC．（1）尺规作图：作∠ADB的平分线，交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，求证：DE∥AC．
【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析
【知识点】作角平分线(尺规作图)、三角形的外角的定义及性质、同位角相等两直线平行
【分析】（1）利用基本作图作∠ADB的平分线DE；
（2）利用角平分线定义得到∠ADE=∠BDE，再根据三角形外角性质得∠ADB=∠C+∠DAC，加上
∠C=∠DAC，从而得到∠BDE=∠C，然后根据平行线的判定方法得到结论．
【详解】（1）如图：
（2）∵DE平分∠ADB，
∴∠ADE=∠BDE．
∵∠ADB=∠C+∠DAC，而∠C=∠DAC，
∴2∠BDE=2∠C，即∠BDE=∠C，
∴DE∥AC．
【点睛】本题考查了作图﹣基本作图，解题的关键是熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；
作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂
线）．也考查了平行线的判定．
【能力提升】
36．如图，在△ABD和△ACE中，∠BAD=∠EAC，连接BC，DE交于点F，且B，A，E三点共
线．
【模型建立】（1）如图①，△ABD和△ACE是等腰三角形，AB=AD,AC=AE，
①求证：△ABC≌△ADE；
②判断∠BAD与∠BFE的数量关系，并说明理由；
【模型应用】
（2）如图②，△ABD和△ACE都是等边三角形，连接AF，求证：FA平分∠BFE；
【模型迁移】
（3）在（2）的条件下，若AB=2AE=2，求AF的长．
2√7
【答案】（1）①见解析；②∠BAD+∠BFE=180°，理由见解析；（2）见解析；（3）
7
【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、用
勾股定理解三角形
【分析】（1）①由已知条件得∠BAC=∠DAE，利用SAS即可证明△ABC≌△ADE；②结合①
得∠ABC=∠ADE，然后利用三角形内角和定理即可解答；
（2）如图②：过点A作AM⊥BC于点M，作AN⊥ED于点N，根据等边三角形的性质证明
△ABC≌△ADE可得∠ABM=∠ADN，然后证明△ABM≌△ADN(AAS)，得AM=AN，再利
用角平分线的性质即可即可；
（3）如图③：过点D作DG⊥AB于点C，过点C作CH⊥AE于点H，过点A作AM⊥BC于点
M，结合(2)证明∠BFA=∠BFE=60°，利用勾股定理求出BC，然后根据△BAC的面积=△DAE的
面积，求出AM，进而利用特殊角三角函数值即可解答．
【详解】解：（1）①证明：∵∠BAD=∠EAC，
∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC，
∴∠BAC=∠DAE，
∵AB = AD，AC = AE，
∴△ABC≌△ADE(SAS)；
②∠BAD+∠BFE=180°，理由如下：
由①知：△ABC≌△ADE，
∴∠ABC=∠ADE，
∵∠BAD=∠ADE+∠AED，
∴∠BAD=∠ABF+∠AEF,
∵∠FBE+∠FEB+∠BFE=180°，
∴∠BAD+∠BFE=180°；
（2）证明：如图②：过点A作AM⊥BC于点M，作AN⊥ED于点N，∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AD=AB，CA=EA，∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，
∴∠BAC=∠DAE，
∵AB=AD，AC=AE，
∵△ABC≌△ADE(SAS)，
∴∠ABC=∠ADE，即∠ABM=∠ADN，
∵AM⊥BC，AN⊥ED，
∴∠AMB=∠∧=90°，
∴△ABM≌△ADN(AAS)，
∴AM=AN，
∴FA平分∠BFE；
(3)如图②，过点D作DG⊥AB于点C，过点C作CH⊥AE于点H，过点A作AM⊥BC于点M，
∵B，A，E三点共线，
∴∠BAC=180°−∠CAE=180°−60°=120°，
∴∠BCA+∠ABC=180°−120°=60°，
由（2）得：△BAC≌△DAE，
∴∠BCA=∠DEA，
∴∠DEA+∠ABC=60°，
∴∠BFE=180°−60°=120°，
由（2）得FA平分∠BFE,
∴∠BFA=∠BFE=60°，
∵BD=AD=AB=2AE=2，DG⊥AB,
∴BG=AG=1,1 1
∴AH=EH= AE= ，
2 2
√3
同理：CH=√3AH= ，
2
1 5
∵BH=AB+AH=2+ = ，
2 2
∴BC=√BH2+CH2=√7，
由(2)得：△BAC≌△DAE，
∴S =S ，
△BAC △DAE
1 1
∴ BC⋅AM= AE⋅DG，
2 2
∴√7AM=1×√3，
√21
∴4M= ，
7
∵AM⊥BC，∠BFA=60°，
AM √21 2 2√7
∴AF= = × = ．
sin60° 7 √3 7
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、等边三角形的性质、三角形内角和定理、勾股定理、
三角形的面积、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、特殊角三角函数值等知识点，熟练掌
握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
37．如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段称为这个三角形的“分割
线”；如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段称为这个三角形的“黄金
分割线”．
(1)填空：等边三角形_________（填“存在"或“不存在”）“分割线”；顶角为钝角的等腰三角形
________（填“存在”或“不存在”）“黄金分割线”．
(2)在△ABC中，∠A=30°，∠B为钝角，若这个三角形存在“分割线”，直接写出∠B的所有可
能______．
【答案】(1)不存在，存在；
(2)112.5°
【知识点】等边三角形的性质、等边对等角、三角形的外角的定义及性质、代入消元法
【分析】（1）画出图形，证明在△ABD中，三个内角满足：∠BAD＜∠B=60°＜∠ADB，即
△ABD不可能是等腰三角形，以及在△ADC中，三个内角满足：∠DAC＜∠C=60°＜∠ADC，
即△ADC不可能是等腰三角形，从而得到等边三角形不存在“分割线”；画出图形，设
∠B=∠C=x，∠BAE=∠BEA= y，列出二元一次方程组，解方程求出相应的角度，即可证明顶角为钝角的等腰三角形存在“黄金分割线”；
（2）根据∠ABC为钝角，可知三角形的“分割线”必经过B点，分情况讨论：第一种情况：在
△ABC被BE分割之后，当∠A为新等腰三角形的顶角时；第二种情况：在△ABC被BE分割之后，
当∠A为新等腰三角形的底角时；分别画出图形，求出相应的角的度数即可求解．
【详解】（1）解：等边三角形不存在“分割线”，理由如下：
如图，等边△ABC被直线AD所截，且点D在线段BC（不含端点B、C）上
在等边△ABC中，有∠B=∠C=∠BAC=60°，
由图可知：∠BAD=∠BAC−∠DAC=60°−∠DAC＜60°，
同理有：∠DAC＜60°，
由图可知：∠ADC=∠B+∠BAD=60°+∠BAD＞60°，
同理有：∠ADB＞60°，
即在△ABD中，三个内角满足：∠BAD＜∠B=60°＜∠ADB，
即△ABD不可能是等腰三角形；
即在△ADC中，三个内角满足：∠DAC＜∠C=60°＜∠ADC，
即△ADC不可能是等腰三角形；
即等边三角形不存在“分割线”；
顶角为钝角的等腰三角形存在“黄金分割线”，理由如下：
如图，等腰△ABC的“黄金分割线”为AE，EF，∠BAC为钝角，
设∠B=∠C=x，∠BAE=∠BEA= y，相应的角标注如图，
根据平角为180°和三角形内角和为180°可得：¿，
解得：¿，
即∠B=∠C=36°，则：∠BAC=108°，
∴根据方程有解，可得顶角为钝角的等腰三角形存在“黄金分割线”；
（2）根据∠ABC为钝角，可知三角形的“分割线”必经过B点，
分情况讨论：第一种情况：在△ABC被BE分割之后，当∠A为新等腰三角形的顶角时，
如图，相应角度标注如下，
根据图形，有：¿，
解得：¿，
则：∠ABC=x+ y=112.5°；
第二种情况：在△ABC被BE分割之后，当∠A为新等腰三角形的底角时，
如图，相应角度标注如下，
根据图形，有：∠CEB=60°，
又∵根据“分割线”的定义可知：△CEB是等腰三角形，
∴△CEB是等边三角形，
即：∠CBE=60°，
则：∠ABC=∠ABE+∠EBC=90°，
此时∠ABC不为钝角，此情况舍去；
综上：∠ABC的可能值为：112.5°．
【点睛】本题主要是考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，二元一次方程组的应用等知识，
充分理解题目所给出的新定义是解答本题的关键．
38．在△ABC中，AD是角平分线．∠B<∠C．
(1)如图（1），AE是高，∠B=35°，∠C=65°，求∠DAE的度数；
(2)如图（2），点E在AD上，EF⊥BC于F，试探究∠≝¿与∠B、∠C的大小关系，并证明你的
结论（提示：过点A作AG⊥BC于G）；(3)如图（3），点E在AD的延长线上．EF⊥BC于F，试探究∠≝¿与∠B、∠C的大小关系是
______．（直接写出结论，不需证明）
【答案】(1)15°
1
(2)∠≝= (∠C−∠B)，过程见解析
2
1
(3)∠≝= (∠C−∠B)
2
【知识点】三角形内角和定理的应用、根据平行线判定与性质证明、垂直于同一直线的两直线平行、
角平分线的有关计算
1
【分析】（1）依据角平分线的定义以及垂线的定义，即可得到∠CAD= ∠BAC，
2
1
∠CAE=90°−∠C，进而得出∠DAE= (∠C−∠B)，由此即可解决问题；
2
（2）过A作AG⊥BC于G，依据平行线的性质可得∠DAG=∠≝¿，依据（1）中结论即可得到
1
∠≝= (∠C−∠B)；
2
（3）过A作AG⊥BC于G，依据平行线的性质可得∠DAG=∠≝¿，依据（1）中结论即可得到
1
∠≝= (∠C−∠B)不变．
2
【详解】（1）解：如图1所示：
∵AD平分∠BAC，
1
∴∠CAD= ∠BAC，
2
∵AE⊥BC，
∴∠CAE=90°−∠C，
∴∠DAE=∠CAD−∠CAE
1
= ∠BAC−(90°−∠C)
2
1
= (180°−∠B−∠C)−(90°−∠C)
21 1
= ∠C− ∠B
2 2
1
= (∠C−∠B)，
2
∵∠B=35°，∠C=65°，
1
∴∠DAE= (65°−35°)=15°；
2
1
（2）解：结论∠≝= (∠C−∠B)．
2
理由如下：过A作AG⊥BC于G，如图2所示：
∵EF⊥BC，
∴AG∥EF，
∴∠DAG=∠≝¿，
1
由（1）可得∠DAG= (∠C−∠B)，
2
1
∴∠≝= (∠C−∠B)；
2
（3）解：结论仍成立．
过A作AG⊥BC于G，如图3所示：
∵EF⊥BC，
∴AG∥EF，
∴∠DAG=∠≝¿，
1
由（1）可得∠DAG= (∠C−∠B)，
21
∴∠≝= (∠C−∠B)，
2
1
故答案为：∠≝= (∠C−∠B)．
2
【点睛】本题主要考查角平分线的性质、三角形内角和定理、直角三角形的性质等知识，综合性强，
掌握三角形内角和定理，加大数学知识的应用意识是解题关键．
39．设△ABC的面积为a．
(1)如图1，延长△ABC的各边得到△A B C ，且A B=AB，B C=BC，C A=CA，记
1 1 1 1 1 1
△A B C 的面积为S ，则S = ______．（用含a的式子表示）
1 1 1 1 1
(2)如图2，延长△ABC的各边得到△A B C ，且A B=2AB，B C=2BC，C A=2CA，记
1 1 1 1 1 1
△A B C 的面积为S ，则S = ________．（用含a的式子表示）
1 1 1 2 2
(3)如图3，P为△ABC内一点，连接AP、BP、CP并延长分别交边BC、AC、AB于点D、E、F，
则把△ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，则计算得到△ABC的面积
a=________．
【答案】(1)7a
(2)19a
(3)315
【知识点】根据三角形中线求面积、与三角形的高有关的计算问题
【分析】此题是三角形的综合题，主要考查了面积及等积变换，利用三角形同高则面积比与底边关
系分别分析得出是解题关键．
（1）利用三角形同高等底面积相等，进而求出即可；
（2）利用三角形同高不等底面积比为底边长的比，进而求出即可；
（3）利用三角形面积之间关系得出其边长比，得出关于x，y的方程求出即可．
【详解】（1）如图1, 连接A C，
1
∵B C=BC,A B=AB,
1 1
∴S =S ，S =S ，
△ABC △A BC △A BC △A B C
1 1 1 1∴S =2S =2a，
△A B B △ABC
1 1
同理可得出：S =S =2a，
△A AC △CC B
1 1 1 1
∴S =2a+2a+2a+a=7a，
1
故答案为: 7a；
（2）如图2，连接A C，
1
∵A B=2AB,B C=2BC,C A=2CA，
1 1 1
根据等高两三角形的面积比等于底之比，
∴S =S =S =2S =2a，
△A BC △B CA △C AB △ABC
1 1 1
∴S =2S =4a，
△A B C △A BC
1 1 1
∴S =6S =6a，
△A B B △ABC
1 1
同理可得出：S =S =6a，
△A AC △CB C
1 1 1 1
∴S₂=19a；
故答案为: 19a；
（3）如图3，过点C作CG⊥BE于点G，
1 1
∵S = BP⋅CG=70，S = PE⋅CG=35，
△BPC 2 △PCE 2
S BP•CG 70
∴ △BPC = = =2，
S PE⋅CG 35
△PCE
BP
∴ =2，即BP=2EP，
EP
S BP
同理 △APB= =2，
S PE
△APE
设 S =2S =2y，S = y，S =x，
△APB △APE △APE △BPF∵x+84=2y，即S +S =2S ；
△FPB △APF △APE
S AP x+84 S AP y+35
∵ △APB = = ， △APC = = ，
S PD 40 S PD 30
△BPD △PCD
x+84 y+35
∴ = ，
40 30
又∵x+84=2y
∴¿，
∵S =56，S =70，
△BPF △APE
∴S =a=40+30+35+84+56+70=315
△ABC
故答案为: 315．
40．已知AB=AC,D、A、E三点均在直线MN上，且∠BDA=∠BAC=∠AEC．
(1)如图①，若∠BAC=90°,BD=3,CE=2，则线段DE的长为_________；
(2)如图②，判断BD、CE、DE之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图③，若将题中的“∠BDA=∠BAC=∠AEC”变为“∠BDM=∠BAC=∠MEC”，其
他条件不变，且BD=5,CE=8，请直接写出DE的长．
【答案】(1)5
(2)）DE=BD+CE，理由见解析
(3)3
【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质．
（1）利用平角的定义和三角形内角和定理得∠BAD=∠C，再利用AAS证明△ABD≌△CAE，得
BD=AE，CE=AD，据此即可求解；
（2）利用平角的定义和三角形内角和定理得∠CAE=∠ABD，再利用AAS证明△ABD≌△CAE，
得BD=AE，CE=AD，可得答案；
（3）利用邻补角的定义得∠BDA=∠AEC，再利用三角形的外角性质可得到∠C=∠BAD，再利
用AAS证明△ABD≌△CAE，得BD=AE，CE=AD，可得答案．
【详解】（1）解：∵∠BDA=∠AEC=∠BAC=90°，
∴∠BAD=90°−∠CAE=∠C，又∵BA=AC，
∴△ABD≌△CAE(AAS)，
∴BD=AE=3，CE=AD=2，
∴DE=AD+AE=2+3=5；
（2）解：DE=BD+CE，理由如下：
∵∠BDA=∠AEC=∠BAC，∠BAD+∠CAE+∠BAC=180°=∠BAD+∠BDA+∠ABD，
∴∠BAD+∠CAE=∠BAD+∠ABD，
∴∠CAE=∠ABD，
又∵∠BDA=∠AEC，BA=AC，
∴△ABD≌△CAE(AAS)，
∴BD=AE，CE=AD，
∴DE=BD+CE；
（3）解：∵∠BDM=∠BAC=∠MEC，
∴∠BDA=∠AEC，∠C=∠MEC−∠EAC=∠BAC−∠EAC=∠BAD，
又∵BA=AC，
∴△ABD≌△CAE(AAS)，
∴BD=AE=5,CE=AD=8，
∴DE=CE−BD=8−5=3．
