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专题 03 三角形及基本性质（分层训练）
【基础训练】
一、单选题
1．如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=25°，∠3=65°，连接BE，点D恰好在
BE上，则∠2=（ ）
A．80° B．40° C．45° D．无法计算
【答案】B
【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判断，三角形外角的性质，证明
△BAD≌△CAE(SAS)，得到∠ABD=∠2，再根据三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC−∠CAD=∠DAE−∠CAD，
∴∠1=∠CAE，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴∠ABD=∠2，
∵∠1=25°，∠3=65°，
∴∠ABD=∠2=∠3−∠1=40°，
故选：B．
2．下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，4cm B．1cm，2cm，3cm C．3cm，4cm，5cm D．
4cm，5cm，6cm
【答案】B
【知识点】三角形三边关系的应用
【分析】看哪个选项中两条较小的边的和大于最大的边即可．
【详解】A．2+3>4，能构成三角形，不合题意；
B．1+2=3，不能构成三角形，符合题意；
C．4+3>5，能构成三角形，不合题意；D．4+5>6，能构成三角形，不合题意．
故选B．
【点睛】此题考查了三角形三边关系，解题关键在于看较小的两个数的和能否大于第三个数．
3．如图，点O是△ABC内一点，∠A=60°，∠1=15°，∠2=40°，则∠BOC等于（ ）
A．105° B．115° C．125° D．无法确定
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了三角形内角和定理，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键．在△ABC中，
利用三角形内角和定理，可求出∠OBC+∠OCB的度数，再在△OBC中，利用三角形内角和定理，
即可求出∠BOC的度数．
【详解】解：在△ABC中，∠A=60°，∠1=15°，∠2=40°，
∴∠OBC+∠OCB
=180°−∠A−∠1−∠2
=180°−60°−15°−40°
=65°，
在△OBC中，∠OBC+∠OCB=65°，
∴∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)
=180°−65°
=115°，
故选：B．
4．设a、b、c是△ABC的三边，化简：|a+b−c|−|c−a−b|=（ ）
A．2a−b B．2c C．0 D．a−b
【答案】C
【知识点】三角形三边关系的应用、化简绝对值
【分析】根据a、b、c是△ABC的三边得a+b−c>0，c−a−b<0，化简绝对值即可得．
【详解】解：∵a、b、c是△ABC的三边，
∴a+b−c>0，c−a−b<0，
∴|a+b−c|−|c−a−b|=a+b−c+c−a−b
=0
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形三边关系，绝对值，解题的关键是掌握这些知识点．
5．一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于110°，∠B，∠D应分别是25°和15°，则
∠BCD应是下列哪个度数（ ）
A．150° B．140° C．155° D．120°
【答案】A
【知识点】三角形的外角的定义及性质
【分析】本题考查了三角形外角的性质“三角形的一个外角，等于与它不相邻的两个内角的和”．
延长BC，交AD于点E，根据三角形外角的性质可得∠1=∠B+∠A，再根据三角形外角的性质可
得∠BCD=∠1+∠D．
【详解】解：如图，延长BC，交AD于点E，
∵∠1是△ABE的外角，∠A=110°，∠B=25°，
∴∠1=∠B+∠A=25°+110°=135°，
∵∠BCD是△DEC的外角，∠D=15°，
∴∠BCD=∠1+∠D=135°+15°=150°．
故选：A．
6．将长分别为3，4．6，8的木棍用4颗螺丝按如图所示的方式安在一起，且相邻两木根之间的夹
角均可调整，则任意两颗螺丝的距离的最大值是（ ）A．8 B．10 C．11 D．14
【答案】B
【知识点】三角形三边关系的应用、确定第三边的取值范围、构成三角形的条件
【分析】本题考查的是三角形的三边关系定理，即“三角形两边之和大于第三边；三角形两边之差
小于第三边”，据此分情况讨论，能够正确的判断出调整角度后三角形木框的组合方法是解答的关
键．
【详解】已知4条木棍的四边长为3、4、6、8．
选3+4、6、8三条边作为三角形，则三边长为7、6、8，
5−4<6<5+4，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为8；
选3+6、4、8作为三角形，则三边长为9、4、8，
8−4<9<8+4，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为9；
选3+8、4、6作为三角形，则三边长为11、4、6，
4+6<11，不能构成三角形，此种情况不成立；
选4+6、3、8作为三角形，则三边长为10、3、8，
8−3<10<8+3，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为10；
选4+8、3、6作为三角形，则三边长为12、3、6，
3+6<12， 不能构成三角形，此种情况不成立；
选6+8、3、4作为三角形，则三边长为14、3、4，
3+4<14， 不能构成三角形，此种情况不成立；
综上所述，任意两螺丝的距离之最大值为10．
故选B．
7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD、AE分别是边BC上的中线和高，AE＝2，
S =√5，则CE＝（ ）
△ABD3
A．√5－1 B．√3－1 C．1 D．
2
【答案】A
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，求三角形的面积，先根据三角形的面积公式求出BD，
再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得AD=CD，然后根据勾股定理求出DE，进而得出答案．
【详解】∵AE=2，S =√5，
△ABD
1
∴ BD⋅AE=√5，
2
解得BD=√5．
∵AD是Rt△ABC的中线，
∴AD=CD=BD=√5．
在Rt△ADE中，DE=√AD2−AE2=1，
∴CE=CD−DE=√5−1．
故选：A．
8．△ABC中，AC=2，BC=3，AD⊥AB，AD=2AB，连接CD，则CD最大值为（ ）
A．7√2 B．8+√3 C．2√13 D．6+2√5
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、圆的基本概念辨析、用勾股定理解三角形、三角形三边
关系的应用
1
【分析】过A作AF⊥AC且使AF= AC=1，连接BF，根据条件证明△BAF∽△DAC，根据相
2
似的性质得出CD=2BF，由于点B在以C 为圆心，CB为半径的圆上运动，连接FC并延长交⊙C
于点G ，然后根据三角形三边的关系得出当B与G重合时，BF=CF+CG最大，然后根据勾股定理
求出FC，则可得出FG长，即BF的最大值，从而得出CD的最大值．
1
【详解】解：如图，过A作AF⊥AC且使AF= AC=1，连接BF，
2∵AD⊥AB，
∴∠BAD=∠FAC=90°，
∴∠BAD+∠DAF=∠FAC+∠DAF，
∴∠BAF=∠DAC，
AD AC
又∵ = =2，
AB AF
AD AB
∴ = ，
AC AF
又∵∠BAF=∠DAC，
∴△BAF∽△DAC，
CD AC
∴ = =2，
BF AF
∴CD=2BF，
又∵CB=3，
∴点B在以C为圆心，CB为半径的圆上运动，连接CF并延长交⊙C于点G，
则CG=CB=3，
在Rt△AFC中，FC=√AF2+FC2=√12+22=√5，
∴FG=√5+3，
当B与G不重合时，
在△BCF中，BF＜CF+CB=CF+CG，
当B与 G重合时，BF=CF+CG，
综上所述，BF≤CF+CG，
即BF≤√5+3，
∴CD=2BF≤2(√5+3)=2√5+6，∴CD的最大值为2√5+6．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质，勾股定理，三角形三边的关系，解题的关键是根据
条件，作辅助线构造三角形相似以及作辅助圆找出动点B的运动轨迹．
9．如图，在△ABC中，D，E是△ABC内的两点，且
∠EBC=∠EBD=∠DBA，∠ECB=∠ECD=∠DCA，若∠BAC=60°，则∠BDE=（ ）
A．45° B．50° C．55° D．75°
【答案】B
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】本题主要考查三角形内角和与角平分线，设∠ABC=3α,∠ACB=3β，则α+β=40°，
即∠EBC=∠EBD=∠DBA=α，∠ECB=∠ECD=∠DCA=β，判定点E为△BCD三条角平
1
分线的交点，且∠BEC=140°和∠BDC=100°，则∠BDE= ∠BDC．
2
【详解】解：设∠ABC=3α,∠ACB=3β，
∵∠BAC=60°，
∴3α+3β=180°−60°=120°，则α+β=40°，
∵∠EBC=∠EBD=∠DBA，∠ECB=∠ECD=∠DCA，
∴∠EBC=∠EBD=∠DBA=α，∠ECB=∠ECD=∠DCA=β，
∠BEC=180°−α−β=180°−40°=140°
∴点E为△BCD三条角平分线的交点，∠BDC=180°−2α−2β=180°−80°=100°
1
∴∠BDE= ∠BDC=50°．
2
故选：B．
10．已知两个等腰三角形可按如图所示方式拼接在一起，则边AC的长可能为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B
【知识点】确定第三边的取值范围、等腰三角形的定义
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解题的关键是掌握相关知识．根据等
腰三角形的性质和三角形的三边关系求解即可．
【详解】解：∵ △ABC为等腰三角形，
∴ AC为3或4，
∵ ACβ)，请直接写出用α，β表示∠DAE的关系式．
【答案】(1)∠DAE=15°
α−β
(2)∠DAE=
2
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、与三角形的高有关的计算问题
【分析】（1）先根据三角形的内角和求出∠BAC=70°，再根据△ABC的高和角平分线求出
∠BAE,∠BAD，进而求解；
（2）仿照（1）的思路解答即可．【详解】（1）解：∵∠B=70°，∠C=40°，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=70°，
∵AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，
1
∴∠ADB=90°，∠BAE= ∠BAC=35°，
2
∴∠BAD=180°−∠ADB−∠B=20°，
∴∠DAE=∠BAE−∠BAD=15°；
（2）解：∵∠B=α，∠C=β(α>β)，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−α−β，
∵AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，
1 1
∴∠ADB=90°，∠BAE= ∠BAC= (180°−α−β)，
2 2
∴∠BAD=180°−∠ADB−∠B=90°−α，
1 α−β
∴∠DAE=∠BAE−∠BAD= (180°−α−β)−(90°−α)= ．
2 2
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的高和角平分线等知识，熟练掌握三角形的基本
知识是解题的关键．
33．阅读作答：
（1）等腰三角形中两个底角为72°，顶角为36°，这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比约为
0.618；
（2）等腰三角形中两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比0.618．
我们把满足上述条件之一的三角形都叫做“黄金三角形”．
已知：如图，在△ABC中，D是AC上一点，AB=AC，BD=AD=BC，该图中有黄金三角形吗？
若有，有几个，请说明理由．【答案】该图中有黄金三角形3个，理由见解析
【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质
【分析】设∠A=x，根据等边对等角求出∠1=∠A=x，∠C=∠2=2x，∠ABC=∠C=2x，然
后利用三角形内角和定理求出x，得到∠1=∠A=36°，∠ABC=∠C=∠2=72°，进而根据黄金
三角形的定义得出答案．
【详解】该图中有黄金三角形3个，
理由：设∠A=x，
∵BD=AD，
∴∠1=∠A=x，
∴∠2=∠1+∠A=2x，
∵BD=BC，
∴∠C=∠2=2x，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=2x，
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴x+2x+2x=180°，
∴x=36°，
即∠1=∠A=36°，∠ABC=∠C=∠2=72°，
∴△ABD，△BCD，△ABC是黄金三角形．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，求出各角的度数，
正确理解黄金三角形的定义是解题的关键．
34．如图，在凹四边形ABCD中，∠A=55°，∠B=30°，∠D=20°，求∠BCD的度数．下面是学习小组的同学们交流时得到的解决问题的三种方法：
方法一：作射线AC；
方法二：延长BC交AD于点E；
方法三：连接BD．
请选择上述一种方法，求∠BCD的度数．
【答案】∠BCD=105°，方法见解析
【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质
【分析】选择方法一：作射线AC并在线段AC的延长线上任取一点E，根据外角的性质求出
∠BCE=∠B+∠BAE即可解得；
选择方法二：延长BC交AD于点E， 根据外角的性质求出∠BED=∠B+∠A即可解得；
选择方法三：连接BD，根据三角形内角和求出∠A+∠ABD+∠ADB=180°，在△BCD中，
∠BCD=180°−∠CBD−∠CDB，再根据角之间的和差即可求出．
【详解】解：选择方法一：
如答图1，作射线AC并在线段AC的延长线上任取一点E．
∵∠BCE是△ABC的外角，
∴∠BCE=∠B+∠BAE．
同理可得∠DCE=∠D+∠DAE．
∴∠BCD=∠B+∠BAE+∠D+∠DAE．
∴∠BCD=∠B+∠BAD+∠D．
∵∠BAD=55°，∠B=30°，∠D=20°，
∴∠BCD=105°选择方法二：
如答图2，延长BC交AD于点E．
∵∠BED是△ABE的外角，
∴∠BED=∠B+∠A．
同理可得∠BCD=∠BED+∠D．
∴∠BCD=∠B+∠A+∠D．
∵∠A=55°，∠B=30°，∠D=20°，
∴∠BCD=105°
选择方法三：
如答图3，连接BD．
在△ABD中，∠A+∠ABD+∠ADB=180°．
∴∠A+∠ABC+∠CBD+∠ADC+∠CDB=180°
∴∠A+∠ABC+∠ADC=180°−∠CBD−∠CDB．
在△BCD中，∠BCD=180°−∠CBD−∠CDB．
∴∠BCD=∠A+∠ABC+∠ADC．
∵∠A=55°，∠ABC=30°，∠ADC=20°，
∴∠BCD=105°
【点睛】此题考查了三角形的外角性质、三角形内角和，解题的关键是构造辅助线，会用三角形的
外角性质、三角形内角和解题．
35．如图，D是△ABC中BC边上一点，∠C=∠DAC．（1）尺规作图：作∠ADB的平分线，交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，求证：DE∥AC．
【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析
【知识点】作角平分线(尺规作图)、三角形的外角的定义及性质、同位角相等两直线平行
【分析】（1）利用基本作图作∠ADB的平分线DE；
（2）利用角平分线定义得到∠ADE=∠BDE，再根据三角形外角性质得∠ADB=∠C+∠DAC，加上
∠C=∠DAC，从而得到∠BDE=∠C，然后根据平行线的判定方法得到结论．
【详解】（1）如图：
（2）∵DE平分∠ADB，
∴∠ADE=∠BDE．
∵∠ADB=∠C+∠DAC，而∠C=∠DAC，
∴2∠BDE=2∠C，即∠BDE=∠C，
∴DE∥AC．
【点睛】本题考查了作图﹣基本作图，解题的关键是熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；
作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂
线）．也考查了平行线的判定．
【能力提升】
36．如图，在△ABD和△ACE中，∠BAD=∠EAC，连接BC，DE交于点F，且B，A，E三点共
线．
【模型建立】（1）如图①，△ABD和△ACE是等腰三角形，AB=AD,AC=AE，
①求证：△ABC≌△ADE；
②判断∠BAD与∠BFE的数量关系，并说明理由；
【模型应用】
（2）如图②，△ABD和△ACE都是等边三角形，连接AF，求证：FA平分∠BFE；
【模型迁移】
（3）在（2）的条件下，若AB=2AE=2，求AF的长．
2√7
【答案】（1）①见解析；②∠BAD+∠BFE=180°，理由见解析；（2）见解析；（3）
7
【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、用
勾股定理解三角形
【分析】（1）①由已知条件得∠BAC=∠DAE，利用SAS即可证明△ABC≌△ADE；②结合①
得∠ABC=∠ADE，然后利用三角形内角和定理即可解答；
（2）如图②：过点A作AM⊥BC于点M，作AN⊥ED于点N，根据等边三角形的性质证明
△ABC≌△ADE可得∠ABM=∠ADN，然后证明△ABM≌△ADN(AAS)，得AM=AN，再利
用角平分线的性质即可即可；
（3）如图③：过点D作DG⊥AB于点C，过点C作CH⊥AE于点H，过点A作AM⊥BC于点
M，结合(2)证明∠BFA=∠BFE=60°，利用勾股定理求出BC，然后根据△BAC的面积=△DAE的
面积，求出AM，进而利用特殊角三角函数值即可解答．
【详解】解：（1）①证明：∵∠BAD=∠EAC，
∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC，
∴∠BAC=∠DAE，
∵AB = AD，AC = AE，
∴△ABC≌△ADE(SAS)；
②∠BAD+∠BFE=180°，理由如下：
由①知：△ABC≌△ADE，
∴∠ABC=∠ADE，
∵∠BAD=∠ADE+∠AED，
∴∠BAD=∠ABF+∠AEF,
∵∠FBE+∠FEB+∠BFE=180°，
∴∠BAD+∠BFE=180°；
（2）证明：如图②：过点A作AM⊥BC于点M，作AN⊥ED于点N，∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AD=AB，CA=EA，∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，
∴∠BAC=∠DAE，
∵AB=AD，AC=AE，
∵△ABC≌△ADE(SAS)，
∴∠ABC=∠ADE，即∠ABM=∠ADN，
∵AM⊥BC，AN⊥ED，
∴∠AMB=∠∧=90°，
∴△ABM≌△ADN(AAS)，
∴AM=AN，
∴FA平分∠BFE；
(3)如图②，过点D作DG⊥AB于点C，过点C作CH⊥AE于点H，过点A作AM⊥BC于点M，
∵B，A，E三点共线，
∴∠BAC=180°−∠CAE=180°−60°=120°，
∴∠BCA+∠ABC=180°−120°=60°，
由（2）得：△BAC≌△DAE，
∴∠BCA=∠DEA，
∴∠DEA+∠ABC=60°，
∴∠BFE=180°−60°=120°，
由（2）得FA平分∠BFE,
∴∠BFA=∠BFE=60°，
∵BD=AD=AB=2AE=2，DG⊥AB,
∴BG=AG=1,1 1
∴AH=EH= AE= ，
2 2
√3
同理：CH=√3AH= ，
2
1 5
∵BH=AB+AH=2+ = ，
2 2
∴BC=√BH2+CH2=√7，
由(2)得：△BAC≌△DAE，
∴S =S ，
△BAC △DAE
1 1
∴ BC⋅AM= AE⋅DG，
2 2
∴√7AM=1×√3，
√21
∴4M= ，
7
∵AM⊥BC，∠BFA=60°，
AM √21 2 2√7
∴AF= = × = ．
sin60° 7 √3 7
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、等边三角形的性质、三角形内角和定理、勾股定理、
三角形的面积、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、特殊角三角函数值等知识点，熟练掌
握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
37．如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段称为这个三角形的“分割
线”；如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段称为这个三角形的“黄金
分割线”．
(1)填空：等边三角形_________（填“存在"或“不存在”）“分割线”；顶角为钝角的等腰三角形
________（填“存在”或“不存在”）“黄金分割线”．
(2)在△ABC中，∠A=30°，∠B为钝角，若这个三角形存在“分割线”，直接写出∠B的所有可
能______．
【答案】(1)不存在，存在；
(2)112.5°
【知识点】等边三角形的性质、等边对等角、三角形的外角的定义及性质、代入消元法
【分析】（1）画出图形，证明在△ABD中，三个内角满足：∠BAD＜∠B=60°＜∠ADB，即
△ABD不可能是等腰三角形，以及在△ADC中，三个内角满足：∠DAC＜∠C=60°＜∠ADC，
即△ADC不可能是等腰三角形，从而得到等边三角形不存在“分割线”；画出图形，设
∠B=∠C=x，∠BAE=∠BEA= y，列出二元一次方程组，解方程求出相应的角度，即可证明顶角为钝角的等腰三角形存在“黄金分割线”；
（2）根据∠ABC为钝角，可知三角形的“分割线”必经过B点，分情况讨论：第一种情况：在
△ABC被BE分割之后，当∠A为新等腰三角形的顶角时；第二种情况：在△ABC被BE分割之后，
当∠A为新等腰三角形的底角时；分别画出图形，求出相应的角的度数即可求解．
【详解】（1）解：等边三角形不存在“分割线”，理由如下：
如图，等边△ABC被直线AD所截，且点D在线段BC（不含端点B、C）上
在等边△ABC中，有∠B=∠C=∠BAC=60°，
由图可知：∠BAD=∠BAC−∠DAC=60°−∠DAC＜60°，
同理有：∠DAC＜60°，
由图可知：∠ADC=∠B+∠BAD=60°+∠BAD＞60°，
同理有：∠ADB＞60°，
即在△ABD中，三个内角满足：∠BAD＜∠B=60°＜∠ADB，
即△ABD不可能是等腰三角形；
即在△ADC中，三个内角满足：∠DAC＜∠C=60°＜∠ADC，
即△ADC不可能是等腰三角形；
即等边三角形不存在“分割线”；
顶角为钝角的等腰三角形存在“黄金分割线”，理由如下：
如图，等腰△ABC的“黄金分割线”为AE，EF，∠BAC为钝角，
设∠B=∠C=x，∠BAE=∠BEA= y，相应的角标注如图，
根据平角为180°和三角形内角和为180°可得：¿，
解得：¿，
即∠B=∠C=36°，则：∠BAC=108°，
∴根据方程有解，可得顶角为钝角的等腰三角形存在“黄金分割线”；
（2）根据∠ABC为钝角，可知三角形的“分割线”必经过B点，
分情况讨论：第一种情况：在△ABC被BE分割之后，当∠A为新等腰三角形的顶角时，
如图，相应角度标注如下，
根据图形，有：¿，
解得：¿，
则：∠ABC=x+ y=112.5°；
第二种情况：在△ABC被BE分割之后，当∠A为新等腰三角形的底角时，
如图，相应角度标注如下，
根据图形，有：∠CEB=60°，
又∵根据“分割线”的定义可知：△CEB是等腰三角形，
∴△CEB是等边三角形，
即：∠CBE=60°，
则：∠ABC=∠ABE+∠EBC=90°，
此时∠ABC不为钝角，此情况舍去；
综上：∠ABC的可能值为：112.5°．
【点睛】本题主要是考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，二元一次方程组的应用等知识，
充分理解题目所给出的新定义是解答本题的关键．
38．在△ABC中，AD是角平分线．∠B<∠C．
(1)如图（1），AE是高，∠B=35°，∠C=65°，求∠DAE的度数；
(2)如图（2），点E在AD上，EF⊥BC于F，试探究∠≝¿与∠B、∠C的大小关系，并证明你的
结论（提示：过点A作AG⊥BC于G）；(3)如图（3），点E在AD的延长线上．EF⊥BC于F，试探究∠≝¿与∠B、∠C的大小关系是
______．（直接写出结论，不需证明）
【答案】(1)15°
1
(2)∠≝= (∠C−∠B)，过程见解析
2
1
(3)∠≝= (∠C−∠B)
2
【知识点】三角形内角和定理的应用、根据平行线判定与性质证明、垂直于同一直线的两直线平行、
角平分线的有关计算
1
【分析】（1）依据角平分线的定义以及垂线的定义，即可得到∠CAD= ∠BAC，
2
1
∠CAE=90°−∠C，进而得出∠DAE= (∠C−∠B)，由此即可解决问题；
2
（2）过A作AG⊥BC于G，依据平行线的性质可得∠DAG=∠≝¿，依据（1）中结论即可得到
1
∠≝= (∠C−∠B)；
2
（3）过A作AG⊥BC于G，依据平行线的性质可得∠DAG=∠≝¿，依据（1）中结论即可得到
1
∠≝= (∠C−∠B)不变．
2
【详解】（1）解：如图1所示：
∵AD平分∠BAC，
1
∴∠CAD= ∠BAC，
2
∵AE⊥BC，
∴∠CAE=90°−∠C，
∴∠DAE=∠CAD−∠CAE
1
= ∠BAC−(90°−∠C)
2
1
= (180°−∠B−∠C)−(90°−∠C)
21 1
= ∠C− ∠B
2 2
1
= (∠C−∠B)，
2
∵∠B=35°，∠C=65°，
1
∴∠DAE= (65°−35°)=15°；
2
1
（2）解：结论∠≝= (∠C−∠B)．
2
理由如下：过A作AG⊥BC于G，如图2所示：
∵EF⊥BC，
∴AG∥EF，
∴∠DAG=∠≝¿，
1
由（1）可得∠DAG= (∠C−∠B)，
2
1
∴∠≝= (∠C−∠B)；
2
（3）解：结论仍成立．
过A作AG⊥BC于G，如图3所示：
∵EF⊥BC，
∴AG∥EF，
∴∠DAG=∠≝¿，
1
由（1）可得∠DAG= (∠C−∠B)，
21
∴∠≝= (∠C−∠B)，
2
1
故答案为：∠≝= (∠C−∠B)．
2
【点睛】本题主要考查角平分线的性质、三角形内角和定理、直角三角形的性质等知识，综合性强，
掌握三角形内角和定理，加大数学知识的应用意识是解题关键．
39．设△ABC的面积为a．
(1)如图1，延长△ABC的各边得到△A B C ，且A B=AB，B C=BC，C A=CA，记
1 1 1 1 1 1
△A B C 的面积为S ，则S = ______．（用含a的式子表示）
1 1 1 1 1
(2)如图2，延长△ABC的各边得到△A B C ，且A B=2AB，B C=2BC，C A=2CA，记
1 1 1 1 1 1
△A B C 的面积为S ，则S = ________．（用含a的式子表示）
1 1 1 2 2
(3)如图3，P为△ABC内一点，连接AP、BP、CP并延长分别交边BC、AC、AB于点D、E、F，
则把△ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，则计算得到△ABC的面积
a=________．
【答案】(1)7a
(2)19a
(3)315
【知识点】根据三角形中线求面积、与三角形的高有关的计算问题
【分析】此题是三角形的综合题，主要考查了面积及等积变换，利用三角形同高则面积比与底边关
系分别分析得出是解题关键．
（1）利用三角形同高等底面积相等，进而求出即可；
（2）利用三角形同高不等底面积比为底边长的比，进而求出即可；
（3）利用三角形面积之间关系得出其边长比，得出关于x，y的方程求出即可．
【详解】（1）如图1, 连接A C，
1
∵B C=BC,A B=AB,
1 1
∴S =S ，S =S ，
△ABC △A BC △A BC △A B C
1 1 1 1∴S =2S =2a，
△A B B △ABC
1 1
同理可得出：S =S =2a，
△A AC △CC B
1 1 1 1
∴S =2a+2a+2a+a=7a，
1
故答案为: 7a；
（2）如图2，连接A C，
1
∵A B=2AB,B C=2BC,C A=2CA，
1 1 1
根据等高两三角形的面积比等于底之比，
∴S =S =S =2S =2a，
△A BC △B CA △C AB △ABC
1 1 1
∴S =2S =4a，
△A B C △A BC
1 1 1
∴S =6S =6a，
△A B B △ABC
1 1
同理可得出：S =S =6a，
△A AC △CB C
1 1 1 1
∴S₂=19a；
故答案为: 19a；
（3）如图3，过点C作CG⊥BE于点G，
1 1
∵S = BP⋅CG=70，S = PE⋅CG=35，
△BPC 2 △PCE 2
S BP•CG 70
∴ △BPC = = =2，
S PE⋅CG 35
△PCE
BP
∴ =2，即BP=2EP，
EP
S BP
同理 △APB= =2，
S PE
△APE
设 S =2S =2y，S = y，S =x，
△APB △APE △APE △BPF∵x+84=2y，即S +S =2S ；
△FPB △APF △APE
S AP x+84 S AP y+35
∵ △APB = = ， △APC = = ，
S PD 40 S PD 30
△BPD △PCD
x+84 y+35
∴ = ，
40 30
又∵x+84=2y
∴¿，
∵S =56，S =70，
△BPF △APE
∴S =a=40+30+35+84+56+70=315
△ABC
故答案为: 315．
40．已知AB=AC,D、A、E三点均在直线MN上，且∠BDA=∠BAC=∠AEC．
(1)如图①，若∠BAC=90°,BD=3,CE=2，则线段DE的长为_________；
(2)如图②，判断BD、CE、DE之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图③，若将题中的“∠BDA=∠BAC=∠AEC”变为“∠BDM=∠BAC=∠MEC”，其
他条件不变，且BD=5,CE=8，请直接写出DE的长．
【答案】(1)5
(2)）DE=BD+CE，理由见解析
(3)3
【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质．
（1）利用平角的定义和三角形内角和定理得∠BAD=∠C，再利用AAS证明△ABD≌△CAE，得
BD=AE，CE=AD，据此即可求解；
（2）利用平角的定义和三角形内角和定理得∠CAE=∠ABD，再利用AAS证明△ABD≌△CAE，
得BD=AE，CE=AD，可得答案；
（3）利用邻补角的定义得∠BDA=∠AEC，再利用三角形的外角性质可得到∠C=∠BAD，再利
用AAS证明△ABD≌△CAE，得BD=AE，CE=AD，可得答案．
【详解】（1）解：∵∠BDA=∠AEC=∠BAC=90°，
∴∠BAD=90°−∠CAE=∠C，又∵BA=AC，
∴△ABD≌△CAE(AAS)，
∴BD=AE=3，CE=AD=2，
∴DE=AD+AE=2+3=5；
（2）解：DE=BD+CE，理由如下：
∵∠BDA=∠AEC=∠BAC，∠BAD+∠CAE+∠BAC=180°=∠BAD+∠BDA+∠ABD，
∴∠BAD+∠CAE=∠BAD+∠ABD，
∴∠CAE=∠ABD，
又∵∠BDA=∠AEC，BA=AC，
∴△ABD≌△CAE(AAS)，
∴BD=AE，CE=AD，
∴DE=BD+CE；
（3）解：∵∠BDM=∠BAC=∠MEC，
∴∠BDA=∠AEC，∠C=∠MEC−∠EAC=∠BAC−∠EAC=∠BAD，
又∵BA=AC，
∴△ABD≌△CAE(AAS)，
∴BD=AE=5,CE=AD=8，
∴DE=CE−BD=8−5=3．
