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专题16 二次函数
一、 二次函数的图象特征及性质
【高频考点精讲】
关系式 一般式y＝ax2+bx+c（a≠0）
顶点式 （a≠0）
开口方向 当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。
顶点坐标 （h，k）
（ ， ）
对称轴 直线x＝h
直线x＝
x＜ 时，y随x增大而减小； x＜h时，y随x增大而减小；
a＞0
x＞h时，y随x增大而增大。
x＞ 时，y随x增大而增大。
增减性
x＜ 时，y随x增大而增大； x＜h时，y随x增大而增大；
a＜0
x＞h时，y随x增大而减小。
x＞ 时，y随x增大而增大。
a＞0
当x＝h时， 。
当x＝ 时， 。
最值
a＜0
当x＝h时， 。
当x＝ 时， 。
【热点题型精练】
1．（2022•株洲中考）已知二次函数y＝ax2+bx﹣c（a≠0），其中b＞0、c＞0，则该函数的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022•哈尔滨中考）抛物线y＝2（x+9）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（9，﹣3） B．（﹣9，﹣3） C．（9，3） D．（﹣9，3）
3．（2022•广州中考）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝﹣2，下列结论正确的是（ ）A．a＜0
B．c＞0
C．当x＜﹣2时，y随x的增大而减小
D．当x＞﹣2时，y随x的增大而减小
4．（2022•陕西中考）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x ，x ，x 对应的函数值分别为y ，y ，y ．当﹣1＜x
1 2 3 1 2 3 1
＜0，1＜x ＜2，x ＞3时，y ，y ，y 三者之间的大小关系是（ ）
2 3 1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 2 3 1 3 1 2 2 1 3
5．（2022•郴州中考）关于二次函数y＝（x﹣1）2+5，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下
B．函数图象的顶点坐标是（﹣1，5）
C．该函数有最大值，最大值是5
D．当x＞1时，y随x的增大而增大
6．（2022•衢州中考）已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a的值为
（ ）
1 4 1 4 1
A． 或4 B． 或− C．− 或4 D．− 或4
2 3 2 3 2
7．（2022•岳阳中考）已知二次函数y＝mx2﹣4m2x﹣3（m为常数，m≠0），点P（x ，y ）是该函数图象上一点，
p p
当0≤x ≤4时，y ≤﹣3，则m的取值范围是（ ）
p p
A．m≥1或m＜0 B．m≥1 C．m≤﹣1或m＞0 D．m≤﹣1
8．（2022•盐城中考）若点P（m，n）在二次函数y＝x2+2x+2的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值
范围是 ．
1
9．（2022•长春中考）已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3，当a≤x≤ 时，函数值y的最小值为1，则a的值为 ．
2
10．（2022•北京中考）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，设
抛物线的对称轴为直线x＝t．（1）当c＝2，m＝n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；
（2）点（x ，m）（x ≠1）在抛物线上．若m＜n＜c，求t的取值范围及x 的取值范围．
0 0 0
二、 二次函数图象与系数的关系
【高频考点精讲】
1．a决定抛物线的开口方向及大小
（1）a＞0，抛物线开口向上；a＜0，抛物线开口向下。
（2）|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。
2．a、b共同决定抛物线对称轴的位置
（1）当b＝0时，对称轴x＝ ＝0，对称轴为y轴。
（2）当a、b同号时，对称轴x＝ ＜0，对称轴在y轴左侧。
（3）当a、b异号时，对称轴x＝ ＞0，对称轴在y轴右侧。3．c决定抛物线与y轴的交点位置
（1）当c＝0时，抛物线过原点。
（2）当c＞0时，抛物线与y轴交于正半轴。
（3）当c＜0时，抛物线与y轴交于负半轴。
4． 决定抛物线与x轴的交点位置
（1）当 ＝0时，抛物线与x轴有唯一交点。
（2）当 ＞0时，抛物线与x轴有两个交点。
（3）当 ＜0时，抛物线与x轴没有交点。
5．特殊值
（1）当x=1时，y=a+b+c；当x=﹣1时，y=a-b+c；当x=2时，y=4a+2b+c；当x=﹣2时，y=4a-2b+c。
（2）当对称轴为直线x=1时，2a+b=0；当对称轴为直线x=﹣1时，2a﹣b=0。
【热点题型精练】
11．（2022•黔东南州中考）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b与反比例函数
c
y=− 在同一坐标系内的大致图象为（ ）
xA． B． C． D．
12．（2022•青岛中考）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴为直线 x＝﹣1，且经过点（﹣3，
0），则下列结论正确的是（ ）
A．b＞0 B．c＜0 C．a+b+c＞0 D．3a+c＝0
1
13．（2022•烟台中考）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x=− ，且与x轴的
2
一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④关于x的一元二次方程
ax2+bx+c﹣1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．②④ C．③④ D．②③
14．（2022•巴中中考）函数y＝|ax2+bx+c|（a＞0，b2﹣4ac＞0）的图象是由函数y＝ax2+bx+c（a＞0，b2﹣4ac＞
0）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（ ）
①2a+b＝0；
②c＝3；
③abc＞0；
④将图象向上平移1个单位后与直线y＝5有3个交点．A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④
15．（2022•济南中考）抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴
右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点M（m﹣1，y ），N（m+1，y ）为图形G上两
1 2
点，若y ＜y ，则m的取值范围是（ ）
1 2
1 1
A．m＜﹣1或m＞0 B．− ＜m＜ C．0≤m＜√2 D．﹣1＜m＜1
2 2
16．（2022•遂宁中考）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象如图所示，设m＝a﹣b+c，则m的取值
范围是 ．
17．（2022•锦州中考）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣1，0）和点（2，0），以下结论：
1
①abc＜0；②4a﹣2b+c＜0；③a+b＝0；④当x＜ 时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有 ．
2
（填写代表正确结论的序号）
18．（2022•呼和浩特中考）在平面直角坐标系中，点C和点D的坐标分别为（﹣1，﹣1）和（4，﹣1），抛物线
y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）与线段CD只有一个公共点，则m的取值范围是 ．
三、二次函数图象上点的坐标特征【高频考点精讲】
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（ ， ）。
1．抛物线关于直线x＝ 对称，所以抛物线上的点关于直线x＝ 对称。
2．抛物线与y轴交点的纵坐标是解析式中的c。
3．抛物线与 x 轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（ ，0），（ ，0），则对称轴为
。
【热点题型精练】
19．（2022•宁波中考）点A（m﹣1，y ），B（m，y ）都在二次函数y＝（x﹣1）2+n的图象上．若y ＜y ，则m
1 2 1 2
的取值范围为（ ）
3 3
A．m＞2 B．m＞ C．m＜1 D． ＜m＜2
2 2
20．（2022•温州中考）已知点A（a，2），B（b，2），C（c，7）都在抛物线y＝（x﹣1）2﹣2上，点A在点B
左侧，下列选项正确的是（ ）
A．若c＜0，则a＜c＜b B．若c＜0，则a＜b＜c
C．若c＞0，则a＜c＜b D．若c＞0，则a＜b＜c
21．（2022•西安模拟）已知抛物线y＝x2+mx﹣1经过（﹣1，n）和（2，n）两点，则m+n的值为（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
22．（2022•淄博中考）若二次函数y＝ax2+2的图象经过P（1，3），Q（m，n）两点，则代数式n2﹣4m2﹣4n+9
的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
23．（2022•厦门模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点P（2，y ），且对于抛物线上任意一点（x ，y ）都有
0 1 1
y ≥y ，若点A（﹣2，m+2）与点B（t，n）均在该抛物线上，且m﹣n＜﹣2，则t的值可以是（ ）
1 0
A．7 B．4 C．1 D．﹣1
24．（2022•徐州中考）若二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为
．
四、二次函数图象与几何变换
【高频考点精讲】1．抛物线平移后形状不变，所以系数a不变，平移后抛物线的解析式有两种求法
（1）求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式。
（2）求出平移后的顶点坐标，求出解析式。
2．平移规律：左加右减，上加下减。
【热点题型精练】
25．（2022•通辽中考）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象向左平移1个单位长度，再向下
平移2个单位长度，所得函数的解析式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2﹣1 B．y＝（x﹣2）2+3 C．y＝x2+1 D．y＝x2﹣1
26．（2022•玉林中考）小嘉说：将二次函数y＝x2的图象平移或翻折后经过点（2，0）有4种方法：
①向右平移2个单位长度
②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
③向下平移4个单位长度
④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度
你认为小嘉说的方法中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
1
27．（2022•泸州中考）抛物线y=− x2+x+1经平移后，不可能得到的抛物线是（ ）
2
1 1
A．y=− x2+x B．y=− x2﹣4
2 2
1
C．y=− x2+2021x﹣2022 D．y＝﹣x2+x+1
2
28．（2022•黔东南州中考）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+2x﹣1先绕原点旋转180°，再向下平移5个单
位，所得到的抛物线的顶点坐标是 ．
29．（2022•荆州中考）规定：两个函数y ，y 的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函
1 2
数y ＝2x+2与y ＝﹣2x+2的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣
1 2
3（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为 ．
30．（2022•湘西州中考）已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x
轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交
点时，b的取值范围是 ．31．（2022•河北中考）如图，点P（a，3）在抛物线C：y＝4﹣（6﹣x）2上，且在C的对称轴右侧．
（1）写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值；
（2）坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为P′，C′．平移该胶片，使
C′所在抛物线对应的函数恰为y＝﹣x2+6x﹣9．求点P′移动的最短路程．
五、二次函数的最值
【高频考点精讲】
1、当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最
低点，所以函数有最小值，当x＝ 时，y＝
。
2、当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最
高点，所以函数有最大值，当x＝ 时，y＝
。
3、确定二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；
当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值的大小，从而获得最值。
【热点题型精练】
32．（2022•贺州中考）已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
33．（2022•包头中考）已知实数a，b满足b﹣a＝1，则代数式a2+2b﹣6a+7的最小值等于（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
34．（2022•嘉兴中考）已知点A（a，b），B（4，c）在直线y＝kx+3（k为常数，k≠0）上，若ab的最大值为
9，则c的值为（ ）
3 5
A．1 B． C．2 D．
2 2
35．（2022•六盘水中考）如图是二次函数y＝x2+bx+c的图象，该函数的最小值是 ．
36．（2022•凉山州中考）已知实数a、b满足a﹣b2＝4，则代数式a2﹣3b2+a﹣14的最小值是 ．
37．（2022•绍兴中考）已知函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．
（1）求b，c的值．
（2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．
（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．
六、二次函数的应用
【高频考点精讲】
1、利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润、最大销量等问题，解决此类题目的关键是通过题意，确定二次函数
的解析式，然后确定其最大值。实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此，在求二次函数的最值时，
一定要注意自变量x的取值范围。
2、几何图形中的最值问题
①几何图形中面积的最值；②用料最佳方案；③动态几何中的最值讨论。
3、构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地将这些实际问题中的数据落实到平面直
角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式解决问题。
【热点题型精练】
38．（2022•自贡中考）九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆
形这三种方案，最佳方案是（ ）
A．方案1 B．方案2
C．方案3 D．方案1或方案2
39．（2022•襄阳中考）在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国选手谷爱凌的精彩表现让人叹为观止，已知
谷爱凌从2m高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为 xm，与跳台底部所在水
1 1
平面的竖直高度为ym，y与x的函数关系式为y=− x2+ x+2（0≤x≤20.5），当她与跳台边缘的水平距离为
32 2
m时，竖直高度达到最大值．
40．（2022•聊城中考）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y
（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售
这款冷饮产品的最大利润为 元（利润＝总销售额﹣总成本）．
41．（2022•新疆中考）如图，用一段长为16m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的
最大面积为 m2．
42．（2022•南充中考）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，
抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距O点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O点3m．那么喷头高 m时，水柱落点距O点4m．
43．（2022•淮安中考）端午节前夕，某超市从厂家分两次购进A、B两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽
子的进价不变．第一次购进A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进A品牌粽子
180袋和B品牌粽子120袋，总费用为8100元．
（1）求A、B两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；
（2）当B品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对B品牌粽子进行降价销
售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当B品牌粽子每袋的销售价降低
多少元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？
