文档文本内容
专题 16 二次函数的应用【十大题型】
【题型1 方案选择问题】..........................................................................................................................................1
【题型2 拱桥问题】..................................................................................................................................................3
【题型3 隧道问题】..................................................................................................................................................5
【题型4 喷泉问题】..................................................................................................................................................7
【题型5 球类飞行轨迹问题】..................................................................................................................................8
【题型6 空中跳跃轨迹问题】................................................................................................................................10
【题型7 最大利润问题】........................................................................................................................................12
【题型8 图形运动问题】........................................................................................................................................14
【题型9 图形面积问题】........................................................................................................................................16
【题型10 现实生活问题】........................................................................................................................................17
【知识点 二次函数的应用】
在研究有关函数的实际问题时，要遵循一审.二设.三列.四解的方法：
第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系；
第2步：设自变间的关系设满量。根据各个量之足题意的自变量；
第3步：列函数。根据各个量之间的关系列出函数；
第4步：求解。求出满足题意的数值。
【题型1 方案选择问题】
【例1】（2023·山东潍坊·统考二模）2023年国际风筝会期间，某经销商准备采购一批风筝，已知用20000
元采购A型风筝的只数是用8000元采购B型风筝的只数的2倍，一只A型风筝的进价比一只B型风筝的进
价多20元．
(1)求一只A，B型风筝的进价分别为多少元？
(2)经市场调查发现：A型风筝售价的一半与A型风筝销量的和总是等于130，B型风筝的售价为120元/只．
该经销商计划购进A，B型风筝共300只，其中A型风筝m(50≤m≤150)只，若两种风筝能全部售出，求
销售这批风筝的最大利润，并写出此时的采购方案．
【变式1-1】（2023·河北邯郸·校考三模）九年级某班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长
的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰直角三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，如图所示，最佳方案是（ ）
A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．面积都一样
【变式1-2】（2023·安徽合肥·统考三模）为响应政府巩固脱贫成果的号召，某商场与生产水果的脱贫乡镇
签订支助协议，每月向该乡镇购进甲、乙两种水果进行销售，根据经验可知：销售甲种水果每吨可获利
0.4万元，销售乙种水果获利如下表所示：
销售x（吨） 3 4 5 6 7
获利y（万
0.9 1.1 1.3 1.5 1.7
元）
(1)分别求销售甲、乙两种水果获利y （万元）、y （万元）与购进水果数量x（吨）的函数关系式；
1 2
(2)若只允许商场购进并销售一种水果，选择哪种水果获利更高？
(3)支助协议中约定，商场每个月向乡镇购进甲、乙两种水果的数量分别为m、n吨，且m，n满足
1
n=20- m2，请帮忙商场设计可获得的最大利润的进货方案．
2
【变式1-3】（2023·四川达州·模拟预测）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩
形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立
平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
P P
(2)在隧道截面内（含边界）修建“ ”型或“ ”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点 1， 4
在x轴上，MN与矩形P P P P 的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段P P ，P P ，P P ，MN
1 2 3 4 1 2 2 3 3 4
长度之和．请解决以下问题：
（ⅰ）修建一个“ ”型栅栏，如图2，点P ，P 在抛物线AED上．设点P 的横坐标为 m(0<m≤6) ，
2 3 1求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；
（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“ ”型或“ ”型栅型两种设计方案，
请你从中选择一种，求出该方案下矩形P P P P 面积的最大值，及取最大值时点P 的横坐标的取值范围
1 2 3 4 1
（P 在P 右侧）．
1 4
【题型2 拱桥问题】
【例2】（2023·四川·统考中考真题）三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．
当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米
时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（ ）
A．4√3米 B．5√2米 C．2√13米 D．7米
【变式2-1】（2023·浙江·统考中考真题）如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD
均为24m，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x
轴建立平面直角坐标系．
（1）求桥拱项部O离水面的距离．
（2）如图2，桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同
的抛物线，其最低点到桥面距离为1m．
①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式．
②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．
【变式2-2】（2012·湖北武汉·中考真题）如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一
部分ACB和矩形的三边AE、ED、DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16m，AE=8m，抛物线的顶点C到ED的距离是11m，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知从某时刻开始的40h内，水面与河底ED的距离h（单位：m）随时间t （单位：h）的变化满足函
1
数关系h=- (t-19) 2+8(0≤t≤40)且当水面到顶点C的距离不大于5m时，需禁止船只通行，请通过计
128
算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？
【变式2-3】（2023·北京西城·校考模拟预测）如图，有一座抛物线形状的拱桥，对拱桥在水面以上的部分
进行测量，得到桥洞的跨度为12米，并且以桥洞拱顶为坐标原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y
轴正方向，建立平面直角坐标系，把测量得到的数据记入下表：
x（米） －6 －4 －2 0 2 4 6
y（米） －3.02 －1.33 －0.31 0 －0.32 －1.33 －2.99
(1)请在下面的坐标系中根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；
(2)请结合图象，写出拱桥的桥洞在拱顶下方1米的位置宽度是______米（结果精确到0.1）；(3)现有一艘宽4米，高2米的游船要穿过拱桥的桥洞．为保证安全，要求船顶到竖直方向上拱桥桥洞对应
点的距离不小于0.5米，那么这艘船______（填“能”或者“不能”）安全通过．
【题型3 隧道问题】
【例3】（2023·山东·统考中考真题）如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，
1
宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=- x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水
6
17
平距离为3m，到地面OA的距离为 m．
2
（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否
安全通过？
（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那
么两排灯的水平距离最小是多少米？
【变式3-1】（2023·陕西·统考中考真题）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表
示水平的路面，以O为坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直
角坐标系．根据设计要求：OE=10m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9m．(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点
A、B到OE的距离均为6m，求点A、B的坐标．
【变式3-2】（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考一模）如图是某隧道截面示意图，它是由抛物线和
长方形构成，已知OA=12米，OB=4米，抛物线顶点D到地面OA的垂直距离为10米，以OA所在直线为
x轴，以OB所在直线为y轴建立直角坐标系，
(1)求抛物线的解析式；
(2)一辆特殊货运汽车载着一个长方体集装箱，集装箱宽为4米，最高处与地面距离为6米，隧道内设双向
行车道，双向行车道间隔距离为2米，交通部门规定，车载货物顶部距离隧道壁的竖直距离不少于0.5米，
才能安全B通行，问这辆特殊货车能否安全通过隧道？
【变式3-3】（2023·北京朝阳·清华附中校考模拟预测）如图1是某条公路的一个具有两条车道的隧道的横
断面．经测量，两侧墙AD和BC与路面AB垂直，隧道内侧宽AB=8米，为了确保隧道的安全通行，工程
人员在路面AB上取点E，测量点E到墙面AD的距离AE，点E到隧道顶面的距离EF．设AE=x米，
EF= y米．通过取点、测量，工程人员得到了x与y的几组值，如下表：
x（米） 0 2 4 6 8y（米） 4.0 5.5 6.0 5.5 4.0
(1)根据上述数据，直接写出隧道顶
面到路面AB的最大距离为___________米，并求出满足的函数关系式 ；
y=a(x-h) 2+k(a<0)
(2)请你帮助工程人员建立平面直角坐标系．描出上表中各对对应值为坐标的点，画出可以表示隧道顶面的
函数的图像．
(3)若如图2的汽车在隧道内正常通过时，汽车的任何部位需到左侧墙及右侧墙的距离不小于1米且到隧道
顶面的距离不小于0.35米．按照这个要求，隧道需标注的限高应为多少米（精确到0.1米）？
【题型4 喷泉问题】
【例4】（2023·吉林长春·统考中考真题）2023年5月8日，C919商业首航完成——中国民商业运营国产
大飞机正式起步．12时31分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际
民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两
条水柱近似看作形状相同的地物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为80米时，
两条水柱在物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面20米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防
车同时后退10米，两条水柱的形状及喷水口A'、B'到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点H'距
地面 米．
【变式4-1】（2023·安徽亳州·校联考模拟预测）如图，某小区的景观池中安装一雕塑OA，OA=2米，喷
出两股水流，两股水流可以抽象为平面直角坐标系中的两条抛物线（图中的C ，C ）的部分图象，两条抛
1 2
物线的形状相同且顶点的纵坐标相同，且经测算发现抛物线C 的最高点（顶点）C距离水池面2.5米，且
2与OA的水平距离为2米．
(1)求抛物线C 的解析式；
2
(2)求抛物线C 与x轴的交点B的坐标；
1
(3)小明同学打算操控微型无人机在C ，C 之间飞行，为了无人机的安全，要求无人机在竖直方向上的活
1 2
动范围不小于0.5米，设无人机与OA的水平距离为m，求m的取值范围．
【变式4-2】（2023·广东深圳·深圳市龙岗区深圳中学龙岗初级中学校考模拟预测）如图1，一个圆形喷水
池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物
线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是
7
y=-x2+2x+ (x≥0)．
4
(1)柱子OA的高度是多少米？若不计其他因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在
池外？
(2)如图2，为了吸引更多的游客前来参观游玩，准备在水池的边缘增设彩光灯，彩光灯的底座为Rt△BCD
形状，其中BC边在地面上，点C离柱子的距离为2.1米，∠CBD=90°，灯孔P在CD边上，灯孔P离地面
1
的距离为 米，若水流恰好落在灯孔P处，求tan∠DCB的值．
2
【变式4-3】（2023·北京·北京四中校考模拟预测）某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的
周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物
处汇合．如图所示，喷水池中心为原点建立直角坐标系．(1)求水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式；
(2)主师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在
离水池中心多少米以内？
(3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池直径扩
大到24米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷
水池水柱的最大高度．
【题型5 球类飞行轨迹问题】
【例5】（2023·河南·统考中考真题）小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛
球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．
如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离OA=3m，CA=2m，击球点P
在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)近似满足一次函数关系y=-0.4x+2.8；
若选择吊球，羽毛球的飞行高度 与水平距离 近似满足二次函数关系 ．
y(m) x(m) y=a(x-1) 2+3.2
(1)求点P的坐标和a的值．
(2)小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断
应选择哪种击球方式．
【变式5-1】（2023·浙江温州·统考中考真题）一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射
向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高OB
为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．
(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少
米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？
【变式5-2】（2023·甘肃兰州·统考中考真题）掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．
如图1是一名女生投掷实心球，实心求行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间
5
的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为 m，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．
3
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)根据兰州市高中阶段学校招生体有考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平
距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
【变式5-3】（2023·浙江绍兴·统考中考真题）如图1，排球场长为18m，宽为9m，网高为2.24m．队员站
在底线O点处发球，球从点O的正上方1.9m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高
点A时，高度为2.88m．即BA＝2.88m．这时水平距离OB＝7m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建
立平面直角坐标系，如图2．
（1）若球向正前方运动（即x轴垂直于底线），求球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关
系式（不必写出x取值范围）．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由；
（2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P（如图1，点P距底线1m，边线0.5m），问发球点O
在底线上的哪个位置？（参考数据：√2取1.4）【题型6 空中跳跃轨迹问题】
【例6】（2023·甘肃兰州·统考中考真题）一名运动员在10m高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中
的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y(m)与离起跳点A的水平距离x(m)之间的函数关系如
图所示，运动员离起跳点A的水平距离为1m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3m时离水
面的距离为7m．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长．
【变式6-1】（2023·四川攀枝花·统考中考真题）第24届冬奥会（也称2022年北京冬奥会）于2022年2月
4日至2月20日在中国北京举行，北京成为了历史上第一座既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市．冬奥
会上跳台滑雪是一项极为壮观的运动．运动员经过助滑、起跳、空中飞行和着陆，整个动作连贯一致，一
气呵成，如图，某运动员穿着滑雪板，经过助滑后，从倾斜角θ=37°的跳台A点以速度v 沿水平方向跳出，
0
若忽略空气阻力影响，水平方向速度将保持不变．同时，由于受重力作用，运动员沿竖直方向会加速下落，
因此，运动员在空中飞行的路线是抛物线的一部分，已知该运动员在B点着陆，AB=150m，且
sin37°=0.6．忽略空气阻力，请回答下列问题：(1)求该运动员从跳出到着陆垂直下降了多少m？
(2)以A为坐标原点建立直角坐标系，求该抛物线表达式；
(3)若该运动员在空中共飞行了4s，求他飞行2s后，垂直下降了多少m？
【变式6-2】（2023·河南南阳·校考三模）某校为加强学生的身体素质，举行了丰富多彩的体育活动，本周
末，将举行“跳大绳”比赛，比赛规则：每班选择两名学生在距离10m的位置摇动大绳，大绳下至少有10
名学生同时跳绳，按同时跳绳的时间计算名次．九（2）班选择小明和小亮摇动大绳，在训练中发现，他
们持绳点距地面均为1m，大绳在最高处时，大绳的形状可近似看作抛物线，如图，以小明的持绳点的竖直
方向为y轴，以水平地面为x轴建立平面直角坐标系，小明和小亮的持绳点分别为点A和点B，在离点O
的水平距离为5m时，大绳的最大高度为2m．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)为增加比赛的观赏性，九（2）班准备选择若干名身高均为1.75m的同学参与跳绳，已知每位同学在绳
下的距离均为0.5m，请问，九（2）班这样的设计是否能够达到比赛的要求？请说明理由．
【变式6-3】（2023·河北保定·统考二模）如图，某跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练，水面边缘点E
的坐标为(-1,-10)，运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．在跳某个规
(3 9 )
定动作时，运动员在空中最高处A点的坐标为 , ．正常情况下，运动员在距水面高度5米之前，必
4 16
须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误，运动员入水后，运动路线为另一条抛
物线．(1)求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式，并求出入水处点B的坐标．
(2)若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为4米，问该运动员此次跳水会不会失误？
通过计算说明理由．
(3)在该运动员入水点的正前方有M,N两点，且EM=7,EN=9，该运动员入水后运动路线对应的抛物线
解析式为 ，若该运动员出水点 在 之间（包括 两点），请直接写出 的取值范围．
y=(x-h) 2+k D MN M,N k
【题型7 最大利润问题】
【例7】（2023·安徽合肥·合肥寿春中学校考三模）冰墩墩和雪容融是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，
据反馈冰墩墩、雪容融玩偶一经上市，非常畅销，小许选两款玩偶各50个，决定在网店进行销售．售后统
计，一个冰墩墩玩偶利润为30元/个，一个雪容融玩偶利润为5元/个，调研发现：冰墩墩的数量在50个的
基础上每增加3个，平均每个利润减少1元；而雪容融的利润始终不变；小许计划第二次购进两种玩偶共
100个进行售卖．设冰墩墩的数量比第一次增加x个，第二次冰墩墩售完后的利润为y元．
(1)用含x的代数式表示第二次冰墩墩售完后的的利润y；
(2)如何安排购买方案，使得第二次售卖两种玩偶的销售利润最大，最大利润是多少？
【变式7-1】（2023·湖北咸宁·统考模拟预测）“樱花红陌上，邂逅在咸安”，为迎接我区首届樱花文化旅
游节，某工厂接到一批纪念品生产订单，要求在15天内完成，约定这批纪念品的出厂价为每件20元，设
第x天（0<x≤15）每件产品的成本价是y元，y与x之间关系为：y=0.5x+7，任务完成后，统计发现
工人小王第x天生产产品P（件）与x（天）之间的关系如下图所示，设小王第x天创造的产品利润为W元．(1)直接写出P与x之间的函数关系；
(2)求W与x之间的函数关系式，并求小王第几天创造的利润最大？最大利润是多少？
(3)最后，统计还发现，平均每个工人每天创造的利润为288元，于是，工厂制定如下奖励方案：如果一个
工人某天创造的利润超过该平均值，则该工人当天可获得20元奖金，请计算，在生产该批纪念过程中，小
王能获得多少元的奖金？
【变式7-2】（2023·湖北孝感·统考三模）2022年2月20日，北京冬奥会顺利闭幕，冬奥会带来了冰雪消
费热．最美志愿者陈老师决定购进“冰墩墩”和“雪容融”两种纪念品进行销售，已知每件“冰墩墩”比
每件“雪容融”的进价高30元，用1500元购进“冰墩墩”的数量和用600元购进“雪容融”的数量相同．
经市场调查，整理出“冰墩墩”的售价x（元/件）与销量y（件）的关系如表：
售价x
50≤x≤60 60<x≤80
（元/件）
销售量（件） 100 400-5x
(1)求“冰墩墩”和“雪容融”每件的进价分别为多少元？
(2)求当x为何值时，陈老师售出“冰墩墩”所获利润w最大，最大利润为多少？
(3)陈老师非常热爱公益事业，决定在（2）中售出“冰墩墩”获利最大的销售方案下每销售1件“冰墩
墩”就捐献m元给“体育公益项目”，且希望利润不低于975元以维持各种开支，则m的最大值为
________．
【变式7-3】（2023·辽宁丹东·统考中考真题）某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购
进一批成本价为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为
5元时，每天售出大米950kg；当每千克售价为6元时，每天售出大米900kg，通过分析销售数据发现：
每天销售大米的数量y(kg)与每千克售价x（元）满足一次函数关系．
(1)请直接写出y与x的函数关系式；
(2)超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？
(3)当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？【题型8 图形运动问题】
【例8】（2023·吉林松原·校联考二模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°,BC=9cm,AB=15cm．动点
P从点A出发，以4cm/s的速度沿边AB向终点B匀速运动．以PA为一边作∠APQ=90°，另一边PQ与射
线AC相交于点Q，以AP,AQ为边作平行四边形APMQ．设点P的运动时间为x(s)，平行四边形APMQ
与△ABC重叠部分图形的面积为y(cm2)．
(1)当点Q在边AC上时，AQ的长为____________cm；(用含x的代数式表示)
(2)当点M落在边BC上时，求x的值；
(3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
【变式8-1】（2023·吉林白城·校考二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D是边
AB的中点．动点P从点B出发． 沿BD以每秒3个单位长度的速度向终点D运动．点P出发后，过点P
作PQ⊥AB交折线BC-CA于点Q，以PQ，PD为邻边作矩形PDEQ．设矩形PDEQ与△ABC重叠部分
图形的面积为S．点P的运动时间为t秒．
(1)当点Q与点C重合时，求t的值；
(2)当点E落在AC边上时；求t的值；
(3)求S关于t的函数关系式．
【变式8-2】（2023·江苏连云港·连云港市新海实验中学校考二模）如图①，动点P从矩形ABCD的顶点A
出发，以v 的速度沿折线A-B-C向终点C运动；同时，一动点Q从点D出发，以v 的速度沿DC向终点
1 2
C运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．点E为CD的中点，连接PE，PQ，记△EPQ的面积为S，点P运动的时间为t，其函数图像为折线MN-NF和曲线FG（图②），已知，ON=4，NH=1，
点G的坐标为(8,0)．
(1)点P与点Q的速度之比v 的值为______； AB的值为______；
1
v AD
2
(2)如果OM=15．
①求线段NF所在直线的函数表达式；
②求FG所在曲线的函数表达式；
15
③是否存在某个时刻t，使得S≥ ？若存在，求出t的取值范围；若不存在，请说明理由．
4
【变式8-3】（2023·吉林松原·校联考三模）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3cm，动点P，Q同
时出发，点P从点A出发以2cm/s的速度沿折线AB-BC-CD运动，点Q从点A出发以1cm/s的速度沿
AC向终点C运动，当点Q到达点C时，P，Q两点同时停止运动，连结AP，PQ．设点P的运动时间为
t(s) (t>0)，△PAQ的面积为S(cm2 )．
(1)当点P与点C重合时，t=________s；
(2)求S与t之间的函数关系式；
(3)当CP=CQ时，直接写出t的值．【题型9 图形面积问题】
【例9】（2023·湖北武汉·模拟预测）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校
准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21m长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣
小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：
(1)方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE=1m的水池且需保证总种植面积
为32m2，试分别确定CG、DG的长；
(2)方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？
【变式9-1】（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图，利用一面墙(墙的长度为20m)，用34m长的篱笆围成
两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道1m宽的门，设AB的长为x米．
(1)若两个鸡场的面积和为S，求S关于x的关系式；
(2)两个鸡场面积和S有最大值吗？若有，最大值是多少？
【变式9-2】（2023·安徽合肥·合肥寿春中学校考三模）植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为6米
的墙，现准备用20米的篱笆围两间矩形花圃，中间用篱笆隔开．小俊设计了如图甲和乙的两种方案：方案
甲中AD的长不超过墙长；方案乙中AD的长大于墙长．
(1)按图甲的方案，设BC的长为xm，矩形ABCD的面积为ym2．
①求y与x之间的函数关系式．
②求矩形ABCD的面积y(m2)的最大值．(2)甲、乙哪种方案能使围成的矩形花圃的面积最大，最大是多少？请说明理由．
【变式9-3】（2023·福建·统考中考真题）空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一
个矩形菜园ABCD，已知木栏总长为100米．
（1）已知a=20，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏，且围成的矩形菜园面积为450平方
米．如图1，求所利用旧墙AD的长；
（2）已知0＜α＜50，且空地足够大，如图2．请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案，使得所围成的
矩形菜园ABCD的面积最大，并求面积的最大值．
【题型10 现实生活问题】
【例10】（2023·广东江门·江门市怡福中学校考一模）如图是某水上乐园为亲子游乐区新设滑梯的示意图，
10
其中线段PA是竖直高度为6米的平台，PO垂直于水平面，滑道分为两部分，其中AB段是双曲线y=
x
的一部分，BCD段是抛物线的一部分，两滑道的连接点B为抛物线的顶点，且B点的竖直高度为2米，当
甲同学滑到C点时，距地面的距离为1米，距点B的水平距离CE为√2米．
(1)求滑道BCD所在抛物线的解析式；
(2)求甲同学从点A滑到地面上D点时，所经过的水平距离；
(3)在建模实验中发现，为保证滑行者的安全，滑道BCD落地点D与最高点B连线与水平面夹角应不大于
OP 1
45°，且由于实际场地限制， ≥ ，请直接写出OD长度的取值范围．
OD 2
【变式10-1】（2010·甘肃兰州·中考真题）如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距
较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 米.
【变式10-2】（2023·浙江·模拟预测）某种电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都近似成抛物线
1
y= x2的形状，现按操作要求，电缆最低点离水平地面不得小于6米．
100
(1)如图1，若水平距离间隔80米建造一个电缆塔柱，求此电缆塔柱用于固定电缆的位置离地面至少应有多
少米的高度？
(2)如图2，若在一个坡度为1:5的斜坡上，按水平距离间隔50米架设两固定电缆的位置离地面高度为20米
的塔柱．求这种情况下在竖直方向上，下垂的电缆与地面的最近距离为多少米？
【变式10-3】（2023·河北·统考二模）如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母C为抛物线支架的
最高点，灯罩D距离地面1.5米，最高点C距灯柱的水平距离为1.6米，灯柱AB=1.5米，若茶几摆放在灯
罩的正下方，则茶几到灯柱的距离AE=（ ）A．3.2 B．0.32 C．2.5 D．1.6
