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专题 11 函数与平面直角坐标系【十大题型】
【题型1 坐标系内点的坐标特征】..........................................................................................................................2
【题型2 图形变换与坐标】......................................................................................................................................2
【题型3 探索点的坐标规律】..................................................................................................................................3
【题型4 与图形面积相关的存在性问题】..............................................................................................................4
【题型5 函数的概念辨析】......................................................................................................................................6
【题型6 求自变量的取值范围】..............................................................................................................................7
【题型7 根据实际问题列函数解析式】..................................................................................................................8
【题型8 函数图象的识别】......................................................................................................................................9
【题型9 从函数图象中获取信息】........................................................................................................................10
【题型10 动点问题的函数图象】............................................................................................................................13
【知识点 函数与平面直角坐标系】
1.坐标与象限
定义1：我们把有顺序的两个数a与b所组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）。
定义2：平面直角坐标系即在平面内画互相垂直，原点重合的两条数轴。水平的数轴称为 x轴或横轴，
取向右方向为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向。两坐标轴的交点为平面直角坐
标系的原点。
建立平面直角坐标系后，坐标平面被两条坐标轴分成了四个部分，每个部分称为象限，分别叫做第一
象限.第二象限.第三象限.第四象限，坐标轴上的点不属于任何象限。
2.函数与图象
定义1：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量。
定义2：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有
唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x是自变量，y是x的函数。如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自
变量的值为a时的函数值。
定义3：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横.纵坐标，那么坐
标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。
定义4：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法。这种式子
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叫做函数的解析式。
表示函数的方法： 解析式法 . 列表法和图象法 。解析式法可以明显地表示对应规律；列表法直接给出部
分函数值；图象法能直观地表示变化趋势。
画函数图象的方法——描点法：
第1步，列表。表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；
第2步，描点。在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标.相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对
应的各点；
第3步，连线。按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来。
【题型1 坐标系内点的坐标特征】
【例1】（2023·山东·中考真题）在平面直角坐标系的第二象限内有一点P，点P到x轴的距离为4，到y
轴的距离为5，则点P的坐标是（ ）
A．(4，−5) B．(5,−4) C．(−4，5) D．(−5,4)
【变式1-1】（2023·青海·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是(–2，−1)，若
AB// y轴，且AB=9，则点B的坐标是 ．
【变式1-2】（2023·新疆·统考中考真题）在平面直角坐标系中有五个点，分别是A(1,2)，B(−3,4)，
C(−2,−3)，D(4,3)，E(2,−3)，从中任选一个点恰好在第一象限的概率是 ．
1
【变式1-3】（2023·江苏·中考真题）已知点A（2，0）、点B（－ ，0）、点C（0，1），以A、B、C
2
三点为顶点画平行四边形．则第四个顶点不可能在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【题型2 图形变换与坐标】
【例2】（2023·吉林松原·校联考一模）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为A(1,0)，等
腰直角三角形ABC的边AB在x轴的正半轴上，∠ABC=90°，点B在点A的右侧，点C在第一象限将
△ABC绕点A按逆时针方向旋转75°，如果点C的对应点E恰好落在y轴的正半轴上，那么边AB的长为
．
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【变式2-1】（2023·山东滨州·统考二模）在平面直角坐标系中，点P(4,−2)关于y轴的对称点的坐标为
（ ）
A．(4,2) B．(−4,2) C．(−4,−2) D．(−2,4)
【变式2-2】（2023·广东深圳·中考真题）已知点P(a＋l，2a－3)关于x轴的对称点在第一象限，则a的取
值范围是（ ）
3 3 3
A．a<−1 B．−1
2 2 2
【变式2-3】（2023·湖北鄂州·校考二模）如图，将一矩形OBAC放在平面直角坐标系中，O为原点，点
B，C分别在x轴、y轴上，点A为（8，6），点D为线段OC上一动点．将△BOD沿BD翻折，点O落在
点E处，连接CE．当CE的长最小时，点D的坐标为 ．
【题型3 探索点的坐标规律】
【例3】（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，四边形OABC 是正方形，曲线C C C C C ⋯叫作
1 1 2 3 4 5
“正方形的渐开线”，其中 ， ， ， ，…的圆心依次按O，A，B， 循环．当
C´C C´C C´C C´C C
1 2 2 3 3 4 4 5 1
OA=1时，点C 的坐标是( )
2023
A．(−1，−2022) B．(−2023，1) C．(−1，−2023) D．
(2022，0)
【变式3-1】（2023·江苏南京·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系，横、纵坐标均为整数的点案如下
规律依序排列：(0,0)，(1,0)，(0,1)，(2,0)，(1,1)，(0,2)，(3,0)，(2,1)，(1,2)，(0,3)，(4,0)，
(3,1)，(2,2)，(1,3)，…按这个规律，则(6,7)是第 个点．
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【变式3-2】（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个
单位长度，以点P为位似中心作正方形PA A A ，正方形PA A A ,…，按此规律作下去，所作正方形
1 2 3 4 5 6
的顶点均在格点上，其中正方形PA A A 的顶点坐标分别为P(−3,0),A (−2,1),A (−1,0)，
1 2 3 1 2
A (−2,−1)，则顶点A 的坐标为（ ）
3 100
A．(31.34) B．(31,−34) C．(32,35) D．(32,0)
【变式3-3】（2023·山东泰安·统考中考真题）已知，△OA A ,△A A A ,△A A A ,⋯⋯都是边长为
1 2 3 4 5 6 7 8
2的等边三角形，按下图所示摆放．点A ,A ,A ,⋯⋯都在x轴正半轴上，且
2 3 5
A A =A A =A A =⋯⋯=1，则点A 的坐标是 ．
2 3 5 6 8 9 2023
【题型4 与图形面积相关的存在性问题】
【例4】（2023·湖北孝感·模拟预测）如图在平面直角坐标系中，已知A(a，0)，B(b，0)，
，其中 、 满足 ．
M(−1.5，−2) a b |a+1|+(b−3) 2=0
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(1)求△ABM的面积；
(2)在x轴上求一点P，使得△AMP的面积与△ABM的面积相等；
(3)在y轴上存在使△BMP的面积与△ABM的面积相等的P点，请直接写出点P的坐标．
【变式4-1】（2023·河北石家庄·校联考模拟预测）如图，在直角坐标系中，已知A(0,a)、B(b,0)、
三点，其中a、b，c满足关系式 ．
C(b,c) |a−2|+(b−3) 2+√c−4=0
(1)求a、b、c的值；
(2)如果在第二象限内有一点P(m,1)，请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；
(3)在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的
坐标，若不存在，请说明理由？
【变式4-2】（2023·江苏常州·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（a、
0），B（b，0），且a，b满足|a+6|+√3a−2b+26=0，现将线段AB先向上平移4个单位长度，再向右平
移6个单位长度得到线段CD，其中点A对应点为C，点B对应点为D，连接AC，BD．
(1)请直接写出A，B两点的坐标；
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(2)如图2，点M是线段AC上的一个动点，点N是线段CD的一个定点，连接MN，MO，当点M在线段
AC上移动时（不与A，C重合），探究∠DNM，∠OMN，∠MOB之间的数量关系，并说明理由；
(3)在坐标轴上是否存在点P，使三角形PBC的面积与三角形ABD的面积相等？若存在，请求出点P的坐
标；若不存在，试说明理由．
【变式4-3】（2023·湖北襄阳·模拟预测）在直角坐标系中，已知点A、B的坐标是(a,0)(b,0)，a，b满足
方程组¿，C为y轴正半轴上一点，且S =6．
△ABC
(1)求A、B、C三点的坐标；
1
(2)是否存在点P(t,t)，使S = S ？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
△PAB 3 △ABC
(3)若点C沿x轴负半轴方向以每秒1个单位长度平移至点D，当运动时间t为多少秒时，四边形ABCD的面
积S为15个平方单位？求出此时点D的坐标．
(4)连接AD、CD，若P为CB上一动点（不与C、B重合）连接DP、AP，探究点P在运动过程中，
∠CDP、∠BAP、∠DPA之间的数量关系并证明．
【题型5 函数的概念辨析】
【例5】（2023·全国·模拟预测）下面的三个问题中都有两个变量：
①某地手机通话费为a元/min，某人手机话费卡中共有b元，此后话费卡中的余额y与手机通话的时间x；
②将水池中的水匀速排出，直至排完，水池中的剩余水量y与排水时间x；
③用长度一定的绳子围成一个等腰三角形，等腰三角形的面积y与腰长x，其中，变量y与变量x之间的函
数关系可以利用如图所示的图像表示的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【变式5-1】（2023·甘肃兰州·中考真题）下列各曲线中不能表示y是x的函数是（ ）．
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A． B．
C． D．
【变式5-2】（2023·广东·统考中考真题）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C
与r的关系式为C=2πr．下列判断正确的是（ ）
A．2是变量 B．π是变量 C．r是变量 D．C是常量
【变式5-3】（2023·浙江·统考中考真题）图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度y
（m）与旋转时间x（min）之间的关系如图2所示
（1）根据图2填表：
x（min） 0 3 6 8 12 …
y（m） …
（2）变量y是x的函数吗？为什么？
（3）根据图中的信息，请写出摩天轮的直径．
【题型6 求自变量的取值范围】
【规律方法】函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
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（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
1
【例6】（2023·湖北·统考中考真题）函数y= +(x−2) 0 的自变量x的取值范围是（ ）
√x+1
A．x≥−1 B．x>2 C．x>−1且x≠2 D．x≠−1且x≠2
【变式6-1】（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）函数y=√2x的自变量x的取值范围是（ ）
1
A．x≤0 B．x≠0 C．x≥0 D．x≥
2
x
【变式6-2】（2023·黑龙江·统考中考真题）在函数y= 中，自变量x的取值范围是 ．
5x+3
1 1
【变式6-3】（2023·黑龙江·统考中考真题）在函数y= + 中，自变量x的取值范围是 ．
√x−1 x−2
【题型7 根据实际问题列函数解析式】
【例7】（2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）某超市糯米的价格为5元/千克，端午节推出促销活动：
一次购买的数量不超过2千克时，按原价售出，超过2千克时，超过的部分打8折．若某人付款14元，则
他购买了 千克糯米；设某人的付款金额为x元，购买量为y千克，则购买量y关于付款金额
x(x>10)的函数解析式为 ．
【变式7-1】（2023·辽宁大连·统考中考真题）汽车油箱中有汽油30L，如果不再加油，那么油箱中的油量
y（单位：L）随行驶路程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km．当0≤x<300时，y与x
的函数解析式是（ ）
300
A．y=0.1x B．y=−0.1x+30 C．y= D．y=−0.1x2+30x
x
【变式7-2】（2023·山西·统考中考真题）一种弹簧秤最大能称不超过10kg的物体，不挂物体时弹簧的长
为12cm，每挂重1kg物体，弹簧伸长0.5cm．在弹性限度内，挂重后弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量
x(kg)之间的函数关系式为（ ）
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A．y=12−0.5x B．y=12+0.5x C．y=10+0.5x D．y=0.5x
【变式7-3】（2023·四川·统考中考真题）盒中有x枚黑棋和y枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒
3
中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是 ，则x和y满足的关系式为 ．
8
【题型8 函数图象的识别】
【例8】（2023·四川雅安·统考中考真题）“和谐号”动车从萍乡北站出发，加速行驶一段时间后开始匀速
行驶，过了一段时间后，动车减速到达下一个车站并停靠，乘客上下车后，动车又加速，一段时间后再次
开始匀速行驶.下列图中可以近假刻画该动车在这段时间内速度变化情况的是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】（2023·四川·统考中考真题）向高为10的容器（形状如图）中注水，注满为止，则水深h与
注水量v的函数关系的大致图象是（ ）
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A． B．
C． D．
【变式8-2】（2023·湖北·统考中考真题）如图，长方体水池内有一无盖圆柱形铁桶，现用水管往铁桶中持
续匀速注水，直到长方体水池有水溢出一会儿为止．设注水时间为t,y （细实线）表示铁桶中水面高度，
1
y （粗实线）表示水池中水面高度（铁桶高度低于水池高度，铁桶底面积小于水池底面积的一半，注水前
2
铁桶和水池内均无水），则y ,y 随时间t变化的函数图象大致为（ ）
1 2
A． B．
C． D．
【变式8-3】（2023·山东滨州·统考中考真题）由化学知识可知，用pH表示溶液酸碱性的强弱程度，当
pH>7时溶液呈碱性，当pH<7时溶液呈酸性．若将给定的NaOH溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大
致反映NaOH溶液的pH与所加水的体积V之间对应关系的是（ ）
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A． B．
C． D．
【题型9 从函数图象中获取信息】
【例9】（2023·湖北鄂州·校考模拟预测）某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同一种零件，他们一天生
产零件的个数y与生产时间t的关系如图所示．
(1)根据图象填空：
①甲、乙两人中， 先完成一天的生产任务;在生产过程中， 因机器故障停止生产________时;
②当t= 时，甲、乙生产的零件个数相等;
(2)谁在哪一段时间内的生产速度最快，求该段时间内，他每小时生产零件的个数．
【变式9-1】（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）一条小船沿直线从A码头向B码头匀速前进，到达B码
头后，停留一段时间，然后原路匀速返回A码头．在整个过程中，这条小船与B码头的距离x（单位：m）
与所用时间t（单位：min）之间的关系如图所示，则这条小船从A码头到B码头的速度和从B码头返回A
码头的速度分别为（ ）
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A．15m/min，25m/min B．25m/min，15m/min
C．25m/min，30m/min D．30m/min，25m/min
【变式9-2】（2023·辽宁阜新·统考中考真题）德力格尔草原位于彰武县境内，以草场资源丰富，景色优美
著称．今年5月在此举办的“漠上草原欢乐跑”首届马拉松比赛，吸引了千余名国内外选手参加．甲、乙
两名选手同时参加了往返10km（单程5km）的业余组比赛，如果全程保持匀速，甲、乙之间的距离s（
km）与甲所用的时间（h）之间的函数关系如图所示，那么当甲到达终点时，乙距离终点 km．
【变式9-3】（2023·北京·统考中考真题）某小组研究了清洗某种含污物品的节约用水策略．部分内容如下．
每次清洗1个单位质量的该种含污物品，清洗前的清洁度均为0.800要求清洗后的清洁度为0.990
方案一：采用一次清洗的方式．
结果：当用水量为19个单位质量时，清洗后测得的清洁度为0.990．
方案二：采用两次清洗的方式．
记第一次用水量为 个单位质量，第二次用水量为 个单位质量，总用水量为 个单位质量，两次
x x (x +x )
1 2 1 2
清洗后测得的清洁度为C．记录的部分实验数据如下：
x 11.0 9.0 9.0 7.0 5.5 4.5 3.5 3.0 3.0 2.0 1.0
1
x 0.8 1.0 1.3 1.9 2.6 3.2 4.3 4.0 5.0 7.1 11.5
2
x +x 11.8 10.0 10.3 8.9 8.1 7.7 7.8 7.0 8.0 9.1 12.5
1 2
C 0.990 0.989 0.990 0.990 0.990 0.990 0.990 0.988 0.990 0.990 0.990
对以上实验数据进行分析，补充完成以下内容．
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（Ⅰ）选出C是0.990的所有数据组，并划“√”；
（Ⅱ）通过分析（Ⅰ）中选出的数据，发现可以用函数刻画第一次用水量x 和总用水量x +x 之间的关系，
1 1 2
在平面直角坐标系xOy中画出此函数的图象；
结果：结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当第一次用水量约为______个单位质量（精确到个
位）时，总用水量最小．
根据以上实验数据和结果，解决下列问题：
（1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，与采用一次清洗的方式相比、可节水约______个单位
质量（结果保留小数点后一位）；
（2）当采用两次清洗的方式时，若第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后
的清洁度C______0.990（填“>”“=”或“<”）．
【题型10 动点问题的函数图象】
【例10】（2023·四川攀枝花·统考中考真题）如图，正方形ABCD的边长为4，动点P从点B出发沿折线
BCDA做匀速运动，设点P运动的路程为x，△PAB的面积为y，下列图象能表示y与x之间函数关系的是
（ ）
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A． B．
C． D．
【变式10-1】（2023·内蒙古·统考中考真题）将矩形纸板剪掉一个小矩形后剩余部分如图1所示，动点P
从点A出发，沿路径A→B→C→D→E→F匀速运动，速度为1cm/s，点P到达终点F后停止运动，
的面积 与点P运动的时间 的关系如图2所示，根据图象获取了以下的信息：
△APF S(cm2)(S≠0) t(s)
①AF=5cm；
②a=6；
③点P从点E运动到点F需要10s；
④矩形纸板裁剪前后周长均为34cm．
其中正确信息的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式10-2】（2023·江苏·统考中考真题）折返跑是一种跑步的形式．如图，在一定距离的两个标志物①、
②之间，从①开始，沿直线跑至②处，用手碰到②后立即转身沿直线跑至①处，用手碰到①后继续转身跑
至②处，循环进行，全程无需绕过标志物．小华练习了一次2×50m的折返跑，用时18s在整个过程中，他
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的速度大小v（m/s）随时间t（s）变化的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式10-3】（2023·山东烟台·统考中考真题）如图1，在△ABC中，动点P从点A出发沿折线
AB→BC→CA匀速运动至点A后停止．设点P的运动路程为x，线段AP的长度为y，图2是y与x的函数
关系的大致图象，其中点F为曲线DE的最低点，则△ABC的高CG的长为 ．
15
