专题 12 二次函数的图象及性质（10 个高频考点）（举一反三）
【考点1 二次函数的定义】...................................................................................................................................1
【考点2 二次函数的图象与性质】.......................................................................................................................3
【考点3 二次函数的图象与系数的关系】...........................................................................................................6
【考点4 二次函数的对称性】.............................................................................................................................11
【考点5 二次函数的最值】.................................................................................................................................21
【考点6 待定系数法求二次函数的解析式】.....................................................................................................29
【考点7 二次函数图象的平移】.........................................................................................................................42
【考点8 二次函数与一元二次方程】.................................................................................................................50
【考点9 利用二次函数的图象确定一元二次方程的近似根】..........................................................................58
【考点10 二次函数与不等式】.............................................................................................................................65
【要点1 二次函数的概念】
一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c
是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二
次函数的一般形式．
【考点1 二次函数的定义】
【例1】（2022·安徽合肥·校考一模）已知y=(m+2)x|m|+2是关于x的二次函数，那么m的值为______
【答案】2
【分析】根据二次函数的定义未知数的指数为2，系数不为0，列式计算即可；
【详解】解：∵y=(m+2)x|m|+2是y关于x的二次函数，
∴|m|=2且m+2≠0，
解得m=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查的是二次函数的定义，熟知二次函数解析式未知数系数不为0且指数为2是解题的关键．
【变式1-1】（2022·湖南怀化·中考真题）下列函数是二次函数的是（ ）1
A．y=2x+1 B．y=−2x+1 C．y=x2+2 D．y= x−2
2
【答案】C
【详解】根据二次函数的定义，形如y=ax2+bx+c（其中a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数，
所给函数中是二次函数的是y=x2+2．
故选C．
【变式1-2】（2022·重庆永川·统考一模）某长方体木块的底面是正方形，它的高比底面边长还多50cm，
把这个长方体表面涂满油漆时，如果每平方米费用为16元，那么总费用与底面边长满足的函数关系是（
）
A．正比例函数关系 B．一次函数关系
C．反比例函数关系 D．二次函数关系
【答案】D
【分析】设底面边长为xcm，则正方体的高为(x+50)cm，设总费用为y元，则可表示出y与x的函数关系，
根据关系式即可作出选择．
【详解】设底面边长为xcm，则正方体的高为(x+50)cm，设总费用为y元，
由题意得：y=16[2x2+4x(x+50)]=96x2+3200x，
这是关于一个二次函数．
故选：D．
【点睛】本题考查了列函数关系并判断函数形式，关键是根据题意列出函数关系式．
【变式1-3】（2022·江苏徐州·统考一模）请选择一组你喜欢的a、b、c的值，使二次函数
y=ax2+bx+c(a≠0)的图象同时满足下列条件：①开口向下；②当x<2时，y随x的增大而增大；当x>2
时，y随x的增大而减小．这样的二次函数的解析式可以是________．
【答案】答案不唯一，只要满足b＝－4a，a＜0即可，如y＝－x2＋4x＋3，y＝－2x2＋8x－3等．
【详解】试题分析：仔细分析题中要求根据二次函数的性质即可得到结果.
答案不唯一，如y＝－(x＋1)2或y＝－(x＋1)2－2．
考点：二次函数的性质
点评：二次函数的性质是初中数学的重点，是中考必考题，一般难度不大，需熟练掌握.【要点2 二次函数的图象与性质】
二次函数的图象是一条抛物线。当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。|a|越大，
抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。
y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c
对称轴 y轴 y轴 x=h x=h
(0，0) (0，k) (h，0) (h，k)
顶点 a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值；a<0时，顶点是最高点，此时y有最大
值。 最小值(或最大值)为0(k或 )。
x<0(h或 )时，y随x的增大而减小；x>0(h或 )时，y随x的增大而增
a>0 大。
即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增
增 大。
减
性
x<0(h或 )时，y随x的增大而增大；x>0(h或 )时，y随x的增大而减
a<0 小。
即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减
小。
【考点2 二次函数的图象与性质】
【例2】（2022·湖北荆门·统考中考真题）抛物线y＝x2+3上有两点A（x，y），B（x，y），若y＜y，
1 1 2 2 1 2
则下列结论正确的是( )
A．0≤x＜x B．x＜x≤0
1 2 2 1
C．x＜x≤0或0≤x＜x D．以上都不对
2 1 1 2
【答案】D
【分析】根据二次函数图象及性质，即可判定．
【详解】∵抛物线y＝x2+3开口向上，在其图象上有两点A（x，y），B（x，y），且y＜y，
1 1 2 2 1 2
∴|x|＜|x|，
1 2
∴0≤x＜x，或x＜x≤0，或x＞0，x≤0且x+x＞0，或x＜0，x＞0且x+x＜0，
1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握和运用二次函数的图象及性质是解决本题的关键．
【变式2-1】（2022·湖南郴州·统考中考真题）关于二次函数y=(x−1) 2+5，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是(−1,5)
C．该函数有最大值，是大值是5 D．当x>1时，y随x的增大而增大
【答案】D
【分析】由抛物线的表达式和函数的性质逐一求解即可．
【详解】解：对于y=（x-1）2+5，
∵a=1 0，故抛物线开口向上，故A错误；
顶点坐>标为（1，5），故B错误；
该函数有最小值，最小值是5，故C错误；
当x>1时，y随x的增大而增大，故D正确，
故选：D．
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数
与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
【变式2-2】（2022·青海西宁·统考中考真题）如图， ABC中，BC=6，BC边上的高为3，点D，E，F分
别在边BC，AB，AC上，且EF∥BC．设点E到BC的△距离为x， DEF的面积为y，则y关于x的函数图象
大致是（ ） △
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】过点A向BC作AH⊥BC于点H，所以根据相似三角形的性质可求出EF，进而求出函数关系式，
由此即可求出答案．
【详解】解：过点A向BC作AH⊥BC于点H，
EF 3−x
根据相似比可知： = ，
BC 3
EF 3−x
即 = ，
6 3
解得：EF=2（3-x），
1 3 9
则△DEF的面积y= ×2（3-x）x=-x2+3x=-(x- )2+ ，
2 2 4
3 9
故y关于x的函数图象是一个开口向下、顶点坐标为( ， )的抛物线．
2 4
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象，主要利用了相似三角形的性质，求出S与x的函数关系式是解题的关
键．
【变式2-3】（2022·江苏盐城·统考中考真题）若点P(m,n)在二次函数y=x2+2x+2的图象上，且点P到
y轴的距离小于2，则n的取值范围是____________．
【答案】1≤n<10
【分析】先判断−2<m<2，再根据二次函数的性质可得：n=m2+2m+2=(m+1) 2+1，再利用二次函数
的性质求解n的范围即可．
【详解】解：∵点P到y轴的距离小于2，
∴−2<m<2，∵点P(m,n)在二次函数y=x2+2x+2的图象上，
∴n=m2+2m+2=(m+1) 2+1，
∴当m=−1时，n有最小值为1．
当m=2时，n=(2+1) 2+1=10，
∴n的取值范围为1≤n<10.
故答案为：1≤n<10
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，掌握“二次函数的增减性”是解本题的关键．
【要点3 二次函数的图象与各系数之间的关系】
① 二次项系数 ：总结起来， 决定了抛物线开口的大小和方向， 的正负决定开口方向， 的大小决定
开口的大小．
②一次项系数 ：在 确定的前提下， 决定了抛物线对称轴的位置，对称轴 在 轴左边则
，在 轴的右侧则 ，概括的说就是“左同右异”
③常数项 ：总结起来， 决定了抛物线与 轴交点的位置．
【考点3 二次函数的图象与系数的关系】
【例3】（2022·辽宁朝阳·统考中考真题）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a为常数，且a≠0）的图象过点(﹣
1，0)，对称轴为直线x＝1，且2＜c＜3，则下列结论正确的是（ ）
A．abc＞0 B．3a+c＞0
2
C．a2m2+abm≤a2+ab（m为任意实数） D．﹣1＜a＜﹣
3
【答案】D【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．
【详解】解：A．抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，
故abc＜0，不正确，不符合题意；
b
B．函数的对称轴为直线x=- =1，则b=-2a，
2a
∵从图象看，当x=-1时，y=a-b+c=3a+c=0，
故不正确，不符合题意；
C．∵当x=1时，函数有最大值为y=a+b+c，
∴am2+bm+c≤a+b+c（m为任意实数），
∴am2+bm≤a+b，
∵a＜0，
∴a2m2+abm≥a2+ab（m为任意实数）
故不正确，不符合题意；
b
D．∵- =1，故b=-2a，
2a
∵x=-1，y=0，故a-b+c=0，
∴c=-3a，
∵2＜c＜3，
∴2＜-3a＜3，
2
∴-1＜a＜﹣ ，故正确，符合题意；
3
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，本题属于中等题型．
【变式3-1】（2022·内蒙古·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，抛物
线与x轴的一个交点坐标为(−1,0)），下列结论：①abc<0；②3a+c=0；③当y>0时，x的取值范围是
−1⩽x<3；④点(−2,y )，(2,y )都在抛物线上，则有y <0<y ．其中结论正确的个数是（ ）
1 2 1 2A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据抛物线的开口，对称轴，特殊值x=-1可判断①②正确，根据图像可得，当y>0时，是x轴上
方的图像，可判断③错误，求出y =4a−2b+c，y =4a+2b+c，结合①②的结论即可判断出④正确．
1 2
【详解】∵抛物线的开口向下，a<0，对称轴为x=1，
b
∴− =1，
2a
∴b=−2a>0，
∵抛物线交于y轴正半轴，
∴c>0，
∴abc<0，故①正确；
∵抛物线与x轴交于(-1,0)，
∴当x=-1时，a−b+c=0，
∵b=−2a，
∴将b=−2a代入a−b+c=0，得3a+c=0，故②正确；
根据图像可得，当y>0时，是x轴上方的图像，抛物线过点(-1,0)，对称轴为x=1，
根据抛物线的对称性可得，抛物线过点(3,0)，
∴y＞0时，有−1<x<3，故③错误；
∵抛物线与x轴的两个交点为：(-1,0)，(3,0)，对称轴为x=1，
当x=-2时，y =4a−2b+c，
1
当x=2时，y =4a+2b+c，
2
∵b=−2a，3a+c=0，a<0，
∴y =4a−2(−2a)+(−3a)=5a＜0，y =4a+2(−2a)+(−3a)=−3a＞0，
1 2∴y ＜0＜y ，故④正确，
1 2
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解决这类题需要掌握：a看抛物线开口方向，b往往看对称轴，
c看抛物线与y轴的交点，以及抛物线的对称性以及代入特殊点等．
【变式3-2】（2022·湖北荆门·统考中考真题）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，
过点（1，﹣2）和点（x，y），且c＞0．有下列结论：①a＜0；②对任意实数m都有：am2+bm≥4a﹣
0 0
2b；③16a+c＞4b；④若x ＞﹣4，则y ＞c．其中正确结论的个数为( )
0 0
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2）且c＞0，即可判
断开口向下，即可判断①；根据二次函数的性质即可判断②；根据抛物线的对称性即可判断③；根据抛物
线的对称性以及二次函数的性质即可判断④．
【详解】∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2），且c＞0，
∴抛物线开口向下，则a＜0，故①正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为x＝﹣2，
∴函数的最大值为4a﹣2b+c，
∴对任意实数m都有：am2+bm+c≤4a﹣2b+c，即am2+bm≤4a﹣2b，故②错误；
∵对称轴为x＝﹣2，c＞0．
∴当x＝﹣4时的函数值大于0，即16a﹣4b+c＞0，
∴16a+c＞4b，故③正确；
∵对称轴为x＝﹣2，点（0，c）的对称点为（﹣4，c），
∵抛物线开口向下，
∴若-4<x <0，则y ＞c．若x ≥0，则y ≤c，故④错误；
0 0 0 0
故选：B
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二
次函数的性质．
【变式3-3】（2022·辽宁丹东·统考中考真题）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（5，
0），与y轴交于点C，其对称轴为直线x＝2，结合图象分析如下结论：①abc＞0；②b+3a＜0；③当x＞0
时，y随x的增大而增大；④若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A，则点E（k，b）在第四象限；⑤√6
点M是抛物线的顶点，若CM⊥AM，则a＝ ．其中正确的有（ ）
6
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】①正确，根据抛物线的位置判断即可；②正确，利用对称轴公式，可得b＝﹣4a，可得结论；③
错误，应该是x＞2时，y随x的增大而增大；④正确，判断出k＞0，可得结论；⑤正确，设抛物线的解析
式为y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x﹣2）2﹣9a，可得M（2，﹣9a），C（0，﹣5a），过点M作MH⊥y轴于
点H，设对称轴交x轴于点K．利用相似三角形的性质，构建方程求出a即可．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴是直线x＝2，
b
∴﹣ ＝2，
2a
∴b＝﹣4a＜0
∵抛物线交y轴的负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，故①正确，
∵b＝﹣4a，a＞0，
∴b+3a＝﹣a＜0，故②正确，
观察图象可知，当0＜x≤2时，y随x的增大而减小，故③错误，
一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A，
∵b＜0，
∴k＞0，此时E（k，b）在第四象限，故④正确．
∵抛物线经过（﹣1，0），（5，0），
∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x﹣2）2﹣9a，
∴M（2，﹣9a），C（0，﹣5a），过点M作MH⊥y轴于点H，设对称轴交x轴于点K．
∵AM⊥CM，
∴∠AMC＝∠KMH＝90°，
∴∠CMH＝∠KMA，
∵∠MHC＝∠MKA＝90°，
∴△MHC∽△MKA，
MH CH
∴ ＝ ，
MK AK
2 −4a
∴ ＝ ，
−9a 3
1
∴a2＝ ，
6
∵a＞0，
√6
∴a＝ ，故⑤正确，
6
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方
程解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
【考点4 二次函数的对称性】
【例4】（2022·四川自贡·统考中考真题）已知A(−3，−2) ，B(1，−2)，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)顶点在线段
AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：
①c≥−2 ；
②当x>0时，一定有y随x的增大而增大；
③若点D横坐标的最小值为−5，点C横坐标的最大值为3；
1
④当四边形ABCD为平行四边形时，a= ．
2
其中正确的是（ ）A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④
【答案】D
【分析】根据顶点在线段AB上抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）可以判断出c的取值范围，可判断①；
根据二次函数的增减性判断②；先确定x=1时，点D的横坐标取得最大值，然后根据二次函数的对称性求
出此时点C的横坐标，即可判断③；令y=0，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出CD的长度的表达
式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得AB=CD，然后列出方程求出a的值，判断④．
【详解】解：∵点A，B的坐标分别为(-3，-2)和(1，-2)，
∴线段AB与y轴的交点坐标为(0，-2)，
又∵抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为(0，c) ，
∴C≥-2，(顶点在y轴上时取“=”)，故①正确；
∵抛物线的顶点在线段AB上运动，开口向上，
∴当x＞1时，一定有y随x的增大而增大，故②错误；
若点D的横坐标最小值为-5，则此时对称轴为直线x=-3，
根据二次函数的对称性，点C的横坐标最大值为1+2=3，故③正确；
令y=0，则ax2+bx+c=0，
b c
设该方程的两根为x，x，则x+x=- ，xx= ，
1 2 1 2 a 1 2 a
b 2 c b2−4ac
∴CD2=( x-x) 2=( x+x) 2-4xx =(− ) −4× = ，
1 2 1 2 1 2 a a a2
4ac−b2
根据顶点坐标公式， =−2，
4a
4ac−b2 b2−4ac
∴ =−8，即 =8，
a a
∵四边形ACDB为平行四边形，
∴CD=AB=1-（-3)=4，
8 1
∴ =42=16，解得a= ，故④正确；
a 2
综上所述，正确的结论有①③④．
故选：D．．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数的顶点坐标，二次函数的对称性，根与系
数的关系，平行四边形的对边平行且相等的性质，要注意顶点在y轴上的情况．
【变式4-1】（2022·四川成都·统考中考真题）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴相交于
A(−1,0)，B两点，对称轴是直线x=1，下列说法正确的是（ ）
A．a>0 B．当x>−1时，y的值随x值的增大而增大
C．点B的坐标为(4,0) D．4a+2b+c>0
【答案】D
【分析】结合二次函数图像与性质，根据条件与图像，逐项判定即可．
【详解】解：A、根据图像可知抛物线开口向下，即a<0，故该选项不符合题意；
B、根据图像开口向下，对称轴为x=1，当x>1，y随x的增大而减小；当x<1，y随x的增大而增大，故当
−1<x<1时，y随x的增大而增大；当x>1，y随x的增大而减小，故该选项不符合题意；
C、根据二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴相交于A(−1,0)，B两点，对称轴是直线x=1，可得对称轴
x +(−1)
x= B =1，解得x =3，即B(3,0)，故该选项不符合题意；
2 B
D、根据B(3,0)可知，当x=2时，y=4a+2b+c>0，故该选项符合题意；
故选：D．【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，根据图像得到抛物线开口向下，根据对称轴以及抛物线与x轴
交点A(−1,0)得到B(3,0)是解决问题的关键．
【变式4-2】（2022·北京昌平·统考二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx−1(a>0)．
(1)若抛物线过点(4,−1)．
①求抛物线的对称轴；
②当−1<x<0时，图像在x轴的下方，当5<x<6时，图像在x轴的上方，在平面直角坐标系中画出符合条
件的图像，求出这个抛物线的表达式；
(2)若(−4,y )，(−2,y )，(1,y )为抛物线上的三点且y >y >y ，设抛物线的对称轴为直线x=t，直接
1 2 3 3 1 2
写出t的取值范围．
1 4
【答案】(1)①x=2；②y= x2− x−1
5 5
3
(2)−3＜t＜−
2
b
【分析】①把(4，-1)代入解析式，确定b=-4a，代入直线x=− 计算即可．
2a
②根据对称轴为直线x=2，且2-（-1）=5-2，判定抛物线经过（-1,0）和（5,0），代入解析式确定a，b的
值即可．
b
（2）方法一：根据x=− =t，得到b=-2at，从而解析式变形为y=ax2−2atx−1(a>0)，把(−4,y )，
2a 1
(−2,y )，(1,y )分别代入解析式，根据y >y >y ，列出不等式组，解不等式组即可．
2 3 3 1 2方法二：根据每个点的横坐标离对称轴的远近判断y的大小．
（1）
解：①把(4，-1)代入解析式y=ax2+bx−1(a>0)，得
−1=16a+4b−1，
解得b=-4a，
b −4a
∴对称轴为直线x=− =− =2．
2a 2a
②根据题意，画图像如下：
∵当−1<x<0时，图像在x轴的下方，
当5<x<6时，图像在x轴的上方，
对称轴为直线x=2，且2-（-1）=5-2，
∴抛物线经过（-1,0）和（5,0），
∴¿，
解得¿，
1 4
∴y= x2− x−1．
5 5
（2）
b
∵x=− =t，
2a
∴b=-2at，
∴解析式变形为y=ax2−2atx−1(a>0)，
把(−4,y )，(−2,y )，(1,y )分别代入解析式，得y =a−2at−1,y =16a+8at−1,y =4a+4at−1，
1 2 3 3 1 2∵y >y >y ，
3 1 2
∴¿，
解得¿，
3
故t的取值范围是−3＜t＜− ．
2
方法二：若(−4,y )，(−2,y )，(1,y )为抛物线上的三点且y >y >y ，对称轴为x=t，
1 2 3 3 1 2
1 4 1
∵ y= x2− x−1，a= >0，开口向上，
5 5 5
①当t<−4，则y <y <y ，不符合题意，
1 2 3
②当−4<t<−2时，∵ y >y >y
3 1 2
∴t−(−4)>−2−t
解得t>−3
∴−3<t<−2
③当−2≤t<1，∵ y >y >y
3 1 2
∴t−(−2)<1−t，1−t>t−(−4)
1 3
解得t<− ，t<−
2 2
3
∴−2≤t<−
2
3
综上所述，−3＜t＜−
2
【点睛】本题考查了待定系数法，抛物线的对称性，二次函数与不等式的综合，熟练掌握待定系数法，对
称性，与不等式的关系是解题的关键．
【变式4-3】（2022·吉林长春·统考中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2−bx（b是常数）经过
点(2,0)．点A在抛物线上，且点A的横坐标为m（m≠0）．以点A为中心，构造正方形PQMN，
PQ=2|m|，且PQ⊥x轴．
(1)求该抛物线对应的函数表达式：
(2)若点B是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左侧．过点B作x轴的平行线交抛物线于另一点C，连接BC．
当BC=4时，求点B的坐标；
(3)若m>0，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，或者y随x的增大而减小时，求
m的取值范围；3
(4)当抛物线与正方形PQMN的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为 时，直接写出m的值．
4
【答案】(1)y=x2−2x
(2)B(−1,3)
1
(3)0<m≤ 或m≥3
2
3 1 3
(4)m=− 或m= 或m= ．
8 2 2
【分析】（1）将点(2,0)代入y=x2−bx，待定系数法求解析式即可求解；
（2）设B(m,m2−2m)，根据对称性可得C(2−m,m2−2m)，根据BC =4，即可求解；
（3）根据题意分两种情况讨论，分别求得当正方形PQMN点Q在x轴上时，此时M与O点重合，当PQ经
过抛物线的对称轴x=1时，进而观察图像即可求解；
（4）根据题意分三种情况讨论，根据正方形的性质以及点的坐标位置，即可求解．
（1）
解：∵抛物线y=x2−bx（b是常数）经过点(2,0)
∴4−2b=0
解得b=2
∴y=x2−2x
（2）
如图，
由y=x2−2x =(x−1) 2−1
则对称轴为直线x=1，设B(m,m2−2m)，则C(2−m,m2−2m)
∵BC=2−m−m=4
解得m=−1
∴B(−1,3)
（3）
∵点A在抛物线上，且点A的横坐标为m（m≠0）．以点A为中心，构造正方形PQMN，PQ=2|m|，且
PQ⊥x轴
∴MN=PQ=2|m|，且M,N在y轴上，如图，
①当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，如图，当正方形PQMN点Q在x轴上时，
此时M与O点重合，
∵PN=PQ
∴OP的解析式为y=x
∴ A(m,m)，将A(m,m)代入y=x2−2x
即m2−2m−m =0
解得m =0,m =3
1 2∵m>0
∴A(3,3)
观察图形可知，当m≥3时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大；
②当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，当PQ经过抛物线的对称轴x=1时，
∵MQ=PQ=2|m|,m>0
∴2m=1
1
解得m= ，
2
1
观察图形可知，当0<m≤ 时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大；
2
1
综上所述，m的取值范围为0<m≤ 或m≥3
2
（4）
3 3
①如图，设正方形与抛物线的交点分别为E,F，当y −y = 时，则MN=
E F 4 4
∵A是正方形PQMN的中心，A(m,m2−2m)
1 3
∴ |x |= MN=
A 2 8
3
即m=−
8②如图，当A点在抛物线对称轴左侧，y轴右侧时，
∵ A(m,m2−2m)
∴MN=2m
1
∴y = y + MN= y +m=m2−2m+m=m2−m
E A 2 A
3
∵交点的纵坐标之差为 ，
4
3
∴F的纵坐标为m2−m−
4
∵F的横坐标为MQ=PQ=2m
∴F ( 2m,m2−m− 3)
4
∵F在抛物线y=x2−2x上，
3
∴m2−m− =(2m) 2−2×2m
41
解得m=
2
③当A在抛物线对称轴的右侧时，正方形与抛物线的交点分别为O，S，设直线AM交x轴于点T，如图，
3
则y = y =
N S 4
3
∴OM=OT=
4
( 3) (3 )
即M 0, ,N ,0
4 4
设直线MN解析式为y=kx+b
则¿
解得¿
3
∴直线MN解析式为y=−x+
4
联立y=x2−2x
3 1
解得x = ,x =− （舍去）
1 2 2 2
3 3
即A的横坐标为 ，即m= ，
2 2
3 1 3
综上所述，m=− 或m= 或m= ．
8 2 2
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，二次函数的对称性，正方形的性质，掌握二次函数图像的性质
是解题的关键．【考点5 二次函数的最值】
【例5】（2022·浙江衢州·统考中考真题）已知二次函数y=a(x−1) 2−a(a≠0)，当−1≤x≤4时，y的最
小值为−4，则a的值为（ ）
1 4 1 4 1
A． 或4 B． 或− C．− 或4 D．− 或4
2 3 2 3 2
【答案】D
【分析】分两种情况讨论，并且利用二次函数的性质即可解答．
【详解】解：二次函数y=a(x−1) 2−a(a≠0)的对称轴为：直线x=1，
（1）当a>0时，当−1≤x≤1时，y随x的增大而减小，当1≤x≤4，y随x的增大而增大，
∴ 当x=1时，y取得最小值，
∴ y=a(1−1) 2−a=−4，
∴a=4；
（2）当a<0时，当−1≤x≤1时，y随x的增大而增大，当1≤x≤4，y随x的增大而减小，
∴ 当x=4时，y取得最小值，
∴ y=a(4−1) 2−a=−4，
1
∴a=− ．
2
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质以及分类讨论思想是解题的关键．
【变式5-1】（2022·浙江丽水·统考中考真题）如图，已知点M(x ,y ),N(x ,y )在二次函数
1 1 2 2
y=a(x−2) 2−1(a>0)的图像上，且x −x =3．
2 1
(1)若二次函数的图像经过点(3,1)．①求这个二次函数的表达式；
②若y = y ，求顶点到MN的距离；
1 2
(2)当x ≤x≤x 时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围．
1 2
9
【答案】(1)①y=2x2−8x+7；②
2
1 4
(2)
<a≤
9 9
【分析】（1）①将点(3,1)代入y=a(x−2) 2−1(a>0)中即可求出二次函数表达式；
②当y = y 时，此时MN为平行x轴的直线，将M(x ,y ),N(x ,y )代入二次函数解析式中求出
1 2 1 1 2 2
7
x +x =4，再由x −x =3求出直线MN为y= ，最后根据二次函数顶点坐标即可求解；
2 1 2 1 2
（2）分两种情形：若M，N在对称轴的异侧，y ≥ y ；若M、N在对称轴的异侧，y ≤ y ，x<2，分别求
1 2 1 2 1
解即可．
【详解】（1）解：①将点(3,1)代入y=a(x−2) 2−1(a>0)中，
∴1=a(3−2) 2−1，解得a=2，
∴二次函数的表达式为：y=2(x−2) 2−1=2x2−8x+7；
②当y = y 时，此时MN为平行x轴的直线，
1 2
将M(x ,y )代入二次函数中得到：y =2x ❑ 2−8x +7，
1 1 1 1 1
将N(x ,y )代入二次函数中得到：y =2x ❑ 2−8x +7，
2 2 2 2 2
∵y = y ，
1 2
∴2x ❑ 2−8x +7=2x ❑ 2−8x +7，
1 1 2 2
整理得到：(x +x )(x −x )−4(x −x )=0，
1 2 1 2 1 2
1 7
又∵x −x =3，代入上式得到：x +x =4，解出x = ,x = ，
2 1 2 1 1 2 2 2
1 2 1 7 7
∴y = y =2×( ) −8× +7= ，即直线MN为：y= ，
2 1 2 2 2 2又∵二次函数的顶点坐标为(2，-1)，
7 9
∴顶点(2,-1)到MN的距离为 +1= ；
2 2
（2）解：若M，N在对称轴的异侧，y ≥ y ，
1 2
∴x+3>2，
1
∴x>-1，
1
∵x −x =3
2 1
1
∴x ≤ ，
1 2
1
∴-1<x ≤ ，
1 2
∵函数的最大值为y=a（x-2）2-1，最小值为-1，
1 1
∴y-（-1）=1，
1
∴a= ，
(x −2) 2
1
9
∴ ≤(x −2) 2<9，
4 1
1 4
∴ <a≤ ；
9 9
若M、N在对称轴的异侧，y ≤ y ，x<2，
1 2 1
1
∵x > ，
1 2
1
∴ <x <2，
2 1
∵函数的最大值为y=a（x-2）2-1，最小值为-1，
2
∴y-（-1）=1，
1
∴a= ，
(x +1) 2
1
9
∴ <(x +1) 2<9，
4 1
1 4
∴ <a< ，
9 91 4
综上所述，a的取值范围为 <a≤ ．
9 9
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图像与性质及二次函数的最值等问题：当
开口向上(向下)时，自变量的取值离对称轴越远，其对应的函数值就越大(越小) ．
【变式5-2】（2022·山东济南·济南育英中学校考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线
y=x2−2x−3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，D为抛物线顶点．连接AD交y轴于点E，点P在
第四象限的抛物线上，连接AP、BE交于点G，设w=S :S ，则w的最小值是（ ）
ΔABG ΔBGP
24 25 5 145
A． B． C． D．
25 24 8 16
【答案】A
【分析】根据已知条件设P(m,m2−2m−3)，其中0<m<3，求得直线AP的解析式，直线BE的解析式，
1
AB⋅|y |
2 G 8
联立即可求得点G的坐标，根据w= =
，令
1 | 1 | −3m2+8m+3
AB⋅|y − AB⋅|y
2 p 2 G
z=−3m2+8m+3=−3 ( m− 4) 2 + 25 ，根据二次函数的性质求得z的最大值，即可求得w的最小值．
3 3
【详解】∵点P在第四象限的抛物线上，AP、BE交于点G，如图，
当y=0时，x2−2x−3=0，解得x =−1，x =3，
1 2
即A(−1,0)，B(3,0)，
∵D为抛物线顶点，
∴D(1,−4)，
设直线AD的解析式为y=ax+b，
∵A(−1,0)，D(1,−4)，
∴¿，
解得：¿，
∴直线AD的解析式为y=−2x−2，
当x=0时，y=−2，
∴E(0,−2)，
设P(m,m2−2m−3)，其中0<m<3，
设直线AP的解析式为y=cx+d，
∵A(−1,0),P(m,m2−2m−3)，
∴¿，
解得：¿，
∴直线AP的解析式为y=(m−3)x+m−3．
设直线BE的解析式为y=ex+f，
∵B(3,0),E(0,−2)，
∴¿，
解得¿，
2
∴直线BE的解析式为y= x−2，
3
联立方程组，得：¿，
解得：¿，
24−8m
∴y = ，
G 3m−11
∵0<m<3，
∴24−8m>0，3m−11<0，
24−8m
∴ <0，
3m−111 8(m−3)
AB|y |
S 2 G 3m−11 8
∴w= △ABG= = =
，
S △BGP 1 AB|y | − 1 AB|y | 24−8m −m2+2m+3 −3m2+8m+3
2 P 2 G 3m−11
令z=−3m2+8m+3=−3 ( m− 4) 2 + 25 ，
3 3
∵−3<0，
8 24
4 25 =
∴当m= 时，z取得最大值 ，w取得最小值为 25 25，
3 3
3
24
∴w有最小值，最小值为 ．
25
故选：A．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法与三角形面积计算，二次函数的性质求最值问题，运
用转化思想是解题的关键．
1
【变式5-3】（2022·天津滨海新·统考二模）已知：抛物线y=− x2+bx+c（b，c为常数），经过点A
3
（－2，0），C（0，4），点B为抛物线与x轴的另一个交点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；
(3)设点M，N是该抛物线对称轴上的两个动点，且MN=2，点M在点N下方，求四边形AMNC周长的最
小值．
1 4
【答案】(1)y=− x2+ x+4
3 3
(2)（3，5）
(3)2√5+2√10+2
【分析】(1)利用待定系数法即可求出抛物线的函数表达式；
(2)首先点B的坐标，再求出直线BC的解析式，过点P作PF⊥x轴于F，交BC于点Q，设点
1 4 2
P（m，− m2+ m+4），Q（m，− m+4）,当m=3时，S 有最大值,即可求出点P的坐标；
3 3 3 ΔPBC
（3）由四边形AMNC的周长=AM+MN+CN+AC，得到当AM+CN最小时，四边形AMNC的周长最小，
得出AM+CN=AM+DM，求出AM+DM的最小值即可得到结论.1
【详解】（1）解：∵抛物线y=− x2+bx+c经过点A（-2，0），C（0，4），
3
∴¿
解得¿
1 4
∴该抛物线的解析式： y=− x2+ x+4
3 3
1 4
（2）解：∵点B是抛物线y=− x2+ x+4与x轴的交点，
3 3
1 4
∴ − x2+ x+4=0，
3 3
∴x =−2，x =6，
1 2
∴点B的坐标为（6，0），
设直线BC的解析式为y=kx+n，
∵点B（6，0），C(0，4)
∴¿
解得¿ ，
2
∴直线BC解析式为：y=− x+4，
3
如图，过点P作PF⊥x轴于F，交BC于点Q，
1 4 2
设点P（m，− m2+ m+4），Q（m，− m+4）
3 3 3
∴PQ= ( − 1 m2+ 4 m+4 ) − ( − 2 m+4 ) =− 1 m2+2m，
3 3 3 3
∴S = 1 ⋅OB⋅PQ= 1 ×6× ( − 1 m2+2m ) =−(m−3) 2+9
△PBC 2 2 3
∴当m=3时，S 有最大值，
ΔPBC
∴点P的坐标为（3，5）．（3）解：∵A（-2，0），C（0，4），
∴AC=√22+42=2√5，
∵四边形AMNC的周长=AM+MN+CN+AC，MN=2，
∴当AM+CN最小时，四边形AMNC的周长最小.
将CN向下平移2个单位长度，得到对应线段DM，
∴点C的对应点D的坐标为（0，2），
∴AM+CN=AM+DM，
1
可知抛物线y=− x2+bx+c的对称轴为直线x=2，
3
如图，作点D关于对称轴x=2的对称点D′，可求得D′（4，2），连接AD′，
则AD'=AM+M D'=AM+DM，
过点D′作D′E⊥x轴于点E，D′E=2，AE=6，
∴AM+DM的最小值为AD'=√62+22=2√10，
∴四边形AMNC周长的最小值为AC+MN+AD'=2√5+2√10+2．
【点睛】本题为二次函数中考压轴题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、最短路线问题等知识
点，正确作出辅助线是解题的关键．
【考点6 待定系数法求二次函数的解析式】
( 5)
【例6】（2022·内蒙古·中考真题）如图，抛物线y=ax2+x+c经过B(3,0)，D −2,− 两点，与x轴的
2
另一个交点为A，与y轴相交于点C．(1)求抛物线的解析式和点C的坐标；
(2)若点M在直线BC上方的抛物线上运动（与点B，C不重合），求使△MBC面积最大时M点的坐标，并
求最大面积；（请在图1中探索）
(3)设点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足
条件的点P的坐标．（请在图2中探索）
【答案】(1)y=− 1 x2+x+ 3 ，C ( 0, 3)
2 2 2
(3 15) 3 27
(2)M , ，当m= 时，S有最大值为
2 8 2 16
( 5) ( 21) ( 3)
(3)满足条件的点P坐标为P 4,− ，P −4,− ，P 2,
1 2 2 2 3 2
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
1 3
（2）作直线BC，过M点作MN∥y轴交BC于点N，求出直线BC的解析式，设M（m，-
m2
+m+ ），则
2 2
1 3 1 3( 3) 2 27
N（m，- m+ ），可得S MBC= •MN•OB=− m− + ，再求解即可；
2 2 2 4 2 16
△
1 3
（3）设Q（0，t），P（m，-
m2
+m+ ），分三种情况讨论：①当AB为平行四边形的对角线时；②当
2 2
AQ为平行四边形的对角线时；③当AP为平行四边形的对角线时；根据平行四边形的对角线互相平分，利
用中点坐标公式求解即可．
（1）
( 5)
解：把点B(3,0)和D −2,− 分别代入y=ax2+x+c可得
2¿，
解得¿
1 3
∴抛物线的解析式为y=− x2+x+
2 2
1 3 3
把x=0代入y=− x2+x+ 可得y=
2 2 2
( 3)
∴C 0, ；
2
（2）
解：作直线BC，作MN∥y轴交直线BC于点N
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0）
( 3)
把点B(3,0)和C 0, 分别代入y=kx+b
2
可得¿
解得¿
1 3
∴直线BC的解析式为y=− x+
2 2
设点M的横坐标为m
∴M ( m,− 1 m2+m+ 3) ，N ( m,− 1 m+ 3)
2 2 2 2
∴MN= ( − 1 m2+m+ 3) − ( − 1 m+ 3)
2 2 2 2
1 3
=− m2+ m
2 2
∴S = 1 ⋅MN⋅OB= 1( − 1 m2+ 3 m ) ⋅3=− 3 m2+ 9 m
△BCM 2 2 2 2 4 43( 3) 2 27
=− m− + （0<m<3）
4 2 16
3 27
∴当m= 时，S有最大值为
2 16
3 1 3 15
把x= 代入y=− x2+x+ 可得y=
2 2 2 8
(3 15)
∴M , ；
2 8
（3）
解：当以AB为边时，只要PQ∥AB，且PQ=AB=4即可
∴点P的横坐标为4或-4
1 3 5
把x=4代入y=− x2+x+ 可得y=−
2 2 2
1 3 21
把x=−4代入y=− x2+x+ 可得y=−
2 2 2
( 5) ( 21)
∴此时P 4,− ，P −4,−
1 2 2 2
当以AB为对角线时，作P H⊥x轴于点H
3
∵四边形AQ BP 是平行四边形
3 3
∴AQ ∥BP ，AQ =BP
3 3 3 3∴∠Q AB=∠P BA
3 3
在△AOQ 和△BH P 中
3 3
¿
∴△AOQ ≌△BH P
3 3
∴OA=HB=1
∴OH=OB−BH=3−1=2
∴点P的横坐标为2
1 3 3
把x=2代入y=− x2+x+ 可得y=
2 2 2
( 3)
∴此时P 2,
3 2
( 5) ( 21) ( 3)
综上所述，满足条件的点P坐标为P 4,− ，P −4,− ，P 2,
1 2 2 2 3 2
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨
论是解题的关键．
【变式6-1】（2022·四川巴中·统考中考真题）如图1，抛物线y=ax2+2x+c，交x轴于A、B两点，交y
轴于点C，F为抛物线顶点，直线EF垂直于x轴于点E，当y≥0时，−1≤x≤3．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是线段BE上的动点（除B、E外），过点P作x轴的垂线交抛物线于点D．
①当点P的横坐标为2时，求四边形ACFD的面积；
②如图2，直线AD，BD分别与抛物线对称轴交于M、N两点．试问，EM+EN是否为定值？如果是，请
求出这个定值；如果不是，请说明理由．
【答案】(1)y=−x2+2x+3
(2)①4；②是，定值为8，理由见解析【分析】（1）由当y≥0时，−1≤x≤3，可知x =−1，x =3是ax2+2x+c=0的两根，代入方程可得a,c
1 2
从而得解；
（2）①把x=2代入抛物线解析式可得D点坐标，再x=0代入抛物线解析式可得C点坐标，
从而得知线段CD∥x轴，利用配方法可知点F坐标，从而利用
1
S =S +S = CD(y −y )求面积；
四边形ACFD △FCD △ACD 2 F A
②设D(m,−m2+2m+3)(1<m<3)，用待定系数法求出直线AD与直线BD的解析式，再令x=1得y ，
M
y ，从而得出ME，NE的长，从而得到NE+ME是定值8．
N
【详解】（1）解：∵当y≥0时，−1≤x≤3，
∴x =−1，x =3是ax2+2x+c=0的两根，A(−1,0)，B(3,0)，
1 2
∴¿，
解得：¿，
∴抛物线的表达式为：y=−x2+2x+3；
（2）①把x=2代入y=−x2+2x+3得：y=3，
∴D(2,3)．
又当x=0，y=3，
∴C(0,3)，
∴线段CD∥x轴．
∵y=−x2+2x+3=−(x−1) 2+4，
∴F(1,4)，1
S =S +S = CD(y −y )=4；
四边形ACFD △FCD △ACD 2 F A
②设D(m,−m2+2m+3)(1<m<3)，
直线AD:y=k x+b ，BD:y=k x+b ，
1 1 2 2
因此可得：
¿或¿，
解得：¿或¿，
∴直线AD:y=(3−m)x+(3−m)，
BD:y=−(m+1)x+3(m+1)．
令x=1得y =6−2m，y =2m+2，
M N
∴ME=6−2m，NE=2m+2，
∴NE+ME=8．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合，涉及四边形的面积求法，待定系数法等知识，掌握待定系数
法和面积求法是解题的关键．
1
【变式6-2】（2022·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，抛物线y=− x2+bx+c与x轴交于A(−1,0)，B两点，
2
与y轴交于点C(0,2)，连接BC．(1)求抛物线的解析式．
(2)点P是第三象限抛物线上一点，直线PE与y轴交于点D，△BCD的面积为12，求点P的坐标．
(3)在（2）的条件下，若点E是线段BC上点，连接OE，将△OEB沿直线OE翻折得到△OEB′，当直线
EB′与直线BP相交所成锐角为45°时，求点B′的坐标．
1 3
【答案】(1)y=− x2+ x+2；
2 2
(2)P（−3，−7）；
(4√5 8√5) ( 8√5 4√5)
(3)B′的坐标为 , 或 − , ．
5 5 5 5
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）先由△BDC的面积求出OD的长，从而确定D点坐标为（0，−4），再由待定系数法求出直线BD的
解析式，直线BD与抛物线的交点即为所求；
1
（3）当B′在第一象限时，由∠ODB＝45°，可知EB′∥CD，求出直线BC的解析式，可设E（t，− t+2
2
1
），在Rt△OHB′中，B′H=√16−t2，则BE=√16−t2+ t−2，在Rt△BHE中，由勾股定理得
2
(√16−t2+ 1 t−2 ) 2 =(4−t) 2+ ( − 1 t+2 ) 2 ，求出t的值即可求B′坐标；当B′在第二象限时，B′G∥x轴，
2 2
可得四边形B′OBE是平行四边形，则B′(
t−4,−
1
t+2
)
，由折叠的性质可判断平行四边形OBEB′是菱形，
2
再由BE＝OB，可得
√ (4−t) 2+ ( − 1 t+2 ) 2 =4，求出t的值即可求B′坐标．
2
（1）1
将A（−1，0），C（0，2）代入y=− x2+bx+c，
2
∴¿，
解得¿，
1 3
∴y=− x2+ x+2；
2 2
（2）
1 3
令y＝0，则− x2+ x+2=0，
2 2
解得x＝−1或x＝4，
∴B（4，0），
∴OB＝4，
1
∴S = ×4×(2+OD)=12，
△BCD 2
∴OD＝4，
∴D（0，−4），
设直线BD的解析式为y＝kx＋b，
∴¿，
解得¿，
∴y＝x−4，
联立方程组¿，
解得¿或¿，
∴P（−3，−7）；
（3）
如图1，当B′在第一象限时，
设直线BC的解析式为y＝k′x＋b′，¿，
解得¿，
1
∴y=− x+2，
2
1
设E（t，− t+2），，
2
1
∴OE＝t，EH＝− t+2，
2
∵D（0，−4），B（4，0），
∴OB＝OD，
∴∠ODB＝45°，
∵直线EB′与直线BP相交所成锐角为45°，
∴EB′∥CD，
由折叠可知，OB′=BO=4，BE＝B′E，
在Rt△OHB′中，B′H=√16−t2，
∴B′E=√16−t2− ( − 1 t+2 ) =√16−t2+ 1 t−2，
2 2
1
∴BE=√16−t2+ t−2
2
在Rt△BHE中， (√16−t2+ 1 t−2 ) 2 =(4−t) 2+ ( − 1 t+2 ) 2 ，
2 2
4√5
解得t=± ，
5
∵0≤t≤4，
4√5
∴t＝ ，
5
∴B′(4√5
,
8√5)
；
5 5
如图2，当B′在第二象限，∠BGB′＝45°时，∵∠ABP＝45°，
∴B′G∥x轴，
∵B′E＝BO，
∴四边形B′OBE是平行四边形，
∴B′E＝4，
∴B′(
t−4,−
1
t+2
)
，
2
由折叠可知OB=OB′=4，
∴平行四边形OBEB′是菱形，
∴BE＝OB，
∴ √ (4−t) 2+ ( − 1 t+2 ) 2 =4，
2
8√5 8√5
解得t=4+ 或t=4− ，
5 5
∵0≤t≤4，
8√5
∴t=4− ，
5
∴B′(
−
8√5
,
4√5)
；
5 5
(4√5 8√5) ( 8√5 4√5)
综上所述：B′的坐标为 , 或 − , ．
5 5 5 5
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，折叠的
性质，勾股定理的应用是解题的关键．
1
【变式6-3】（2022·江苏镇江·统考中考真题）一次函数y= x+1的图像与x轴交于点A，二次函数
21 5
y=ax2+bx+c(a≠0)的图像经过点A、原点O和一次函数y= x+1图像上的点B(m, )．
2 4
(1)求这个二次函数的表达式；
1 9
(2)如图1，一次函数y= x+n(n>− ,n≠1)与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像交于点C(x ,y )、
2 16 1 1
D(x ,y )（x <x ），过点C作直线l ⊥x轴于点E，过点D作直线l ⊥x轴，过点B作BF⊥l 于点F．
2 2 1 2 1 2 2
①x = _________，x = _________（分别用含n的代数式表示）；
1 2
②证明：AE=BF；
(3)如图2，二次函数y=a(x−t) 2+2的图像是由二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像平移后得到的，且
1
与一次函数y= x+1的图像交于点P、Q（点P在点Q的左侧），过点P作直线l ⊥x轴，过点Q作直线
2 3
l ⊥x轴，设平移后点A、B的对应点分别为A′、B′，过点A′作A′M⊥l 于点M，过点B′作B′N⊥l 于点
4 3 4
N．
①A′M与B′N相等吗？请说明你的理由；
②若A′M+3B′N=2，求t的值．
【答案】(1)y=x2+2x
−3−√9+16n −3+√9+16n
(2)① ， ；②见解析
4 4
(3)①A′M=B′N，理由见解析；②3
【分析】（1）通过一次函数表达式可以求出A、B两点坐标，将A、B、C三点坐标代入二次函数表达式即
可求解；1
（2）①通过联立关系式可得：
x+n=x2+2x，利用公式法解一元二次方程，求出方程的解即可得到
2
x ,x 的值；
1 2
−3−√9+16n
②通过A（-2，0），E( ,0)即可求出AE的长度；
4
1 5 −3+√9+16n 5
通过B( , )，F( , )即可求出BF的长度；
2 4 4 4
（3）①通过二次函数平移前后的表达式可以确定新二次函数的图像是由原二次函数的图像向右平移(t+1)
3 17
个单位，向上平移3个单位得到的，从而可以得到：A′ (t−1,3)，B′ (t+ , )．通过联立关系式可得：
2 4
1
(x−t) 2+2= x+1，利用公式法解一元二次方程，求出方程的解即可得到点P、点Q的横坐标，通过坐
2
标即可表示出A′M、B′N的长度．
5−√8t−15 1
②由①可得 = ，求解即可．
4 2
1
【详解】（1）令y=0，则 x+1=0，解得x=−2，
2
∴A(−2,0)，
5 1 1
将点B(m, )代入y= x+1中，解得m= ，
4 2 2
1 5
∴点B的坐标为( , )．
2 4
1 5
将A(−2,0)，B( , )，C(0,0)代入y=ax2+bx+c(a≠0)可得：
2 4
4a−2b+c=0
a=1
1 1 5
{ a+ b+c= ，解得：{b=2，
4 2 4
c=0
c=0
∴二次函数的表达式为y=x2+2x．
1 9
（2）①∵一次函数y= x+n(n>− ,n≠1)与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像交于点C(x ,y )、
2 16 1 1
D(x ,y )（x <x ），
2 2 1 2
1
∴联立关系式得：
x+n=x2+2x，
23
整理得：x2+ x−n=0，
2
3 √9 3 √9
− − +4n − + +4n
解得： 2 4 −3−√9+16n， 2 4 −3+√9+16n，
x = = x = =
1 2 4 2 2 4
−3−√9+16n −3+√9+16n
故答案为：x = ，x = ；
1 4 2 4
1 5
②当n>1时，CD位于AB的上方，∵A(−2,0)、B( , )，
2 4
3 √9 5 √9 3 √9 5 √9
− − +4n − + +4n − + +4n − + +4n
∴ 2 4 2 4 ， 2 4 1 2 4 ，
AE=−2− = BF= − =
2 2 2 2 2
∴AE=BF，
9
当− <n<1时，CD位于AB的下方，同理可证．
16
故可得：AE=BF；
（3）方法一：
①∵二次函数y=x2+2x图像的顶点为(−1,−1)，
二次函数y=(x−t) 2+2的图像的顶点为(t,2)，
∴新二次函数的图像是由原二次函数的图像向右平移(t+1)个单位，向上平移3个单位得到的．
1 5 3 17
∴A(−2,0)的对应点为A′ (t−1,3)，B( , )的对应点为B′ (t+ , )，
2 4 2 4
1
联立关系式可得：(x−t) 2+2= x+1，
2
1
整理得：x2−(2t+ )x+t+1=0，
2
8t−15
△= ，
4
15 4t+1−√8t−15 4t+1+√8t−15
当t> 时，解得：x = ，x = ，
8 P 4 Q 4
3 4t+1+√8t−15 5−√8t−15 4t+1−√8t−15 5−√8t−15
∴NB′=t+ − = ，AM′= −(t−1)= ，
2 4 4 4 4
∴A′M=B′N．
②∵A′M+3B′N=2，A′M=B′N．1
∴A′M=B′N=
，
2
5−√8t−15 1
∴ = ，解得:t=3．
4 2
方法二：
①设P、Q平移前的对应点分别为P′、Q′，则P′Q′∥PQ．则P′Q′∥AB，
∵A′、B′平移前的对应点分别为A、B，
由（2）②及平移的性质可知，A′M=B′N．
1
②∵A′M+3B′N=2，∴A′M=B′N=
，
2
1 5 1
∵B( , )到y轴的距离为 ，点O是y轴与二次函数y=x2+2x的图像的交点，
2 4 2
∴平移后点O的对应点即为点Q．
∵二次函数y=x2+2x图像的顶点为(−1,−1)，
二次函数y=(x−t) 2+2的图像的顶点为(t,2)，
∴新二次函数的图像是由原二次函数的图像向右平移(t+1)个单位，向上平移3个单位得到的．
1
∴Q(t+1,3)，将点Q的坐标代入y= x+1中，解得t=3．
2
另解：
1
∵A′M+3B′N=2，∴A′M=B′N=
，
2
1 5 3 17 1
B( , )的对应点为B′ (t+ , )．∵B′N= ，
2 4 2 4 2
1 1 3
∴点Q的横坐标为t+1，代入y= x+1，得y= t+ ．
2 2 2
1 3
∴Q(t+1, t+ )．将点Q的坐标代入y=(x−t) 2+2中，解得t=3．
2 2
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数表达式，联立关系式求交点坐标及利用点的坐标表示线段的长
度，能够熟练掌握函数中表示线段长度的方法，求交点坐标的方法，熟练掌握用公式法解一元二次方程是
解决本题的关键．
【要点4 二次函数图象的平移变换】
（1）平移步骤：
①将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ；②保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到 处，具体平移方法如下：
向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位
y=ax2 y=ax2+k
向右(h>0)【或左(h<0)】
向右(h>0)【或左(h<0)】 平移 |k|个单位 向右(h>0)【或左(h<0)】
平移|k|个单位 平移|k|个单位
向上(k>0)【或下(k<0)】
平移|k|个单位
y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k
向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位
（2）平移规律：在原有函数的基础上“ 值正右移，负左移； 值正上移，负下移”．概括成八个字“左
加右减，上加下减”．
【考点7 二次函数图象的平移】
【例7】（2022·四川巴中·统考中考真题）函数y=|ax2+bx+c|(a>0,b2−4ac>0)的图象是由函数
y=ax2+bx+c(a>0,b2−4ac>0)的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，
则下列结论正确的是（ ）
①2a+b=0 ；②c=3； ③abc>0；④将图象向上平移1个单位后与直线y=5有3个交点．
A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④
【答案】D
b
【分析】根据函数图象与x轴交点的横坐标求出对称轴为− =1，进而可得2a+b=0，故①正确；由函
2a
数图象与y轴的交点坐标为（0，3），y=ax2+bx+c(a>0,b2−4ac>0)的图象x轴上方部分不变，下方
部分沿x轴向上翻折而成可知c＝-3，故②错误；根据对称轴求出b＜0，进而可得abc>0，故③正确；求出
翻折前的二次函数的顶点坐标，然后根据平移的性质可得④正确．
【详解】解：由函数图象可得：y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标为－1和3，−1+3 b
∴对称轴为x= =1，即− =1，
2 2a
∴整理得：2a+b=0，故①正确；
∵y=|ax2+bx+c|(a>0,b2−4ac>0)与y轴的交点坐标为（0，3），
y=ax2+bx+c(a>0)可知，开口向上，图中函数图象是由原函数下方部分沿x轴向上翻折而成，
∴c＝-3，故②错误；
b
∵y=ax2+bx+c(a>0,b2−4ac>0)中a＞0，− =1，
2a
∴b＜0，
又∵c＝-3＜0，
∴abc>0，故③正确；
设抛物线y=ax2+bx+c的解析式为y=a(x+1)(x−3)，
代入（0，3）得：3=−3a，
解得：a＝－1，
∴y=−(x+1)(x−3)=−x2+2x+3=−(x−1) 2+4，
∴顶点坐标为（1，4），
∵点（1，4）向上平移1个单位后的坐标为（1，5），
∴将图象向上平移1个单位后与直线y=5有3个交点，故④正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的对称轴公式，顶点坐标的求法是解题的关键．
1
【变式7-1】（2022·上海·统考中考真题）已知：y= x2+bx+c经过点A(−2，−1)，B(0，−3)．
2
(1)求函数解析式；
(2)平移抛物线使得新顶点为P(m,n)（m＞0）．
①倘若S =3，且在x=k的右侧，两抛物线都上升，求k的取值范围；
△OPB
②P在原抛物线上，新抛物线与y轴交于Q，∠BPQ=120∘时，求P点坐标．
1
【答案】(1)y= x2−3
2
(2)①k≥2
②P的坐标为（2√3，3）或（-2√3，3）1
【分析】（1）把A(−2，−1)，B(0，−3)代入y= x2+bx+c，求解即可；
2
1
（2）①由y= x2−3，得顶点坐标为(0，-3)，即点B是原抛物线的顶点，由平移得抛物线向右平移了m
2
1
个单位，根据S = ×3m=3，求得m=2，在x=k的右侧，两抛物线都上升，根据抛物线的性质即可求
△OPB 2
出k取值范围；
1 1 1
②把P（m，n）代入y= x2−3，得n= m2−3，则P（m， m2−3），从而求得新抛物线解析式为：
2 2 2
1 1 1 2 1
y= (x-m)2+n= x2-mx+m2-3，则Q(0，m2-3)，从而可求得BQ=m2，BP2=m2+( m2−3+3) =m2+ m4，
2 2 2 4
1 2 1
PQ2=m2+[( m2−3)−(m2−3)] =m2+ m4，即可得出BP=PQ，过点P作PC⊥y轴于C，则PC=|m|，
2 4
1 1 1 1
根据等腰三角形的性质可得BC= BQ= m2，∠BPC= ∠BPQ= ×120°=60°，再根据tan∠BPC= tan 60°=
2 2 2 2
1
m2
BC 2 ，即可求出m值，从而求出点P坐标．
= =√3
PC |m|
（1）
1
解：把A(−2，−1)，B(0，−3)代入y= x2+bx+c，得
2
¿，解得：¿，
1
∴函数解析式为：y= x2−3；
2
（2）
1
解：①∵y= x2−3，
2
∴顶点坐标为(0，-3)，即点B是原抛物线的顶点，
∵平移抛物线使得新顶点为P(m,n)（m＞0）．
∴抛物线向右平移了m个单位，
1
∴S = ×3m=3，
△OPB 2∴m=2，
∴平移抛物线对称轴为直线x=2，开口向上，
∵在x=k的右侧，两抛物线都上升，
又∵原抛物线对称轴为y 轴，开口向上，
∴k≥2，
1 1
②把P（m，n）代入y= x2−3，得n= m2−3，
2 2
1
∴P（m，
m2−3）
2
1 1
根据题意，得新抛物线解析式为：y= (x-m)2+n= x2-mx+m2-3，
2 2
∴Q(0，m2-3)，
∵B（0，-3），
1 2 1
∴BQ=m2，BP2=m2+( m2−3+3) =m2+ m4，
2 4
1 2 1
PQ2=m2+[( m2−3)−(m2−3)] =m2+ m4，
2 4
∴BP=PQ，
如图，过点P作PC⊥y轴于C，则PC=|m|，
∵BP=PQ，PC⊥BQ，
1 1 1 1
∴BC= BQ= m2，∠BPC= ∠BPQ= ×120°=60°，
2 2 2 21
m2
∴tan∠BPC= tan 60°=BC 2 ，
= =√3
PC |m|
解得：m=±2√3，
1
∴n=
m2−3=3，
2
故P的坐标为（2√3，3）或（-2√3，3）
【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，抛物线的平移，抛物线的性质，解直角三角形，等腰三角
形的性质，本题属抛物线综合题目，属中考常考试题目，难度一般．
【变式7-2】（2022·浙江嘉兴·统考中考真题）已知抛物线L：y＝a(x＋1)2－4（a≠0）经过点A(1，0)．
1
(1)求抛物线L 的函数表达式．
1
(2)将抛物线L 向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L．若抛物线L 的顶点关于坐标原点O的对称点在
1 2 2
抛物线L 上，求m的值．
1
(3)把抛物线L 向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L，若点B(1，y)，C(3，y)在抛物线L 上，且y＞
1 3 1 2 3 1
y，求n的取值范围．
2
【答案】(1)y=x2+2x−3
(2)m的值为4
(3)n>3
【分析】（1）把A(1,0)代入y=a(x+1) 2−4即可解得抛物线L 的函数表达式为y=x2+2x−3；
1
（2）将抛物线L 向上平移m(m>0)个单位得到抛物线L ，顶点为(−1,−4+m)，关于原点的对称点为
1 2
(1,4−m)，代入y=x2+2x−3可解得m的值为4；
（3）把抛物线L 向右平移n(n>0)个单位得抛物线L 为y=(x−n+1) 2−4，根据点B(1，y)，C(3，y)都
1 3 1 2
在抛物线L 上，当y＞y 时，可得(2−n) 2−4>(4−n) 2−4，即可解得n的取值范围是n>3．
3 1 2
【详解】（1）解：把A(1,0)代入y=a(x+1) 2−4得：
a(1+1) 2−4=0，
解得a=1，∴y=(x+1) 2−4=x2+2x−3；
答：抛物线L 的函数表达式为y=x2+2x−3；
1
（2）解：抛物线L :y=(x+1) 2−4的顶点为(−1,−4)，
1
将抛物线L 向上平移m(m>0)个单位得到抛物线L ，则抛物线L 的顶点为(−1,−4+m)，
1 2 2
而(−1,−4+m)关于原点的对称点为(1,4−m)，
把(1,4−m)代入y=x2+2x−3得：
12+2×1−3=4−m，
解得m=4，
答：m的值为4；
（3）解：把抛物线L 向右平移n(n>0)个单位得到抛物线L ，抛物线L 解析式为y=(x−n+1) 2−4，
1 3 3
∵点B(1,y )，C(3,y )都在抛物线L 上，
1 2 3
∴y =(1−n+1) 2−4=(2−n) 2−4，
1
y =(3−n+1) 2−4=(4−n) 2−4，
2
∵y＞y，
1 2
∴(2−n) 2−4>(4−n) 2−4，
整理变形得：(2−n) 2−(4−n) 2>0，
(2−n+4−n)(2−n−4+n)>0
−2×(6−2n)>0，
6−2n<0
解得n>3，
∴n的取值范围是n>3．
【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，对称及平移变换等知识，解题的关键是能得出含
字母的式子表达抛物线平移后的解析式．
【变式7-3】（2022·湖南岳阳·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线F ：
1
y=x2+bx+c经过点A(−3,0)和点B(1,0)．(1)求抛物线F 的解析式；
1
(2)如图2，作抛物线F ，使它与抛物线F 关于原点O成中心对称，请直接写出抛物线F 的解析式；
2 1 2
(3)如图3，将（2）中抛物线F 向上平移2个单位，得到抛物线F ，抛物线F 与抛物线F 相交于C，D两
2 3 1 3
点（点C在点D的左侧）．
①求点C和点D的坐标；
②若点M，N分别为抛物线F 和抛物线F 上C，D之间的动点（点M，N与点C，D不重合），试求四边
1 3
形CMDN面积的最大值．
【答案】(1)y=x2+2x−3
(2)y=−x2+2x+3
(3)①C(−2,−3)或D(2,5)；②16
【分析】（1）将点A(−3,0)和点B(1,0)代入y=x2+bx+c，即可求解；
（2）利用对称性求出函数F 顶点(−1,−4)关于原点的对称点为(1,4)，即可求函数F 的解析式；
1 2
（3）①通过联立方程组¿，求出C点和D点坐标即可；
②求出直线CD的解析式，过点M作MF∥y轴交CD于点F，过点N作NE∥y轴交于点E，设
M(m,m2+2m−3)，N(n,−n2+2n+5)，则F(m,2m+1)，N(n,2n+1)，可求MF=−m2+4，
NE=−n2+4，由S =S +S =2(MF+NE)，分别求出MF的最大值4，NE的最大值4，
四边形CMDN △CDN △CDM
即可求解．
（1）
解：将点A(−3,0)和点B(1,0)代入y=x2+bx+c，
∴¿，解得¿，
∴y=x2+2x−3．（2）
∵y=x2+2x−3=(x+1) 2−4，
∴抛物线的顶点(−1,−4)，
∵顶点(−1,−4)关于原点的对称点为(1,4)，
∴抛物线F 的解析式为y=−(x−1) 2+4，
2
∴y=−x2+2x+3．
（3）
由题意可得，抛物线F 的解析式为y=−(x−1) 2+6=−x2+2x+5，
3
①联立方程组¿，
解得x=2或x=−2，
∴C(−2,−3)或D(2,5)；
②设直线CD的解析式为y=kx+b，
∴¿，解得¿，
∴y=2x+1，
过点M作MF∥y轴交CD于点F，过点N作NE∥y轴交于点E，如图所示：
设M(m,m2+2m−3)，N(n,−n2+2n+5)，
则F(m,2m+1)，N(n,2n+1)，
∴MF=2m+1−(m2+2m−3)=−m2+4，NE=−n2+2n+5−2n−1=−n2+4，
∵−2<m<2，−2<n<2，
∴当m=0时，MF有最大值4，
当n=0时，NE有最大值4，
1
∵S =S +S = ×4×(MF+NE)=2(MF+NE)，
四边形CMDN △CDN △CDM 2
∴当MF+NE最大时，四边形CMDN面积的最大值为16．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，图象平移和对称的性质是解
题的关键．
【要点5 二次函数与一元二次方程之间的关系】
判别式情况 b2－4ac＞0 b2－4ac＝0 b2－4ac＜0
a＞0
二次函数y＝
ax2＋bx＋
c(a≠0)与x轴
的交点
a＜0
一元二次方程ax2＋bx 有两个不相等 有两个相等的
没有实数根
＋c＝0的实数根 的实数根x，x 实数根x＝x
1 2 1 2
【考点8 二次函数与一元二次方程】
1
【例8】（2022·湖北恩施·统考中考真题）已知抛物线y= x2−bx+c，当x=1时，y<0；当x=2时，
2
y<0．下列判断：
3 1
①b2>2c；②若c>1，则b> ；③已知点A(m ,n )，B(m ,n )在抛物线y= x2−bx+c上，当
2 1 1 2 2 2
1
m <m <b时，n >n ；④若方程 x2−bx+c=0的两实数根为x ，x ，则x +x >3．
1 2 1 2 2 1 2 1 2
其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】利用根的判别式可判断①；把x=1，代入，得到不等式，即可判断②；求得抛物线的对称轴为直线x=b，利用二次函数的性质即可判断③；利用根与系数的关系即可判断④．
1
【详解】解：∵a= >0，开口向上，且当x=1时，y<0；当x=2时，y<0，
2
1
∴抛物线y= x2−bx+c与x轴有两个不同的交点，
2
∴△=b2−4ac=b2−2c>0，
∴b2>2c；故①正确；
∵当x=1时，y<0，
1 1
∴ -b+c<0，即b> +c，
2 2
∵c>1，
3
∴b> ，故②正确；
2
1
抛物线y= x2−bx+c的对称轴为直线x=b，且开口向上，
2
当x<b时，y的值随x的增加反而减少，
∴当m <m <b时，n >n ；故③正确；
1 2 1 2
1
∵方程
x2−bx+c=0的两实数根为x，x，
2 1 2
∴x+x=2b，
1 2
3
∵当c>1时，b> ，
2
3
∴则x+x>3，但当c<1时，则b未必大于 ，则x+x>3的结论不成立，
1 2 2 1 2
故④不正确；
综上，正确的有①②③，共3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程的根的判别式以及根与系数的关系等知识，解题的关
键是读懂题意，灵活运用所学知识解决问题．
【变式8-1】（2022·山西·中考真题）阅读与思考
下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务
用函数观点认识一元二次方程根的情况
我们知道，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是相应的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象
（称为抛物线）与x轴交点的横坐标．抛物线与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点．与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实
数根．因此可用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况
b 4ac−b2
下面根据抛物线的顶点坐标（− ， ）和一元二次方程根的判别式△=b2−4ac，分别分a>0和
2a 4a
a<0两种情况进行分析：
（1）a>0时，抛物线开口向上．
4ac−b2
①当△=b2−4ac>0时，有4ac−b2<0．∵a>0，∴顶点纵坐标 <0．
4a
∴顶点在x轴的下方，抛物线与x轴有两个交点（如图1）．
4ac−b2
②当△=b2−4ac=0时，有4ac−b2=0．∵a>0，∴顶点纵坐标 =0．
4a
∴顶点在x轴上，抛物线与x轴有一个交点（如图2）．
∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根．
③当△=b2−4ac=0时，
……
（2）a<0时，抛物线开口向下．
……
任务：
(1)上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是 （从下面选项中选出两个即可）；
A．数形结合
B．统计思想
C．分类讨论．
D．转化思想
(2)请参照小论文中当a>0时①②的分析过程，写出③中当a>0,△<0时，一元二次方程根的情况的分析过
程，并画出相应的示意图；
(3)实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识，例如：可用函数观点来认识一元一次方程的解．请你再举出一例为
【答案】(1)AC
(2)分析见解析；作图见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）解一元二次方程的解转化为抛物线与x轴交点的横坐标；还体现了分类讨论思想；
（2）依照例题，画出图形，数形结合，可以解答；
（3）结合所学知识，找到用转化思想或数形结合或分类讨论思想解决问题的一种情况即可．
（1）
解：上面解一元二次方程的过程中体现了转化思想、数形结合、分类讨论思想，
故答案为：AC；
（2）
解：a>0时，抛物线开口向上．
当 =b2−4ac<0时，有4ac−b2>0﹒
∵a△>0，
4ac−b2
∴顶点纵坐标 >0﹒
4a
∴顶点在x轴的上方，抛物线与x轴无交点（如图）：
∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根．
（3）
解：可用函数观点认识二元一次方程组的解．（答案不唯一．又如：可用函数观点认识一元一次不等式的
解集，等）
【点睛】本题考查的二次函数与一元二次方程的关系，根据转化思想将一元二次方程的解的问题转化成抛物线与x轴交点的横坐标的问题，再根据数形结合的思想用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根
的情况是本题的关键．
【变式8-2】（2022·四川自贡·统考中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)．
(1)若a=−1，且函数图象经过(0,3)，(2,−5)两点，求此二次函数的解析式，直接写出抛物线与x轴交点及
顶点的坐标；
(2)在图①中画出（1）中函数的大致图象，并根据图象写出函数值y≥3时自变量x的取值范围；
(3)若a+b+c=0且a>b>c，一元二次方程ax2+bx+c=0 两根之差等于a−c，函数图象经过
(1 )
P −c,y ，Q(1+3c,y )两点，试比较y ,y 的大小 ．
2 1 2 1 2
【答案】(1)(1,0)，(−3,0)；(−1,4)；
(2)见详解；−2≤x≤0；
(3)y >y ．
2 1
【分析】（1）利用待定系数法可求出抛物线的解析式，可得所求点的坐标；
（2）由题意画出图象，结合图象写出x的取值范围；
（3）根据题意分别求出a=1，b=−1−c，将点P点Q的坐标代入分别求出y ,y ，利用作差法比较大小
1 2
即可．
【详解】（1）解：∵a=−1，且函数图象经过(0,3)，(2,−5)两点，
∴¿，
∴二次函数的解析式为y=−x2−2x+3，
∵当y=0时，则0=−x2−2x+3，
解得x =1，x =−3，
1 2
∴抛物线与x轴交点的坐标为(1,0)，(−3,0)，∵y=−x2−2x+3=−(x+1) 2+4，
∴抛物线的顶点的坐标为(−1,4)．
（2）解：函数的大致图象，如图①所示：
当y=3时，则3=−x2−2x+3，
解得x =0，x =−2，
1 2
由图象可知：当−2≤x≤0时，函数值y≥3．
（3）解：∵a+b+c=0且a>b>c，
∴a>0，c<0，b=−a−c，且一元二次方程0=ax2+bx+c必有一根为x =1，
1
c
∵一元二次方程ax2+bx+c=0 两根之差等于a−c，且x x = <0
1 2 a
∴方程的另一个根为x =1+c−a，
2
c−a
∴抛物线的对称轴为直线：x=1+ ，
2
b c−a
∴− =1+ ，
2a 2
∴−b=2a+ac−a2，
∴a+c=2a+ac−a2，
∴(a−1)(a−c)=0，
∵a>c，
∴a=1，b=−1−c，
∴y=x2−(1+c)x+c(1 )
∵P −c,y ，Q(1+3c,y )，
2 1 2
∴y = (1 −c ) 2 −(1+c) (1 −c ) +c=2c2+ 1 c− 1 ，
1 2 2 2 4
y =(1+3c) 2−(1+c)(1+3c)+c=6c2+3c，
2
∴y −y =(6c2+3c)− ( 2c2+ 1 c− 1) =4 ( c+ 5 ) 2 − 9 ，
2 1 2 4 16 64
∵b＞c,
∴-1-c＞c,
1
∴c<− ,
2
( 5 ) 2 9
∴4 c+ − >0，
16 64
∴y >y ．
2 1
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，数形结合的思想，求出
b与c的关系是解题的关键．
【变式8-3】（2023·福建泉州·泉州五中校考三模）已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)，a、b、c为实数．
(1)当a=1且b=c+1时
①若抛物线的对称轴为直线x=2，求抛物线的解析式；
②若−1<x<3中，恒有y<0，求c的取值范围；
(2)若抛物线与x轴只有一个公共点M(2,0)，与y轴交于(0,2√3)；直线y=kx+2√3−2k与抛物线交于点
P、Q，过点P且与y轴平行的直线与直线MQ相交于点N，求证：对于每个给定的实数k，点N的纵坐标
均为定值．
【答案】(1)①y=x2−4x−5；②c≤−3
(2)证明见解析
【分析】（1）把a=1且b=c+1代入y=ax2+bx+c(a≠0)得y=x2+(c+1)x+c，根据①中对称轴x=2求
出c即可求解；根据②中−1<x<3，恒有y<0，列不等式组求解即可．
（2）利用待定系数法求出抛物线的解析式，联立抛物线与直线y=kx+2√3−2k消去y得，
√3
x2−2√3x+2√3=kx+2√3−2k，设直线y=kx+2√3−2k与抛物线交于点P(x ,y )、Q(x ,y )，
2 P P Q Q2√3 4√3
由一元二次方程根与系数的关系，得x +x =4+ k，x x = k，
P Q 3 P Q 3
2√3
y + y =k(x +x )+4√3−4k= k2+4√3；设直线MQ的解析式为y=mx+n，将M(2,0)，
P Q P Q 3
Q(x ,y )代入，求出m，n，将点N的横坐标代入即可求得N的纵坐标，问题得解．
Q Q
（1）
解∶ 把a=1且b=c+1代入y=ax2+bx+c(a≠0)得y=x2+(c+1)x+c，
①∵抛物线的对称轴为直线x=2，
c+1
∴− =2，
2
∴c=−5，
∴y=x2−4x−5
②∵在−1<x<3中，恒有y<0，
∴¿，
∴c≤−3；
（2）
解：∵抛物线与x轴只有一个公共点M(2,0)，与y轴交于(0,2√3)，
∴设抛物线解析式为y=a(x−2) 2，将(0,2√3)代入，得：
√3
2√3=a(0−2) 2，解得：a= ，
2
√3 √3
∴抛物线解析式为y= (x−2) 2= x2−2√3x+2√3，
2 2
如图，设直线y=kx+2√3−2k与抛物线交于点P(x ,y )、Q(x ,y )，
P P Q Q
√3
∴
x2−2√3x+2√3=kx+2√3−2k，整理得：√3x2−(4√3+2k)x+4k=0，
2
2√3 4√3
∴x +x =4+ k，x x = k，
P Q 3 P Q 3
2√3
∴y + y =k(x +x )+4√3−4k= k2+4√3，
P Q P Q 3设直线MQ的解析式为y=mx+n，将M(2,0)，Q(x ,y )代入，
Q Q
得：¿，解得：¿，
y 2y
∴直线MQ为y= Q x− Q ，
x −2 x −2
Q Q
y 2y y (x −2)
当x=x 时，y = Q ⋅x − Q = Q P
P N x −2 P x −2 x −2
Q Q Q
= √3 (x −2) 2× x P −2 = √3 [x x −2(x +x )+4]= √3[4√3 k−2 ( 4+ 2√3 k ) +4 ] =−2√3
2 Q x −2 2 P Q P Q 2 3 3
Q
故对于每个给定的实数k，点N的纵坐标均为定值−2√3．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合题，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图像和
性质，二次函数与一元二次方程及不等式的关系，一元二次方程根据与系数的关系，利用二次函数与一元
二次方程的关系是解本题的关键．
【考点9 利用二次函数的图象确定一元二次方程的近似根】
【例9】（2022·山东聊城·统考三模）观察下列表格，估计一元二次方程x2+3x−5=0的正数解在（ ）
x －1 0 1 2 3 4
x2+3x−5 －7 －5 －1 5 13 23A．－1和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间
【答案】C
【分析】令y=x2＋3x－5根据x=﹣1和x=5时的函数值，即可得到答案．
【详解】解：令y=x2＋3x－5，
当x=1时，y=−1<0，
当x=2时，y=5>0，
∴x2＋3x－5=0的一个正数x的取值范围为1＜x＜2，
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的与坐标轴的交点问题，掌握二次函数的性质是解题关键．
1
【变式9-1】（2022·浙江金华·统考一模）方程x2+3x=1的根可视为函数y=x+3的图象与函数y= 的图
x
象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程x3+2x=−1的实数根x所在的范围是（ ）
1 1 1
A．−1<x<− B．− <x<−
2 2 3
1 1 1
C．− <x<− D．− <x<0
3 4 4
【答案】B
1
【分析】按照提示方法，方程x3+2x=−1的根可视为函数y=x2+2的图象与函数y=− 的图象交点的横
x
坐标，在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，根据两个函数的图象的交点位置范围，确定原方程
的根x的所在范围．
【详解】解：发现x3+2x=−1的根不为0，
1
方程两边同除以x，得到x2+2=−
，
x
1
方程的根可视为函数y=x2+2的图象与函数y=− 的图象交点的横坐标，
x
在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，
( 1 ) ( 1 )
由图象看出，两个函数的图象交点在点 − ，2 和点 − ，3 之间，
2 3
1 1
∴方程x3+2x=−1的实数根x所在范围是− <x<− ．
2 3
故选B【点睛】本题考查了图象法解方程，解决问题的关键是按照题设方法把方程拆成两个函数，用两函数图象
交点位置范围估计方程实数根的所在范围．
1
【变式9-2】（2022·河南洛阳·统考一模）为解方程
x3−2x=1，小舟根据学习函数的经验对其进行了探
2
究，下面是其探究的过程，请补充完整：
1
(1)先研究函数y= x3−2x，列表如下：
2
1 5
x -2 -1 0 1 2
2 2
3 3 45
y 0 0 m − 0
2 2 16
表格中，m的值为______．
(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了函数
1
y= x3−2x图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数图象．
21
(3)观察图象，当
x3−2x>0时，满足条件的x的取值范围是______．
2
1
(4)在第（2）间的平面直角坐标系中画出直线y=1．根据图象直接写出方程 x3−2x=1的近似解（结果保
2
留一位小数）．
15
【答案】(1)−
16
(2)见解析
(3)−2<x<0,x>2
(4)x =1.7,x =0.5,x =2.2
1 2 3
1
【分析】（1）将x= 代入函数解析式即可求得m的值，
2
（2）根据（1）中表格数据，通过描点、连线的方法画出函数图象即可；
（3）根据函数图象直接写出x的取值范围；
（4）根据函数图象与直线y=1求近似解即可．
【详解】（1）当x=
1
时，y=
1
x3−2x =
1
×
(1) 3
−2×
1
=
1
−1=−
15
2 2 2 2 2 16 16
15
即m=−
16
15
故答案为：−
16
（2）根据（1）中表格数据，通过描点、连线，如图，1
（3）观察图象，当
x3−2x>0时，满足条件的x的取值范围是−2<x<0,x>2
2
（4）如图，
x =1.7,x =0.5,x =2.2
1 2 3
【点睛】本题考查了求函数值，列表，描点，连线画函数图象，根据函数图象求不等式的解集，根据函数
图象求方程的近似解，数形结合是解题的关键．
【变式9-3】（2022·江苏宿迁·统考一模）我们知道，可以借助于函数图象求方程的近似解．如图（甲），
把方程x﹣2＝1﹣x的解看成函数y＝x﹣2的图象与函数y＝1﹣x的图象的交点的横坐标，求得方程x﹣2＝
1﹣x的解为x＝1.5．1
(1)如图（乙），已画出了反比例函数y= 在第一象限内的图象，借助于此图象求出方程2x2﹣2x﹣1＝0的
x
正数解．（要求画出相应函数的图象，结果精确到0.1）
(2)选择：三次方程x3﹣x2﹣2x+1＝0的根的正负情况是 ．
A，有两个负根，一个正根
B．有三个负根
C．有一个负根，两个正根
D．有三个正根
【答案】(1)1.4；见解析；
(2)C
1
【分析】（1）根据题意可知，方程2x2−2x−1=0的解可看作是函数y= 与函数y=2x−2的交点坐标，
x
所以根据图象可得正数解约为1.4；
1 1
（2）方程x3−x3−2x+1=0变形为x2−x−2=− ，在坐标系中画出函数y=x2−x−2与函数y=− 的
x x
图象，根据图象的交点情况即可判断．
(1)
∵x≠0，
∴将2x2−2x−1=0两边同时除以x，
1
得2x−2− =0，
x1
即 =2x−2，
x
1
把2x2−2x−1=0的正数解视为由函数y= 与函数y=2x−2的图象在第一象限交点的横坐标．
x
如图：
∴正数解约为1.4；
(2)
1
关于x的方程x3−x3−2x+1=0变形为x2−x−2=−
，
x
1
在坐标系中画出函数y=x2−x−2与函数y=− 的图象如图：
x
1
由图象可知，函数y=x2−x−2与函数y=− 的交点在第三象限一个，第四象限两个，
x
∴关于x的方程x3−x3−2x+1=0有两个正根，一个负根，
故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数和一元二次方程之间的关系，一元二次方程的解都可化为一个反比例函数
和一次函数的交点问题求解．
【考点10 二次函数与不等式】
【例10】（2022·浙江宁波·一模）已知A，B两点的坐标分别为(2，−3)，(0，−1)，线段AB上有一动点
M(m，n)，过点M作x轴的平行线交抛物线y=a(x−1)2+2于P(x ，y )，Q(x ，y )两点（P在Q
1 2 2 2
的左侧）．若x ≤m<x 恒成立，则a的取值范围为（ ）
1 2
A．a<−5 B．a≤−3 C．−5<a<0 D．−3≤a<0
【答案】D
【分析】根据A、B两点的坐标，得出线段AB（B除外）位于第四象限，再根据抛物线解析式，得出抛物
线y=a(x−1)2+2的顶点坐标为(1，2)，此顶点位于第一象限，得出a<0，再结合图象，得出若
x ≤m<x ，则当x=2时，二次函数的函数值y>−3；当x=0时，二次函数的函数值y≥−1，即可联立不
1 2
等式组，解出即可得出结论．
【详解】解：如图，
由题意得：线段AB（B除外）位于第四象限，
∴过点M且平行x轴的直线在x轴的下方，
∵抛物线y=a(x−1)2+2的顶点坐标为(1，2)，此顶点位于第一象限，
∴a<0，
结合图象可知，若x ≤m<x ，则当x=2时，二次函数的函数值y>−3；当x=0时，二次函数的函数值
1 2
y≥−1，
即¿，解得：a≥−3，
又∵a<0，
∴−3≤a<0．
故选：D【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元一次不等式组，根据图象正确理解
x ≤m<x 恒成立是解本题的关键．
1 2
【变式10-1】（2022·新疆乌鲁木齐·校考三模）如图，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+ ℎ交于A、B两
点，下列是关于x的不等式或方程，结论正确的是（ ）
A．ax2+(b−k)x+c> ℎ的解集是2<x<4
B．ax2+(b−k)x+c> ℎ的解集是x>4
C．ax2+(b−k)x+c> ℎ的解集是x<2
D．ax2+(b−k)x+c= ℎ的解是x=2或x=4
【答案】D
【分析】根据函数图象可知，不等式ax2+bx+c>kx+h，即ax2+(b−k)x+c> ℎ的解集为：x<2或>4；方程
ax2+bx+c=x+h，即ax2+(b−k)x+c= ℎ的解为x=2或x=4．据此即可求解．
【详解】解：由函数图象可得，不等式ax2+bx+c>kx+h，即ax2+(b−k)x+c> ℎ的解集为：x<2或>4；故
A、B、C不符合题意；
方程ax2+bx+c=x+h，即ax2+(b−k)x+c= ℎ的解为x=2或x=4，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数与不等式，方程的联系，利用图象法求解，掌握数形结合思想是解题的关键．
【变式10-2】（2022·新疆乌鲁木齐·乌鲁木齐市第九中学校考三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
y=x2+mx与直线y=−x+b（m、b均为常数）交于点A(2,0)和点B．(1)求m和b的值；
(2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式x2+mx>−x+b的解集；
(3)点M是直线AB上的一个动点，点N在点M正下方（即MN∥y轴），且MN=2，若线段MN与抛物
线只有一个公共点，请直接写出点M的横坐标x 的取值范围．
M
【答案】(1)m=−2，b=2
(2)x<−1或x>2
(3)点M的横坐标x 的取值范围为1≤x ≤2或−1≤x ≤0
M M M
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）求出点B的坐标为(−1,3)，再观察函数图象即可求解；
（3）根据题意确定出m2−2m⩾−m且m2−2m⩽−m+2，根据二次函数与不等式的关系求出m的取值范
围即可．
【详解】（1）解：将点A的坐标代入抛物线表达式得：0=4+2m，解得：m=−2，
将点A的坐标代入直线表达式得：0=−2+b，解得b=2；
故m=−2，b=2；
（2）解：由（1）得，直线和抛物线的表达式为：y=−x+2，y=x2−2x，
联立上述两个函数表达式并解得¿，或¿（不符合题意，舍去），
即点B的坐标为(−1,3)，
从图象看，不等式x2+mx>−x+b的解集为x<−1或x>2；
（3）解：由题意设点M的坐标为(m,−m+2)，则点N(m,−m)，
∵线段MN与抛物线只有一个公共点，
∴¿，解得：1≤m≤2或−1≤m≤0，
∴点M的横坐标x 的取值范围为1≤x ≤2或−1≤x ≤0．
M M M
【点睛】本题是二次函数综合题，考查一次函数的性质、二次函数的性质、根据图像的交点坐标解不等式，
其中（3），求不等式组的解集是解题的关键．【变式10-3】（2022·河南洛阳·统考一模）如图，抛物线y =ax2−2x+c的图象与x轴交点为A和B，与y
1
轴交点为D(0,3)，与直线y =−x−3交点为A和C．
2
(1)求抛物线的解析式；
(2)求点C的坐标，并结合函数图象直接写出当y >y 时x的取值范围；
1 2
(3)若点E是x轴上一个动点，把点E向下平移4个单位长度得到点F，点F向右平移4个单位长度得到点
G，点G向上平移4个单位长度得到点H，若四边形EFGH与抛物线有公共点，请直接写出点E的横坐标
x 的取值范围．
E
【答案】(1)y=−x2−2x+3
(2)−3<x<2
(3)−2√2−5<x <2√2−1
E
【分析】（1）先求得A(−3,0)，然后将A(−3,0)，D(0,3)代入y =ax2−2x+c，即可求函数的解析式；
1
（2）联立方程组¿，可求C点坐标，借助图象可求x的范围；
（3）设点E的横坐标x ，分别求出，F(x ，−4)，G(x +4，−4)，H(x +4，0)，当F点在抛物线
E E E E
上时，x =−1+2√2或x =−1−2√2，当G点在抛物线上时，x =−5+2√2或x =−5−2√2，结合图
E E E E
象可得−2√2−5<x <2√2−1时，四边形EFGH与抛物线有公共点．
E
【详解】（1）解：由y=−x−3得，y=0时，x=−3，
∴A(−3,0)．
∵抛物线y=ax2−2x+c经过A(−3,0)、D(0,3)D两点，
∴¿，解得¿∴抛物线的解析式为y=−x2−2x+3．
（2）解：由题意，得¿，
解得¿或¿．
∴C(2,−5)．
当y >y 时x的取值范围是−3<x<2．
1 2
（3）解：∵点E的横坐标x ，
E
∴E(x ，0)，
E
由题可知，F(x ，−4)，G(x +4，−4)，H(x +4，0)，
E E E
当F点在抛物线上时，−x ❑ 2−2x +3=−4，
E E
解得x =−1+2√2或x =−1−2√2，
E E
当G点在抛物线上时，−（x +4）2−2（x +4）+3=−4，
E E
解得x =−5+2√2或x =−5−2√2，
E E
∴−2√2−5<x <2√2−1时，四边形EFGH与抛物线有公共点．
E
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，正方形的性质，数形结合解
题是关键．
