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专题 11 二次函数
1．二次函数的定义
形如 y=ax2+bx+c (a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做x的二次函数.
2．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
函数 二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
a>0 a<0
图象
①当a>0时,抛物线开口向上,并向上无限延伸. ①当a<0时,抛物线开口向下,并向下无限延伸.
b b
x=− x=−
性质 2a 2a
② 对 称 轴 是 , 顶 点 坐 标 是 ② 对 称 轴 是 , 顶 点 坐 标 是
( b 4ac−b2 ) ( b 4ac−b2 )
− ， − ，
2a 4a 2a 4a
. .
b b
− −
2a 2a
③在对称轴的左侧,即当x< 时,y随x的增大 ③在对称轴的左侧,即当x< 时,y随x的增大
b b
− −
2a 2a
而减小;在对称轴的右侧,即当x> 时,y随x 而增大;在对称轴的右侧,即当x> 时,y随x的
的增大而增大,简记为左减右增. 增大而减小,简记为左增右减.
b b
− −
2a 2a
④抛物线有最低点,当x= 时,y有最小值,y ④抛物线有最高点,当x= 时,y有最大值,y
最 最大4ac−b2 4ac−b2
4a 4a
= . = .
小值 值
3．抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系
（1）二者的形状相同,位置不同,y=a(x-h)2+k是由y=ax2通过平移得来的,平移后的顶点坐标为(h,k).
（2）y=ax2的图象
右
左
y=a(x-h)2的图象
上
下
y=a(x-h)2+k的图象.
4．二次函数的解析式的确定
要确定二次函数的解析式,就是要确定解析式中的待定系数(常数):
（1）当已知抛物线上任意三点时，通常将函数的解析式设为一般式：y=ax2+bx+c(a≠0);
（2）当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常将函数的解析式设为顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0).
5．二次函数与一元二次方程的关系
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点.当图象
与x轴有交点时，令y=0，解方程ax2+bx+c=0就可求出与x轴交点的横坐标.
Δ=b2-4ac ax2+bx+c=0的根 抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点
Δ>0 两个不相等的实数根 两个交点
Δ=0 两个相等的实数根 一个交点
Δ<0 无实数根 无交点
6．二次函数与不等式的关系
设抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴交于(x,0),(x,0)两点，其中x0的解集为x>x
1 2 1 2 2
或x0，故抛物线开口向上，故A错误；
顶点坐标为（1，5），故B错误；
该函数有最小值，是小值是5，故C错误；
当 时，y随x的增大而增大，故D正确，故选：D．
抛物线y=ax2+bx+c中a,b,c的作用
（1）a决定开口方向及开口大小，这与y=ax2中的a完全一样.
a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；a的绝对值越大，开口越小.
b
x=−
2a
（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线 ，故：①b=0
b
x=−
2a
时，对称轴为y轴；② >0（即a,b同号）
b
x=−
2a
时，对称轴在y轴左侧；③ <0（即a,b异号）时，对称轴在y轴右侧.(口诀:“左同右异”）
【注意问题】
（1）二次函数的图象与系数的关系;
（2）会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换.1．（2022·广西）已知反比例函数 的图象如图所示，则一次函数 和二次函数
在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先由反比例函数图象得出b>0，再分当a>0，a<0时分别判定二次函数图象符合的选项，在符合的
选项中，再判定一次函数图象符合的即可得出答案．
【详解】解：∵反比例函数 的图象在第一和第三象限内，
∴b>0，
若a<0，则- >0，所以二次函数开口向下，对称轴在y轴右侧，故A、B、C、D选项全不符合；
当a>0，则- <0时，所以二次函数开口向上，对称轴在y轴左侧，故只有C、D两选项可能符合题意，
由C、D两选图象知，c<0，
又∵a>0，则-a<0，当c<0,a>0时，一次函数y=cx-a图象经过第二、第三、第四象限，
故只有D选项符合题意．故选：D．
2．（2022·江苏泰州）已知点 在下列某一函数图像上，且 那么这个函数是
( )A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先假设选取各函数，代入自变量求出y、y、y 的值，比较大小即可得出答案．
1 2 3
【详解】解：A．把点 代入y=3x，解得y=-9，y=-3，y=3，所以yy=y，这与已知条件
1 2 3 1 2 3
不符，故选项错误，不符合题意；
C． 把点 代入y= ，解得y=-1，y=-3，y=3，所以y0)顶点在线段AB上运动，形状
保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：
①c≥−2 ；②当x>0时，一定有y随x的增大而增大；
③若点D横坐标的最小值为−5，点C横坐标的最大值为3；
④当四边形ABCD为平行四边形时，a= ．其中正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④
【答案】D
【分析】根据顶点在线段AB上抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）可以判断出c的取值范围，可判断①；
根据二次函数的增减性判断②；先确定x=1时，点D的横坐标取得最大值，然后根据二次函数的对称性求
出此时点C的横坐标，即可判断③；令y=0，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出CD的长度的表达
式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得AB=CD，然后列出方程求出a的值，判断④．
【详解】解：∵点A，B的坐标分别为(-3，-2)和(1，-2)，
∴线段AB与y轴的交点坐标为(0，-2)，
又∵抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为(0，c) ，
∴C≥-2，(顶点在y轴上时取“=”)，故①正确；∵抛物线的顶点在线段AB上运动，开口向上，
∴当x＞1时，一定有y随x的增大而增大，故②错误；
若点D的横坐标最小值为-5，则此时对称轴为直线x=-3，
根据二次函数的对称性，点C的横坐标最大值为1+2=3，故③正确；
令y=0，则ax2+bx+c=0，
设该方程的两根为x，x，则x+x=- ，xx= ，
1 2 1 2 1 2
∴CD2=( x-x) 2=( x+x) 2-4xx ，
1 2 1 2 1 2
根据顶点坐标公式， ，
∴ ，即 ，
∵四边形ACDB为平行四边形，
∴CD=AB=1-（-3)=4，
∴ =42=16，解得a= ，故④正确；
综上所述，正确的结论有①③④．故选：D．
．
5．（2022·贵州黔东南）在平面直角坐标系中，将抛物线 先绕原点旋转180°，再向下平移5
个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是_______．
【答案】
【分析】先把抛物线配方为顶点式，求出定点坐标，求出旋转后的抛物线，再根据“上加下减，左加右
减”的法则进行解答即可．【详解】解：∵ ，
∴抛物线的顶点为（-1，-2），
将抛物线 先绕原点旋转180°抛物线顶点为（1，2），
旋转后的抛物线为 ，
再向下平移5个单位， 即 ．
∴新抛物线的顶点（1，-3）
故答案是：（1，-3）．
【考点2】二次函数的平移
【例4】（2022·广西玉林）小嘉说：将二次函数 的图象平移或翻折后经过点 有4种方法：
①向右平移2个单位长度 ②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
③向下平移4个单位长度 ④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度
你认为小嘉说的方法中正确的个数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据二次函数图象的平移可依此进行求解问题．
【详解】解：①将二次函数 向右平移2个单位长度得到： ，把点 代入得：
，所以该平移方式符合题意；
②将二次函数 向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到： ，把点 代
入得： ，所以该平移方式符合题意；
③将二次函数 向下平移4个单位长度得到： ，把点 代入得： ，所以该平
移方式符合题意；
④将二次函数 沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度得到： ，把点 代入得：，所以该平移方式符合题意；
综上所述：正确的个数为4个；
故选D．
图像平移规律：由函数y=ax2平移得到y=a(x-h)2+k满足“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”，
概括成八个字，即：“左加右减，上加下减”.
1．（2022·内蒙古通辽）在平面直角坐标系中，将二次函数 的图象向左平移1个单位长度，
再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】解：将二次函数 的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函
数的解析式为 故选D．
yax2bxc(a0)
2．（2021·上海中考真题）将抛物线 向下平移两个单位，以下说法错误的是（ ）
A．开口方向不变 B．对称轴不变 C．y随x的变化情况不变 D．与y轴的交点不变
【答案】D
【分析】根据二次函数的平移特点即可求解．
【详解】
yax2bxc(a0)
将抛物线 向下平移两个单位，开口方向不变、对称轴不变、故y随x的变化情况不变；
与y轴的交点改变
故选D．
3．（2020•绥化）将抛物线y＝2（x﹣3）2+2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物
线的解析式是（ ）A．y＝2（x﹣6）2 B．y＝2（x﹣6）2+4
C．y＝2x2 D．y＝2x2+4
【答案】C
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】将将抛物线y＝2（x﹣3）2+2向左平移3个单位长度所得抛物线解析式为：y＝2（x﹣3+3）2+2，
即y＝2x2+2；
再向下平移2个单位为：y＝2x2+2﹣2，即y＝2x2．
故选：C．
4．（2022·黑龙江牡丹江）把二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平
移后抛物线的解析式为____________．
【答案】 或 （答出这两种形式中任意一种均得分）
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．
【详解】由“左加右减”的原则可知，将二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度所得抛物线的解析
式为：y=2（x+1）2，即y=2（x+1）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=2（x+1）2向下平移2个
单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2﹣2，即y=2（x+1）2﹣2．
故答案为y=2（x+1）2﹣2．
【考点3】二次函数与方程、不等式的关系
yax2c ykxm A(3,y) B(1,y )
【例5】（2021·广西中考真题）如图，已知抛物线 与直线 交于 1 ， 2 两点，
则关于x的不等式ax2ckxm的解集是（ ）
A．x3或x1 B．x1或x3 C．3x1 D．1x3
【答案】D
【分析】
将要求的不等式抽象成两个函数的函数关系问题，根据二次函数图象的对称性，以及两一次函数图象的关系，求出新的一次函数与二次函数的交点，从而写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．
【详解】
∵ ykxm ykxm
与 关于y轴对称
yax2c
抛物线 的对称轴为y轴，
yax2c ykxm ykxm
因此抛物线 与直线 的交点和与直线 的交点也关于y轴对称
ykxm yax2c A、B A (1,y 2 ) B (3,y 1 )
设 与 交点为 ，则 ，
∵
ax2ckxm
即在点A、B之间的函数图像满足题意
ax2ckxm的解集为：1x3
故选D．
【例6】（2022·黑龙江大庆）已知函数 的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的
值为____________．
【答案】1或
【分析】函数图象与坐标轴恰有两个公共点，则分两种情况：第一种情况，函数图象过原点；第二种情况，
函数图象与x轴只有一个交点，分别计算即可
【详解】当函数图象过原点时，函数 的图象与坐标轴恰有两个公共点，
此时满足 ，解得 ；
当函数图象与x轴只有一个交点且与坐标轴y轴也有一个交点时，
此时满足 ，解得 或 ，
当 是，函数变为 与y轴只有一个交点，不合题意；
综上可得， 或 时，函数图象与坐标轴恰有两个公共点．
故答案为：1或一元二次方程和二次函数的区别与联系
（1）求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于
x的一元二次方程即可求得交点横坐标.
（2）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点和一元二次方程ax2+bx+c=0的根之间的
关系:
Δ=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数.
①Δ=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
②Δ=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；
③Δ=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点.
（3）二次函数的交点式：y=a(x-x)(x-x)（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标
1 2
（x，0），（x，0）.
1 2
y kx2 y kx2
1．（2021·贵州中考真题）已知直线 过一、二、三象限，则直线 与抛物线
yx22x3
的交点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
【答案】C
【分析】
先由直线y kx2过一、二、三象限，求出k＞0 ，通过判断方程x22x3kx2实数解的个数可判断
y kx2 yx22x3
直线 与抛物线 交点的个数．
【详解】
解：∵直线y kx2过一、二、三象限，
∴k＞0 ．
由题意得：x22x3kx2，
x22kx10
即 ，
2k 2 44kk2＞0
∵△ ，
∴此方程有两个不相等的实数解．y kx2 yx22x3
∴直线 与抛物线 的交点个数为2个．
故选：C．
yax2a1x1
2．（2021·黑龙江中考真题）已知函数 ，则下列说法不正确的个数是（ ）
①若该函数图像与x 轴只有一个交点，则a1
ax2 a1x10
②方程 至少有一个整数根
1
③若 x1 ，则yax2a1x1的函数值都是负数
a
ax2a1x10
a x
④不存在实数 ，使得 对任意实数 都成立
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】
对于①：分情况讨论一次函数和二次函数即可求解；
对于②：分情况讨论a＝0和a≠0时方程的根即可；
对于③：已知条件中限定a≠0且a＞1或a＜0，分情况讨论a＞1或a＜0时的函数值即可；
对于④：分情况讨论a＝0和a≠0时函数的最大值是否小于等于0即可．
【详解】
yx1 x
解：对于①：当a＝0时，函数变为 ，与 只有一个交点，
D=(a+1)2 -4a=(a-1)2 =0 a1
当a≠0时， ，∴ ，
故图像与x 轴只有一个交点时，a1或a0，①错误；
对于②：当a＝0时，方程变为x10，有一个整数根为x1，
ax2 a1x10 (ax1)(x1)0 x1
当a≠0时，方程 因式分解得到： ，其中有一个根为 ，故此时方程
至少有一个整数根，故②正确；
1
x1
对于③：由已知条件 得到a≠0，且a＞1或a＜0
a
a+1 1 1
当a＞1时，yax2a1x1开口向上，对称轴为 x= = + ，自变量离对称轴越远，其对应的
2a 2 2a
函数值越大，1
+1
∵ a = 1 + 1 ，
2 2 2a
1
∴x= ,x=1离对称轴的距离一样，将 代入得到 ，此时函数最大值小于0；
a x1 y0
yax2a1x1
当a＜0时， 开口向下，自变量离对称轴越远，其对应的函数值越小，
1 1 4a(a1)2 a2 2a1 (a1)2
∴x= + 时，函数取得最大值为y ，
2 2a 4a 4a 4a
∵a＜0，
(a1)2
∴最大值 0 ，即有一部分实数 ，其对应的函数值 ，故③错误；
4a x y0
对于④：a＝0时，原不等式变形为：x10 对任意实数x不一定成立，故a＝0不符合；
yax2a1x1
a≠0时，对于函数 ，
y0
ax2a1x10
x
当a＞0时开口向上，总有对应的函数值 ，此时不存在a对 对任意实数 都成立；
4a(a1)2 a2 2a1 (a1)2
当a＜0时开口向下，此时函数的最大值为 ，
4a 4a 4a
∵a＜0，
(a1)2
∴最大值 0 ，即有一部分实数 ，其对应的函数值 ，
4a x y0
ax2a1x10
x
此时不存在a对 对任意实数 都成立；故④正确；
综上所述，②④正确，
故选：C．
3．（2021·浙江中考真题）已知 和 均是以 为自变量的函数，当 时，函数值分别为 和 ，若
存在实数 ，使得 ，则称函数 和 具有性质 ．以下函数 和 具有性质 的是（ ）
A． 和 B． 和
C． 和 D． 和
【答案】A【分析】
根据题中所给定义及一元二次方程根的判别式可直接进行排除选项．
【详解】
解：当 时，函数值分别为 和 ，若存在实数 ，使得 ，
对于A选项则有 ，由一元二次方程根的判别式可得： ，所以存在实数
m，故符合题意；
对于B选项则有 ，由一元二次方程根的判别式可得： ，所以不存在实
数m，故不符合题意；
对于C选项则有 ，化简得： ，由一元二次方程根的判别式可得：
，所以不存在实数m，故不符合题意；
对于D选项则有 ，化简得： ，由一元二次方程根的判别式可得：
，所以不存在实数m，故不符合题意；
故选A．
【考点4】求二次函数的解析式
【例7】（2021·河南中考真题）请写出一个图象经过原点的函数的解析式__________．
【答案】y=x（答案不唯一）
【分析】
直接写出一个已经学过的经过原点的函数解析式即可．
【详解】
解：因为直线y=x经过原点（0,0），
故答案为：y=x（本题答案不唯一，只要函数图像经过原点即可）．
yax2bxc a b c
【例8】（2021·浙江中考真题）在“探索函数 的系数 ， ， 与图象的关系”活动中，老A0,2 B1,0 C3,1 D2,3
师给出了直角坐标系中的四个点： ， ， ， ，同学们探索了经过这四个点中的
三个点的二次函数的图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为（ ）
5 3 5
1
A． B． C． D．
2 2 6 2
【答案】A
【分析】
A0,2 B1,0 C3,1 D2,3
分四种情况讨论，利用待定系数法，求过 ， ， ， 中的三个点的二次函数解析
式，继而解题．
【详解】
A0,2 B1,0 C3,1 yax2bxc
解：设过三个点 ， ， 的抛物线解析式为：
A0,2 B1,0 C3,1
分别代入 ， ， 得
c2
abc0
9a3bc1
5
a
6
17
b
解得 ；
6
c2
A0,2 B1,0 D2,3 yax2bxc
设过三个点 ， ， 的抛物线解析式为：
A0,2 B1,0 D2,3
分别代入 ， ， 得 c2
abc0
4a2bc3
5
a
2
9
b
解得 2；
c2
A0,2 C3,1 D2,3 yax2bxc
设过三个点 ， ， 的抛物线解析式为：
A0,2 C3,1 D2,3
分别代入 ， ， 得
c2
9a3bc1
4a2bc3
5
a
6
13
b
解得 6 ；
c2
B1,0 C3,1 D2,3 yax2bxc
设过三个点 ， ， 的抛物线解析式为：
B1,0 C3,1 D2,3
分别代入 ， ， 得
abc0
9a3bc1
4a2bc3
5
a
2
21
b
解得 2 ；
c8
5 5 5 5
∵
2 6 6 25
最大为 ，
a 2
故选：A．
根据已知条件确定二次函数的解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根
据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：
（1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式（y=ax2+bx+c）.
（2）已知抛物线顶点坐标或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式［y=a（x-h）2+k］.
（3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用交点式［y=a(x-x)(x-x)］.
1 2
（4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)
【方法解说】（1）若二次公数的图家经过三个已知点可没函数解析式为一般式，即y=ax2+bx+c；
（2）若知抛物线的顶点坐标，可出数解析式为顶点式，即y=a(x-h)2+k(a≠0)，再根据抛物线与y轴的交点
求出a的值；
（3）若抛物线与x轴的两个交点的坐标为(x,0)和(x,0)，可没函数解析式为交点式，即y=a(x-x)(x-x)，再
1 2 1 2
根据抛物线与y轴的交点坐标求出a的值
y2x21
1．（2021·广东中考真题）把抛物线 向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的
抛物线的解析式为___．
y2x24x
【答案】
【分析】
直接根据“上加下减，左加右减”进行计算即可．
【详解】
y2x21
解：抛物线 向左平移1个单位长度，
再向下平移3个单位长度，
y2(x1)213
得到的抛物线的解析式为： ，
y2x24x
即：y2x24x
故答案为： ．
2．（2021·浙江宁波市·中考真题）如图，二次函数 （a为常数）的图象的对称轴为直线
x2．
（1）求a的值．
（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
y x2 4x
a3
【答案】（1） ；（2）
【分析】
b
x
（1）把二次函数化为一般式，再利用对称轴： 2a ，列方程解方程即可得到答案；
y x2 4x3 c0,
（2）由（1）得：二次函数的解析式为： ，再结合平移后抛物线过原点，则 从而可
得平移方式及平移后的解析式．
【详解】
y (x1)(xa) x2 (1a)xa
解：（1） ．
∵图象的对称轴为直线x2，
a1
2
∴ 2 ，
∴a3．
（2）∵a3，
y x2 4x3
∴二次函数的表达式为 ，
∴抛物线向下平移3个单位后经过原点，y x2 4x
∴平移后图象所对应的二次函数的表达式为 ．
【考点5】二次函数的最值
【例9】抛物线y＝3（x﹣1）2+8的顶点坐标为 ．
【分析】已知抛物线顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k）．
【解析】∵抛物线y＝3（x﹣1）2+8是顶点式，
∴顶点坐标是（1，8）．
故答案为：（1，8）．
【例10】（2022·四川遂宁）如图，D、E、F分别是 三边上的点，其中 ，BC边上的高为6，
且DE//BC，则 面积的最大值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【分析】过点A作AM⊥BC于M，交DE于点N，则AN⊥DE，设 ，根据 ，证明
，根据相似三角形对应高的比等于相似比得到 ，列出 面积的函数表达式，根
据配方法求最值即可．
【详解】
如图，过点A作AM⊥BC于M，交DE于点N，则AN⊥DE，
设 ，，
，
，
，
，
∴ ,
，
当 时，S有最大值，最大值为6，故选：A．
1．（2022·内蒙古包头）已知实数a，b满足 ，则代数式 的最小值等于（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【分析】由已知得b=a+1，代入代数式即得a2-4a+9变形为(a-2)2+5，再根据二次函数性质求解．
【详解】解：∵b-a=1，
∴b=a+1，
∴a2+2b-6a+7
=a2+2(a+1)-6a+7
=a2-4a+9
=(a-2)2+5，
∵(a-2)2≥0，
∴当a=2时，代数式a2+2b-6a+7有最小值，最小值为5，故选：A．
2．（2022·广西贺州）已知二次函数y=2x2−4x−1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】先找到二次函数的对称轴和顶点坐标，求出y=15时，x的值，再根据二次函数的性质得出答案．
【详解】解：∵二次函数y=2x2-4x-1=2（x-1）2-3，
∴抛物线的对称轴为x=1，顶点（1，-3），∵1>0，开口向上，
∴在对称轴x=1的右侧，y随x的增大而增大，
∵当0≤x≤a时，即在对称轴右侧，y取得最大值为15，
∴当x=a时，y=15，
∴2（a-1）2-3=15，
解得：a=4或a=-2（舍去），
故a的值为4．
故选：D．
3．（2022·山东聊城）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售
量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当 时，其图象是线段AB，则该食品零售店
每天销售这款冷饮产品的最大利润为______________元（利润=总销售额-总成本）．
【答案】121
【分析】利用待定系数法求一次函数解析式，然后根据“利润=单价商品利润×销售量”列出二次函数关系
式，从而根据二次函数的性质分析其最值．
【详解】解：当 时，设 ，把（10，20），（20，10）代入可得：
，
解得 ，
∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为 ，
设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，
，∵ 1<0，
∴当 时，w有最大值为121，
4．（2022·吉林长春）已知二次函数 ，当 时，函数值y的最小值为1，则a的值为
_______．
【答案】 ##
【分析】先把函数解析式化为顶点式可得当 时，y随x的增大而增大，当 时，y随x的增大而减
小，然后分两种情况讨论：若 ；若 ，即可求解．
【详解】解： ，
∴当 时，y随x的增大而增大，当 时，y随x的增大而减小，
若 ，当 时，y随x的增大而减小，
此时当 时，函数值y最小，最小值为 ，不合题意，
若 ，当 时，函数值y最小，最小值为1，
∴ ，解得： 或 （舍去）；
综上所述，a的值为 ．故答案为：
【考点6】二次函数的应用
【例11】（2022·四川广安）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降________
米，水面宽8米．
【答案】 ##
【分析】根据已知得出直角坐标系，通过代入A点坐标（ 3，0），求出二次函数解析式，再根据把x=4
代入抛物线解析式得出下降高度，即可得出答案．【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可
得知O为原点，由题意可得：AO=OB=3米，C坐标为（0，2），
通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，把点A点坐标（ 3，0）代入得，
∴ ，∴ ，∴抛物线解析式为： ；
当水面下降，水面宽为8米时，有
把 代入解析式，得 ；
∴水面下降 米；故答案为： ；
【例12】（2022·山东潍坊）某市在盐碱地种植海水稻获得突破性进展，小亮和小莹到海水稻种植基地调
研．小莹根据水稻年产量数据，分别在直角坐标系中描出表示2017-2021年①号田和②号田年产量情况的
点（记2017年为第1年度，横轴表示年度，纵轴表示年产量），如下图．
小亮认为，可以从y=kx+b(k>0) ，y= (m>0) ，y=−0.1x2+ax+c中选择适当的函数模型，模拟①号田和②号
田的年产量变化趋势．（1）小莹认为不能选 ．你认同吗？请说明理由；
（2）请从小亮提供的函数模型中，选择适当的模型分别模拟①号田和②号田的年产量变化趋势，并求出
函数表达式；
（3）根据（2）中你选择的函数模型，请预测①号田和②号田总年产量在哪一年最大？最大是多少？
【答案】(1)认同，理由见解析
(2)①号田的函数关系式为y=0.5x+1(k>0)；②号田的函数关系式为y=−0.1x2+x+1；
(3)在2024年或2025年总年产量最大，最大是7.6吨．
【分析】（1）根据年产量变化情况，以及反比例函数的性质即可判断；
（2）利用待定系数法求解即可；
（3）设总年产量为w，依题意得w=−0.1x2+x+1+0.5x+1，利用二次函数的性质即可求解．
【解析】(1)解：认同，理由如下：
观察①号田的年产量变化：每年增加0.5吨，呈一次函数关系；
观察②号田的年产量变化：经过点（1，1.9），（2，2.6），（3，3.1），
∵1×1.9=1.9，2×2.6=5.2，1.9≠5.2，
∴不是反比例函数关系，
小莹认为不能选 是正确的；
(2)解：由（1）知①号田符合y=kx+b(k>0)，
由题意得 ，
解得： ，
∴①号田的函数关系式为y=0.5x+1(k>0)；
检验，当x=4时，y=2+1=3，符合题意；
②号田符合y=−0.1x2+ax+c，
由题意得 ，
解得： ，∴②号田的函数关系式为y=−0.1x2+x+1；
检验，当x=4时，y=-1.6+4+1=3.4，符合题意；
(3)解：设总年产量为w，
依题意得：w=−0.1x2+x+1+0.5x+1=−0.1x2+1.5x+2
=−0.1(x2-15x+ - )+2
=−0.1(x-7.5)2+7.625，
∵−0.1<0，∴当x=7.5时，函数有最大值，
∴在2024年或2025年总年产量最大，最大是7.6吨．
1．（2022·河南）红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地
面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标
系，并设抛物线的表达式为 ，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距
地面的高度．
（1）求抛物线的表达式．
（2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰
好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．
【答案】(1)
(2)2或6m
【分析】（1）根据顶点 ，设抛物线的表达式为 ，将点 ，代入即可求解；（2）将 代入（1）的解析式，求得 的值，进而求与点 的距离即可求解．
【解析】(1)解：根据题意可知抛物线的顶点为 ，
设抛物线的解析式为 ，
将点 代入，得 ，
解得 ，
抛物线的解析式为 ，
(2)由 ，令 ，
得 ，
解得 ，
爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，
当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为 (m)，或 (m)．
2．（2022·山东临沂）第二十四届冬奥会在北京成功举办，我国选手在跳台滑雪项目中夺得金牌．在该项
目中，首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止
区终止本项目．主要考核运动员的飞行距离和动作姿态，某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深
入研究：
下图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区CD所在水平线为x轴，过起跳点A与x轴垂直的直线为y
轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．着陆坡AC的坡角为30°， ．某运动员在A处起跳腾
空后，飞行至着陆坡的B处着陆， ．在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离 与水平方向
移动的距离 具备二次函数关系，其解析式为 ．（1）求b、c的值；
（2）进一步研究发现运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离 与飞行时间 具备一次函数关系，
当运动员在起跳点腾空时， ， ；空中飞行5s后着陆．
①求x关于t的函数解析式；
②当t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是多少？
【答案】(1) ，
(2)① ② 时， 最大，为
【分析】（1）根据题中所给信息，得出 ， ，利用待定系数法列出关于 的二元一次
方程组求解即可得出结论；
（2）①根据题意得到当运动员在起跳点腾空时 ， ；空中飞行5s后着陆， ，设出
一次函数表达式，利用待定系数法求出函数关系式即可；②作 轴交抛物线于 ，交 于 ，利用
待定系数法确定直线 的函数表达式，再由（1）得出抛物线表达式，求出
，表示出运动员离着陆坡的竖直距离 ，
根据抛物线的性质得出当 时， 有最大值为 ．
【解析】(1)解：过 作 于 ， 于 ，如图所示：，
着陆坡AC的坡角为30°，即 ，
，
在 中， ，
则 ，
，
，即 ， ，
将 ， 代入 得 ，解得 ；
(2)解：①由（1）知 ，根据运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离 与飞行时间
具备一次函数关系，设一次函数关系式为 ，
当运动员在起跳点腾空时 ， ；空中飞行5s后着陆， ，
，解得 ，
水平方向移动距离 与飞行时间 的一次函数关系式为 ；
②作 轴交抛物线于 ，交 于 ，如图所示：设直线 的表达式为 ，将 ， 代入得 ，解得 ，即直
线 的表达式为 ，
由（1）知抛物线表达式为 ，
，
运动员离着陆坡的竖直距离
，
由 可知抛物线开口向下，当 时， 有最大值为 ．
3．（2020•无锡）有一块矩形地块ABCD，AB＝20米，BC＝30米．为美观，拟种植不同的花卉，如图所
示，将矩形ABCD分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为 x米．现决定在等腰梯形
AEHD和BCGF中种植甲种花卉；在等腰梯形ABFE和CDHG中种植乙种花卉；在矩形EFGH中种植丙种
花卉．甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/米2、60元/米2、40元/米2，设三种花卉的种植总成本
为y元．
（1）当x＝5时，求种植总成本y；
（2）求种植总成本y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（3）若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120平方米，求三种花卉的最低种植总成本．
1 1
【分析】（1）当 x＝5 时，EF＝20﹣2x＝10，EH＝30﹣2x＝20，y＝2× （EH+AD）×20x+2×
2 2
（GH+CD）×x×60+EF•EH×40，即可求解；
（2）参考（1），由题意得：y＝（30×30﹣2x）•x•20+（20+20﹣2x）•x•60+（30﹣2x）（20﹣2x）•40（0
＜x＜10）；
1
（3）S甲 ＝2×
2
（EH+AD）×2x＝（30﹣2x+30）x＝﹣2x2+60x，S乙 ＝﹣2x2+40x，则﹣2x2+60x﹣（﹣
2x2+40x）≤120，即可求解．
【解析】（1）当x＝5时，EF＝20﹣2x＝10，EH＝30﹣2x＝20，
1 1
y ＝ 2× （ EH+AD ） ×20x+2× （ GH+CD ） ×x×60+EF•EH×40 ＝ （ 20+30 ） ×5×20+ （ 10+20 ）
2 2
×5×60+20×10×40＝22000；
（2）EF＝20﹣2x，EH＝30﹣2x，
参考（1），由题意得：y＝（30×30﹣2x）•x•20+（20+20﹣2x）•x•60+（30﹣2x）（20﹣2x）•40＝﹣
400x+24000（0＜x＜10）；
1
（3）S甲 ＝2×
2
（EH+AD）×2x＝（30﹣2x+30）x＝﹣2x2+60x，
同理S乙 ＝﹣2x2+40x，
∵甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120米2，
∴﹣2x2+60x﹣（﹣2x2+40x）≤120，
解得：x≤6，故0＜x≤6，
而y＝﹣400x+24000随x的增大而减小，故当x＝6时，y的最小值为21600，
即三种花卉的最低种植总成本为21600元．
