专题11二次函数考点精讲（原卷版）_中考复习资料_语数英物化_2数学中考复习_2023年中考复习资料_专项复习_中考高分导航备战2023年中考数学考点总复习（全国通用）

专题 11 二次函数 1．二次函数的定义 形如 y=ax2+bx+c (a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做x的二次函数. 2．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质 函数 二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) a>0 a<0 图象 ①当a>0时,抛物线开口向上,并向上无限延伸. ①当a<0时,抛物线开口向下,并向下无限延伸. b b x=− x=− 性质 2a 2a ② 对 称 轴 是 , 顶 点 坐 标 是 ② 对 称 轴 是 , 顶 点 坐 标 是 ( b 4ac−b2 ) ( b 4ac−b2 ) − ， − ， 2a 4a 2a 4a . . b b − − 2a 2a ③在对称轴的左侧,即当x< 时,y随x的增大 ③在对称轴的左侧,即当x< 时,y随x的增大 b b − − 2a 2a 而减小;在对称轴的右侧,即当x> 时,y随x 而增大;在对称轴的右侧,即当x> 时,y随x的 的增大而增大,简记为左减右增. 增大而减小,简记为左增右减. b b − − 2a 2a ④抛物线有最低点,当x= 时,y有最小值,y ④抛物线有最高点,当x= 时,y有最大值,y 最 最大4ac−b2 4ac−b2 4a 4a = . = . 小值 值 3．抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系 （1）二者的形状相同,位置不同,y=a(x-h)2+k是由y=ax2通过平移得来的,平移后的顶点坐标为(h,k). （2）y=ax2的图象 y=a(x-h)2的图象 y=a(x-h)2+k的图象. 4．二次函数的解析式的确定 要确定二次函数的解析式,就是要确定解析式中的待定系数(常数): （1）当已知抛物线上任意三点时，通常将函数的解析式设为一般式：y=ax2+bx+c(a≠0); （2）当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常将函数的解析式设为顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0). 5．二次函数与一元二次方程的关系 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点.当图象 与x轴有交点时，令y=0，解方程ax2+bx+c=0就可求出与x轴交点的横坐标. Δ=b2-4ac ax2+bx+c=0的根 抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点 Δ>0 两个不相等的实数根 两个交点 Δ=0 两个相等的实数根 一个交点 Δ<0 无实数根 无交点 6．二次函数与不等式的关系 设抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴交于(x,0),(x,0)两点，其中x0的解集为x>x 1 2 1 2 2 或x0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；a的绝对值越大，开口越小. b x=− 2a （2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线 ，故：①b=0 b x=− 2a 时，对称轴为y轴；② >0（即a,b同号） b x=− 2a 时，对称轴在y轴左侧；③ <0（即a,b异号）时，对称轴在y轴右侧.(口诀:“左同右异”） 【注意问题】（1）二次函数的图象与系数的关系; （2）会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换. 1．（2022·广西）已知反比例函数 的图象如图所示，则一次函数 和二次函数 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 2．（2022·江苏泰州）已知点 在下列某一函数图像上，且 那么这个函数是 ( ) A． B． C． D． 3．（2022·山东威海）如图，二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图像过点（2，0），下列结论错误的是( ) A．b＞0 B．a+b＞0C．x＝2是关于x的方程ax2+bx＝0（a≠0）的一个根 D．点（x，y），（x，y）在二次函数的图像上，当x＞x＞2时，y＜y＜0 1 1 2 2 1 2 2 1 4．（2022·四川自贡）已知A(−3，−2) ，B(1，−2)，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)顶点在线段AB上运动，形状 保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论： ①c≥−2 ；②当x>0时，一定有y随x的增大而增大； ③若点D横坐标的最小值为−5，点C横坐标的最大值为3； ④当四边形ABCD为平行四边形时，a= ．其中正确的是（ ） A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④ 5．（2022·贵州黔东南）在平面直角坐标系中，将抛物线 先绕原点旋转180°，再向下平移5 个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是_______． 【考点2】二次函数的平移 【例4】（2022·广西玉林）小嘉说：将二次函数 的图象平移或翻折后经过点 有4种方法： ①向右平移2个单位长度 ②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 ③向下平移4个单位长度 ④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度 你认为小嘉说的方法中正确的个数有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 图像平移规律：由函数y=ax2平移得到y=a(x-h)2+k满足“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”， 概括成八个字，即：“左加右减，上加下减”. 1．（2022·内蒙古通辽）在平面直角坐标系中，将二次函数 的图象向左平移1个单位长度， 再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（ ） A． B． C． D． yax2bxc(a0) 2．（2021·上海中考真题）将抛物线 向下平移两个单位，以下说法错误的是（ ）A．开口方向不变 B．对称轴不变 C．y随x的变化情况不变 D．与y轴的交点不变 3．（2020•绥化）将抛物线y＝2（x﹣3）2+2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物 线的解析式是（ ） A．y＝2（x﹣6）2 B．y＝2（x﹣6）2+4 C．y＝2x2 D．y＝2x2+4 4．（2022·黑龙江牡丹江）把二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平 移后抛物线的解析式为____________． 【考点3】二次函数与方程、不等式的关系 yax2c ykxm A(3,y) B(1,y ) 【例5】（2021·广西中考真题）如图，已知抛物线 与直线 交于 1 ， 2 两点， 则关于x的不等式ax2ckxm的解集是（ ） A．x3或x1 B．x1或x3 C．3x1 D．1x3 【例6】（2022·黑龙江大庆）已知函数 的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的 值为____________． 一元二次方程和二次函数的区别与联系 （1）求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于 x的一元二次方程即可求得交点横坐标. （2）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点和一元二次方程ax2+bx+c=0的根之间的 关系: Δ=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数. ①Δ=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； ②Δ=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；③Δ=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点. （3）二次函数的交点式：y=a(x-x)(x-x)（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标 1 2 （x，0），（x，0）. 1 2 y kx2 y kx2 1．（2021·贵州中考真题）已知直线 过一、二、三象限，则直线 与抛物线 yx22x3 的交点个数为（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 yax2a1x1 2．（2021·黑龙江中考真题）已知函数 ，则下列说法不正确的个数是（ ） ①若该函数图像与x 轴只有一个交点，则a1 ax2 a1x10 ②方程 至少有一个整数根 1 ③若 x1 ，则yax2a1x1的函数值都是负数 a ax2a1x10 a x ④不存在实数 ，使得 对任意实数 都成立 A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2021·浙江中考真题）已知 和 均是以 为自变量的函数，当 时，函数值分别为 和 ，若 存在实数 ，使得 ，则称函数 和 具有性质 ．以下函数 和 具有性质 的是（ ） A． 和 B． 和 C． 和 D． 和 【考点4】求二次函数的解析式 【例7】（2021·河南中考真题）请写出一个图象经过原点的函数的解析式__________． yax2bxc a b c 【例8】（2021·浙江中考真题）在“探索函数 的系数 ， ， 与图象的关系”活动中，老A0,2 B1,0 C3,1 D2,3 师给出了直角坐标系中的四个点： ， ， ， ，同学们探索了经过这四个点中的 三个点的二次函数的图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为（ ） 5 3 5 1 A． B． C． D． 2 2 6 2 根据已知条件确定二次函数的解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根 据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况： （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式（y=ax2+bx+c）. （2）已知抛物线顶点坐标或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式［y=a（x-h）2+k］. （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用交点式［y=a(x-x)(x-x)］. 1 2 （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0) 【方法解说】（1）若二次公数的图家经过三个已知点可没函数解析式为一般式，即y=ax2+bx+c； （2）若知抛物线的顶点坐标，可出数解析式为顶点式，即y=a(x-h)2+k(a≠0)，再根据抛物线与y轴的交点 求出a的值； （3）若抛物线与x轴的两个交点的坐标为(x,0)和(x,0)，可没函数解析式为交点式，即y=a(x-x)(x-x)，再 1 2 1 2 根据抛物线与y轴的交点坐标求出a的值 y2x21 1．（2021·广东中考真题）把抛物线 向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的 抛物线的解析式为___． 2．（2021·浙江宁波市·中考真题）如图，二次函数 （a为常数）的图象的对称轴为直线 x2．（1）求a的值． （2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式． 【考点5】二次函数的最值 【例9】抛物线y＝3（x﹣1）2+8的顶点坐标为 ． 【例10】（2022·四川遂宁）如图，D、E、F分别是 三边上的点，其中 ，BC边上的高为6， 且DE//BC，则 面积的最大值为（ ）A．6 B．8 C．10 D．12 1．（2022·内蒙古包头）已知实数a，b满足 ，则代数式 的最小值等于（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．（2022·广西贺州）已知二次函数y=2x2−4x−1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2022·山东聊城）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售 量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当 时，其图象是线段AB，则该食品零售店 每天销售这款冷饮产品的最大利润为______________元（利润=总销售额-总成本）． 4．（2022·吉林长春）已知二次函数 ，当 时，函数值y的最小值为1，则a的值为 _______． 【考点6】二次函数的应用 【例11】（2022·四川广安）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降________ 米，水面宽8米． 【例12】（2022·山东潍坊）某市在盐碱地种植海水稻获得突破性进展，小亮和小莹到海水稻种植基地调 研．小莹根据水稻年产量数据，分别在直角坐标系中描出表示2017-2021年①号田和②号田年产量情况的 点（记2017年为第1年度，横轴表示年度，纵轴表示年产量），如下图．小亮认为，可以从y=kx+b(k>0) ，y= (m>0) ，y=−0.1x2+ax+c中选择适当的函数模型，模拟①号田和②号 田的年产量变化趋势． （1）小莹认为不能选 ．你认同吗？请说明理由； （2）请从小亮提供的函数模型中，选择适当的模型分别模拟①号田和②号田的年产量变化趋势，并求出 函数表达式； （3）根据（2）中你选择的函数模型，请预测①号田和②号田总年产量在哪一年最大？最大是多少？ 1．（2022·河南）红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地 面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标 系，并设抛物线的表达式为 ，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距 地面的高度．（1）求抛物线的表达式． （2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰 好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离． 2．（2022·山东临沂）第二十四届冬奥会在北京成功举办，我国选手在跳台滑雪项目中夺得金牌．在该项 目中，首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止 区终止本项目．主要考核运动员的飞行距离和动作姿态，某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深 入研究： 下图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区CD所在水平线为x轴，过起跳点A与x轴垂直的直线为y 轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．着陆坡AC的坡角为30°， ．某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆， ．在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离 与水平方向 移动的距离 具备二次函数关系，其解析式为 ． （1）求b、c的值； （2）进一步研究发现运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离 与飞行时间 具备一次函数关系， 当运动员在起跳点腾空时， ， ；空中飞行5s后着陆． ①求x关于t的函数解析式； ②当t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是多少？ 3．（2020•无锡）有一块矩形地块ABCD，AB＝20米，BC＝30米．为美观，拟种植不同的花卉，如图所 示，将矩形ABCD分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为 x米．现决定在等腰梯形 AEHD和BCGF中种植甲种花卉；在等腰梯形ABFE和CDHG中种植乙种花卉；在矩形EFGH中种植丙种 花卉．甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/米2、60元/米2、40元/米2，设三种花卉的种植总成本 为y元．（1）当x＝5时，求种植总成本y； （2）求种植总成本y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （3）若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120平方米，求三种花卉的最低种植总成本．