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专题 11 几何压轴中的实践与操作题型
对于实践操作型问题，在解题过程中学生能够感受到数学学习的情趣与价值，经历“数学化”和“再
创造”的过程，不断提高自己的创新意识与综合能力，这是《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》的
基本要求之一，因此，近年来实践操作性试题受到命题者的重视，多次出现.
图形的设计与操作问题，主要分为如下一些类型：
1．已知设计好的图案，求设计方案(如：在什么基本图案的基础上，进行何种图形变换等)．
2．利用基本图案设计符合要求的图案(如：设计轴对称图形，中心对称图形，面积或形状符合特定要求的
图形等)．
3．图形分割与重组(如：通过对原图形进行分割、重组，使形状满足特定要求)．
4．动手操作(通过折叠、裁剪等手段制作特定图案)．
解决这样的问题，除了需要运用各种基本的图形变换(平移、轴对称、旋转、位似)外，还需要综合运
用代数、几何知识对图形进行分析、计算、证明，以获得重要的数据，辅助图案设计．由于折叠操作相当
于构造轴对称变换，因此折叠问题中，要充分利用轴对称变换的特性，以获得更多的图形信息．必要时，
实际动手配合上理论分析比单纯的理论分析更为快捷有效．
（2022·宁夏·中考真题）综合与实践
知识再现
如图 ， 中， ，分别以 、 、 为边向外作的正方形的面积为 、 、 ．当
， 时， ______．
问题探究
如图， 中， ．（1）如图 ，分别以 、 、 为边向外作的等腰直角三角形的面积为 、 、 ，则 、 、
之间的数量关系是______．
（2）如图 ，分别以 、 、 为边向外作的等边三角形的面积为 、 、 ，试猜想 、 、
之间的数量关系，并说明理由．
实践应用
（1）如图 ，将图 中的 绕点 逆时针旋转一定角度至 ， 绕点 顺时针旋转一定角度
至 ， 、 相交于点 ．求证： ；
（2）如图 ，分别以图 中 的边 、 、 为直径向外作半圆，再以所得图形为底面作柱
体， 、 、 为直径的半圆柱的体积分别为 、 、 ．若 ，柱体的高 ，直接写出
的值．问题探究：（1） ；（2） ；理由见解析；
实践应用：（1）见解析；（2） ．
知识再现：利用勾股定理和正方形的面积公式可求解；
问题探究：(1)利用勾股定理和直角三角形的面积公式可求解；
(2)过点D作DG⊥BC交于G，分别求出 ， ， ，由勾股定理可得
，即可求S+S=S；
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实践应用：(1)设AB=c，BC=a，AC=b，则HN=a+b-c，FG=c-a，MF=c-b，可证明△HNP是等边三角形，
四边形MFGP是平行四边形，则 ， ，再由 ，
可证明 ．
(2)设AB=c，BC=a，AC=b，以AB为直径的圆的面积为S、以BC为直径的圆的面积为S、以AC为直径
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的圆的面积为S，可得S+S=S，又由 ，即可求 ．
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【答案】知识再现 ；
【详解】知识再现：解： 中， ，
，
，
， ，
，故答案为： ；
问题探究： 解： 中， ，
，
，
，
故答案为： ；
解： 中， ，
，
过点 作 交于 ，
在等边三角形 中， ， ，
，
，
同理可得 ， ，
，
；
实践应用： 证明：设 ， ， ，， ， ，
是等边三角形， 是等边三角形，
， ，
，
是等边三角形，四边形 是平行四边形，
， ，
是直角三角形，
，
，
；
解：设 ， ， ，以 为直径的圆的面积为 、以 为直径的圆的面积为 、以
为直径的圆的面积为 ，
是直角三角形，
，
，
，
， ， ，
，
， ，
，
．
本题考查四边形的综合应用，熟练掌握直角三角形的勾股定理，等边三角形的性质，圆的性质，圆柱的体
积，平行线的性质是解题的关键．（2022·江西·统考中考真题）问题提出：某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够
大的直角三角板 的一个顶点放在正方形中心O处，并绕点O逆时针旋转，探究
直角三角板 与正方形 重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）．
(1)操作发现：如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当 与 重合时，重叠部分的
面积为__________；当 与 垂直时，重叠部分的面积为__________；一般地，若正方形面积为S，在
旋转过程中，重叠部分的面积 与S的关系为__________；
(2)类比探究：若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中， 分别与正方形的边相交于点M，
N．
①如图2，当 时，试判断重叠部分 的形状，并说明理由；
②如图3，当 时，求重叠部分四边形 的面积（结果保留根号）；
(3)拓展应用：若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为 （设 ），将
绕点O逆时针旋转，在旋转过程中， 的两边与正方形 的边所围成的图形的面积为
，请直接写出 的最小值与最大值（分别用含 的式子表示），
（参考数据： ）（1）如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，OE与OC重合，此
时重叠部分的面积=△OBC的面积= 正方形ABCD的面积=1；当OF与BC垂直时，OE⊥BC，重叠部分
的面积= 正方形ABCD的面积=1；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S 与S
1
的关系为S= S．利用全等三角形的性质证明即可；
1
（2）①结论：△OMN是等边三角形．证明OM=ON，可得结论；
②如图3中，连接OC，过点O作OJ⊥BC于点J．证明△OCM≌△OCN（SAS），推出
∠COM=∠CON=30°，解直角三角形求出OJ，即可解决问题；
（3）如图4-1中，过点O作OQ⊥BC于点Q，当BM=CN时，△OMN的面积最小，即S 最小．如图4-2
2
中，当CM=CN时，S 最大．分别求解即可．
2
【答案】(1)1,1，
(2)① 是等边三角形，理由见解析；②
(3)
【详解】（1）如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，OE与OC
重合，此时重叠部分的面积=△OBC的面积= 正方形ABCD的面积=1；
当OF与BC垂直时，OE⊥BC，重叠部分的面积= 正方形ABCD的面积=1；
一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S 与S的关系为S= S．
1 1
理由：如图1中，设OF交AB于点J，OE交BC于点K，过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N．∵O是正方形ABCD的中心，
∴OM=ON，
∵∠OMB=∠ONB=∠B=90°，
∴四边形OMBN是矩形，
∵OM=ON，
∴四边形OMBN是正方形，
∴∠MON=∠EOF=90°，
∴∠MOJ=∠NOK，
∵∠OMJ=∠ONK=90°，
∴△OMJ≌△ONK（AAS），
∴S△PMJ=S△ONK，
∴S OKBJ=S OMBN= S ABCD，
四边形 正方形 正方形
∴S= S．
1
故答案为：1，1，S= S．
1
（2）①如图2中，结论：△OMN是等边三角形．理由：过点O作OT⊥BC，
∵O是正方形ABCD的中心，
∴BT=CT，
∵BM=CN，
∴MT=TN，
∵OT⊥MN，
∴OM=ON，
∵∠MON=60°，
∴△MON是等边三角形；
②如图3中，连接OC，过点O作OJ⊥BC于点J．
∵CM=CN，∠OCM=∠OCN，OC=OC，
∴△OCM≌△OCN（SAS），
∴∠COM=∠CON=30°，
∴∠OMJ=∠COM+∠OCM=75°，
∵OJ⊥CB，∴∠JOM=90°-75°=15°，
∵BJ=JC=OJ=1，
∴JM=OJ•tan15°=2- ，
∴CM=CJ-MJ=1-（2- ）= -1，
∴S OMCN=2× ×CM×OJ= -1．
四边形
（3）如图4，将 沿 翻折得到 ，则 ，此时则当 在 上时， 比四
边形 的面积小，
设 ，则当 最大时， 最小，
，即 时， 最大，
此时 垂直平分 ，即 ，则
如图5中，过点O作OQ⊥BC于点Q，，
BM=CN
当BM=CN时，△OMN的面积最小，即S 最小．
2
在Rt△MOQ中，MQ=OQ•tan =tan ，
∴MN=2MQ=2tan ，
∴S=S△OMN= ×MN×OQ=tan ．
2
如图6中，同理可得，当CM=CN时，S 最大．
2
则△COM≌△CON，
∴∠COM= ，
∵∠COQ=45°，
∴∠MOQ=45°- ，
QM=OQ•tan（45°- ）=tan（45°- ），
∴MC=CQ-MQ=1-tan（45°- ），
∴S=2S△CMO=2× ×CM×OQ=1-tan（45°- ）．
2
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，四边形的面积等知
识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．1．（2022·内蒙古通辽·模拟预测）综合实践
问题情境
在图 所示的直角三角形纸片 中， 是斜边 的中点．数学老师让同学们将 绕中点 做图形
的旋转实验，探究旋转过程中线段之间的关系．
解决问题
（1）“实践小组”的同学们将 以点 为中心按逆时针旋转，当点 的对应点 与 重合时， 与
它的对应边 交于点 ．他们发现： ．请你帮助他们写出证明过程．
数学思考
（2）在图 的基础上，“实践小组”的同学们继续将 以点 为中心进行逆时针旋转，当 的对应
边 时，设 与 交于点 ， 与 交于点 ．他们认为 ．他们的认识是否
正确？请说明理由．
再探发现
（3）解决完上面两个问题后，“实践小组”的同学们在图 中连接 ，他们认为 ， 与 也具有
一定的数量关系．请你写出这个数量关系______．（不要求证明）
2．（2022·山西·山西实验中学校考模拟预测）综合与实践：
问题情境：在综合与实践课上，数学老师出示了一道思考题：
如图，在正方形 中， 是射线 上一动点，以 为直角边在 边的右侧作等腰直角三角形
，使得 ， ，且点 恰好在射线 上．(1)如图1，当点 在对角线 上，点 在 边上时，那么 与 之间的数量关系是_________；
探索发现：
(2)当点 在正方形 外部时如图2与图3，（1）中的结论是否还成立？若成立，请利用图2进行证
明；若不成立，请说明理由；
问题解决：
(3)如图4，在正方形 中， ，当 是对角线 的延长线上一动点时，连接 ，若
，求 的面积．
3．（2022·广东深圳·校考模拟预测）【操作与发现】
如图①，在正方形ABCD中，点N，M分别在边BC、CD上．连接AM、AN、MN．∠MAN＝45°，将
△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而可得：
DM+BN＝MN．(1)【实践探究】在图①条件下，若CN＝6，CM＝8，则正方形ABCD的边长是______．
(2)如图②，在正方形ABCD中，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM、AN、MN，∠MAN＝45°，若
tan∠BAN ，求证：M是CD的中点．
(3)【拓展】如图③，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝16，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM、
AN，已知∠MAN＝45°，BN＝4，则DM的长是______．
4．（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考三模）综合与实践
如图①，Rt△ABC中，∠ACB= 90° ，CD为Rt△ABC的斜边上的中线，在证明CD=AD= BD的过程中，我
们可以延长CD到E，使得CD=DE ，连接BE．很容易证明∠ACD≌△BED，进而证明△ABC≌△ECB，所以
AB=CE，所以CD= AD= BD．我们可以得到直角三角形的性质：直角三角形斜边中线等于斜边的一半．
实践操作：
将两个全等的Rt△ABD，Rt△ACE拼在一起 ，如图②，△ABD不动．
问题解决：
（1）将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB，MC，如图③，求证：
MB=MC；
拓展延伸：
（2）若将图②中的CE向上平移，且∠CAE不变，连接DE ，M是DE的中点，连接MB ，MC，如图
④，则线段MB，MC的数量关系为 ；
问题再探：
（3）在（2）的条件下，若∠CAE改变大小，如图⑤，其他条件不变，请你判断线段MB ，MC的数量关
系还成立吗?请说明理由．5．（2022·河南南阳·统考二模）综合与实践
【动手操作】如图①，四边形ABCD是一张矩形纸片， ， ．先将矩形ABCD对折，使BC与
AD重合，折痕为MN，沿MN剪开得到两个矩形．矩形AMND保持不动，将矩形MBCN绕点M逆时针旋
转，点N的对应点为 ．
【探究发现】（1）如图②，当点C与点D重合时， 交AD于点E，BC交MN于点F，此时两个矩形
重叠部分四边形MEDF的形状是______，面积是______；
（2）如图③，当点N'落在AD边上时，BC恰好经过点N， 与DN交于点G，求两个矩形重叠部分四边
形 的面积；
【引申探究】（3）当点 落在矩形 的对角线MD所在的直线上时，直线 与直线DN交于点
G，请直接写出线段DG的长．
6．（2022·山西大同·统考二模）综合与实践
在一次综合实践活动课上，数学王老师给每位同学各发了一张正方形纸片，要求同学们仅通过折纸的方法
来确定该正方形一边上的一个三等分点．
“启航”小组的同学在经过一番思考和讨论交流后，进行了如下的操作：第一步：如图1，将正方形纸片ABCD的一条边AD对折，使点A和点D重合，得到AD的中点E，然后展
开铺平；
第二步：如图2，将CD边沿CE翻折到CF的位置；
第三步：如图3，再将BC沿过点C的直线翻折，使点B和点F重合，折痕与AB边交于点G．
他们认为：该点G就是AB边的一个三等分点．
(1)试证明上面的结论：
(2)“奋进”小组的同学是这样操作的：
第一步：先将正方形纸片ABCD的一条边AD对折，使点A和点D重合，找到AD的中点E；
第二步：再折出正方形纸片ABCD的对角线AC，以及点B和点E的连线BE，这两条折痕相交于点F；
第三步：最后，过点F折出AB的平行线GN，分别与AD，BC交于点G和点N．
①请根据上面的描述，在图4中画出所有的折痕，确定点G和点N的位置；
②请结合①中所画的图形，判断点G是否为AD边的三等分点，并说明理由．
