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专题 21 与圆有关的概念及性质（10 个高频考点）（举一反三）
【考点1 圆的基本概念】.......................................................................................................................................1
【考点2 垂径定理及其推论】...............................................................................................................................3
【考点3 弧、弦、圆心角的关系】.......................................................................................................................5
【考点4 圆周角】...................................................................................................................................................7
【考点5 三角形的外接圆】...................................................................................................................................9
【考点6 圆内接四边形】.....................................................................................................................................10
【考点7 相交弦】.................................................................................................................................................12
【考点8 四点共圆】.............................................................................................................................................12
【考点9 圆中的定值问题】.................................................................................................................................14
【考点10 圆中的最值问题】.................................................................................................................................16
【要点1 圆的概念】
1.定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．
固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
2.连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任
意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做
劣弧．
【要点2 确定圆的条件】
不在同一直线上的三点确定一个圆．
注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不
能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过
一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．
【考点1 圆的基本概念】
【例1】（2022·山东东营·统考中考真题）如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB,∠BOC=40°，则∠AOC的度数为____________．
【答案】100°##100度
【变式1-1】（2022·广西柳州·统考中考真题）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中点，点E是
正方形内一个动点，且EG＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线
段CF长的最小值为 _____．
【变式1-2】（2022·山东潍坊·中考真题）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，
感悟数学之美．如图，正方形ABCD的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形
A′B′C′D′，若A′B′:AB=2:1，则四边形A′B′C′D′的外接圆的周长为___________．
【变式1-3】（2022·河北沧州·统考二模）石家庄市水上公园南侧新建的摩天轮吸引了附近市民的目光．据
工作人员介绍，新建摩天轮直径为100m，最低点距离地面1m，摩天轮的圆周上均匀地安装了24个座舱
（本题中将座舱视为圆周上的点），游客在距离地面最近的位置进舱，运行一圈时间恰好是13分14秒，
寓意“一生一世”．小明从摩天轮的底部出发开始观光，摩天轮转动1周．(1)小明所在座舱到达最高点时距离地面的高度为 m；
(2)在小明进座舱后间隔3个座舱小亮进入座舱（如图，此时小明和小亮分别位于P、Q两点），
①求两人所在座舱在摩天轮上的距离（弧PQ的长）；
②求此时两人所在座舱距离地面的高度差；
(3)受周围建筑物的影响，当乘客与地面的距离不低于76m时，可视为最佳观赏位置，求最佳观赏时间有多
长（不足一分钟按一分钟记）．
【要点3 垂径定理及其推论】
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
【考点2 垂径定理及其推论】
【例2】（2022·湖南长沙·统考中考真题）如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，且D
为OC的中点，若OA=7，则BC的长为___________．
【变式2-1】（2022·四川自贡·统考中考真题）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，则镜面半径为____________厘米．
【变式2-2】（2022·四川凉山·统考中考真题）如图，在边长为1的正方形网格中，⊙O是△ABC的外接圆，
点A，B，O在格点上，则cos∠ACB的值是________．
【变式2-3】（2022·甘肃兰州·统考中考真题）综合与实践
问题情境：我国东周到汉代一些出土实物上反映出一些几何作图方法，如侯马铸铜遗址出土车軎范、芯组
成的（如图1），它的端面是圆形，如图2是用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法：将“矩”
的直角尖端A沿圆周移动，直到AB=AC，在圆上标记A，B，C三点；将“矩”向右旋转，使它左侧边落
在A，B点上，“矩”的另一条边与圆的交点标记为D点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的A，B，
C，D四点，连接AD，BC相交于点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的A，B，C，D四点，链接AD，
BC相较于点O，即O为圆心．(1)问题解决：请你根据“问题情境”中提供的方法，用三角板还原我国古代几何作图确定圆心O．如图
3，点A，B，C在⊙O上，AB⊥AC，且AB=AC，请作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)类比迁移：小梅受此问题的启发，在研究了用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法后发现，如
果AB和AC不相等，用三角板也可以确定圆心O．如图4，点A，B，C在⊙O上，AB⊥AC，请作出圆
心O．（保留作图痕迹，不写作法）
(3)拓展探究：小梅进一步研究，发现古代由“矩”度量确定圆上等距离点时存在误差，用平时学的尺规作
图的方法确定圆心可以减少误差．如图5，点A，B，C是⊙O上任意三点，请用不带刻度的直尺和圆规作
出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）请写出你确定圆心的理由：______________________________．
【要点4 弧、弦、角、距的概念】
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其
余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧
或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推
二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与
原图形完全重合．
【考点3 弧、弦、圆心角的关系】
【例3】（2022·内蒙古包头·中考真题）如图，AB,CD是⊙O的两条直径，E是劣弧B´C的中点，连接BC，
DE．若∠ABC=22°，则∠CDE的度数为（ ）A．22° B．32° C．34° D．44°
【变式3-1】（2022·浙江湖州·统考中考真题）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的
顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN
＝2．若点P是这个网格图形中的格点，连接PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长
的最大值是（ ）
A．4√2 B．6 C．2√10 D．3√5
【变式3-2】（2022·湖南怀化·统考中考真题）如图，点A，B，C，D在⊙O上，A´B＝C´D．求证：
(1)AC＝BD；
(2)△ABE∽△DCE．
【变式3-3】（2022·黑龙江哈尔滨·统考三模）已知：⊙O两条弦AC与BD相交于点E，AC=BD．(1)如图1，求证：CE=BE；
(2)如图2，直径BF⊥AC于点N，连接DF，求证：DF=2ON；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接AD交BF于点G，若AD=11，BN=√5，求ON的长．
【要点5 圆周角定理及其推论】
C
是 所对的圆心角，
定理：圆周角的度数等于它
是 所对的圆周角，
所对的弧的圆心角度
B O
数的一半
A
D C
和 都是 所对的圆周
角
推论1：同弧或等弧所对的圆
圆
周 周角相等
B O
角
定
A
理
是 的直径
C
是 所对的圆周角
推论2：直径所对的圆周角是
直角， 的圆周
角所对的弦是直径 B A 是 所对的圆周角
O
是 的直径
【考点4 圆周角】
【例4】（2022·山东济宁·统考中考真题）如图，点A，C，D，B在⊙O上，AC＝BC，∠ACB＝90°．若
1
CD＝a，tan∠CBD＝ ，则AD的长是___________．
3【变式4-1】（2022·湖北恩施·统考中考真题）如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，切点分别为
A、B，直线PO交⊙O于点D、E，交AB于点C．
(1)求证：∠ADE=∠PAE．
(2)若∠ADE=30°，求证：AE=PE．
(3)若PE=4，CD=6，求CE的长．
【变式4-2】（2022·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）已知CH是⊙O的直径，点A，点B是⊙O上的两个点，
连接OA,OB，点D，点E分别是半径OA,OB的中点，连接CD,CE,BH，且∠AOC=2∠CHB．
(1)如图1，求证：∠ODC=∠OEC；
(2)如图2，延长CE交BH于点F，若CD⊥OA，求证：FC=FH；
(3)如图3，在（2）的条件下，点G是B´H上一点，连接AG,BG,HG,OF，若AG:BG=5:3，HG=2，
求OF的长．
【变式4-3】（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）如图所示，在⊙O的内接△AMN中，∠MAN=90°，
AM=2AN，作AB⊥MN于点P，交⊙O于另一点B，C是A´M上的一个动点（不与A，M重合），射线
MC交线段BA的延长线于点D，分别连接AC和BC，BC交MN于点E．(1)求证：△CMA∽△CBD．
(2)若MN=10，M´C=N´C，求BC的长．
3 ME
(3)在点C运动过程中，当tan∠MDB= 时，求 的值．
4 NE
【考点5 三角形的外接圆】
【例5】（2022·湖南邵阳·统考中考真题）如图，⊙O是等边 ABC的外接圆，若AB=3，则⊙O的半径是（
） △
3 √3 5
A． B． C．√3 D．
2 2 2
【变式5-1】（2022·浙江宁波·校考模拟预测）如图，已知点A(4，0),B(0，3)，直线l经过A、B两点，
点C(x,y)为直线l在第一象限的动点，作△AOC的外接圆⊙M，延长CM交⊙M于点Q，则△OCQ的
面积最小值为（ ）24 96
A．4 B．4.5 C． D．
5 25
【变式5-2】（2022·广西玉林·统考中考真题）如图，在5×7网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，
B，C，D，E均在格点上，点O是△ABC的外心，在不添加其他字母的情况下，则除△ABC外把你认为外
心也是O的三角形都写出来__________________________．
【变式5-3】（2022·上海静安·统考二模）如图，已知△ABC外接圆的圆心O在高AD上，点E在BC延长
线上，EC=AB．
(1)求证：∠B=2∠AEC；
√3
(2)当OA=2，cos∠BAO= 时，求DE的长．
2
【要点6 圆内接四边形】
D 四边形 是 的内接四边形
圆的内接四边形对角互补 C
B
A E【考点6 圆内接四边形】
【例6】（2022·江苏淮安·统考中考真题）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠AOC=160°，
则∠ABC的度数是（ ）
A．80° B．100° C．140° D．160°
【变式6-1】（2022·吉林长春·统考中考真题）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形．若
∠BCD=121°，则∠BOD的度数为（ ）
A．138° B．121° C．118° D．112°
【变式6-2】（2022·新疆·统考中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，
AC=CD，连接AD，延长DB交过点C的切线于点E．
(1)求证：∠ABC=∠CAD；
(2)求证：BE⊥CE；
(3)若AC=4，BC=3，求DB的长．
【变式6-3】（2022·四川成都·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径作⊙O，
交AB边于点D，在C´D上取一点E，使B´E=C´D，连接DE，作射线CE交AB边于点F．(1)求证：∠A=∠ACF；
4
(2)若AC=8，cos∠ACF= ，求BF及DE的长．
5
【考点7 相交弦】
【例7】（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图， 中，弦 ， 相交于点 ， ，
，则 的大小是( )
A． B． C． D．
【变式7-1】（2022秋·九年级课时练习）如图，圆内一条弦CD与直径AB相交成30°角，且分直径成1cm
和5cm两部分，则这条弦的弦心距是_____．
【变式7-2】（2022·四川巴中·校考一模）圆内一条弦与直径相交成30°的角，且分直径1cm和5cm两段，
则这条弦的长为_____．
【变式7-3】（2022秋·浙江杭州·九年级校联考期中）一条弦AB把圆的 直径分成3和11两 部分，弦 和
直径相交 成300角，则AB的长为_____________．
【考点8 四点共圆】
【例8】（2022秋·湖南长沙·九年级长沙县湘郡未来实验学校校考阶段练习）如图，已知△ABC中，
∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∠CPB=∠A，过点C作CP的垂线，与BP的延长线交于点Q，则CQ
的最大值为（ ）15 16
A．4 B．5 C． D．
4 5
【变式8-1】（2023秋·浙江温州·九年级期末）如图，Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，O为AC的中
点，K为BC上一点，NC⊥BC，且NC＝BK，AK分别交BN、OB于M、F，AC交BN于E，连接OM，下
OM 1
列结论：①AK⊥BN；②OE＝OF；③∠OMN＝45°；④若∠OAF＝∠BAF，则 = ．其中正确结论的个
AF 2
数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式8-2】（2023春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，点D为BC上一点，
∠ADC=60°，点E在线段AD上，∠BEC=120°，若BC=3√3，AE=2√3，则AC的最大值为
________．
【变式8-3】（2023春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）问题提出 如图1，点E为等腰△ABC内一点，
AB=AC，∠BAC=α，将AE绕着点A逆时针旋转α得到AD，求证：△ABE≌△ACD．尝试应用 如图2，点D为等腰Rt△ABC外一点，AB=AC，BD⊥CD，过点A的直线分别交DB的延长
1
线和CD的延长线于点N，M，求证：S +S = AN⋅AM．
△ABN △ACM 2
问题拓展 如图3，△ABC中，AB=AC，点D，E分别在边AC，BC上，∠BDA=∠BEA=60°，AE，
BD交于点H．若CE=a，AH=b，直接写出BE的长度（用含a，b的式子）．
【考点9 圆中的定值问题】
【例9】（2022秋·全国·九年级专题练习）ΔABC内接于⊙O，过点O作OH⊥BC于点H，延长OH交
⊙O于点D连接AD．(1)如图1，求证：∠BAD=∠CAD；
(2)如图2，若OH=DH，求∠BAC的度数；
3
(3)如图3，在（2）的条件下，过点B作BK⊥AD于点K，连接HK，若HK= ，试说明线段AB与AC的
2
差为定值．
【变式9-1】（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）已知，如图：正方形ABCD，AB=4，动点E以√2
个单位每秒的速度从点A出发向终点C运动，同时动点F以2个单位每秒的速度从点B出发，沿射线BC
向右运动．当点E到达点C时，点E、点F同时停止运动．连接EF，以EF为直径作⊙O，该圆与直线AC
的另一个交点为点G．设运动时间为t．
(1)当点F在BC边上运动时，如图①，
①填空：FC=_____，AE=_____（用含有t的代数式表示）；
②连接DE，DF，求证：△DEF是等腰直角三角形．
(2)在运动的过程中，线段EG的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个定值．
(3)在运动的过程中，要使得圆心O始终在正方形ABCD的内部（不含边界），请直接写出点t的取值范围．
【变式9-2】（2022·福建·九年级专题练习）已知四边形ABCD内接于⊙O，AC⊥BD，垂足为E，
CF⊥AB，垂足为F，交BD于点G，连接AG．(1)求证：CG=CD；
(2)如图1，若AG=4，BC=10，求⊙O的半径；
1 1
(3)如图2，连接DF，交AC于点H，若∠ABD=30°，CH=6，试判断 + 是否为定值，若是，求
CD CF
出该定值；若不是，说明理由．
【变式9-3】（2022·广东广州·一模）已知，AB是⊙O的直径，AB＝4√2，AC＝BC．
(1)求弦BC的长；
(2)若点D是AB下方⊙O上的动点（不与点A，B重合），以CD为边，作正方形CDEF，如图1所示，若
M是DF的中点，N是BC的中点，求证：线段MN的长为定值；
(3)如图2，点P是动点，且AP＝2，连接CP，PB，一动点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度沿线段
CP匀速运动到点P，再以每秒1个单位的速度沿线段PB匀速运动到点B，到达点B后停止运动，求点Q
的运动时间t的最小值．
【考点10 圆中的最值问题】
【例10】（2022·安徽合肥·校联考三模）如图，AB是⊙O的直径，AB=8，点M在⊙O上，
∠MAB=20°,N是M´B的中点，P是直径AB上的一动点，若MN=2，则△PMN周长的最小值为
（ ）A．4 B．5 C．6 D．7
【变式10-1】（2022·四川德阳·统考一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝12，点D为线段BC
上一动点．以CD为⊙O直径，作AD交⊙O于点E，则BE的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【变式10-2】（2022·山东枣庄·校考一模）如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，点C在⊙O上，∠CAB＝
30°，D为弧BC的中点，E是直径AB上一动点，则CE+DE最小值为（ ）
A．1 B．√2 C．√3 D．2
【变式10-3】（2022·河北保定·统考三模）如图，MN是⊙O的直径，MN＝4，∠AMN＝30°，点B为弧AN
的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为（ ）
A．4 B．4√2 C．2√2 D．2
