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专题 12 二次函数的图象及性质（10 个高频考点）（强化训练）
【考点1 二次函数的定义】
1．（2022·江苏淮安·统考一模）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
1
A． y=3x-1 B．y=ax2+bx+c C．s=2t2-2t+1 D．y=x2+
x
2．（2022·山东济南·模拟预测）若 是二次函数，则 的值等于（ ）
y=(m2+m)xm2−m m
A．−1 B．0 C．2 D．−1或2
3．（2022·四川成都·校联考模拟预测）定义：由a，b构造的二次函数y=ax2+(a+b)x+b叫做一次函数y
＝ax＋b的“滋生函数”，一次函数y＝ax＋b叫做二次函数y=ax2+(a+b)x+b的“本源函数”（a，b为
常数，且a≠0）．若一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”是y=ax2−3x+a+1，那么二次函数
y=ax2−3x+a+1的“本源函数”是______．
4．（2022·浙江·模拟预测）无论 取什么实数，点 都在二次函数 上， 是二
a P(a−1,2a2−4a+1) y Q(m,n)
次函数y上的点，则4m2−2n+1=_____________．
5．（2013·江苏徐州·统考一模）请选择一组你喜欢的 、 、 的值，使二次函数 的
a b c y=ax2+bx+c(a≠0)
图象同时满足下列条件：①开口向下；②当x<2时，y随x的增大而增大；当x>2时，y随x的增大而减小．
这样的二次函数的解析式可以是________．
【考点2 二次函数的图象与性质】
1 1
6．（2022·山东滨州·统考二模）抛物线y= x2+ x的图象如图所示，点A，A，A，A…，A 在抛物线
1 2 3 4 2022
2 2
第一象限的图象上，点B，B，B，B.．．，B 在y轴的正半轴上，△OA B 、△B A B 、…、
1 2 3 4 2022 1 1 1 2 2
△B A B 都是等腰直角三角形，则B A = ________．
2021 2022 2022 2021 20227．（2022·四川泸州·校考模拟预测）已知抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x纵坐标y的对应值如下
表：
x … -1 0 1 2 3 …
y … 3 0 -1 0 3 …
①抛物线y=ax2+bx+c的开口向下；
②抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1；
③方程ax2+bx+c=0的根为x =0,x =2；
1 2
④当y>0时，x的取值范围是x<0或x>2．
以上结论中，其中正确的有______．
8．（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）已知抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，
与y轴交于点C，顶点为D．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)连接BC，CD，BD，P为BD的中点，连接CP，则线段CP的长是______．注：抛物线的对称轴是直线 b ，顶点坐标是( b 4ac−b2 )．
y=ax2+bx+c(a≠0) x=− − ,
2a 2a 4a
9．（2022·贵州贵阳·统考中考真题）已知二次函数y=ax2+4ax+b．
(1)求二次函数图象的顶点坐标（用含a，b的代数式表示）；
(2)在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴交于A，B两点，AB=6，且图象过(1，c)，(3，d)，(−1，
e)，(−3，f)四点，判断c，d，e，f的大小，并说明理由；
(3)点M(m，n)是二次函数图象上的一个动点，当−2≤m≤1时，n的取值范围是−1≤n≤1，求二次函数的表达
式．
10．（2022·河北·统考中考真题）如图，点 在抛物线C： 上，且在C的对称轴右侧．
P(a,3) y=4−(6−x) 2
(1)写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值；
(2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为P′，C′．平移该胶片，使C′
所在抛物线对应的函数恰为y=−x2+6x−9．求点P′移动的最短路程．
【考点3 二次函数的图象与系数的关系】
11．（2022·湖北黄石·统考中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线
x=−1，有以下结论：①abc<0；②若t为任意实数，则有a−bt≤at2+b；③当图象经过点(1,3)时，方
程ax2+bx+c−3=0的两根为x ，x （x 0；②4a+c>0；③(−2,y )与 ,y 是抛
1 2 2
物线上的两个点，则y 0；②a> ；③对于任意实数m，都有m(am+b)>a+b成立；④
3
1
若(−2,y )，( ,y )，(2,y )在该函数图象上，则y 0；
3
②若m= ，则3a+2c<0；
2
③若点 ， 在抛物线上， ，且 ，则 ；
M(x ,y ) N(x ,y ) x 1 y >y
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
④当a≤−1时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=1必有两个不相等的实数根．
其中正确的是_________（填写序号）．
【考点4 二次函数的对称性】
16．（2022·广东广州·校考模拟预测）已知，二次函数f（x）=ax2+bx+c的部分对应值如下表，则f（-2）=
______ ．
x -2 -1 0 1 2 3 4 5
y 0 -3 -4 -3 0 5 1217．（2022·浙江杭州·校考三模）已知二次函数y＝a（x﹣x）（x﹣x），其中x＜x，若x+x＝4，当x＝
1 2 1 2 1 2
0时，y＞0，当x＝3时，y＜0，且m＜x＜n（m，n为相邻整数），则m+n＝___．
2
18．（2022·江苏南京·统考二模）已知点(−2,m)、(2,p)和(4,q)在二次函数y=ax2+bx(a<0)的图像上．
若pq<0，则p，q，m的大小关系是______（用“＜”连接）．
19．（2022·北京·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy中，点(1,m),(3,n)在抛物线
上，设抛物线的对称轴为
y=ax2+bx+c(a>0) x=t.
(1)当c=2,m=n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；
(2)点(x ,m)(x ≠1)在抛物线上，若m0）．
(1)当AB=12时，在抛物线的对称轴上求一点P使得△BOP的周长最小；
(2)当点C在直线l上方时，求点C到直线l距离的最大值；
(3)若把横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”．当m=2022时，求出在抛物线和直线a所围成的封闭
图形的边界上的“整点”的个数．
25．（2022·山东滨州·统考模拟预测）如图，直线l:y=−m与y轴交于点A，直线a:y=x+m与y轴交于点
B，抛物线y=x2+mx的顶点为C，且与x轴左交点为D（其中m>0）．（1）当AB=12时，在抛物线的对称轴上求一点P使得△BOP的周长最小；
（2）当点C在直线l上方时，求点C到直线l距离的最大值；
（3）若把横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”．当m=2021时，求出在抛物线和直线a所围成的封
闭图形的边界上的“整点”的个数．
【考点6 待定系数法求二次函数的解析式】
11
26．（2022·山东济南·统考中考真题）抛物线y=ax2+ x−6与x轴交于A(t,0)，B(8,0)两点，与y轴交
4
于点C，直线y＝kx－6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．
(1)求抛物线的表达式和t，k的值；
(2)如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；
1
(3)如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求CQ+ PQ的最大值．
2
27．（2022·四川绵阳·统考中考真题）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于A(-1，0)，B两点，交y轴于点
C(0，3)，顶点D的横坐标为1．(1)求抛物线的解析式；
(2)在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB＋∠ACB＝180°．若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说
明理由；
(3)过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上
是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似？若存在，
请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．
28．（2022·四川广安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x+m（a≠0）的图象
与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，－4），点C坐标为（2，0）．
(1)求此抛物线的函数解析式．
(2)点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？
若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标．
29．（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）综合与探究
如图，某一次函数与二次函数y=x2+mx+n的图象交点为A（-1，0），B（4，5）．(1)求抛物线的解析式；
(2)点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为 ；
(3)点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段DE长度
的最大值；
(4)在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点
C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标．
30．（2022·江苏淮安·统考中考真题）如图（1），二次函数y=−x2+bx+c的图像与x轴交于A、B两点，
与y轴交于C点，点B的坐标为(3,0)，点C的坐标为(0,3)，直线l经过B、C两点．
(1)求该二次函数的表达式及其图像的顶点坐标；
(2)点P为直线l上的一点，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图像相交于点M，再过点M作y轴的垂线与
1
该二次函数的图像相交于另一点N，当PM= MN时，求点P的横坐标；
2
(3)如图（2），点C关于x轴的对称点为点D，点P为线段BC上的一个动点，连接AP，点Q为线段AP上一点，且AQ=3PQ，连接DQ，当3AP＋4DQ的值最小时，直接写出DQ的长．
【考点7 二次函数图象的平移】
31．（2022·广西玉林·统考中考真题）小嘉说：将二次函数y=x2的图象平移或翻折后经过点(2,0)有4种
方法：
①向右平移2个单位长度 ②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
③向下平移4个单位长度 ④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度
你认为小嘉说的方法中正确的个数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
32．（2022·内蒙古通辽·统考中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数 的图象向左平移
y=(x−1) 2+1
1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（ ）
A． B．
y=(x−2) 2−1 y=(x−2) 2+3
C．y=x2+1 D．y=x2−1
33．（2022·山东枣庄·统考中考真题）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B
（1，0），过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一
个动点．
(1)求抛物线的关系式；
(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当 OPE面积最大时，求出P点坐标；
(3)将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线△的顶点落在 OAE内（包括 OAE的边界），
求h的取值范围； △ △
(4)如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使 POF成为以点P为直角顶点的
△等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
34．（2022·江苏常州·统考中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+3的自变量x的部分取值和对应函数值y
如下表：
x … −1 0 1 2 3 …
y … 4 3 0 −5 −12 …
(1)求二次函数y=ax2+bx+3的表达式；
(2)将二次函数y=ax2+bx+3的图像向右平移k(k>0)个单位，得到二次函数y=mx2+nx+q的图像，使
得当−10）的图象经过点P(2，
4)．
(1)求m的值；
(2)判断二次函数y=x2+mx+m2−3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．
37．（2022·黑龙江大庆·统考中考真题）已知二次函数y=x2+bx+m图像的对称轴为直线x=2．将二次函
数y=x2+bx+m图像中y轴左侧部分沿x轴翻折，保留其他部分得到新的图像C．
(1)求b的值；
(2)①当m<0时，图像C与x轴交于点M，N（M在N的左侧），与y轴交于点P．当△MNP为直角三角
形时，求m的值；
②在①的条件下，当图像C中−4≤ y<0时，结合图像求x的取值范围；
(3)已知两点A(−1,−1),B(5,−1)，当线段AB与图像C恰有两个公共点时，直接写出m的取值范围．
38．（2022·湖北武汉·统考中考真题）抛物线y=x2−2x−3交x轴于A，B两点（A在B的左边），C是第
一象限抛物线上一点，直线AC交y轴于点P．(1)直接写出A，B两点的坐标；
(2)如图（1），当OP=OA时，在抛物线上存在点D（异于点B），使B，D两点到AC的距离相等，求出
所有满足条件的点D的横坐标；
FP
(3)如图（2），直线BP交抛物线于另一点E，连接CE交y轴于点F，点C的横坐标为m．求 的值（用
OP
含m的式子表示）．
39．（2022·云南·中考真题）已知抛物线y=−x2−√3x+c经过点（0，2），且与x轴交于A、B两点．设k
是抛物线y=−x2−√3x+c与x轴交点的横坐标；M是抛物线y=−x2−√3x+c的点，常数m>0，S为
△ABM的面积．已知使S=m成立的点M恰好有三个，设T为这三个点的纵坐标的和．
(1)求c的值；
(2)直接写出T的值；
(3)求 k4 的值．
k8+k6+2k4+4k2+16
40．（2022·四川自贡·统考中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)．
(1)若a=−1，且函数图象经过(0,3)，(2,−5)两点，求此二次函数的解析式，直接写出抛物线与x轴交点及
顶点的坐标；
(2)在图①中画出（1）中函数的大致图象，并根据图象写出函数值y≥3时自变量x的取值范围；
(3)若a+b+c=0且a>b>c，一元二次方程ax2+bx+c=0 两根之差等于a−c，函数图象经过
(1 )
P −c,y ，Q(1+3c,y )两点，试比较y ,y 的大小 ．
2 1 2 1 2
【考点9 利用二次函数的图象确定一元二次方程的近似根】
41．（2022·江苏扬州·校考一模）根据下面表格中的对应值：x 3.23 3.24 3.25 3.26
ax2＋bx＋c －0.06 －0.02 0.03 0.09
判断方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ ）
A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26
42．（2022·四川眉山·一模）根据表格对应值：
x 1.1 1.2 1.3 1.4
ax2+bx+c -0.59 0.84 2.29 3.76
判断关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个解x的取值范围是（ ）
A．1.10 D．当x= 时，y有最小值
1 2 2
45．（2022·山西·校联考三模）阅读与思考．
小明在九年级总复习阶段，针对“求一元二次方程的解”整理得出以下几种方法，请仔细阅读并完成相应
的任务：
九年级总复习笔记
专题：一元二次方程解法归纳 时间：2021年3月×日
引例：求一元二次方程x2−2x−3=0的解．方法一：选择合适的一种方法（公式法、配方法）求解．
解方程：x2−2x−3=0． 公式法：…… 配方法：……
【解析】解：……
方法二：利用二次函数图象与坐标轴的交点求解，如图所
示，把方程x2−2x−3=0的解看作是一个二次函数的图象
与x轴交点的横坐标．由图1可知该方程的近似解为
x =−1,x =3．
1 2
方法三：将方程x2−2x−3=0移项可得x2=2x+3，此时原
方程的解就是二次函数y=x2的图象与一个一次函数图象交
点的横坐标．由图2可知该方程的近似解为x =−1,x =3．
1 2
任务：
（1）选择一种合适的方法（公式法、配方法）解方程；
（2）根据“方法二”的思路，直接写出图1中对应的二次函数表达式为_______；
（3）参照“方法三”的思路，求解一元二次方程x2−x−6=0的解时，请在图3的平面直接坐标系中画出
相应函数图象并依据图象直接写出方程的近似解．【考点10 二次函数与不等式】
46．（2022·浙江宁波·校考三模）已知抛物线 与一次函数 有两个交点，且交点的横
y =x2+bx+c y =x+4
1 2
坐标分别为x =0，x =2．
1 2
(1)根据图象直接写出，当y ⩾y 时，x的取值范围为 ；
1 2
(2)将抛物线 向上平移，使其顶点落在一次函数图象上，求平移后图象所对应的二次函数的表
y =x2+bx+c
1
达式．
47．（2022·广东深圳·深圳市宝安中学（集团）校考三模）自主学习，请阅读下列解题过程．
（1）【问题探究】解一元二次不等式：x2−4x>0．
解：设x2−4x=0，解得：x =0，x =4，则抛物线y=x2−4x与x轴的交点坐标为（0，0）和（4，
1 2
0）．画出二次函数y=x2−4x的大致图像（如图所示），由图像可知：当x<0或x>4时函数图像位于x轴
上方，此时y>0，即x2−4x>0，所以，一元二次不等式x2−4x>0的解集为：x<0或x>4．（2）【知识理解】通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：
a．请归纳得到上述解一元二次不等式的基本步骤为 ．（按先后顺序填序号）
①解一元二次方程，并画出大致图像
②将一元二次不等式转化为相应的一元二次方程
③利用数形结合求解一元二次不等式
b．一元二次不等式x2−4x<0的解集为 ．
（3）【知识应用】用类似的方法解一元二次不等式：x2−x−6<0．
（4）【拓展延伸】直接写出一元二次不等式组−6−x2+2bx−b2+4b+1，结合图象，求x的取值范
围；
(1 ) (3 )
(3)如图2，点A坐标为(5,0)，点M在△AOB内，若点C ,y ，D ,y 都在二次函数图象上，试比较
4 1 4 2
y 与y 的大小．
1 2
49．（2022·吉林长春·统考二模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2与y轴的交点为A，过点A
作直线l垂直于y轴．
(1)求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；
(2)将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点M（x，y），N（x，
1 1 2
y）为图形G上任意两点．
2
①当m＝0时，若x＜x，判断y 与y 的大小关系，并说明理由；
1 2 1 2
②若对于x＝m﹣1，x＝m+1，都有y＞y，求m的取值范围；
1 2 1 2
(3)当图象G与直线y＝m+2恰好有3个公共点时，直接写出m的取值范围．
50．（2022·辽宁沈阳·统考二模）如图，抛物线y=−x2+mx与直线y＝x＋n交于点A(2,0)和点B．
(1)求m和n的值；
(2)求点B的坐标；
(3)结合图象请直接写出不等式−x2+mx≤x+n的解集；
(4)点P是直线AB上的一个动点，将点P向左平移5个单位长度得到点Q，若线段PQ与抛物线只有一个公
共点，直接写出点P的横坐标x 的取值范围．
P
