专题 12 二次函数的图象及性质（10 个高频考点）（强化训练）
【考点1 二次函数的定义】
1．（2022·江苏淮安·统考一模）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
1
A． y=3x-1 B．y=ax2+bx+c C．s=2t2-2t+1 D．y=x2+
x
【答案】C
【分析】根据二次函数的定义求解即可．
【详解】解：A、y=3x-1是一次函数，不是二次函数，不符合题意；
B、y=ax2+bx+c，当a=0时，不是二次函数，不符合题意；
C、s=2t2-2t+1是二次函数，符合题意；
1 1 1
D、y=x2+ 中 不是整式，故y=x2+ 不是二次函数，不符合题意．
x x x
故选：C．
【点睛】此题考查了二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握二次函数的定义．二次函数定义：一般地，
把形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一
次项系数，c为常数项．x为自变量，y为因变量．
2．（2022·山东济南·模拟预测）若y=(m2+m)xm2−m是二次函数，则m的值等于（ ）
A．−1 B．0 C．2 D．−1或2
【答案】C
【分析】根据二次函数的定义求解即可，形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函数为二次函数．
【详解】解：y=(m2+m)xm2−m是二次函数，则m2−m=2且m2+m≠0
由m2−m=2可得m=2或m=−1，
由m2+m≠0可得m≠0，m≠−1，
综上m=2
故答案为：C
【点睛】此题考查了二次函数的定义，涉及了一元二次方程的求解，解题的关键是掌握二次函数的定义．
3．（2022·四川成都·校联考模拟预测）定义：由a，b构造的二次函数y=ax2+(a+b)x+b叫做一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”，一次函数y＝ax＋b叫做二次函数y=ax2+(a+b)x+b的“本源函数”（a，b为
常数，且a≠0）．若一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”是y=ax2−3x+a+1，那么二次函数
y=ax2−3x+a+1的“本源函数”是______．
【答案】y=﹣2x-1
【分析】由“滋生函数”和“本源函数”的定义，运用待定系数法求出函数y=ax2−3x+a+1的本源函
数．
【详解】解：由题意得¿
解得¿
∴函数y=ax2−3x+a+1的本源函数是y=﹣2x-1．
故答案为：y=﹣2x-1．
【点睛】本题考查新定义运算下的一次函数和二次函数的应用，解题关键是充分理解新定义“本源函数”．
4．（2022·浙江·模拟预测）无论a取什么实数，点P(a−1,2a2−4a+1)都在二次函数y上，Q(m,n)是二
次函数y上的点，则4m2−2n+1=_____________．
【答案】3
【分析】由题意可知y=2x2-1，首先把点Q（m，n）代入二次函数y=2x2-1解析式，代入得出，关于m，n
的等式进一步整理得出答案即可．
【详解】解：由题意得，当x=a-1时，y=2a2-4a+1=2（a-1）2-1，
∴可得：y=2x2-1，
∵Q（m，n）是二次函数y=2x2-1上的点，
∴2m2-1=n，
∴2m2-n=1，
所以4m2-2n+1=2（2m2-n）+1=3．
故答案为：3．
【点睛】此题考查二次函数图象上点的坐标特点，注意适合解析式的点在图象上，在图象上的点都适合二
次函数．
5．（2013·江苏徐州·统考一模）请选择一组你喜欢的a、b、c的值，使二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的
图象同时满足下列条件：①开口向下；②当x<2时，y随x的增大而增大；当x>2时，y随x的增大而减小．
这样的二次函数的解析式可以是________．
【答案】答案不唯一，只要满足b＝－4a，a＜0即可，如y＝－x2＋4x＋3，y＝－2x2＋8x－3等．【详解】试题分析：仔细分析题中要求根据二次函数的性质即可得到结果.
答案不唯一，如y＝－(x＋1)2或y＝－(x＋1)2－2．
考点：二次函数的性质
点评：二次函数的性质是初中数学的重点，是中考必考题，一般难度不大，需熟练掌握.
【考点2 二次函数的图象与性质】
1 1
6．（2022·山东滨州·统考二模）抛物线y= x2+ x的图象如图所示，点A，A，A，A…，A 在抛物线
2 2 1 2 3 4 2022
第一象限的图象上，点B，B，B，B.．．，B 在y轴的正半轴上，△OA B 、△B A B 、…、
1 2 3 4 2022 1 1 1 2 2
△B A B 都是等腰直角三角形，则B A = ________．
2021 2022 2022 2021 2022
【答案】2022√2
【分析】先设第一个等腰直角三角形的直角边长为x，表示出点A 的坐标，代入二次函数的解析式，求出
1
x；设第二个等腰直角三角形的直角边长为m，表示出A 的坐标，代入二次函数的解析式，求出m，同理
2
求出第2022个等腰直角三角形的直角边长，即可求出斜边．
【详解】解：设AB=x，
1 1
∵△OAB 是等腰直角三角形，
1 1
∴OB=x，
1
1 1
则A 的坐标为（x，x），代入二次函数y= x2+ x，
1 2 2
1 1
得x= x2+ x，
2 2
解得x=1或x=0（舍），
设AB=m，
2 2
∵△BAB 腰是等腰直角三角形，
1 2 2
∴BB=m，
1 2∴A 的坐标为（m，1+m），
2
1 1
代入二次函数y= x2+ x，
2 2
1 1
得 m2+ m＝1+m，
2 2
解得m=2或m=-1（舍），
同理可求出AB=3，
3 3
AB=4，
4 4
∴B A =2022，根据勾股定理，
2022 2022
得B A =2022√2，
2021 2022
故答案为：2022√2．
【点睛】本题考查了二次函数图象与规律综合题，利用等腰直角三角形的性质和二次函数的点坐标特征是
解决本题的关键．
7．（2022·四川泸州·校考模拟预测）已知抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x纵坐标y的对应值如下
表：
x … -1 0 1 2 3 …
y … 3 0 -1 0 3 …
①抛物线y=ax2+bx+c的开口向下；
②抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1；
③方程ax2+bx+c=0的根为x =0,x =2；
1 2
④当y>0时，x的取值范围是x<0或x>2．
以上结论中，其中正确的有______．
【答案】②③④
【分析】从表格可以看出，函数的对称轴是直线x=1，顶点坐标为(1，−1)，函数与x轴的交点为
(0，0)、(2，0)，即可求解．
【详解】从表格可以看出，函数的对称轴是直线x=1，顶点坐标为(1，−1)，函数与x轴的交点为
(0，0)、(2，0)，
①抛物线y=ax2+bx+c的开口向上，错误；
②抛物y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1，正确；
③方程ax2+bx+c=0的根为x =0,x =2，正确；
1 2④当y>0时，x的取值范围是x<0或x>2，正确．
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查的是二次函数的基本性质，涉及函数与坐标轴的交点、对称轴等，此类表格题目通常先
确定函数的对称轴．
8．（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）已知抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，
与y轴交于点C，顶点为D．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)连接BC，CD，BD，P为BD的中点，连接CP，则线段CP的长是______．注：抛物线
b ( b 4ac−b2 )
y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=− ，顶点坐标是 − , ．
2a 2a 4a
【答案】(1)y=−x2+2x+3
(2)√5
【分析】（1）根据点A,B的坐标，利用待定系数法即可得；
（2）先根据抛物线的解析式求出点C,D的坐标，再利用中点坐标公式可得点P的坐标，然后利用两点之
间的距离公式即可得．
【详解】（1）解：将点A(−1,0),B(3,0)代入y=−x2+bx+c得：¿，
解得¿，
则该抛物线的解析式为y=−x2+2x+3．
（2）解：抛物线y=−x2+2x+3=−(x−1) 2+4的顶点坐标为D(1,4)，
当x=0时，y=3，即C(0,3)，
∵P为BD的中点，且B(3,0)，1+3 4+0
∴P( , )，即P(2,2)，
2 2
∴CP=√(2−0) 2+(2−3) 2=√5，
故答案为：√5．
【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、两点之间的距离公式，熟练掌握待定系数法是解题关键．
9．（2022·贵州贵阳·统考中考真题）已知二次函数y=ax2+4ax+b．
(1)求二次函数图象的顶点坐标（用含a，b的代数式表示）；
(2)在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴交于A，B两点，AB=6，且图象过(1，c)，(3，d)，(−1，
e)，(−3，f)四点，判断c，d，e，f的大小，并说明理由；
(3)点M(m，n)是二次函数图象上的一个动点，当−2≤m≤1时，n的取值范围是−1≤n≤1，求二次函数的表达
式．
【答案】(1)二次函数图象的顶点坐标为(-2，b-4a)；
(2)当a<0时，e=f> c>d；当a>0时，e=f< c<d；理由见解析
2 8 1 2 8 1
(3)二次函数的表达式为y= x2+ x- 或y=− x2− x+ ．
9 9 9 9 9 9
【分析】（1）利用配方法即可求解；
（2）由对称轴为直线x=-2，AB=6，得到A，B两点的坐标分别为(-5，0)，(1，0)，画出草图，分两种情况，
利用数形结合求解即可；
（3）分两种情况，利用数形结合求解即可．
（1）
解：∵y=ax2+4ax+b=a(x2+4x+4-4)+b= a(x+2)2+b-4a，
∴二次函数图象的顶点坐标为(-2，b-4a)；（2）
解：由（1）知二次函数的图象的对称轴为直线x=-2，
又∵二次函数的图象与x轴交于A，B两点，AB=6，
∴A，B两点的坐标分别为(-5，0)，(1，0)，
当a<0时，画出草图如图：
∴e=f> c>d；
当a>0时，画出草图如图：
∴e=f< c<d；
（3）
解：∵点M(m，n)是二次函数图象上的一个动点，
当a<0时，
根据题意：当m=-2时，函数有最大值为1，当m=1时，函数值为-1，
即¿，解得：¿，2 8 1
∴二次函数的表达式为y=− x2− x+ ．
9 9 9
当a>0时，
根据题意：当m=-2时，函数有最小值为-1，当m=1时，函数值为1，
即¿，解得：¿，
2 8 1
∴二次函数的表达式为y= x2+ x- ．
9 9 9
2 8 1 2 8 1
综上，二次函数的表达式为y= x2+ x- 或y=− x2− x+ ．
9 9 9 9 9 9
【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式等知识和方法，解第（2）
（3）题时应注意分类讨论，求出所有符合条件的结果．
10．（2022·河北·统考中考真题）如图，点P(a,3)在抛物线C：y=4−(6−x) 2上，且在C的对称轴右侧．
(1)写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值；
(2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为P′，C′．平移该胶片，使C′
所在抛物线对应的函数恰为y=−x2+6x−9．求点P′移动的最短路程．
【答案】(1)对称轴为直线x=6，y的最大值为4，a=7
(2)5
【分析】（1）由y=a(x−ℎ) 2+k的性质得开口方向，对称轴和最值，把P(a,3)代入y=4−(6−x) 2中即
可得出a的值；
（2）由y=−x2+6x−9=−(x−3) 2，得出抛物线y=−x2+6x−9是由抛物线C：y=−(x−6) 2+4向左平
移3个单位，再向下平移4个单位得到，即可求出点P′移动的最短路程．
【详解】（1）y=4−(6−x) 2=−(x−6) 2+4，∴对称轴为直线x=6，
∵−1<0，
∴抛物线开口向下，有最大值，即y的最大值为4，
把P(a,3)代入y=4−(6−x) 2中得：
4−(6−a) 2=3，
解得：a=5或a=7，
∵点P(a,3)在C的对称轴右侧，
∴a=7；
（2）∵y=−x2+6x−9=−(x−3) 2，
∴y=−(x−3) 2是由y=−(x−6) 2+4向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到，
平移距离为√32+42=5，
∴P′移动的最短路程为5．
【点睛】本题考查二次函数y=a(x−ℎ) 2+k的图像与性质，掌握二次函数y=a(x−ℎ) 2+k的性质以及平
移的方法是解题的关键．
【考点3 二次函数的图象与系数的关系】
11．（2022·湖北黄石·统考中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线
x=−1，有以下结论：①abc<0；②若t为任意实数，则有a−bt≤at2+b；③当图象经过点(1,3)时，方
程ax2+bx+c−3=0的两根为x ，x （x <x ），则x +3x =0，其中，正确结论的个数是（ ）
1 2 1 2 1 2
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】利用抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到b=2a>0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＜0，则可对①进行判断；利用二次函数当x=-1时有最小值可对②进行判断；由于二次函数
y=ax2+bx+c与直线y=3的一个交点为（1，3），利用对称性得到二次函数y=ax2+bx+c与直线y=3的另一
个交点为（-3，3），从而得到x=-3，x=1，则可对③进行判断．
1 2
【详解】∵抛物线开口向上，
∴a>0，
b
∵抛物线的对称轴为直线x=−1，即x=− =−1，
2a
∴b=2a>0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c<0，
∴abc<0，所以①正确；
∵x=−1时，y有最小值，
∴a−b+c≤at2+bt+c（t为任意实数），即a−bt≤at2+b，所以②正确；
∵图象经过点(1,3)时，代入解析式可得c=3−3a，
方程ax2+bx+c−3=0可化为ax2+2ax−3a=0，消a可得方程的两根为x =−3，x =1，
1 2
∵抛物线的对称轴为直线x=−1，
∴二次函数y=ax2+bx+c与直线y=3的另一个交点为(−3,3)，
x =−3，x =1代入可得x +3x =0，
1 2 1 2
所以③正确．
综上所述，正确的个数是3．
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，
抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当
a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛
物线与y轴交于（0，c）．
12．（2022·四川广元·统考中考真题）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣
1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）abc＜0；（2）4a+c＞2b；（3）3b﹣2c＞0；（4）若点A
1 7
（﹣2，y）、点B（﹣ ，y）、点C（ ，y）在该函数图象上，则y＜y＜y；（5）4a+2b≥m（am+b）
1 2 2 2 3 1 3 2
（m为常数）．其中正确的结论有（ ）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】C
【分析】由图象可知a<0,c>0，对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点为(−1,0)，然后可得
b=−4a>0,a−b+c=0，则有c=−5a，进而可判断（1）（2）（3），最后根据函数的性质可进行判断
（4）（5）．
【详解】解：由图象及题意得：a<0,c>0，对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点为(−1,0)，
∴b=−4a>0,a−b+c=0，
∴a+4a+c=0，即c=−5a，
∴abc<0,3b−2c=3×(−4a)−2×(−5a)=−2a>0，故（1）（3）正确；
由图象可知当x=-2时，则有4a−2b+c<0，即4a+c<2b，故（2）错误；
1 7
∵点A（﹣2，y）、点B（﹣ ，y）、点C（ ，y）在该函数图象上，
1 2 2 2 3
∴根据二次函数开口向下，离对称轴的距离越近，其所对应的函数值越大，
∴y >y >y ，故（4）错误；
3 2 1
由图象可知当x=2时，该函数有最大值，最大值为y=4a+2b+c，
∴当x=m时，（m为常数），则有y=am2+bm+c，
∴4a+2b+c≥am2+bm+c，即为4a+2b≥m(am+b)，故（5）正确；
综上所述：正确的有（1）（3）（5）共3个；
故选C．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
13．（2022·辽宁抚顺·统考中考真题）抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x=−1，
(1 )
直线y=kx+c与抛物线都经过点(−3,0)，下列说法：①ab>0；②4a+c>0；③(−2,y )与 ,y 是抛
1 2 2
物线上的两个点，则y <y ；④方程ax2+bx+c=0的两根为x =−3,x =1；⑤当x=−1时，函数
1 2 1 2
y=ax2+(b−k)x有最大值，其中正确的个数是（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】抛物线的对称轴为直线x=−1，开口向下，可得a<0，b=2a<0，故①正确；根据抛物线过点
(−3,0)，可得9a−3b+c=0，从而得到3a+c=0，故②错误；由抛物线的对称轴为直线x=−1，开口向
下，可得当x>−1时，y随x的增大而减小，(−2,y )关于对称轴的对称点为(0,y )，可得到y >y ，故③
1 1 1 2
b−k
错误；令y=0，则ax2+bx+c=0解得：x =−3,x =1，故④正确；根据二次函数的性质可得当x=−
1 2 2a
1
时，函数y=ax2+(b−k)x有最大值，再由直线经过点(−3,0)，可得k= c，从而得到k=−a，进而得到
3
b−k 3
x=− =− ，故⑤错误，即可求解．
2a 2
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线x=−1，开口向下，
b
∴a<0,− =−1，
2a
∴b=2a<0，
∴ab>0，故①正确；
∵抛物线过点(−3,0)，
∴9a−3b+c=0，
∵b=2a，
∴9a−3×2a+c=0，即3a+c=0，
∵a<0，
∴4a+c=a<0，故②错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=−1，开口向下，∴当x>−1时，y随x的增大而减小，(−2,y )关于对称轴的对称点为(0,y )，
1 1
1
∵−1<0< ，
2
∴y >y ，故③错误；
1 2
令y=0，则ax2+bx+c=0
解得：x =−3,x =1，
1 2
∴方程ax2+bx+c=0的两根为x =−3,x =1，故④正确；
1 2
y=ax2+(b−k)x=a ( x+ b−k) 2 − (b−k) 2 ，
2a 4a
∵a<0，
b−k
∴当x=− 时，函数y=ax2+(b−k)x有最大值，
2a
∵直线经过点(−3,0)，
1
∴−3k+c=0，即k= c，
3
∵3a+c=0，
∴c=−3a，
∴k=−a，
∵b=2a，
b−k 3
∴x=− =− ，
2a 2
3
∴当x=− 时，函数y=ax2+(b−k)x有最大值，故⑤错误；
2
∴正确的有2个．
故选：A
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图形和性质，熟练掌握二次函数的图象和性
质，一次函数的图形和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键．
14．（2022·四川达州·统考中考真题）二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，与y轴交于(0,−1)，
1
对称轴为直线x=1．以下结论：①abc>0；②a> ；③对于任意实数m，都有m(am+b)>a+b成立；④
31
若(−2,y )，( ,y )，(2,y )在该函数图象上，则y <y <y ；⑤方程|ax2+bx+c|=k（k⩾0，k为
1 2 2 3 3 2 1
常数）的所有根的和为4．其中正确结论有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】根据图象可判断a>0,c=−1,b<0，即可判断①正确；令y=ax2−2ax−1=0，解得
2a±√4a2+4a √a2+a √a2+a
x= =1± ，根据图得，−1<1− <0，即可求出a的范围，即可判断②错误；
2a a a
由b=−2a代入变形计算即可判断③错误；由抛物线的增减性和对称性即可判断④错误；将所求的方程解
的问题转化为抛物线与两直线的交点问题，根据交点的个数，以及抛物线的对称性可知⑤错误．
【详解】∵二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与y轴交于(0,−1)，对称轴为直线x=1，抛物线开头向上，
b
∴a>0,c=−1,− =1，
2a
∴b=−2a<0，
∴abc>0，故①正确；
令y=ax2−2ax−1=0，
2a±√4a2+4a √a2+a
解得x= =1± ，
2a a
√a2+a
由图得，−1<1− <0，
a1
解得a> ，故②正确；
3
∵b=−2a，
∴m(am+b)>a+b可化为m(am−2a)>a−2a，即m(m−2)>−1，
∴(m−1) 2>0，
若m(am+b)>a+b成立，则m≠1，故③错误；
当x<1时，y随x的增大而减小，
1
∵−2< ，
2
∴y >y ，
1 2
∵对称轴为直线x=1，
∴x=2时与x=0时所对应的y值相等，
∴y <y <y ，故④错误；
2 3 1
|ax2+bx+c|=k（k⩾0，k为常数）的解，是抛物线与直线y=±k的交点的横坐标，
则|ax2+bx+c|=k（k⩾0，k为常数）解的个数可能有2个，3个或4个，
根据抛物线的对称性可知，
当有3个或4个交点时，|ax2+bx+c|=k（k⩾0，k为常数）的所有解的和是4，
当有2个交点时，即k=0时，|ax2+bx+c|=k（k⩾0，k为常数）的所有解的和是2，
故⑤错误；
综上，正确的个数为2，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，一元二次方程求根公式，根与系数的关系等，熟练掌握知识点，
能够运用数形结合的思想是解题的关键．
15．（2022·湖北武汉·统考中考真题）已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数）开口向下，过
A(−1,0)，B(m,0)两点，且1<m<2．下列四个结论：
①b>0；
3
②若m= ，则3a+2c<0；
2③若点M(x ,y )，N(x ,y )在抛物线上，x <x ，且x +x >1，则y >y ；
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
④当a≤−1时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=1必有两个不相等的实数根．
其中正确的是_________（填写序号）．
【答案】①③④
b
【分析】首先判断对称轴x=− ＞0，再由抛物线的开口方向判断①；由抛物线经过A（-1，0），
2a
3 ( 3) 3
B(m,0)，当m= 时，y=a(x+1) x− ，求出c=− a，再代入3a+2c判断②，抛物线
2 2 2
y=ax2+bx+c=a(x+1)(x−m)=ax2+a(1−m)x−am，由点M(x ,y )，N(x ,y )在抛物线上，得
1 1 2 2
y =ax ❑ 2+a(1−m)x −am，y =ax ❑ 2+a(1−m)x −am，把两个等式相减，整理得
1 1 1 2 2 2
y −y =a(x −x )(x +x +1−m)，通过判断x −x ，x +x +1−m的符号判断③；将方程
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1
ax2+bx+c=1写成a（x-m）（x+1）-1=0，整理，得x2+(1−m)x−m− =0，再利用判别式即可判断④．
a
【详解】解：∵抛物线过A(−1,0)，B(m,0)两点，且1<m<2，
b −1+m
∴x=− = ，
2a 2
∵ 1<m<2，
−1+m 1 b
∴0< < ，即− ＞0，
2 2 2a
∵抛物线开口向下，a<0，
∴b＞0 ，故①正确；
若m= 3 ，则y=a(x+1) ( x− 3) =ax2− 1 ax− 3 a，
2 2 2 2
3
∴c=− a，
2
( 3 )
∴3a+2c=3a+2× − a =0，故②不正确；
2
∵ 抛物线y=ax2+bx+c=a(x+1)(x−m)=ax2+a(1−m)x−am，点M(x ,y )，N(x ,y )在抛物线上，
1 1 2 2∴y =ax ❑ 2+a(1−m)x −am，y =ax ❑ 2+a(1−m)x −am，把两个等式相减，整理得
1 1 1 2 2 2
y −y =a(x −x )(x +x +1−m)，
1 2 1 2 1 2
∵a<0,x <x ，x +x >1，1<m<2，
1 2 1 2
∴x −x <0,x +x +1−m＞0，
1 2 1 2
∴y −y =a(x −x )(x +x +1−m)＞0，
1 2 1 2 1 2
∴y ＞y❑❑，故③正确；
1 2
1
依题意，将方程ax2+bx+c=1写成a（x-m）（x+1）-1=0，整理，得x2+(1−m)x−m− =0，
a
∴Δ=(1−m) 2−4 ( −m− 1) =(m+1) 2+ 4 ，
a a
∵1<m<2，a≤−1，
4
∴4<(m+1) 2<9， ≥−4，
a
4
∴(m+1) 2+ ＞0， 故④正确．
a
综上所述，①③④正确．
故答案为；①③④．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及
不等式的关系．
【考点4 二次函数的对称性】
16．（2022·广东广州·校考模拟预测）已知，二次函数f（x）=ax2+bx+c的部分对应值如下表，则f（-2）=
______ ．
x -2 -1 0 1 2 3 4 5
y 0 -3 -4 -3 0 5 12
【答案】5
【分析】根据二次函数的对称性结合图表数据可知，x＝−2时的函数值与x＝4时的函数值相同．
【详解】由图表数据可知，抛物线的对称轴为：x=1∴f (−2)=f (4)=5 ．
故答案为5．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，理解图表并准确获取信息是解题的
关键．
17．（2022·浙江杭州·校考三模）已知二次函数y＝a（x﹣x）（x﹣x），其中x＜x，若x+x＝4，当x＝
1 2 1 2 1 2
0时，y＞0，当x＝3时，y＜0，且m＜x＜n（m，n为相邻整数），则m+n＝___．
2
【答案】7
【分析】求出该函数的对称轴为直线x＝2，根据二次函数的对称性可知x＝4时，y＞0，再根据x＝3时，y
＜0，可得3＜x ＜4，即可求解．
2
1
【详解】解：由题意得：该函数的对称轴为直线x＝ （x +x ）＝2，
2 1 2
∵x＝0时，y＞0，
∴根据二次函数的对称性可得x＝4时，y＞0，
∵当x＝3时，y＜0，
∴3＜x ＜4，
2
∵m＜x ＜n（m，n为相邻整数），
2
∴m＝3，n＝4，
∴m+n＝7，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．
18．（2022·江苏南京·统考二模）已知点(−2,m)、(2,p)和(4,q)在二次函数y=ax2+bx(a<0)的图像上．
若pq<0，则p，q，m的大小关系是______（用“＜”连接）．
【答案】m<q<p
【分析】根据题意，判断出抛物线的位置，画出图形，可得结论．
【详解】解：∵A（−2，m）、B（2，p）和C（4，q）在二次函数y=ax2+bx（a＜0）的图象上．且pq＜
0，
∴抛物线的对称轴在y轴的右侧，且对称轴直线x=a（1＜a＜2），如图所示，
观察图象可知：m＜q＜p．故答案为：m＜q＜p．
【点睛】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常
考题型．
19．（2022·北京·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy中，点(1,m),(3,n)在抛物线
y=ax2+bx+c(a>0)上，设抛物线的对称轴为x=t.
(1)当c=2,m=n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；
(2)点(x ,m)(x ≠1)在抛物线上，若m<n<c,求t的取值范围及x 的取值范围．
0 0 0
【答案】(1)（0，2）；2
3
(2)t的取值范围为 <t<2，x 的取值范围为2<x <3
2 0 0
【分析】（1）当x=0时，y=2，可得抛物线与y轴交点的坐标；再根据题意可得点(1,m),(3,n)关于对称
轴为x=t对称，可得t的值，即可求解；
（2）抛物线与y轴交点关于对称轴x=t的对称点坐标为（2t，c），根据抛物线的图象和性质可得当x≤t时，
y随x的增大而减小，当x>t时，y随x的增大而增大，然后分两种情况讨论：当点(1,m)，点(3,n)，点
（2t，c）均在对称轴的右侧时；当点(1,m)在对称轴的左侧，点(3,n)，（2t，c）均在对称轴的右侧时，
即可求解．
【详解】（1）解：当c=2时，y=ax2+bx+2，
∴当x=0时，y=2，∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）；
∵m=n，
∴点(1,m),(3,n)关于对称轴x=t对称，
1+3
∴t= =2；
2
（2）解：当x=0时，y=c，
∴抛物线与y轴交点坐标为（0，c），
∴抛物线与y轴交点关于对称轴x=t的对称点坐标为（2t，c），
∵a>0，
∴当x≤t时，y随x的增大而减小，当x>t时，y随x的增大而增大，
当点(1,m)，点(3,n)，（2t，c）均在对称轴的右侧时， t<1，
∵m<n<c,1＜3，
3
∴2t＞3，即t> （不合题意，舍去），
2
当点(1,m)在对称轴的左侧，点(3,n)，（2t，c）均在对称轴的右侧时，点(x ,m)在对称轴的右侧，
0
1<t<3，
此时点(3,n)到对称轴x=t的距离大于点(1,m)到对称轴x=t的距离，
∴t−1<3−t，解得：t<2，
∵m<n<c,1＜3，
3
∴2t＞3，即t> ，
2
3
∴ <t<2，
2
∵(x ,m)，(1,m)，对称轴为x=t，
0
x +1
∴t= 0 ，
2
3 x +1
∴ < 0 <2，解得：2<x <3，
2 2 0
3
∴t的取值范围为 <t<2，x 的取值范围为2<x <3．
2 0 0
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
20．（2022·北京西城·校考模拟预测）已知抛物线y=x2−4mx+4m2−1．
(1)求此抛物线的顶点的坐标；(2)若直线y=n与该抛物线交于点A、B，且AB=4，求n的值；
(3)若这条抛物线经过点P(2m+1,y )，Q(2m−t,y )，且y <y ，求t的取值范围．
1 2 1 2
【答案】(1)(2m,−1)
(2)3
(3)t<−1或t>1
【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式求解；
（2）由二次函数的对称性及AB=4可得点A，B坐标，进而求解；
（3）由点P坐标及抛物线对称轴可得点P关于对称轴的对称点P'的坐标，由抛物线开口向上和点
P(2m+1,y )在抛物线对称轴的右边可分情况求解．
1
（1）
解：∵y=x2−4mx+4m2−1=(x−2m) 2−1，
∴抛物线的顶点坐标为(2m,−1)；
（2）
解：∵点A，B关于抛物线对称轴对称，AB=4，对称轴为直线x=2m，
∴抛物线经过(2m+2,n)，(2m−2,n)，
将(2m+2,n)代入y=(x−2m) 2−1得n=22−1=3；
（3）
解：点P(2m+1,y )关于抛物线对称轴的对称点P'的坐标为(2m−1,y )，
1 1
∵ a=1>0，
∴抛物线开口向上，
∵点P(2m+1,y )在抛物线对称轴的右边，
1
∴当2m+1<2m−t或2m−t<2m−1时，有y <y ，
1 2
解得t<−1或t>1．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与不等式的关系．
【考点5 二次函数的最值】
21．（2022·贵州黔西·校考一模）平面直角坐标系xOy中，抛物线G：y=ax2+bx+c(a<a<12)过点
A(1,c−5a)，B(x ,3)，C(x ,3)．顶点D不在第一象限，线段BC上有一点E，设△OBE的面积为S ，
1 2 13
△OCE的面积为S ，S =S + ．
2 1 2 2
(1)用含a的式子表示b；
(2)求点E的坐标：
6
(3)若直线DE与抛物线G的另一个交点F的横坐标为 +3，求y=ax2+bx+c在1<x<6时的取值范围（用
a
含a的式子表示）．
【答案】(1)b=−6a
7 5
(2)( ,3)或( ,3)
2 2
(3)0≤ y<9a
【分析】（1）把点A的坐标代入解析式即可得到a、b的数量关系；
3 1
（2）根据S =S + ，得到BE=CE+1，由b=−6a得到对称轴为x=3，推导线段长度得到EM= （见
1 2 2 2
详解图），进而得到E点的坐标；
7
（3）由题干条件表示出D、F的坐标从而表示出DF的解析式，然后判断E点的坐标为( ,3)，表示出直
2
线DE的解析式，再由DE、DF是同一条直线消掉参数c，最后利用求二次函数的函数值取值范围的方法
求出最终结果．
【详解】（1）解：∵抛物线G：y=ax2+bx+c(a<a<12)过点A(1,c−5a)
∴ c−5a=a+b+c
∴ b=−6a
（2）解：如图，设BC的中点为M
∵ B(x ,3)，C(x ,3)，线段BC上有一点E
1 21 3 1 3
∴ S = ×BE×3= BE，S = ×CE×3= CE
1 2 2 2 2 2
3
∵ S =S +
1 2 2
3 3 3
∴ CE+ = BE
2 2 2
∴ BE=CE+1
∵ b=−6a
∴抛物线G：y=ax2−6ax+c
−6a
∴对称轴为x= =3
−2a
∴ BC的中点M坐标为(3,3)
∵ BE=BM+EM，CE=CM−EM，BM=CM，BE=CE+1
1
∴ EM=
2
7 5
∴点E为( ,3)或( ,3)
2 2
6
（3）解：∵直线DE与抛物线G：y=ax2−6ax+c的另一个交点F的横坐标为 +3
a
6 2 6 36
∴ y=a( +3) −6a×( +3)+c= −9a+c
a a a
6 36
∴点F( +3, −9a+c)
a a
∵点D是抛物线的顶点
∴点D(3,−9a+c)
∴直线DF的解析式为：y=6x−18+c−9a
7
∴点E坐标为( ,3)
2
又∵点D(3,−9a+c)
∴直线DE解析式为：y=(6+18a−2c)x+7c−63a−18
∵直线DE与直线DF是同一直线
∴ 6=6+18a−2c
∴ c=9a
∴抛物线解析式为：y=ax2−6ax+9a∵ 1<x<6
∴当x=3时，y =0，当x=6时，y =9a
min max
∴ 0≤ y<9a
【点睛】本题考查了二次函数综合，掌握二次函数相关知识点并能灵活运用是解决本题的关键．
22．（2022·浙江宁波·校考一模）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(2，0),(4，0)，与y轴交
于点(0，4)．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)点(x，y)在该二次函数上．
3
①当y= 时，求x的值；
2
1
②当m≤x≤m+2时，y的最小值为− ，求m的取值范围．
2
1
【答案】(1)该二次函数的解析式为y= x2−3x+4.
2
(2)①x的值为1或5；②1≤m≤3
【分析】（1）利用待定系数法求得即可；
3 1
（2）①把y= 代入，即可求得；②把二次函数解析式化为顶点式，求得函数的最小值为− ，所以
2 2
m≤3≤m+2，即1≤m≤3．
【详解】（1）设二次函数的解析式为y=a(x−2)(x−4)，
把点(0,4)代入得4=8a，
1
解得a= ，
2
1
∴y= (x−2)(x−4)，
2
1
∴该二次函数的解析式为y= x2−3x+4；
2
3 3 1
（2）①y= 时，则 = x2−3x+4，
2 2 2
解得x =1，x =5；
1 2
故x的值为1或5；
1 1 1
② y= x2−3x+4= (x−3) 2− ，
2 2 21
∴当x=3时，函数有最小值− ，
2
1
∴当m≤3≤m+2时，即1≤m≤3时，y有最小值− ，
2
故m的取值范围是1≤m≤3．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，
熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
23．（2022·河南郑州·统考一模）已知，二次函数y=ax2+bx−3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B
的左边），与y轴交于C点，点A的坐标为(−1,0)，且OB=OC．
(1)求二次函数的解析式；
(2)当0≤x≤4时，求二次函数的最大值和最小值分别为多少？
(3)设点C′与点C关于该抛物线的对称轴对称．在y轴上是否存在点P，使△PCC′与△POB相似，且PC与
PO是对应边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=x2−2x−3
(2)函数的最大值为5，最小值为−4
9
(3)存在，P(0,−9)或P(0,− )
5
【分析】（1）先求出点C的坐标，得到点B的坐标，再将点A、B的坐标代入解析式计算即可；
（2）将函数解析式化为顶点式，根据函数的性质解答即可；
PC CC′
（3）存在点P，设P(0,m)，根据相似三角形对应边成比例列得 = ，代入数值求出m即可．
PO OB
【详解】（1）∵二次函数y=ax2+bx−3的图象与y轴交于C点，∴C(0,−3)．
∵OB=OC，点A在点B的左边，∴B(3,0)．
又∵点A的坐标为(−1,0)，
由题意可得：¿，解得：¿．∴二次函数的解析式为y=x2−2x−3．
（2）∵ y=x2−2x−3=(x−1) 2 −4，二次函数顶点坐标为(1,−4)，
∴当x=1时，y =−4，
最小值
∵当0≤x≤1时，y随着x的增大而减小，
∴当x=0时，y =−3，
最大值
∵当1<x≤4时，y随着x的增大而增大，
∴当x=4时，y =5．
最大值
∴当0≤x≤4时，函数的最大值为5，最小值为−4．
（3）存在点P，如图，设P(0,m)，
∵CC′∥OB，且PC与PO是相似三角形的对应边，
PC CC′ |m−(−3)| 2
∴ = ，即： = ，
PO OB |m| 3
9
解得：m=−9或m=− ，
5
( 9)
∴P(0,−9)或P 0,− ．
5
【点睛】此题考查了二次函数与图形问题，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的对称性，相似三
角形的性质，二次函数的最值，正确掌握二次函数的综合知识是解题的关键．
24．（2022·山东临沂·统考二模）如图，直线l:y=−m与y轴交于点A，直线a:y=x+m与y轴交于点B，
抛物线y=x2+mx的顶点为C，且与x轴左交点为D（其中m>0）．(1)当AB=12时，在抛物线的对称轴上求一点P使得△BOP的周长最小；
(2)当点C在直线l上方时，求点C到直线l距离的最大值；
(3)若把横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”．当m=2022时，求出在抛物线和直线a所围成的封闭
图形的边界上的“整点”的个数．
【答案】(1)P（−3，3 ）
(2)点C与l距离的最大值为1；
(3)m＝2022时“整点”的个数为4046个．
【分析】（1）由题意求出m＝6，得出抛物线L的解析式为y＝x2＋6x，当B、P、D三共线时， OBP周长
最短，此时点P为直线a与对称轴的交点，则可求出答案； △
m m2
（2）求出L的顶点C(− ，− )，由二次函数的性质可得出答案；
2 4
（3）联立两个解析式得出¿，解得x＝−2022，x＝1，求出线段和抛物线上各有2024个整数点，则可得出
1 2
答案．
（1）解：当x＝0时，y＝x＋m＝m，∴B （0，m），∵AB＝12，∵A（0，−m），∴m−（−m）＝12，
∴m＝6，∴抛物线L的解析式为：y＝x2＋6x，∴抛物线L的对称轴x＝−3，又知O、D两点关于对称轴对
称，则OP＝DP，∴OB＋OP＋PB＝OB＋DP＋PB，∴当B、P、D三共线时， OBP周长最短，此时点P
为直线a与对称轴的交点，当x＝−3时，y＝x＋6＝3，∴P（−3，3 ） △
m m2 m m2 m2
（2）解：y=x2+mx=(x＋ )2− ，∴L的顶点C(− ，− )，∵点C在l上方，∴C与l的距离＝− −
2 4 2 4 4
1
(−m)＝− (m−2)2＋1≤1，∴点C与l距离的最大值为1；
4
（3）解：当m＝2021时，抛物线解析式L：y＝x2＋2022x，直线解析式a：y＝x＋2022，联立上述两个解
析式得方程组¿ ，可得：x＝−2022，x＝1，∴可知每一个整数x的值都对应的一个整数y值，且−2022和
1 2
1之间（包括−2022和1）共有2024个整数；∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物
线，∴线段和抛物线上各有2024个整数点，∴总计4048个点，∵这两段图象交点有2个点重复，∴整点”的个数：4048−2＝4046（个）；故m＝2022时“整点”的个数为4046个．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征；熟练掌握二次函数的图象及性质，
灵活运用轴对称求最短距离解题是关键．
25．（2022·山东滨州·统考模拟预测）如图，直线l:y=−m与y轴交于点A，直线a:y=x+m与y轴交于点
B，抛物线y=x2+mx的顶点为C，且与x轴左交点为D（其中m>0）．
（1）当AB=12时，在抛物线的对称轴上求一点P使得△BOP的周长最小；
（2）当点C在直线l上方时，求点C到直线l距离的最大值；
（3）若把横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”．当m=2021时，求出在抛物线和直线a所围成的封
闭图形的边界上的“整点”的个数．
【答案】（1）(−3,3)；（2）1；（3）4044个
【分析】（1）先求出点B坐标，B的纵坐标减去A的纵坐标等于12求出m值，再求出抛物线的对称轴，
根据抛物线的对称性和两点之间线段最短知，当B、P、D三点共线时△OBP周长最短，此时点P为直线a
与对称轴的交点，进而求解即可；
( m m2 ) m2 1
（2）先求出抛物线的顶点C坐标 − ,− ，由C与l的距离=− −(−m)=− (m−2) 2+1≤1即可
2 4 4 4
求出最大值；
（3）先求出抛物线与直线a的交点的横坐标，根据每一个整数x的值都对应的一个整数y值，结合边界由
线段和抛物线组成求解即可．
【详解】解：（1）当x=0时，y=x+m=m，
∴B(0,m)，
∵AB=12，而A(0,−m)，
∴m−(−m)=12，
∴m=6，∴抛物线L的解析式为：y=x2+6x，
∴L的对称轴x=−3，
又知O、D两点关于对称轴对称，则OP=DP
∴OB+OP+PB=OB+DP+PB
∴当B、P、D三点共线时△OBP周长最短，此时点P为直线a与对称轴的交点，
当x=−3时，y=x+6=3，
∴P(−3,3)；
( m) 2 m2
（2）y= x+ − ，
2 4
( m m2 )
∴L的顶点C − ,− ，
2 4
∵点C在l上方，
m2 1
∴C与l的距离=− −(−m)=− (m−2) 2+1≤1，
4 4
∴点C与l距离的最大值为1；
（3）当m=2021时，抛物线解析式L:y=x2+2021x
直线解析式a:y=x+2021
联立上述两个解析式¿可得：x =−2021，x =1
1 2
∴可知每一个整数x的值都对应的一个整数y值，
且-2021和1之间（包括-2021和1）共有2023个整数；
∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，
∴线段和抛物线上各有2023个整数点，
∴总计4046个点
∵这两段图象交点有2个点重复，∴“整点”的个数：4046−2=4044（个）；
故m=2021时“整点”的个数为4044个．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、图形与坐标、最短路径问题、二次函
数的最值、两函数图象的交点问题、解二元一次方程组等问题，综合性强，难度适中，解答的关键是读懂
题意，找寻相关知识的关联点，利用数形结合思想解决问题．
【考点6 待定系数法求二次函数的解析式】
11
26．（2022·山东济南·统考中考真题）抛物线y=ax2+ x−6与x轴交于A(t,0)，B(8,0)两点，与y轴交
4
于点C，直线y＝kx－6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．
(1)求抛物线的表达式和t，k的值；
(2)如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；
1
(3)如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求CQ+ PQ的最大值．
2
1 11 3
【答案】(1)，y=− x2+ x−6，t=3，k=
4 4 4
( 7)
(2)点P 10,−
2
169
(3)
16
【分析】（1）分别把B(8,0)代入抛物线解析式和一次函数的解析式，即可求解；
（2）作PM⊥x轴于点M，根据题意可得P ( m,− 1 m2+ 11 m−6 ) ，从而得到PM= 1 m2− 11 m+6，
4 4 4 4AM=m−3，再根据△COA∽△AMP，可求出m，即可求解；
（3）作PN⊥x轴交BC于点N，过点N作NE⊥y轴于点E，则
PN=− 1 m2+ 11 m−6− (3 m−6 ) =− 1 m2+2m，再根据△PQN∽△BOC，可得NQ= 3 PN，
4 4 4 4 5
4 5
PQ= PN，然后根据△CNE∽△CBO，可得CN= m，从而得到
5 4
1 1
CQ+ PQ=CN+NQ+ PQ=CN+PN，在根据二次函数的性质，即可求解．
2 2
（1）
11
解：∵B(8,0)在抛物线y=ax2+ x−6上，
4
11
∴64a+ ×8−6=0，
4
1
∴a=− ，
4
1 11
∴抛物线解析式为y=− x2+ x−6，
4 4
1 11
当y=0时，− t2+ t−6=0，
4 4
∴t =3，t =8（舍），
1 2
∴t=3．
∵B(8,0)在直线y=kx−6上，
∴8k−6=0，
3
∴k= ，
4
3
∴一次函数解析式为y= x−6．
4
（2）
解：如图，作PM⊥x轴于点M，1 11
对于y=− x2+ x−6，令x=0，则y=-6，
4 4
∴点C（0，-6），即OC=6，
∵A（3，0），
∴OA=3，
∵点P的横坐标为m．
∴P ( m,− 1 m2+ 11 m−6 ) ，
4 4
1 11
∴PM= m2− m+6，AM=m−3，
4 4
∵∠CAP=90°，
∴∠OAC+∠PAM=90°，
∵∠APM+∠PAM=90°，
∴∠OAC=∠APM，
∵∠AOC=∠AMP=90°，
∴△COA∽△AMP，
OA OC
∴ = ，
PM MA
∴OA⋅MA=OC⋅PM，即3(m−3)=6⋅ (1 m2− 11 m+6 ) ，
4 4
∴m =3（舍），m =10，
1 2
∴m=10，
( 7)
∴点P 10,− ．
2
（3）解：如图，作PN⊥x轴交BC于点N，过点N作NE⊥y轴于点E，
∵P ( m,− 1 m2+ 11 m−6 ) ，
4 4
( 3 )
∴点N m, m−6 ，
4
∴PN=− 1 m2+ 11 m−6− (3 m−6 ) =− 1 m2+2m，
4 4 4 4
∵PN⊥x轴，
∴PN∥y轴，
∴∠PNQ=∠OCB，
∵∠PQN=∠BOC=90°，
∴△PQN∽△BOC，
PN NQ PQ
∴ = = ，
BC OC OB
∵OB=8，OC=6，
∴BC=10，
3 4
∴NQ= PN，PQ= PN，
5 5
∵EN⊥y轴，
∴EN∥x轴，
∴△CNE∽△CBO，
CN EN CN m
∴ = ，即 =
BC OB 10 8
5
∴CN= m，
41 1 3 1 4
∴CQ+ PQ=CN+NQ+ PQ=CN+ PN+ × PN=CN+PN，
2 2 5 2 5
∴CQ+
1
PQ=
5
m−
1
m2+2m=−
1
m2+
13
m=−
1(
m−
13) 2
+
169
，
2 4 4 4 4 4 2 16
13 1 169
∴当m= 时，CQ+ PQ的最大值是 ．
2 2 16
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，
利用数形结合思想解答是解题的关键，是中考的压轴题．
27．（2022·四川绵阳·统考中考真题）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于A(-1，0)，B两点，交y轴于点
C(0，3)，顶点D的横坐标为1．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB＋∠ACB＝180°．若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说
明理由；
(3)过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上
是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似？若存在，
请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=-x2+2x+3；
(2)存在，P（0，-1）使∠APB＋∠ACB＝180°，理由见解析；
(3)存在点M，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似，此时点M的坐标为（3，0）或（-3，-
( 1 20)
12）或 − ,
3 9
【分析】（1）由抛物线的对称轴可得点B的坐标，由此设出交点式，代入点C的坐标，即可得出抛物线的解析式；
（2）由题意可知，点A，C，B，P四点共圆，画出图形，即可得出点P的坐标；
（3）由抛物线的对称性可得出点E的坐标，点D的坐标，根据两点间的距离公式可得出AD，DE，AE的
长，可得出△ADE是直角三角形，且DE∶AE=1：3，再根据相似三角形的性质可得出EF和FM的比例，由
此可得出点M的坐标．
【详解】（1）解：∵顶点D的横坐标为1，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∵A（-1，0），
∴B（3，0），
设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-3），
把C（0，3）代入抛物线的解析式得：
-3a=3，解得a=-1，
∴抛物线的解析式为：y=-（x+1）（x-3）=-x2+2x+3；
（2）存在，P（0，-1），理由如下：
∵∠APB+∠ACB=180°，
∴∠CAP+∠CBP=180°，
∴点A，C，B，P四点共圆，
如图所示，
∵点A（0，-1），B（3，0），C（0，3），
∴OB=OC=3，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∴∠APC=∠ABC=45°，
∴△AOP是等腰直角三角形，∴OP=OA=1，
∴P（0，-1）；
（3）解：存在，理由如下：
∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴D（1，4），
由抛物线的对称性得：E（2，3），
∵A（-1，0），
∴AD=2√5,DE=√2,AE=3√2，
∴AD2=DE2+AE2，
∴△ADE是直角三角形，且∠AED=90°，DE∶AE=1∶3，
∵点M在直线l下方的抛物线上，
设M(t,−t2+2t+3)，则t＞2或t＜0，
∵MF⊥l，
∴点F（t，3），
∴EF=|t−2|，MF=3−(−t2+2t+3)=t2−2t，
∵以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似，
∴EF:MF=DE:AE=1:3或MF:EF=DE:AE=1:3，
∴|t−2|:(t2−2t)=1:3或(t2−2t):|t−2|=1:3，
1 1
解得t=2（舍去） 或t=3或t=-3或t= （舍去）或t=− ，
3 3
( 1 20)
∴点M的坐标为（3，0）或（-3，-12）或 − , ，
3 9综上所述，存在点M，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似，此时点M的坐标为（3，0）或
( 1 20)
（-3，-12）或 − , ．
3 9
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，圆内四边形的性质，相似三角形
的性质与判定，分类讨论思想等，第（2）问得出四点共固是解题关键；第（3）问得出△ADE是直角三角
形并得出AD∶AE的值是解题关键．
28．（2022·四川广安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x+m（a≠0）的图象
与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，－4），点C坐标为（2，0）．
(1)求此抛物线的函数解析式．
(2)点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？
若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标．
1
【答案】(1)y= x2+x−4
2
(2)（-2，-4）
(3)P点坐标为：（-1，3），（-1，-5），(−1，−2+√7)，(−1，−2−√7)
【分析】（1）直接将B（0，-4），C（2，0）代入y=ax2+x+m，即可求出解析式；
（2）先求出直线AB关系式为：y=−x−4，直线AB平移后的关系式为：y=−x−4+n，当其与抛物线
只有一个交点时，此时点D距AB最大，此时△ABD的面积最大，由此即可求得D点坐标；
（3）分三种情况讨论，①当∠PAB=90°时，即PA⊥AB，则设PA所在直线解析式为：y=x+z，将A
（-4,0）代入y=x+z得，解得：z=4，此时P点坐标为：（-1,3）；②当∠PBA=90°时，即PB⊥AB，则设PB所在直线解析式为：y=x+t，将B（0，-4）代入y=x+t得，t=−4，此时P点坐标为：（-1,-5）；③
y y +4
当∠APB=90°时，设P点坐标为：(−1，y )，由于PA所在直线斜率为： p，PB在直线斜率为： p ，
p 3 −1
y y +4
p· p =-1，则此时P点坐标为：(−1，−2+√7)，(−1，−2−√7)．
3 −1
【详解】（1）解：将B（0，-4），C（2，0）代入y=ax2+x+m，
得：¿，
解得：¿，
1
∴抛物线的函数解析式为：y= x2+x−4．
2
（2）向下平移直线AB，使平移后的直线与抛物线只有唯一公共点D时，此时点D到直线AB的距离最大，
此时△ABD的面积最大，
1
∵ x2+x−4=0时，x =2，x =−4，
2 1 2
∴A点坐标为：（-4,0），
设直线AB关系式为：y=kx+b（k≠0），
将A（-4,0），B（0，-4），代入y=kx+b（k≠0），
得：¿，
解得：¿，
∴直线AB关系式为：y=−x−4，
设直线AB平移后的关系式为：y=−x−4+n，
1
则方程−x−4+n= x2+x−4有两个相等的实数根，
2
1
即
x2+2x−n=0有两个相等的实数根，
2
∴n=−2，
1
即
x2+2x+2=0的解为：x=-2，
2
1
将x=-2代入抛物线解析式得，y= ×(−2) 2−2−4=−4，
2
∴点D的坐标为：（-2，-4）时，△ABD的面积最大；
（3）①当∠PAB=90°时，
即PA⊥AB，则设PA所在直线解析式为：y=x+z，将A（-4,0）代入y=x+z得，−4+z=0，
解得：z=4，
∴PA所在直线解析式为：y=x+4，
∵抛物线对称轴为：x=-1，
∴当x=-1时，y=−1+4=3，
∴P点坐标为：（-1，3）；
②当∠PBA=90°时，
即PB⊥AB，则设PB所在直线解析式为：y=x+t，
将B（0，-4）代入y=x+t得，t=−4，
∴PA所在直线解析式为：y=x−4，
∴当x=-1时，y=−1−4=−5，
∴P点坐标为：（-1，-5）；
③当∠APB=90°时，设P点坐标为：(−1，y )，
p
y y +4
∴PA所在直线斜率为： p，PB在直线斜率为： p ，
3 −1
∵PA⊥PB，
y y +4
∴ p· p =-1，
3 −1
解得：y =−2+√7，y =−2−√7，
p1 p2
∴P点坐标为：(−1，−2+√7)，(−1，−2−√7)
综上所述，P点坐标为：（-1，3），（-1，-5），(−1，−2+√7)，(−1，−2−√7)时，△PAB为直角三
角形．
【点睛】本题主要考查的是二次函数图象与一次函数、三角形的综合，灵活运用所学知识是解题的关键．
29．（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）综合与探究
如图，某一次函数与二次函数y=x2+mx+n的图象交点为A（-1，0），B（4，5）．(1)求抛物线的解析式；
(2)点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为 ；
(3)点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段DE长度
的最大值；
(4)在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点
C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标．
【答案】(1)y=x2−2x−3
(2)（1，2）
25
(3)
4
(1 5)
(4)N (1,1),N (−1,2),N (1,4),N ,
1 2 3 4 2 2
【分析】（1）将A（-1，0），B（4，5）代入y=x2+mx+n得到关于m，n的二元一次方程组求解即可；
（2）抛物线的对称轴为x=1，求出直线AB与对称轴的交点即可求解；
（3）设D(d,d2−2d−3)，则E(d,d+1)，则DE=(d+1)−(d2−2d−3)=−d2+3d+4(−1<d<4)，
根据二次函数的性质求解即可；
（4）根据题意画出图形，分情况求解即可．
【详解】（1）解：将A（-1，0），B（4，5）代入y=x2+mx+n得，¿ ，
解这个方程组得¿，
∴抛物线的解析式为：y=x2−2x−3；（2）解：如图，设直线AB的解析式为：y=kx+b，
把点 A（-1，0），B（4，5）代入y=kx+b，
得¿，
解得¿ ，
∴ 直线AB的解析式为：y=x+1 ，
−2
由（1）知抛物线y=x2−2x−3的对称轴为x=− =1，
2×1
∵ 点C为抛物线对称轴上一动点，AC+BC≥AB，
∴ 当点C在AB上时，AC+BC最小，
把x=1代入y=x+1，得y=2，
∴点C的坐标为（1，2）；
（3）解：如图，由（2）知 直线AB的解析式为y=x+1
设D(d,d2−2d−3)，则E(d,d+1)，
则DE=(d+1)−(d2−2d−3)=−d2+3d+4(−1<d<4)，
3 25
当d= 时，DE有最大值为 ，
2 4（4）解：如图，∵直线AB的解析式为：y=x+1，
∴ 直线与y轴的交点为D（0，1），OD=1
∵A(−1,0)，OA=1
∴ OA=OD,∠DAO=∠ADO=45°，
若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，分情况讨论：
①过点C作CM ⊥y轴于点M ，则ΔDM C为等腰直角三角形，过点C作CN ⊥DN❑❑ ，则四边形
1 1 1 1 1
CM DN 为正方形，
1 1
依题意，知D与F重合，点N 的坐标为（1，1）；
1
②以M 为中心分别作点F，点C点的对称点M ,N ，连接CM ,M N ,N F，则四边形M N FC是
1 2 2 2 2 2 2 2 2
正方形，则点N 的坐标为（-1，2）；
2③延长N M 到N 使N M =M C，作N F ⊥AB于点F ，则四边形M N F C是正方形，则N 的
2 2 ❑ 3 2 2 3 1 1 2 3 1 ❑
3 3
坐标为（1，4）；
(1 5)
④取M C的中点N ，FC的中点F ，则M F CN 为正方形，则N 的坐标为 , ，
2 4 2 1 2 4 4 2 2(1 5)
综上所述，点N的坐标为：N (1,1),N (−1,2),N (1,4),N ,
1 2 3 4 2 2
【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，二次函数的性质，正方形的判定，根
据题意正确画图是解本题的关键．
30．（2022·江苏淮安·统考中考真题）如图（1），二次函数y=−x2+bx+c的图像与x轴交于A、B两点，
与y轴交于C点，点B的坐标为(3,0)，点C的坐标为(0,3)，直线l经过B、C两点．
(1)求该二次函数的表达式及其图像的顶点坐标；
(2)点P为直线l上的一点，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图像相交于点M，再过点M作y轴的垂线与
1
该二次函数的图像相交于另一点N，当PM= MN时，求点P的横坐标；
2
(3)如图（2），点C关于x轴的对称点为点D，点P为线段BC上的一个动点，连接AP，点Q为线段AP上一
点，且AQ=3PQ，连接DQ，当3AP＋4DQ的值最小时，直接写出DQ的长．
【答案】(1)y=−x2+2x+3，顶点坐标(1,4)
(2)P点横坐标为1+√2或1−√2或2+√3或2−√35√10
(3)DQ=
4
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）设P（t，−t+3），则M（t，−t2+2t+3），N（2−t，−t2+2t+3），则
1
PM=|t2−3t|，MN=|2−2t|，由题意可得方程 |t2−3t|= |2−2t|，求解方程即可；
2
（3）由题意可知Q点在平行于BC的线段上，设此线段与x轴的交点为G，由QG∥BC，求出点
G(2，0)，作A点关于GQ的对称点A′，连接A′D与AP交于点Q，则
3
3AP+4DQ=4(DQ+ AP)=4(DQ＋AQ)≥4A′D，利用对称性和∠OBC=45°，求出A′ (2，3)，
4
(5 3) 5√10
求出直线DA′的解析式和直线QG的解析式，联立方程组¿，可求点Q , ，再求DQ= ．
4 4 4
【详解】（1）解：将点B(3,0)，C(0,3)代入y=−x2+bx+c
∴¿
解得¿
∴y=−x2+2x+3
∵y=−x2+2x+3=−(x−1) 2+4，
∴顶点坐标(1,4)；
（2）解：设直线BC的解析式为y=kx+b，
∴¿
解得¿
∴y=−x+3，
设P(t,−t+3)，则M(t,−t2+2t+3)，N(2−t,−t2+2t+3)，
∴PM=|t2−3t|，MN=|2−2t|，
1
∵PM= MN，
2
1
∴ |t2−3t|= |2−2t|，
21 1
∴t2−3t= (2−2t)或t2−3t=− (2−2t)，
2 2
1
当t2−3t= (2−2t)时， 整理得t2−2t−1=0，
2
解得t =1+√2，t =1−√2，
1 2
1
当t2−3t=− (2−2t)时，整理得t2−4t+1=0，
2
解得t =2+√3，t =2−√3，
3 4
∴P点横坐标为1+√2或1−√2或2+√3或2−√3；
（3）解：∵C(0,3)，D点与C点关于x轴对称，
∴D(0,−3)，
令y=0，则−x2+2x+3=0，
解得x=−1或x=3，
∴A(−1,0)，
∴AB=4，
∵AQ=3PQ，
∴Q点在平行于BC的线段上，设此线段与x轴的交点为G，
∴QG∥BC，
AQ AG
∴ = ，
AP BA
3 AG
∴ = ，
4 4
∴AG=3，
∴G(2,0)，
∵OB=OC，
∴∠OBC=45°，
作A点关于GQ的对称点A′，连接AD与AP交于点Q，∵AQ=A′Q，
∴AQ+DQ=A′Q+DQ⩾A′D，
∴3AP+4DQ=4 ( DQ+ 3 AP ) =4(DQ+AQ)⩾4A′D，
4
∵∠QGA=∠CBO=45°，A A′⊥QG，
∴∠A′ AG=45°，
∵AG=A′G，
∴∠A A′G=45°，
∴∠AGA′=90°，
∴A′(2,3)，
设直线DA′的解析式为y=kx+b，
∴¿，
解得¿，
∴y=3x−3，
同理可求直线QG的解析式为y=−x+2，
联立方程组¿，
解得¿，
(5 3)
∴Q , ，
4 4
∵D(0,−3)，
√ (5 ) 2 [3 ] 2 √25 225 5√10
∴DQ= −0 + −(−3) = + = .
4 4 16 16 4
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离的方
法，解绝对值方程，待定系数法求函数的解析式是解题的关键．【考点7 二次函数图象的平移】
31．（2022·广西玉林·统考中考真题）小嘉说：将二次函数y=x2的图象平移或翻折后经过点(2,0)有4种
方法：
①向右平移2个单位长度 ②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
③向下平移4个单位长度 ④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度
你认为小嘉说的方法中正确的个数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据二次函数图象的平移可依此进行求解问题．
【详解】解：①将二次函数y=x2向右平移2个单位长度得到：y=(x−2) 2，把点(2,0)代入得：
y=(2−2) 2=0，所以该平移方式符合题意；
②将二次函数y=x2向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到：y=(x−1) 2−1，把点(2,0)代
入得：y=(2−1) 2−1=0，所以该平移方式符合题意；
③将二次函数y=x2向下平移4个单位长度得到：y=x2−4，把点(2,0)代入得：y=22−4=0，所以该平
移方式符合题意；
④将二次函数y=x2沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度得到：y=−x2+4，把点(2,0)代入得：
y=−22+4=0，所以该平移方式符合题意；
综上所述：正确的个数为4个；
故选D．
【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键．
32．（2022·内蒙古通辽·统考中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数y=(x−1) 2+1的图象向左平移
1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（ ）
A．y=(x−2) 2−1 B．y=(x−2) 2+3
C．y=x2+1 D．y=x2−1
【答案】D
【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．【详解】解：将二次函数y=(x−1) 2+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函
数的解析式为y=(x−1+1) 2+1−2=x2−1
故选D．
【点睛】本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律．
33．（2022·山东枣庄·统考中考真题）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B
（1，0），过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一
个动点．
(1)求抛物线的关系式；
(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当 OPE面积最大时，求出P点坐标；
(3)将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线△的顶点落在 OAE内（包括 OAE的边界），
求h的取值范围； △ △
(4)如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使 POF成为以点P为直角顶点的
等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在△，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3
5 3
(2)P点坐标为（ ，− ）
2 4
(3)h的取值范围为3≤h≤4
5−√5 1−√5 3−√5 √5+1 3+√5 1−√5 5+√5
(4)存在，点P的坐标是（ ， ）或（ ， ）或（ ， ）或（ ，
2 2 2 2 2 2 2
√5+1
）
2【分析】（1）利用待定系数法可得抛物线的解析式；
（2）过P作PG∥y轴，交OE于点G，设P（m，m2﹣4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示
PG的长，根据面积和可得 OPE的面积，利用二次函数的最值可得其最大值；
（3）求出原抛物线的对称轴△和顶点坐标以及对称轴与OE的交点坐标、与AE的交点坐标，用含h的代数
式表示平移后的抛物线的顶点坐标，列出不等式组求出h的取值范围；
（4）存在四种情况：作辅助线，构建全等三角形，证明 OMP≌△PNF，根据|OM|＝|PN|，列方程可得点
P的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标． △
（1）
解：∵抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），
∴¿ ，
解得¿，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；
（2）
如图1，过P作PG∥y轴，交OE于点G，
设P（m，m2﹣4m+3），
∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，
∴∠AOE＝45°，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∴AE＝OA＝3，
∴E（3，3），
设直线OE的解析式为y＝kx，把点（3，3）代入得，
3＝3k，解得k＝1，
∴直线OE的解析式为：y＝x，
∴G（m，m），
∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3，
∴S OPE＝S OPG+S EPG
1△ △ △
= PG•AE
2
1
= ×3×（﹣m2+5m﹣3）
2
3
=− （m2﹣5m+3）
2
3 5 39
=− （m− ）2+ ，
2 2 8
3
∵− ＜0，
2
5
∴当m= 时， OPE面积最大，
2
△
3
此时m2﹣4m+3＝− ，
4
5 3
∴P点坐标为（ ，− ）；
2 4
（3）
由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，得抛物线l的对称轴为直线x＝2，顶点为（2，﹣1），
抛物线L向上平移h个单位长度后顶点为F（2，﹣1+h）．
设直线x＝2交OE于点M，交AE于点N，则N（2，3），如图2，∵直线OE的解析式为：y＝x，
∴M（2，2），
∵点F在 OAE内（包括 OAE的边界），
∴2≤﹣1+h△≤3， △
解得3≤h≤4；
（4）
设P（m，m2﹣4m+3），分四种情况：
①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图3，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，
∴∠OMP＝∠PNF＝90°，
∵△OPF是等腰直角三角形，
∴OP＝PF，∠OPF＝90°，∴∠OPM+∠NPF＝∠PFN+∠NPF＝90°，
∴∠OPM＝∠PFN，
∴△OMP≌△PNF（AAS），
∴OM＝PN，
∵P（m，m2﹣4m+3），
则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，
5+√5 5−√5
解得：m= 或 ，
2 2
5+√5
∵m= ＞2，不合题意，舍去，
2
5−√5
∴m= ，
2
1−√5
此时m2﹣4m+3＝ ，
2
5−√5 1−√5
∴P的坐标为（ ， ）；
2 2
②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，
同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3，
3+√5 3−√5
解得：m = 或m = ，
1 2 2 2
3+√5
∵ ＞2，不合题意，舍去，
2
3−√5
∴m＝ ，
2
√5+1
此时m2﹣4m+3＝ ，
2
3−√5 √5+1
∴P的坐标为（ ， ）；
2 2
③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，如图4，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，同理得 ONP≌△PMF，
∴PN＝F△M，
则﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，
3+√5 3−√5
解得：m = 或m = ；
1 2 2 2
3−√5
∵ ＜2，不合题意，舍去，
2
3+√5
∴m＝ ，
2
1−√5
此时m2﹣4m+3＝ ，
2
3+√5 1−√5
P的坐标为（ ， ）；
2 2
④当P在对称轴的右边，且在x轴上方时，如图5，同理得m2﹣4m+3＝m﹣2，
5+√5 5−√5
解得：m= 或 （舍），
2 2
5+√5 √5+1
P的坐标为：（ ， ）；
2 2
5−√5 1−√5 3−√5 √5+1 3+√5 1−√5 5+√5
综上所述，点P的坐标是：（ ， ）或（ ， ）或（ ， ）或（ ，
2 2 2 2 2 2 2
√5+1
）．
2
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的图象与性质及图形的平
移，全等三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，运用分类讨论思想和方程的思想是解决问题的
关键．
34．（2022·江苏常州·统考中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+3的自变量x的部分取值和对应函数值y
如下表：
x … −1 0 1 2 3 …
y … 4 3 0 −5 −12 …
(1)求二次函数y=ax2+bx+3的表达式；
(2)将二次函数y=ax2+bx+3的图像向右平移k(k>0)个单位，得到二次函数y=mx2+nx+q的图像，使
得当−1<x<3时，y随x增大而增大；当4<x<5时，y随x增大而减小，请写出一个符合条件的二次函数
y=mx2+nx+q的表达式y=______，实数k的取值范围是_______；
(3)A、B、C是二次函数y=ax2+bx+3的图像上互不重合的三点．已知点A、B的横坐标分别是m、m+1，
点C与点A关于该函数图像的对称轴对称，求∠ACB的度数．【答案】(1)y=−x2−2x+3
(2)y=−(x−3) 2+4（答案不唯一），4≤k≤5
(3)∠ACB=45°或135°
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出平移后的二次函数对称轴为直线x=k−1，然后根据二次函数的增减性求出4≤k≤5，即可得
到答案；
（3）先分别求出A、B、C三点的坐标，然后求出x −x =2m+3，y −y =−2m−3，然后分四种情况
B C B C
讨论求解即可得到答案．
（1）
解：由题意得：¿，
解得¿，
∴二次函数解析式为y=−x2−2x+3；
（2）
解：∵原二次函数解析式为y=−x2−2x+3=−(x+1) 2+4
由题意得平移后的二次函数解析式为y=−(x+1−k) 2+4，
∴平移后的二次函数对称轴为直线x=k−1，
∵二次函数y=mx2+nx+q的图像，使得当−1<x<3时，y随x增大而增大；当4<x<5时，y随x增大而
减小，且二次函数y=mx2+nx+q的开口向下，
∴3≤k−1≤4，
∴4≤k≤5，
∴符合题意的二次函数解析式可以为y=−(x+1−4) 2+4=−(x−3) 2+4；
故答案为：y=−(x−3) 2+4（答案不唯一），4≤k≤5；
（3）
解：∵二次函数解析式为y=−x2−2x+3=−(x+1) 2+4，
∴二次函数y=−x2−2x+3的对称轴为直线x=−1，
∵A、C关于对称轴对称，点A的横坐标为m，∴C的横坐标为−2−m，
∴点A的坐标为（m，−m2−2m+3），点C的坐标为（−2−m，−m2−2m+3），
∵点B的横坐标为m+1，
∴点B的坐标为（m+1，−m2−4m），
∴x −x =2m+3，y −y =−2m−3，
B C B C
如图1所示，当A、B同时在对称轴左侧时，过点B作BE⊥x轴于E，交AC于D，连接BC，
∵A、C关于对称轴对称，
∴AC∥x轴，
∴BE⊥AC，
∵x −x =2m+3，y −y =−2m−3，
B C B C
∴CD=−2m−3=BD，
∴△BDC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=45°，
同理当AB同时在对称轴右侧时，也可求得∠ACB=45°，
如图2所示，当A在对称轴左侧，B在对称轴右侧时，
过点B作直线BD垂直于直线AC交直线AC于D，
同理可证 BDC为等腰直角三角形，
∴∠BCD=4△5°，
∴∠ACB=135°，
同理当A在对称轴右侧，B在对称轴左侧也可求得∠ACB=135°，
综上所述，∠ACB=45°或135°【点睛】本题主要考查了二次函数综合，二次函数的平移，二次函数的增减性，待定系数法求函数解析式
等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
35．（2022·湖北恩施·统考中考真题）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=−x2+c与y轴交于
点P(0,4)．
(1)直接写出抛物线的解析式．
(2)如图，将抛物线y=−x2+c向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q，平移后的抛物线与x
轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．判断以B、C、Q三点为顶点的三角形是否为
直角三角形，并说明理由．
(3)直线BC与抛物线y=−x2+c交于M、N两点（点N在点M的右侧），请探究在x轴上是否存在点T，使
得以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．(4)若将抛物线y=−x2+c进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点时，请直接
写出拋物线y=−x2+c平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标．
【答案】(1)y=−x2+4
(2)以B、C、Q三点为顶点的三角形是直角三角形，理由见解析
(2√5+1 ) (3+√5 )
(3)存在，T ,0 或T ,0 ，
3 4
5√2 (5 27)
(4)最短距离为 ，平移后的顶点坐标为 ,
8 8 8
【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式；
（2）分别求得B、C、Q的坐标，勾股定理的逆定理验证即可求解；
（3）由∠CBA=∠NBT，故分两种情况讨论，根据相似三角形的性质与判定即可求解；
（4）如图，作l∥BC且与抛物线只有1个交点，交y轴于点D，过点C作CE⊥l于点E，则△DEC是等
腰直角三角形，作EF⊥DC于F，进而求得直线l与BC的距离，即为所求最短距离，进而求得平移方式，
将顶点坐标平移即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线y=−x2+c与y轴交于点P(0,4)
∴c=4
∴抛物线解析式为y=−x2+4
（2）以B、C、Q三点为顶点的三角形是直角三角形，理由如下：
∵ y=−x2+4的顶点坐标为P(0,4)
依题意得，Q(−1,4)
∴平移后的抛物线解析式为y=−(x+1) 2+4
令y=0，解−(x+1) 2+4=0
得x =−3,x =1
1 2
∴A(1,0)，B(−3,0)
令x=0，则y=3，即C(0,3)
∴BC2=32+32=18，CQ2=12+12=2，QB2=(−3+1) 2+42=20
∴BC2+CQ2=QB2
∴以B、C、Q三点为顶点的三角形是直角三角形(2√5+1 ) (3+√5 )
（3）存在，T ,0 或T ,0 ，理由如下，
3 4
∵B(−3,0)，C(0，3)，
∴OB=OC=3
∴ △OBC是等腰直角三角形
设直线BC的解析式为y=kx+b，
则¿，
解得¿，
∴直线BC的解析式为y=x+3，
联立¿
解得¿，¿
(−1+√5 5+√5)
∴N ,
2 2
∵ A(1,0),B(−3,0)，C(0,3)，△OBC是等腰直角三角形
∴ AB=4，BC=√2OB=3√2
设直线AC的解析式为y=mx+n,
∴¿
∴¿
∴直线AC的解析式为y=−3x+3
当NT∥AC时，△BNT∽△BCA
(−1+√5 5+√5)
设NT的解析式为y=−3x+t，由NT过点N ,
2 25+√5 (−1+√5)
则 =−3 +t
2 2
解得t=2√5+1
∴ NT的解析式为y=−3x+2√5+1，
令y=0
2√5+1
解得x=
3
(2√5+1 )
∴T ,0
3
2√5+1 10+2√5
∴BT=3+ =
3 3
∵ △BNT∽△BCA，
BT BN
∴ =
BA BC
10+2√5
3 BN
∴ =
4 3√2
5√2 √10
∴BN= +
2 2
BT BN
②当△BNT∽△BAC时，则 =
BC BA
5√2 √10
+
即 BT 2 2
=
3√2 4
15 3√5
解得BT= +
4 4
∵OB=3
(3+√5 )
∴T ,0
4
(2√5+1 ) (3+√5 )
综上所述，T ,0 或T ,0
3 4
（4）如图，作l∥BC，交y轴于点D，过点C作CE⊥l于点E，则△DEC是等腰直角三角形，作EF⊥DC于F
∵直线BC的解析式为y=x+3
设与BC平行的且与y=−x2+4只有一个公共点的直线l解析式为y=x+b
则¿
整理得：x2+x+b−4=0
则Δ=12−4(b−4)=0
17
解得b=
4
17
∴直线l的解析式为y=x+
4
17 5 1 5
∴CD= −3= ，EF=FC= CD=
4 4 2 8
√2 √2 5 5√2
∴CE= CD= × =
2 2 4 8
5√2
即拋物线y=−x2+c平移的最短距离为 ，方向为EC方向
8
∵P(0,4)
∴把点P先向右平移EF的长度，再向下平移FC的长度即得到平移后的坐标
(5 5) (5 27)
∴平移后的顶点坐标为 ,4− ，即 ，
8 8 8 8
【点睛】本题是二次函数综合，考查了相似三角形的性质，求二次函数与一次函数解析式，二次函数图象
的平移，勾股定理的逆定理，正确的添加辅助线以及正确的计算是解题的关键．
【考点8 二次函数与一元二次方程】
36．（2022·山东青岛·统考中考真题）已知二次函数y=x2+mx+m2−3（m为常数，m>0）的图象经过点P(2，
4)．(1)求m的值；
(2)判断二次函数y=x2+mx+m2−3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．
【答案】(1)m=1
(2)二次函数y=x2+x−2的图象与x轴有两个交点，理由见解析．
【分析】（1）把P(2，4)代入y=x2+mx+m2−3即可求得m的值；
（2）首先求出Δ=b2-4ac的值，进而得出答案．
【详解】（1）解：∵二次函数y= x2+mx+m2−3图象经过点P(2，4) ，
∴4=4+2m+m2−3，
即m2+2m−3=0，
解得：m=1，m=−3，
1 2
又∵m>0，
∴m=1；
（2）解：由（1）知二次函数y=x2+x−2，
∵Δ=b2−4ac=12+8=9>0，
∴二次函数y=x2+x−2的图象与x轴有两个交点．
【点睛】此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及一元二次方程的解法，得出 的值是解题关键．
37．（2022·黑龙江大庆·统考中考真题）已知二次函数y=x2+bx+m图像的对称△轴为直线x=2．将二次函
数y=x2+bx+m图像中y轴左侧部分沿x轴翻折，保留其他部分得到新的图像C．
(1)求b的值；
(2)①当m<0时，图像C与x轴交于点M，N（M在N的左侧），与y轴交于点P．当△MNP为直角三角
形时，求m的值；
②在①的条件下，当图像C中−4≤ y<0时，结合图像求x的取值范围；
(3)已知两点A(−1,−1),B(5,−1)，当线段AB与图像C恰有两个公共点时，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)−4(2)①−1，②−1≤x<2−√5 或 0≤x≤1 或 3≤x≤2+√5
(3)−4≤m≤−1或1≤m≤3
b
【分析】（1）根据二次函数的对称轴为直线x=− =2，求出b值即可；
2
（2）①由（1）知，二次函数的解析式为y=x2−4x+m，令x=0，则y=m，可得P(0,m)，令y=0，则
x2−4x+m=0，求出M(2−√4−m,0)，N(2+√4−m,0)，则MO=√4−m−2，ON=2+√4−m，
MO OP √4−m−2 −m
OP=−m，证明△MOP∽△PON，则 = ，即 = ，整理得，−m=m2，求
PO ON −m 2+√4−m
出满足要求的m的值即可；②由①可知，二次函数解析式为y=x2−4x−1，y轴左侧图像的解析式为
y=−x2+4x+1(x≤0)，可画图像C如图所示，令y=−4，则−x2+4x+1=−4，求出满足要求的x值，
令y=−4，则x2−4x−1=−4，求出满足要求的x值，然后结合图求x的取值范围即可；
（3）由题意知，二次函数的解析式为y=¿，AB为平行于x轴的线段，由题意知，分两种情况求解：①当
线段AB与图像C在y轴左侧有一个交点时，线段AB与图像C在y轴右侧有一个交点，即令
−x2+4x−m=−1，x2−4x+m=−1，当−1≤x≤0时，根据x的取值范围求m的取值范围，当0<x≤5时，
根据x的取值范围求m的取值范围，然后取公共部分即可；②当线段AB与图像C在y轴左侧没有交点，线
段AB与图像C在y轴右侧有两个交点，即令−x2+4x−m=−1，x2−4x+m=−1，当−1≤x≤0时，根据
x的取值范围求m的取值范围，当0<x≤5时，根据x的取值范围求m的取值范围，然后取公共部分即可．
（1）
b
解：由题意知，二次函数的对称轴为直线x=− =2，
2
解得b=−4，
∴b的值为−4．
（2）
①解：由（1）知，二次函数的解析式为y=x2−4x+m，
令x=0，则y=m，
∴P(0,m)，
令y=0，则x2−4x+m=0，
解得x =2−√4−m，或x =2+√4−m，
M N∴M(2−√4−m,0)，N(2+√4−m,0)，
∴MO=√4−m−2，ON=2+√4−m，OP=−m，
∵△MNP为直角三角形，
∴∠MPN=90°，
又∵PO⊥MN，
∴∠MOP=∠PON=90°，
∵∠PMO=∠NPO，
∴△MOP∽△PON，
MO OP √4−m−2 −m
∴ = ，即 = ，
PO ON −m 2+√4−m
整理得，−m=m2，
解得m=−1，或m=0（不合题意，舍去），
∴m的值为−1．
②解：由①可知，二次函数解析式为y=x2−4x−1，
∴y轴左侧图像的解析式为y=−x2+4x+1(x≤0)，与x轴的交点坐标为M(2−√5,0)，
∴图像C如下所示，
∴令y=−4，则−x2+4x+1=−4，
解得x=−1，或x=5（不合题意，舍去），
令y=−4，则x2−4x−1=−4，
解得x=1，或x=3，
∴由图像可知求x的取值范围为−1≤x<2−√5或0≤x≤1或3≤x≤2+√5．（3）
解：由题意知，二次函数的解析式为y=¿，AB为平行于x轴的线段，
∴由线段AB与图像C恰有两个公共点可知，①当线段AB与图像C在y轴左侧有一个交点时，线段AB与图
像C在y轴右侧有一个交点，即令−x2+4x−m=−1，x2−4x+m=−1，
∴当−1≤x≤0时，m=−x2+4x+1=−(x−2) 2+5，有−4≤m≤1，
当0<x≤5时，m=−x2+4x−1=−(x−2) 2+3，有−6≤m≤−1，
∴−4≤m≤−1；
②当线段AB与图像C在y轴左侧没有交点，线段AB与图像C在y轴右侧有两个交点，即令
−x2+4x−m=−1，x2−4x+m=−1，
∴当−1≤x≤0时，m=−x2+4x+1=−(x−2) 2+5，有m>1或m<−4，
当0<x≤5时，m=−x2+4x−1=−(x−2) 2+3，有−1≤m≤3，
∴1<m≤3；
综上所述，m的取值范围为−4≤m≤−1或1≤m≤3．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的翻折，二次函数综合，相似三角形的判定与性质
等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
38．（2022·湖北武汉·统考中考真题）抛物线y=x2−2x−3交x轴于A，B两点（A在B的左边），C是第
一象限抛物线上一点，直线AC交y轴于点P．
(1)直接写出A，B两点的坐标；(2)如图（1），当OP=OA时，在抛物线上存在点D（异于点B），使B，D两点到AC的距离相等，求出
所有满足条件的点D的横坐标；
FP
(3)如图（2），直线BP交抛物线于另一点E，连接CE交y轴于点F，点C的横坐标为m．求 的值（用
OP
含m的式子表示）．
【答案】(1)A(−1,0)，B(3,0)；
3−√41 3+√41
(2)0， 或 ；
2 2
1
(3) m．
3
【分析】（1）令x2−2x−3=0求出x的值即可知道A，B两点的坐标；
（2）求出直线AC的解析式为y=x+1，分情况讨论：①若点D在AC下方时，②若点D在AC上方时；
（3）设点E的横坐标为n．过点P的直线解析式为y=kx+b．联立¿，得x2−(2+k)x−3−b=0． 利用
b
A，B点的横坐标求出m=3+b，n=−1− ，设直线CE的解析式为y=px+q，求出mn=−3−q，进一步
3
1
求出OP=b，FP= b2+b即可求出答案．
3
【详解】（1）解：令x2−2x−3=0，解得：x =−1，x =3，
1 2
∴A(−1,0)，B(3,0)．
（2）解：∵OP=OA=1，
∴P(0,1)，
∴直线AC的解析式为y=x+1．
①若点D在AC下方时，
过点B作AC的平行线与抛物线的交点即为D ．
1∵B(3,0)，BD ∥AC，
1
∴BD 的解析式为y=x−3．
1
联立¿，
解得，x =0，x =3（舍）．
1 2
∴点D 的横坐标为0．
1
②若点D在AC上方时，点D (0,−3)关于点P的对称点为G(0,5)．
1
过点G作AC的平行线l，则l与抛物线的交点即为符合条件的点D．
直线l的解析式为y=x+5．
联立¿，得x2−3x−8=0，
3−√41 3+√41
解得，x = ，x = ．
1 2 2 2
3−√41 3+√41
∴点D ，D 的横坐标分别为 ， ．
2 3 2 2
3−√41 3+√41
∴符合条件的点D的横坐标为：0， 或 ．
2 2
（3）解：设点E的横坐标为n．过点P的直线解析式为y=kx+b．
联立¿，得x2−(2+k)x−3−b=0．
设x ，x 是方程x2−(2+k)x−3−b=0两根，则x x =−3−b．（*）
1 2 1 2
∴x x =x x =−3−b．
A C B E
∵x =−1，
A
∴x =3+b，
C∴m=3+b．
∵x =3，
B
b
∴x =−1− ，
E 3
b
∴n=−1− ．
3
设直线CE的解析式为y=px+q，
同（*）得mn=−3−q，
∴q=−mn−3．
∴q=−(3+b) ( −1− b) −3= 1 b2+2b．
3 3
1
∴OF= b2+2b．
3
∵OP=b，
1
∴FP= b2+b．
3
FP 1 1 1
∴ = b+1= (m−3)+1= m．
OP 3 3 3
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合，难度较大，需要掌握函数与x轴交点坐标，（1）的关键是
令x2−2x−3=0进行求解；（2）的关键是分点D在AC下方和在AC上方时两种情况讨论：（3）的关键
是求出OP，FP．
39．（2022·云南·中考真题）已知抛物线y=−x2−√3x+c经过点（0，2），且与x轴交于A、B两点．设k
是抛物线y=−x2−√3x+c与x轴交点的横坐标；M是抛物线y=−x2−√3x+c的点，常数m>0，S为
△ABM的面积．已知使S=m成立的点M恰好有三个，设T为这三个点的纵坐标的和．
(1)求c的值；
(2)直接写出T的值；
k4
(3)求 的值．
k8+k6+2k4+4k2+16
【答案】(1)2
11
(2)−
4
1
(3)
50【分析】（1）将点（0，2）带入直接求解；（2）找到三个点M的纵坐标之间的而关系，即可求解；
4 2 2 16 4 2
（3）将函数转化为方程，即可表示出k2+ =(k− ) +4=7，k4+ =(k2+ ) −8=41，带入原式即
k2 k k4 k2
可求解．
(1)
解：∵将点（0，2）带入y=−x2−√3x+c得：
c=2．
(2)
由（1）可知，抛物线的解析式为y=−x2−√3x+2，
∵当S=m时恰好有三个点M满足，
∴必有一个M为抛物线的顶点，且M纵坐标互为相反数．
−√3 √3 √3 2 √3 11
当x=− =− 时，y=−(− ) −√3×(− )+2= ．
2×(−1) 2 2 2 4
√3 11 11
即此时M（− ， ），则另外两个点的纵坐标为− ．
2 4 4
11 11 11 11
∴T= +(− )+(− )=− ．
4 4 4 4
(3)
2
由题可知，−k2−√3k+2=0，则k− =−√3
k
4 2 2 16 4 2
∴k2+ =(k− ) +4=7，k4+ =(k2+ ) −8=41
k2 k k4 k2
k4 1 1
= =
则k8+k6+2k4+4k2+16
k4+k2+2+
4
+
16
(k4+
16
)+(k2+
4
)+2
k2 k4 k4 k2
1 1
= = ．
41+7+2 50
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数与方程的关系、代数式求值等，属于综合题目，灵活运用代
数计算是解题的关键．
40．（2022·四川自贡·统考中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)．(1)若a=−1，且函数图象经过(0,3)，(2,−5)两点，求此二次函数的解析式，直接写出抛物线与x轴交点及
顶点的坐标；
(2)在图①中画出（1）中函数的大致图象，并根据图象写出函数值y≥3时自变量x的取值范围；
(3)若a+b+c=0且a>b>c，一元二次方程ax2+bx+c=0 两根之差等于a−c，函数图象经过
(1 )
P −c,y ，Q(1+3c,y )两点，试比较y ,y 的大小 ．
2 1 2 1 2
【答案】(1)(1,0)，(−3,0)；(−1,4)；
(2)见详解；−2≤x≤0；
(3)y >y ．
2 1
【分析】（1）利用待定系数法可求出抛物线的解析式，可得所求点的坐标；
（2）由题意画出图象，结合图象写出x的取值范围；
（3）根据题意分别求出a=1，b=−1−c，将点P点Q的坐标代入分别求出y ,y ，利用作差法比较大小
1 2
即可．
【详解】（1）解：∵a=−1，且函数图象经过(0,3)，(2,−5)两点，
∴¿，
∴二次函数的解析式为y=−x2−2x+3，
∵当y=0时，则0=−x2−2x+3，
解得x =1，x =−3，
1 2
∴抛物线与x轴交点的坐标为(1,0)，(−3,0)，
∵y=−x2−2x+3=−(x+1) 2+4，
∴抛物线的顶点的坐标为(−1,4)．（2）解：函数的大致图象，如图①所示：
当y=3时，则3=−x2−2x+3，
解得x =0，x =−2，
1 2
由图象可知：当−2≤x≤0时，函数值y≥3．
（3）解：∵a+b+c=0且a>b>c，
∴a>0，c<0，b=−a−c，且一元二次方程0=ax2+bx+c必有一根为x =1，
1
c
∵一元二次方程ax2+bx+c=0 两根之差等于a−c，且x x = <0
1 2 a
∴方程的另一个根为x =1+c−a，
2
c−a
∴抛物线的对称轴为直线：x=1+ ，
2
b c−a
∴− =1+ ，
2a 2
∴−b=2a+ac−a2，
∴a+c=2a+ac−a2，
∴(a−1)(a−c)=0，
∵a>c，
∴a=1，b=−1−c，
∴y=x2−(1+c)x+c
(1 )
∵P −c,y ，Q(1+3c,y )，
2 1 2
∴y = (1 −c ) 2 −(1+c) (1 −c ) +c=2c2+ 1 c− 1 ，
1 2 2 2 4y =(1+3c) 2−(1+c)(1+3c)+c=6c2+3c，
2
∴y −y =(6c2+3c)− ( 2c2+ 1 c− 1) =4 ( c+ 5 ) 2 − 9 ，
2 1 2 4 16 64
∵b＞c,
∴-1-c＞c,
1
∴c<− ,
2
( 5 ) 2 9
∴4 c+ − >0，
16 64
∴y >y ．
2 1
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，数形结合的思想，求出
b与c的关系是解题的关键．
【考点9 利用二次函数的图象确定一元二次方程的近似根】
41．（2022·江苏扬州·校考一模）根据下面表格中的对应值：
x 3.23 3.24 3.25 3.26
ax2＋bx＋c －0.06 －0.02 0.03 0.09
判断方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ ）
A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26
【答案】C
【分析】根据表中数据得到x＝3.24时，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.25时，ax2+bx+c＝0.03，则x取3.24到
3.25之间的某一个数时，使ax2+bx+c＝0，于是可判断关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围
是3.24＜x＜3.25．
【详解】解：∵x＝3.24时，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.25时，ax2+bx+c＝0.03，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25．
故选：C．
【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给
出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．
42．（2022·四川眉山·一模）根据表格对应值：x 1.1 1.2 1.3 1.4
ax2+bx+c -0.59 0.84 2.29 3.76
判断关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个解x的取值范围是（ ）
A．1.1<x<1.2 B．1.2<x<1.3 C．1.3<x<1.4 D．无法判定
【答案】A
【分析】根据函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2＋bx＋c＝0的根，再根据函数的增减性
即可判断方程ax2+bx+c=0一个解的范围．
【详解】解：∵一元二次方程的解即为对应二次函数图象与x轴交点的横坐标，
∴当二次函数函数值y发生正负变化时，说明图象与x轴有交点，
∴正负变化的范围即为方程解的范围．
当x=1.1，y=−0.59，x=1.2，y=0.84，
∴关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个解x的范围是1.1<x<1.2．
故选：A．
【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，掌握函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点与方
程ax2+bx+c=0的根的关系是解决此题的关键所在．
1
43．（2022·湖北武汉·校考三模）方程x2+3x﹣1＝0的根可视为函数y＝x+3的图象与函数y＝ 的图象交点
x
的横坐标，那么用此方法可推断出方程x3+x﹣1＝0的实根x 所在的范围是（ ）
0
1 1
A．﹣1<x <0 B．0<x < C． <x <1 D．1<x <2
0 0 2 2 0 0
【答案】C
【分析】两边都除以x可转化为二次函数和反比例函数，画出相应函数图象即可得到实根x 所在的范围．
0
【详解】解：方程x3+x﹣1＝0，
1
∴x2+1＝ ，
x
1
∴它的根可视为y＝x2+1和y＝ 的交点的横坐标，
x
1 5
当x＝1时，前者为2，后者为1，当x＝ 时，前者为 ，后者为2，
2 4
∴交点在第一象限．1
∴ ＜x ＜1，
2 0
故选：C．
【点睛】本题考查了运用图象法求一元二次方程的近似根，难度中等．解决本题的关键是得到所求的方程
为一个二次函数和一个反比例函数的解析式的交点的横坐标．
44．（2022·陕西西安·统考中考模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c的x与y的不符对应值如下表：
x −3 −2 −1 0 1 2 3
y 11 1 −1 −1 1 5
且方程ax2+bx+c=0的两根分别为x ，x (x <x )，下面说法错误的是（ ）．
1 2 1 2
A．x=−2，y=5 B．1<x <2
2
1
C．当x <x<x 时，y>0 D．当x= 时，y有最小值
1 2 2
【答案】C
【分析】分别结合图表中数据得出二次函数对称轴以及图像与x轴交点范围和自变量x与y的对应情况，
进而得出答案.
【详解】A、利用图表中x＝0，1时对应y的值相等，x＝﹣1，2时对应y的值相等，∴x＝﹣2，5时对应y
的值相等，∴x＝﹣2，y＝5，故此选项正确；B、方程ax2＋bc＋c＝0的两根分别是x 、x （x1＜x2），且x
1 2
＝1时y＝﹣1；x＝2时，y＝1，∴1＜x ＜2，故此选项正确；C、由题意可得出二次函数图像向上，∴当x
2 1
1
＜x＜x 时，y＜0，故此选项错误；D、∵利用图表中x＝0，1时对应y的值相等，∴当x＝ 时，y有最小
2 2
值，故此选项正确，不合题意.所以选C.
【点睛】此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及利用图像上点的坐标得出函数的性质，利用数形结合得
出是解题关键.
45．（2022·山西·校联考三模）阅读与思考．小明在九年级总复习阶段，针对“求一元二次方程的解”整理得出以下几种方法，请仔细阅读并完成相应
的任务：
九年级总复习笔记
专题：一元二次方程解法归纳 时间：2021年3月×日
引例：求一元二次方程x2−2x−3=0的解．
方法一：选择合适的一种方法（公式法、配方法）求解．
解方程：x2−2x−3=0． 公式法：…… 配方法：……
【解析】解：……
方法二：利用二次函数图象与坐标轴的交点求解，如图所
示，把方程x2−2x−3=0的解看作是一个二次函数的图象
与x轴交点的横坐标．由图1可知该方程的近似解为
x =−1,x =3．
1 2
方法三：将方程x2−2x−3=0移项可得x2=2x+3，此时原
方程的解就是二次函数y=x2的图象与一个一次函数图象交
点的横坐标．由图2可知该方程的近似解为x =−1,x =3．
1 2
任务：
（1）选择一种合适的方法（公式法、配方法）解方程；
（2）根据“方法二”的思路，直接写出图1中对应的二次函数表达式为_______；（3）参照“方法三”的思路，求解一元二次方程x2−x−6=0的解时，请在图3的平面直接坐标系中画出
相应函数图象并依据图象直接写出方程的近似解．
【答案】（1）见解析，x =−1,x =3；（2）y=x2−2x−3；（3）见解析，原方程的近似解为
1 2
x =−2,x =3
1 2
【分析】（1）可选择配方法进行解方程；
（2）根据二次函数与一元二次方程的关系即可得解；
（3）将原方程变形为x2=x+6，在坐标系中画出y=x+6的图象和y=x2的图象，这两个函数图象的交点
的横坐标即为原方程的近似解．
【详解】解：（1）解方程：x2−2x−3=0．
x2−2x+1=4．
(x−1) 2=4．
x−1=±2．
x =−1,x =3．
1 2
（2）y=x2−2x−3．
（3）原方程变形为x2=x+6，
如答图所示：原方程的近似解为x =−2,x =3．
1 2
【点睛】本题考查了解一元二次方程．一元二次方程既可按照常规的方法解，又可以从函数角度解；用函
数方法解题，也可以看作求函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标，又可以看作求一个一
次函数与一个二次函数图象的交点横坐标．
【考点10 二次函数与不等式】
46．（2022·浙江宁波·校考三模）已知抛物线y =x2+bx+c与一次函数y =x+4有两个交点，且交点的横
1 2
坐标分别为x =0，x =2．
1 2
(1)根据图象直接写出，当y ⩾y 时，x的取值范围为 ；
1 2
(2)将抛物线y =x2+bx+c向上平移，使其顶点落在一次函数图象上，求平移后图象所对应的二次函数的表
1
达式．【答案】(1)x⩽0或x⩾2
19
(2)y=x2−x+
4
【分析】（1）观察函数图象便可得解；
（2）先求出原抛物线与直线的交点坐标，再用待定系数法求得原抛物线的解析式，进而求得顶点坐标，
根据平行性质求出平移后抛物线的顶点坐标，便可根据顶点式写出新抛物线的解析式．
【详解】（1）解：（1）根据图象可知，当y ⩾y 时，x⩽0或x⩾2，
1 2
故当y ⩾y 时，x的取值范围为：x⩽0或x⩾2，
1 2
故答案为：x⩽0或x⩾2；
（2）（2）把x =0代入y=x+4，得y=4，
1
把x =2代入y=x+4，得y=6，
2
∴抛物线y =x2+bx+c与一次函数y =x+4有两个交点坐标为(0,4)或(2,6)，
1 2
把(0,4)或(2,6)都代入y =x2+bx+c，得
1
¿，
解得¿，
∴原抛物线的解析式为y =x2−x+4，
1
1 2 15
∵ y =x2−x+4=(x− ) + ，
1 2 4
1 15
∴原抛物线的解析式为y =x2−x+4的顶点为( ， )，
1 2 4
1 9
把x= 代入y =x+4，得y= ，
2 2 2
1 9
∴将抛物线y =x2+bx+c向上平移，使其顶点落在一次函数图象上时，新抛物线的顶点坐标为( ， )，
1 2 2
1 2 9
∴平移后图象所对应的二次函数的表达式为：y=(x− ) + ，
2 2
19
即y=x2−x+
．
4
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，二次函数与不等式的关系，平
移的性质，解题的关键是掌握二次函数与不等式的关系，及二次函数图象平移的性质．47．（2022·广东深圳·深圳市宝安中学（集团）校考三模）自主学习，请阅读下列解题过程．
（1）【问题探究】解一元二次不等式：x2−4x>0．
解：设x2−4x=0，解得：x =0，x =4，则抛物线y=x2−4x与x轴的交点坐标为（0，0）和（4，
1 2
0）．画出二次函数y=x2−4x的大致图像（如图所示），由图像可知：当x<0或x>4时函数图像位于x轴
上方，此时y>0，即x2−4x>0，所以，一元二次不等式x2−4x>0的解集为：x<0或x>4．
（2）【知识理解】通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：
a．请归纳得到上述解一元二次不等式的基本步骤为 ．（按先后顺序填序号）
①解一元二次方程，并画出大致图像
②将一元二次不等式转化为相应的一元二次方程
③利用数形结合求解一元二次不等式
b．一元二次不等式x2−4x<0的解集为 ．
（3）【知识应用】用类似的方法解一元二次不等式：x2−x−6<0．
（4）【拓展延伸】直接写出一元二次不等式组−6<x2−x−6<0的解集．
【答案】（2）a．②①③b．0<x<4（3）−2<x<3（4）−2<x<0或1<x<3
【分析】（2）a、根据题中例子总结步骤即可；b、利用题干例子的图像得出答案即可；
（3）利用题干例子的思路得出答案即可；
（4）看成两个不等式，分别求解再取公共部分即可．
【详解】（2）a、根据题干示例可得步骤是：不等号改等号得到一元二次方程，解得方程两根，画出对应
函数图像，利用函数图像写出不等式的解集．
故答案为： ②①③；
b． 由（1）图像可知：当0<x<4时函数图像位于x轴下方，此时y<0，即x2−4x<0，所以，一元二次
不等式x2−4x<0的解集为：0<x<4．
故答案为： 0<x<4 ；(3)令x2−x−6=0，解得x =−2，x =3； 抛物线y=x2−x−6与x轴的交点坐标为（-2，0）和（3，
1 2
0）， 画出二次函数y=x2−x−6的大致图象如图所示，
由图象可知：当−2<x<3时函数图象位于x轴下方，此时y<0，即x2−x−6<0，所以，一元二次不等式
x2−x−6<0的解集为−2<x<3．
（4）将一元二次不等式组−6<x2−x−6<0化为常规形态得：¿
即：¿
令x2−x=0，解得x =0，x =1； 抛物线y=x2−x与x轴的交点坐标为（0，0）和（1，0）， 画出二次
1 2
函数y=x2−x的大致图象如图所示，
由图象可知：当x<0或x>1时函数图象位于x轴上方，此时y>0，即x2−x>0，所以，一元二次不等式
x2−x>0的解集为x<0或x>1．
由（3）得一元二次不等式x2−x−6<0的解集为−2<x<3，∴不等式组−6<x2−x−6<0的解集为：−2<x<0或1<x<3．
【点睛】本题考查二次函数、一元二次不等式以及一元二次方程之间的关系，掌握数形结合与转化思想是
解题的关键．
48．（2022·江苏盐城·景山中学校考三模）阅读感悟：
“数形结合”是一种重要的数学思想方法，同一个问题有“数”、“形”两方面的特性，解决数学问题，
有的从“数”入手简单，有的从“形”入手简单，因此，可能“数”→“形”或“形”→“数”，有的问
题需要经过几次转化．这对于初、高中数学的解题都很有效，应用广泛．
解决问题：
已知，点M为二次函数y=−x2+2bx−b2+4b+1图象的顶点，直线y=mx+5分别交x轴正半轴和y轴于
点A，B．
(1)判断顶点M是否在直线y=4x+1上，并说明理由；
(2)如图1，若二次函数图象也经过点A，B，且mx+5>−x2+2bx−b2+4b+1，结合图象，求x的取值范
围；
(1 ) (3 )
(3)如图2，点A坐标为(5,0)，点M在△AOB内，若点C ,y ，D ,y 都在二次函数图象上，试比较
4 1 4 2
y 与y 的大小．
1 2
【答案】(1)点M在直线y＝4x+1上，理由见解析；
(2)x＜0或x＞5；
1 1 1 4
(3)①当0＜b＜ 时，y＞y；②当b＝ 时，y＝y；③当 ＜b＜ 时，y＜y．
2 1 2 2 1 2 2 5 1 2
【分析】（1）点M在直线y＝4x+1上，理由如下：配方y＝﹣x2+2bx﹣b2+4b+1＝﹣（x﹣b）2+4b+1，表示
出顶点M的坐标是（b，4b+1），把x＝b代入y＝4x+1，即可求解；
（2）由直线关系式可得B点坐标为（0，5），代入二次函数关系式得5＝﹣（0﹣b）2+4b+1，得b＝2，理由函数关系式求出A（5，0），由图象，得当mx+5＞﹣x2+2bx﹣b2+4b+1时，x的取值范围是x＜0或x＞
5；
（3）如图2，直线y＝4x+1与直线AB交于点E，与y轴交于F，利用A（5，0），B（0，5）求出直线AB
4 21
的解析式为y＝﹣x+5，联立EF，AB得方程组¿ ，解得：¿，得点E（ ， ），而F点坐标为（0，
5 5
21 4
1），由题意得1＜4b+1＜ ，求出0＜b＜ ，根据b的范围进行分类讨论．
5 5
（1）
解：点M在直线y＝4x+1上，
理由如下：∵y＝﹣x2+2bx﹣b2+4b+1＝﹣（x﹣b）2+4b+1，
∴顶点M的坐标是（b，4b+1），
把x＝b代入y＝4x+1，得y＝4b+1，
∴点M在直线y＝4x+1上；
（2）
解：如图1，直线y＝mx+5交y轴于点B，
当x＝0时，y＝5，
∴B点坐标为（0，5），
又∵B在抛物线上，
∴5＝﹣（0﹣b）2+4b+1，
解得b＝2，
∴二次函数的解析是为y＝﹣（x﹣2）2+9，
当y＝0时，﹣（x﹣2）2+9＝0，
解得x＝5，x＝﹣1，
1 2
∴A（5，0），
由图象，得当mx+5＞﹣x2+2bx﹣b2+4b+1时，x的取值范围是x＜0或x＞5；
（3）
解：如图3，∵直线y＝4x+1与直线AB交于点E，与y轴交于F，
设直线AB的函数关系式为：y＝px+q，
将A（5，0），B（0，5）代入得，
¿，
解方程组得，¿ ，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+5，
联立EF，AB得方程组¿，
解得：¿，
4 21
∴点E（ ， ），而F点坐标为（0，1），
5 5
∵点M（b，4b+1）在 AOB内，
21 △
∴1＜4b+1＜ ，
5
4
∴0＜b＜ ，
5
1 3 1
当b﹣ ＜ ﹣b时，即0＜b＜ 时，
4 4 2
∵二次函数图象开口向下，
∴y＞y；
1 2
1 3
当点C，D关于抛物线的对称轴对称时，b﹣ ＝ ﹣b，
4 4
1
∴b＝ ，
2
此时y＝y；
1 2
1 3 1 4
当b﹣ ＞ ﹣b时，即 ＜b＜ 时，
4 4 2 5
∵二次函数图象开口向下，∴ y ＜y．
1 2
1 1 1 4
综上：①当0＜b＜ 时，y＞y；②当b＝ 时，y＝y；③当 ＜b＜ 时，y＜y．
2 1 2 2 1 2 2 5 1 2
【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，数形结合有利于对知识的理解，根据抛物线的增减性和点与对
称轴的距离确定纵坐标的大小关系是解题的关键．
49．（2022·吉林长春·统考二模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2与y轴的交点为A，过点A
作直线l垂直于y轴．
(1)求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；
(2)将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点M（x，y），N（x，
1 1 2
y）为图形G上任意两点．
2
①当m＝0时，若x＜x，判断y 与y 的大小关系，并说明理由；
1 2 1 2
②若对于x＝m﹣1，x＝m+1，都有y＞y，求m的取值范围；
1 2 1 2
(3)当图象G与直线y＝m+2恰好有3个公共点时，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)x=m.
(2)y >y .
1 2
1+√17
(3) <m<2或−2<m<−1.
4
b
【分析】（1））直接利用对称轴公式x=− 即可求出．
2a
（2）①y >y 利用图象法，根据函数的增减性判断即可．
1 2
②通过计算可知，点P(m−1,1),Q(m+1,1)为抛物线上关于对称轴x=m对称的两点，分类讨论当m变化
时，y轴与点P，Q的相对位置：当y轴在点P左侧时（含点P），作出图形，即可得出经翻折后，得到点
M，N的纵坐标相同，此时y = y ,不符题意；当y轴在点Q右侧时（含点Q），作出图形，即可得出点
1 2
M，N分别和点P，Q重合，此时y = y ,不符题意；当y轴在点P，Q之间时（不含P，Q），作出图形，
1 2
即可得出经翻折后，点N在l下方，点M，P重合，在l上方，此时y >y ,符合题意．即有
1 2
m−1<0<m+1,即−1<m<1．
（3）当m>0时，图象G与直线y＝m+2恰好有3个公共点时，可列不等式组¿当m<0时，图象G与直线y
＝m+2恰好有3个公共点时，可列不等式组
¿分别解出即可得到结果．
(1)−2m
抛物线y＝x2﹣2mx+m2的对称轴为直线x=− =m.
2
(2)
①当m=0时，二次函数解析式是y=x2,对称轴为y轴，
∴图形G如图1所示：
∴图形G上的点的横纵坐标x和y，满足y随x的增大而减小
∵x <x ,
1 2
∴y >y .
1 2
②通过计算可，P(m−1,1),Q(m+1,1)为抛物线上关于对称轴x=m对称的两点，
下面讨论当m变化时，y轴与点P，Q的相对位置：
如图2所示：当y轴在点P左侧时（含点P），
经翻折后，得到点M，N的纵坐标相同，y = y ,不符题意；
1 2
如图3所示：当y轴在点Q右侧时（含点Q），点M，N分别和点P，Q重合，y = y ,，不符题意；
1 2
如图3所示：当y轴在点P，Q之间时（不含P，Q），
经翻折后，点N在l下方，点M，P重合，在l上方，y >y ,符合题意．
1 2
此时有m−1<0<m+1,
∴−1<m<1．
综上所述：m的取值范围为−1<m<1．
(3)
当m>0时，如图所示∵抛物线y=x2−2m+m2翻折后为y=−(x−m) 2+2m2,
∴图象G与直线y＝m+2恰好有3个公共点时在点A，B之间，
∴¿
1+√17
∴解得 <m<2.
4
当m<0时，如图所示，
∴图象G与直线y＝m+2恰好有3个公共点时，
∴¿
∴解得−2<m<−1.
1+√17
故综上所m的取值范围为： <m<2或−2<m<−1.
4
【点睛】本题为二次函数综合题，考查抛物线的对称轴，二次函数图象的性质等知识，较难，利用数形结
合与分类讨论的思想是解答本题的关键．
50．（2022·辽宁沈阳·统考二模）如图，抛物线y=−x2+mx与直线y＝x＋n交于点A(2,0)和点B．
(1)求m和n的值；
(2)求点B的坐标；
(3)结合图象请直接写出不等式−x2+mx≤x+n的解集；
(4)点P是直线AB上的一个动点，将点P向左平移5个单位长度得到点Q，若线段PQ与抛物线只有一个公共点，直接写出点P的横坐标x 的取值范围．
P
【答案】(1)¿
(2)（-1，-3）
(3)x≤−1或x≥2
(4)−1≤x <2或x =3
P P
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）联立抛物线和直线解析式进行求解即可；
（3）根据不等式−x2+mx≤x+n的解集即为抛物线函数图象在直线函数图象下方或交点处的自变量的取
值范围，进行求解即可；
（4）分点P在点B下方，点P在线段AB上，点P在A点上方进行讨论求解即可．
（1）
解：∵抛物线y=−x2+mx与直线y＝x＋n交于点A(2,0)和点B，
∴¿，
∴¿；
（2）
解：由（1）得抛物线解析式为y=−x2+2x，直线解析式为y=x−2，
联立¿，
解得¿或¿（舍去），
∴点B的坐标为（-1，-3）；
（3）
解：由题意得不等式−x2+mx≤x+n的解集即为抛物线函数图象在直线函数图象下方或交点处的自变量的
取值范围，
∴不等式−x2+mx≤x+n的解集为x≤−1或x≥2；
（4）
解：如图所示，当点P在点B下方时，线段PQ与抛物线没有交点；
当点P在线段AB之间（包含B不包含A）时，线段PQ与抛物线只有一个交点，此时−1≤x <2，当P在
P
A点时，线段PQ与抛物线有两个交点；
当线段PQ恰好经过抛物线顶点时，线段PQ与抛物线恰好只有一个交点，
∵抛物线解析式为y=−x2+2x=−(x−1) 2+1，∴抛物线顶点坐标为（1，1），
∴此时点P的纵坐标为1，
∴点P的坐标为（3，1），
∴x =3；
P
综上所述，线段PQ与抛物线只有一个公共点，−1≤x <2或x =3．
P P
【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数综合，待定系数法求函数解析式，图象法解不等式等等，利
用数形结合的思想求解是解题的关键．
