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专题 12 二次函数的图象及性质（10 个高频考点）（强化训练）
【考点1 二次函数的定义】
1．（2022·江苏淮安·统考一模）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
1
A． y=3x-1 B．y=ax2+bx+c C．s=2t2-2t+1 D．y=x2+
x
【答案】C
【分析】根据二次函数的定义求解即可．
【详解】解：A、y=3x-1是一次函数，不是二次函数，不符合题意；
B、y=ax2+bx+c，当a=0时，不是二次函数，不符合题意；
C、s=2t2-2t+1是二次函数，符合题意；
1 1 1
D、y=x2+ 中 不是整式，故y=x2+ 不是二次函数，不符合题意．
x x x
故选：C．
【点睛】此题考查了二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握二次函数的定义．二次函数定义：一般地，
把形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一
次项系数，c为常数项．x为自变量，y为因变量．
2．（2022·山东济南·模拟预测）若y=(m2+m)xm2−m是二次函数，则m的值等于（ ）
A．−1 B．0 C．2 D．−1或2
【答案】C
【分析】根据二次函数的定义求解即可，形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函数为二次函数．
【详解】解：y=(m2+m)xm2−m是二次函数，则m2−m=2且m2+m≠0
由m2−m=2可得m=2或m=−1，
由m2+m≠0可得m≠0，m≠−1，
综上m=2
故答案为：C
【点睛】此题考查了二次函数的定义，涉及了一元二次方程的求解，解题的关键是掌握二次函数的定义．
3．（2022·四川成都·校联考模拟预测）定义：由a，b构造的二次函数y=ax2+(a+b)x+b叫做一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”，一次函数y＝ax＋b叫做二次函数y=ax2+(a+b)x+b的“本源函数”（a，b为
常数，且a≠0）．若一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”是y=ax2−3x+a+1，那么二次函数
y=ax2−3x+a+1的“本源函数”是______．
【答案】y=﹣2x-1
【分析】由“滋生函数”和“本源函数”的定义，运用待定系数法求出函数y=ax2−3x+a+1的本源函
数．
【详解】解：由题意得¿
解得¿
∴函数y=ax2−3x+a+1的本源函数是y=﹣2x-1．
故答案为：y=﹣2x-1．
【点睛】本题考查新定义运算下的一次函数和二次函数的应用，解题关键是充分理解新定义“本源函数”．
4．（2022·浙江·模拟预测）无论a取什么实数，点P(a−1,2a2−4a+1)都在二次函数y上，Q(m,n)是二
次函数y上的点，则4m2−2n+1=_____________．
【答案】3
【分析】由题意可知y=2x2-1，首先把点Q（m，n）代入二次函数y=2x2-1解析式，代入得出，关于m，n
的等式进一步整理得出答案即可．
【详解】解：由题意得，当x=a-1时，y=2a2-4a+1=2（a-1）2-1，
∴可得：y=2x2-1，
∵Q（m，n）是二次函数y=2x2-1上的点，
∴2m2-1=n，
∴2m2-n=1，
所以4m2-2n+1=2（2m2-n）+1=3．
故答案为：3．
【点睛】此题考查二次函数图象上点的坐标特点，注意适合解析式的点在图象上，在图象上的点都适合二
次函数．
5．（2013·江苏徐州·统考一模）请选择一组你喜欢的a、b、c的值，使二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的
图象同时满足下列条件：①开口向下；②当x<2时，y随x的增大而增大；当x>2时，y随x的增大而减小．
这样的二次函数的解析式可以是________．
【答案】答案不唯一，只要满足b＝－4a，a＜0即可，如y＝－x2＋4x＋3，y＝－2x2＋8x－3等．【详解】试题分析：仔细分析题中要求根据二次函数的性质即可得到结果.
答案不唯一，如y＝－(x＋1)2或y＝－(x＋1)2－2．
考点：二次函数的性质
点评：二次函数的性质是初中数学的重点，是中考必考题，一般难度不大，需熟练掌握.
【考点2 二次函数的图象与性质】
1 1
6．（2022·山东滨州·统考二模）抛物线y= x2+ x的图象如图所示，点A，A，A，A…，A 在抛物线
2 2 1 2 3 4 2022
第一象限的图象上，点B，B，B，B.．．，B 在y轴的正半轴上，△OA B 、△B A B 、…、
1 2 3 4 2022 1 1 1 2 2
△B A B 都是等腰直角三角形，则B A = ________．
2021 2022 2022 2021 2022
【答案】2022√2
【分析】先设第一个等腰直角三角形的直角边长为x，表示出点A 的坐标，代入二次函数的解析式，求出
1
x；设第二个等腰直角三角形的直角边长为m，表示出A 的坐标，代入二次函数的解析式，求出m，同理
2
求出第2022个等腰直角三角形的直角边长，即可求出斜边．
【详解】解：设AB=x，
1 1
∵△OAB 是等腰直角三角形，
1 1
∴OB=x，
1
1 1
则A 的坐标为（x，x），代入二次函数y= x2+ x，
1 2 2
1 1
得x= x2+ x，
2 2
解得x=1或x=0（舍），
设AB=m，
2 2
∵△BAB 腰是等腰直角三角形，
1 2 2
∴BB=m，
1 2∴A 的坐标为（m，1+m），
2
1 1
代入二次函数y= x2+ x，
2 2
1 1
得 m2+ m＝1+m，
2 2
解得m=2或m=-1（舍），
同理可求出AB=3，
3 3
AB=4，
4 4
∴B A =2022，根据勾股定理，
2022 2022
得B A =2022√2，
2021 2022
故答案为：2022√2．
【点睛】本题考查了二次函数图象与规律综合题，利用等腰直角三角形的性质和二次函数的点坐标特征是
解决本题的关键．
7．（2022·四川泸州·校考模拟预测）已知抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x纵坐标y的对应值如下
表：
x … -1 0 1 2 3 …
y … 3 0 -1 0 3 …
①抛物线y=ax2+bx+c的开口向下；
②抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1；
③方程ax2+bx+c=0的根为x =0,x =2；
1 2
④当y>0时，x的取值范围是x<0或x>2．
以上结论中，其中正确的有______．
【答案】②③④
【分析】从表格可以看出，函数的对称轴是直线x=1，顶点坐标为(1，−1)，函数与x轴的交点为
(0，0)、(2，0)，即可求解．
【详解】从表格可以看出，函数的对称轴是直线x=1，顶点坐标为(1，−1)，函数与x轴的交点为
(0，0)、(2，0)，
①抛物线y=ax2+bx+c的开口向上，错误；
②抛物y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1，正确；
③方程ax2+bx+c=0的根为x =0,x =2，正确；
1 2④当y>0时，x的取值范围是x<0或x>2，正确．
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查的是二次函数的基本性质，涉及函数与坐标轴的交点、对称轴等，此类表格题目通常先
确定函数的对称轴．
8．（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）已知抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，
与y轴交于点C，顶点为D．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)连接BC，CD，BD，P为BD的中点，连接CP，则线段CP的长是______．注：抛物线
b ( b 4ac−b2 )
y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=− ，顶点坐标是 − , ．
2a 2a 4a
【答案】(1)y=−x2+2x+3
(2)√5
【分析】（1）根据点A,B的坐标，利用待定系数法即可得；
（2）先根据抛物线的解析式求出点C,D的坐标，再利用中点坐标公式可得点P的坐标，然后利用两点之
间的距离公式即可得．
【详解】（1）解：将点A(−1,0),B(3,0)代入y=−x2+bx+c得：¿，
解得¿，
则该抛物线的解析式为y=−x2+2x+3．
（2）解：抛物线y=−x2+2x+3=−(x−1) 2+4的顶点坐标为D(1,4)，
当x=0时，y=3，即C(0,3)，
∵P为BD的中点，且B(3,0)，1+3 4+0
∴P( , )，即P(2,2)，
2 2
∴CP=√(2−0) 2+(2−3) 2=√5，
故答案为：√5．
【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、两点之间的距离公式，熟练掌握待定系数法是解题关键．
9．（2022·贵州贵阳·统考中考真题）已知二次函数y=ax2+4ax+b．
(1)求二次函数图象的顶点坐标（用含a，b的代数式表示）；
(2)在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴交于A，B两点，AB=6，且图象过(1，c)，(3，d)，(−1，
e)，(−3，f)四点，判断c，d，e，f的大小，并说明理由；
(3)点M(m，n)是二次函数图象上的一个动点，当−2≤m≤1时，n的取值范围是−1≤n≤1，求二次函数的表达
式．
【答案】(1)二次函数图象的顶点坐标为(-2，b-4a)；
(2)当a<0时，e=f> c>d；当a>0时，e=f< c c>d；
当a>0时，画出草图如图：
∴e=f< c0时，
根据题意：当m=-2时，函数有最小值为-1，当m=1时，函数值为1，
即¿，解得：¿，
2 8 1
∴二次函数的表达式为y= x2+ x- ．
9 9 9
2 8 1 2 8 1
综上，二次函数的表达式为y= x2+ x- 或y=− x2− x+ ．
9 9 9 9 9 9
【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式等知识和方法，解第（2）
（3）题时应注意分类讨论，求出所有符合条件的结果．
10．（2022·河北·统考中考真题）如图，点P(a,3)在抛物线C：y=4−(6−x) 2上，且在C的对称轴右侧．
(1)写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值；
(2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为P′，C′．平移该胶片，使C′
所在抛物线对应的函数恰为y=−x2+6x−9．求点P′移动的最短路程．
【答案】(1)对称轴为直线x=6，y的最大值为4，a=7
(2)5
【分析】（1）由y=a(x−ℎ) 2+k的性质得开口方向，对称轴和最值，把P(a,3)代入y=4−(6−x) 2中即
可得出a的值；
（2）由y=−x2+6x−9=−(x−3) 2，得出抛物线y=−x2+6x−9是由抛物线C：y=−(x−6) 2+4向左平
移3个单位，再向下平移4个单位得到，即可求出点P′移动的最短路程．
【详解】（1）y=4−(6−x) 2=−(x−6) 2+4，∴对称轴为直线x=6，
∵−1<0，
∴抛物线开口向下，有最大值，即y的最大值为4，
把P(a,3)代入y=4−(6−x) 2中得：
4−(6−a) 2=3，
解得：a=5或a=7，
∵点P(a,3)在C的对称轴右侧，
∴a=7；
（2）∵y=−x2+6x−9=−(x−3) 2，
∴y=−(x−3) 2是由y=−(x−6) 2+4向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到，
平移距离为√32+42=5，
∴P′移动的最短路程为5．
【点睛】本题考查二次函数y=a(x−ℎ) 2+k的图像与性质，掌握二次函数y=a(x−ℎ) 2+k的性质以及平
移的方法是解题的关键．
【考点3 二次函数的图象与系数的关系】
11．（2022·湖北黄石·统考中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线
x=−1，有以下结论：①abc<0；②若t为任意实数，则有a−bt≤at2+b；③当图象经过点(1,3)时，方
程ax2+bx+c−3=0的两根为x ，x （x 0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＜0，则可对①进行判断；利用二次函数当x=-1时有最小值可对②进行判断；由于二次函数
y=ax2+bx+c与直线y=3的一个交点为（1，3），利用对称性得到二次函数y=ax2+bx+c与直线y=3的另一
个交点为（-3，3），从而得到x=-3，x=1，则可对③进行判断．
1 2
【详解】∵抛物线开口向上，
∴a>0，
b
∵抛物线的对称轴为直线x=−1，即x=− =−1，
2a
∴b=2a>0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c<0，
∴abc<0，所以①正确；
∵x=−1时，y有最小值，
∴a−b+c≤at2+bt+c（t为任意实数），即a−bt≤at2+b，所以②正确；
∵图象经过点(1,3)时，代入解析式可得c=3−3a，
方程ax2+bx+c−3=0可化为ax2+2ax−3a=0，消a可得方程的两根为x =−3，x =1，
1 2
∵抛物线的对称轴为直线x=−1，
∴二次函数y=ax2+bx+c与直线y=3的另一个交点为(−3,3)，
x =−3，x =1代入可得x +3x =0，
1 2 1 2
所以③正确．
综上所述，正确的个数是3．
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，
抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当
a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛
物线与y轴交于（0，c）．
12．（2022·四川广元·统考中考真题）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣
1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）abc＜0；（2）4a+c＞2b；（3）3b﹣2c＞0；（4）若点A
1 7
（﹣2，y）、点B（﹣ ，y）、点C（ ，y）在该函数图象上，则y＜y＜y；（5）4a+2b≥m（am+b）
1 2 2 2 3 1 3 2
（m为常数）．其中正确的结论有（ ）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】C
【分析】由图象可知a<0,c>0，对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点为(−1,0)，然后可得
b=−4a>0,a−b+c=0，则有c=−5a，进而可判断（1）（2）（3），最后根据函数的性质可进行判断
（4）（5）．
【详解】解：由图象及题意得：a<0,c>0，对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点为(−1,0)，
∴b=−4a>0,a−b+c=0，
∴a+4a+c=0，即c=−5a，
∴abc<0,3b−2c=3×(−4a)−2×(−5a)=−2a>0，故（1）（3）正确；
由图象可知当x=-2时，则有4a−2b+c<0，即4a+c<2b，故（2）错误；
1 7
∵点A（﹣2，y）、点B（﹣ ，y）、点C（ ，y）在该函数图象上，
1 2 2 2 3
∴根据二次函数开口向下，离对称轴的距离越近，其所对应的函数值越大，
∴y >y >y ，故（4）错误；
3 2 1
由图象可知当x=2时，该函数有最大值，最大值为y=4a+2b+c，
∴当x=m时，（m为常数），则有y=am2+bm+c，
∴4a+2b+c≥am2+bm+c，即为4a+2b≥m(am+b)，故（5）正确；
综上所述：正确的有（1）（3）（5）共3个；
故选C．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
13．（2022·辽宁抚顺·统考中考真题）抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x=−1，
(1 )
直线y=kx+c与抛物线都经过点(−3,0)，下列说法：①ab>0；②4a+c>0；③(−2,y )与 ,y 是抛
1 2 2
物线上的两个点，则y −1时，y随x的增大而减小，(−2,y )关于对称轴的对称点为(0,y )，可得到y >y ，故③
1 1 1 2
b−k
错误；令y=0，则ax2+bx+c=0解得：x =−3,x =1，故④正确；根据二次函数的性质可得当x=−
1 2 2a
1
时，函数y=ax2+(b−k)x有最大值，再由直线经过点(−3,0)，可得k= c，从而得到k=−a，进而得到
3
b−k 3
x=− =− ，故⑤错误，即可求解．
2a 2
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线x=−1，开口向下，
b
∴a<0,− =−1，
2a
∴b=2a<0，
∴ab>0，故①正确；
∵抛物线过点(−3,0)，
∴9a−3b+c=0，
∵b=2a，
∴9a−3×2a+c=0，即3a+c=0，
∵a<0，
∴4a+c=a<0，故②错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=−1，开口向下，∴当x>−1时，y随x的增大而减小，(−2,y )关于对称轴的对称点为(0,y )，
1 1
1
∵−1<0< ，
2
∴y >y ，故③错误；
1 2
令y=0，则ax2+bx+c=0
解得：x =−3,x =1，
1 2
∴方程ax2+bx+c=0的两根为x =−3,x =1，故④正确；
1 2
y=ax2+(b−k)x=a ( x+ b−k) 2 − (b−k) 2 ，
2a 4a
∵a<0，
b−k
∴当x=− 时，函数y=ax2+(b−k)x有最大值，
2a
∵直线经过点(−3,0)，
1
∴−3k+c=0，即k= c，
3
∵3a+c=0，
∴c=−3a，
∴k=−a，
∵b=2a，
b−k 3
∴x=− =− ，
2a 2
3
∴当x=− 时，函数y=ax2+(b−k)x有最大值，故⑤错误；
2
∴正确的有2个．
故选：A
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图形和性质，熟练掌握二次函数的图象和性
质，一次函数的图形和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键．
14．（2022·四川达州·统考中考真题）二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，与y轴交于(0,−1)，
1
对称轴为直线x=1．以下结论：①abc>0；②a> ；③对于任意实数m，都有m(am+b)>a+b成立；④
31
若(−2,y )，( ,y )，(2,y )在该函数图象上，则y 0,c=−1,b<0，即可判断①正确；令y=ax2−2ax−1=0，解得
2a±√4a2+4a √a2+a √a2+a
x= =1± ，根据图得，−1<1− <0，即可求出a的范围，即可判断②错误；
2a a a
由b=−2a代入变形计算即可判断③错误；由抛物线的增减性和对称性即可判断④错误；将所求的方程解
的问题转化为抛物线与两直线的交点问题，根据交点的个数，以及抛物线的对称性可知⑤错误．
【详解】∵二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与y轴交于(0,−1)，对称轴为直线x=1，抛物线开头向上，
b
∴a>0,c=−1,− =1，
2a
∴b=−2a<0，
∴abc>0，故①正确；
令y=ax2−2ax−1=0，
2a±√4a2+4a √a2+a
解得x= =1± ，
2a a
√a2+a
由图得，−1<1− <0，
a1
解得a> ，故②正确；
3
∵b=−2a，
∴m(am+b)>a+b可化为m(am−2a)>a−2a，即m(m−2)>−1，
∴(m−1) 2>0，
若m(am+b)>a+b成立，则m≠1，故③错误；
当x<1时，y随x的增大而减小，
1
∵−2< ，
2
∴y >y ，
1 2
∵对称轴为直线x=1，
∴x=2时与x=0时所对应的y值相等，
∴y 0；
3
②若m= ，则3a+2c<0；
2③若点M(x ,y )，N(x ,y )在抛物线上，x 1，则y >y ；
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
④当a≤−1时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=1必有两个不相等的实数根．
其中正确的是_________（填写序号）．
【答案】①③④
b
【分析】首先判断对称轴x=− ＞0，再由抛物线的开口方向判断①；由抛物线经过A（-1，0），
2a
3 ( 3) 3
B(m,0)，当m= 时，y=a(x+1) x− ，求出c=− a，再代入3a+2c判断②，抛物线
2 2 2
y=ax2+bx+c=a(x+1)(x−m)=ax2+a(1−m)x−am，由点M(x ,y )，N(x ,y )在抛物线上，得
1 1 2 2
y =ax ❑ 2+a(1−m)x −am，y =ax ❑ 2+a(1−m)x −am，把两个等式相减，整理得
1 1 1 2 2 2
y −y =a(x −x )(x +x +1−m)，通过判断x −x ，x +x +1−m的符号判断③；将方程
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1
ax2+bx+c=1写成a（x-m）（x+1）-1=0，整理，得x2+(1−m)x−m− =0，再利用判别式即可判断④．
a
【详解】解：∵抛物线过A(−1,0)，B(m,0)两点，且11，10)上，设抛物线的对称轴为x=t.
(1)当c=2,m=n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；
(2)点(x ,m)(x ≠1)在抛物线上，若mt时，y随x的增大而增大，然后分两种情况讨论：当点(1,m)，点(3,n)，点
（2t，c）均在对称轴的右侧时；当点(1,m)在对称轴的左侧，点(3,n)，（2t，c）均在对称轴的右侧时，
即可求解．
【详解】（1）解：当c=2时，y=ax2+bx+2，
∴当x=0时，y=2，∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）；
∵m=n，
∴点(1,m),(3,n)关于对称轴x=t对称，
1+3
∴t= =2；
2
（2）解：当x=0时，y=c，
∴抛物线与y轴交点坐标为（0，c），
∴抛物线与y轴交点关于对称轴x=t的对称点坐标为（2t，c），
∵a>0，
∴当x≤t时，y随x的增大而减小，当x>t时，y随x的增大而增大，
当点(1,m)，点(3,n)，（2t，c）均在对称轴的右侧时， t<1，
∵m （不合题意，舍去），
2
当点(1,m)在对称轴的左侧，点(3,n)，（2t，c）均在对称轴的右侧时，点(x ,m)在对称轴的右侧，
0
1 ，
2
3
∴ 1
【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式求解；
（2）由二次函数的对称性及AB=4可得点A，B坐标，进而求解；
（3）由点P坐标及抛物线对称轴可得点P关于对称轴的对称点P'的坐标，由抛物线开口向上和点
P(2m+1,y )在抛物线对称轴的右边可分情况求解．
1
（1）
解：∵y=x2−4mx+4m2−1=(x−2m) 2−1，
∴抛物线的顶点坐标为(2m,−1)；
（2）
解：∵点A，B关于抛物线对称轴对称，AB=4，对称轴为直线x=2m，
∴抛物线经过(2m+2,n)，(2m−2,n)，
将(2m+2,n)代入y=(x−2m) 2−1得n=22−1=3；
（3）
解：点P(2m+1,y )关于抛物线对称轴的对称点P'的坐标为(2m−1,y )，
1 1
∵ a=1>0，
∴抛物线开口向上，
∵点P(2m+1,y )在抛物线对称轴的右边，
1
∴当2m+1<2m−t或2m−t<2m−1时，有y 1．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与不等式的关系．
【考点5 二次函数的最值】
21．（2022·贵州黔西·校考一模）平面直角坐标系xOy中，抛物线G：y=ax2+bx+c(a0）．(1)当AB=12时，在抛物线的对称轴上求一点P使得△BOP的周长最小；
(2)当点C在直线l上方时，求点C到直线l距离的最大值；
(3)若把横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”．当m=2022时，求出在抛物线和直线a所围成的封闭
图形的边界上的“整点”的个数．
【答案】(1)P（−3，3 ）
(2)点C与l距离的最大值为1；
(3)m＝2022时“整点”的个数为4046个．
【分析】（1）由题意求出m＝6，得出抛物线L的解析式为y＝x2＋6x，当B、P、D三共线时， OBP周长
最短，此时点P为直线a与对称轴的交点，则可求出答案； △
m m2
（2）求出L的顶点C(− ，− )，由二次函数的性质可得出答案；
2 4
（3）联立两个解析式得出¿，解得x＝−2022，x＝1，求出线段和抛物线上各有2024个整数点，则可得出
1 2
答案．
（1）解：当x＝0时，y＝x＋m＝m，∴B （0，m），∵AB＝12，∵A（0，−m），∴m−（−m）＝12，
∴m＝6，∴抛物线L的解析式为：y＝x2＋6x，∴抛物线L的对称轴x＝−3，又知O、D两点关于对称轴对
称，则OP＝DP，∴OB＋OP＋PB＝OB＋DP＋PB，∴当B、P、D三共线时， OBP周长最短，此时点P
为直线a与对称轴的交点，当x＝−3时，y＝x＋6＝3，∴P（−3，3 ） △
m m2 m m2 m2
（2）解：y=x2+mx=(x＋ )2− ，∴L的顶点C(− ，− )，∵点C在l上方，∴C与l的距离＝− −
2 4 2 4 4
1
(−m)＝− (m−2)2＋1≤1，∴点C与l距离的最大值为1；
4
（3）解：当m＝2021时，抛物线解析式L：y＝x2＋2022x，直线解析式a：y＝x＋2022，联立上述两个解
析式得方程组¿ ，可得：x＝−2022，x＝1，∴可知每一个整数x的值都对应的一个整数y值，且−2022和
1 2
1之间（包括−2022和1）共有2024个整数；∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物
线，∴线段和抛物线上各有2024个整数点，∴总计4048个点，∵这两段图象交点有2个点重复，∴整点”的个数：4048−2＝4046（个）；故m＝2022时“整点”的个数为4046个．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征；熟练掌握二次函数的图象及性质，
灵活运用轴对称求最短距离解题是关键．
25．（2022·山东滨州·统考模拟预测）如图，直线l:y=−m与y轴交于点A，直线a:y=x+m与y轴交于点
B，抛物线y=x2+mx的顶点为C，且与x轴左交点为D（其中m>0）．
（1）当AB=12时，在抛物线的对称轴上求一点P使得△BOP的周长最小；
（2）当点C在直线l上方时，求点C到直线l距离的最大值；
（3）若把横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”．当m=2021时，求出在抛物线和直线a所围成的封
闭图形的边界上的“整点”的个数．
【答案】（1）(−3,3)；（2）1；（3）4044个
【分析】（1）先求出点B坐标，B的纵坐标减去A的纵坐标等于12求出m值，再求出抛物线的对称轴，
根据抛物线的对称性和两点之间线段最短知，当B、P、D三点共线时△OBP周长最短，此时点P为直线a
与对称轴的交点，进而求解即可；
( m m2 ) m2 1
（2）先求出抛物线的顶点C坐标 − ,− ，由C与l的距离=− −(−m)=− (m−2) 2+1≤1即可
2 4 4 4
求出最大值；
（3）先求出抛物线与直线a的交点的横坐标，根据每一个整数x的值都对应的一个整数y值，结合边界由
线段和抛物线组成求解即可．
【详解】解：（1）当x=0时，y=x+m=m，
∴B(0,m)，
∵AB=12，而A(0,−m)，
∴m−(−m)=12，
∴m=6，∴抛物线L的解析式为：y=x2+6x，
∴L的对称轴x=−3，
又知O、D两点关于对称轴对称，则OP=DP
∴OB+OP+PB=OB+DP+PB
∴当B、P、D三点共线时△OBP周长最短，此时点P为直线a与对称轴的交点，
当x=−3时，y=x+6=3，
∴P(−3,3)；
( m) 2 m2
（2）y= x+ − ，
2 4
( m m2 )
∴L的顶点C − ,− ，
2 4
∵点C在l上方，
m2 1
∴C与l的距离=− −(−m)=− (m−2) 2+1≤1，
4 4
∴点C与l距离的最大值为1；
（3）当m=2021时，抛物线解析式L:y=x2+2021x
直线解析式a:y=x+2021
联立上述两个解析式¿可得：x =−2021，x =1
1 2
∴可知每一个整数x的值都对应的一个整数y值，
且-2021和1之间（包括-2021和1）共有2023个整数；
∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，
∴线段和抛物线上各有2023个整数点，
∴总计4046个点
∵这两段图象交点有2个点重复，∴“整点”的个数：4046−2=4044（个）；
故m=2021时“整点”的个数为4044个．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、图形与坐标、最短路径问题、二次函
数的最值、两函数图象的交点问题、解二元一次方程组等问题，综合性强，难度适中，解答的关键是读懂
题意，找寻相关知识的关联点，利用数形结合思想解决问题．
【考点6 待定系数法求二次函数的解析式】
11
26．（2022·山东济南·统考中考真题）抛物线y=ax2+ x−6与x轴交于A(t,0)，B(8,0)两点，与y轴交
4
于点C，直线y＝kx－6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．
(1)求抛物线的表达式和t，k的值；
(2)如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；
1
(3)如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求CQ+ PQ的最大值．
2
1 11 3
【答案】(1)，y=− x2+ x−6，t=3，k=
4 4 4
( 7)
(2)点P 10,−
2
169
(3)
16
【分析】（1）分别把B(8,0)代入抛物线解析式和一次函数的解析式，即可求解；
（2）作PM⊥x轴于点M，根据题意可得P ( m,− 1 m2+ 11 m−6 ) ，从而得到PM= 1 m2− 11 m+6，
4 4 4 4AM=m−3，再根据△COA∽△AMP，可求出m，即可求解；
（3）作PN⊥x轴交BC于点N，过点N作NE⊥y轴于点E，则
PN=− 1 m2+ 11 m−6− (3 m−6 ) =− 1 m2+2m，再根据△PQN∽△BOC，可得NQ= 3 PN，
4 4 4 4 5
4 5
PQ= PN，然后根据△CNE∽△CBO，可得CN= m，从而得到
5 4
1 1
CQ+ PQ=CN+NQ+ PQ=CN+PN，在根据二次函数的性质，即可求解．
2 2
（1）
11
解：∵B(8,0)在抛物线y=ax2+ x−6上，
4
11
∴64a+ ×8−6=0，
4
1
∴a=− ，
4
1 11
∴抛物线解析式为y=− x2+ x−6，
4 4
1 11
当y=0时，− t2+ t−6=0，
4 4
∴t =3，t =8（舍），
1 2
∴t=3．
∵B(8,0)在直线y=kx−6上，
∴8k−6=0，
3
∴k= ，
4
3
∴一次函数解析式为y= x−6．
4
（2）
解：如图，作PM⊥x轴于点M，1 11
对于y=− x2+ x−6，令x=0，则y=-6，
4 4
∴点C（0，-6），即OC=6，
∵A（3，0），
∴OA=3，
∵点P的横坐标为m．
∴P ( m,− 1 m2+ 11 m−6 ) ，
4 4
1 11
∴PM= m2− m+6，AM=m−3，
4 4
∵∠CAP=90°，
∴∠OAC+∠PAM=90°，
∵∠APM+∠PAM=90°，
∴∠OAC=∠APM，
∵∠AOC=∠AMP=90°，
∴△COA∽△AMP，
OA OC
∴ = ，
PM MA
∴OA⋅MA=OC⋅PM，即3(m−3)=6⋅ (1 m2− 11 m+6 ) ，
4 4
∴m =3（舍），m =10，
1 2
∴m=10，
( 7)
∴点P 10,− ．
2
（3）解：如图，作PN⊥x轴交BC于点N，过点N作NE⊥y轴于点E，
∵P ( m,− 1 m2+ 11 m−6 ) ，
4 4
( 3 )
∴点N m, m−6 ，
4
∴PN=− 1 m2+ 11 m−6− (3 m−6 ) =− 1 m2+2m，
4 4 4 4
∵PN⊥x轴，
∴PN∥y轴，
∴∠PNQ=∠OCB，
∵∠PQN=∠BOC=90°，
∴△PQN∽△BOC，
PN NQ PQ
∴ = = ，
BC OC OB
∵OB=8，OC=6，
∴BC=10，
3 4
∴NQ= PN，PQ= PN，
5 5
∵EN⊥y轴，
∴EN∥x轴，
∴△CNE∽△CBO，
CN EN CN m
∴ = ，即 =
BC OB 10 8
5
∴CN= m，
41 1 3 1 4
∴CQ+ PQ=CN+NQ+ PQ=CN+ PN+ × PN=CN+PN，
2 2 5 2 5
∴CQ+
1
PQ=
5
m−
1
m2+2m=−
1
m2+
13
m=−
1(
m−
13) 2
+
169
，
2 4 4 4 4 4 2 16
13 1 169
∴当m= 时，CQ+ PQ的最大值是 ．
2 2 16
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，
利用数形结合思想解答是解题的关键，是中考的压轴题．
27．（2022·四川绵阳·统考中考真题）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于A(-1，0)，B两点，交y轴于点
C(0，3)，顶点D的横坐标为1．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB＋∠ACB＝180°．若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说
明理由；
(3)过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上
是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似？若存在，
请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=-x2+2x+3；
(2)存在，P（0，-1）使∠APB＋∠ACB＝180°，理由见解析；
(3)存在点M，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似，此时点M的坐标为（3，0）或（-3，-
( 1 20)
12）或 − ,
3 9
【分析】（1）由抛物线的对称轴可得点B的坐标，由此设出交点式，代入点C的坐标，即可得出抛物线的解析式；
（2）由题意可知，点A，C，B，P四点共圆，画出图形，即可得出点P的坐标；
（3）由抛物线的对称性可得出点E的坐标，点D的坐标，根据两点间的距离公式可得出AD，DE，AE的
长，可得出△ADE是直角三角形，且DE∶AE=1：3，再根据相似三角形的性质可得出EF和FM的比例，由
此可得出点M的坐标．
【详解】（1）解：∵顶点D的横坐标为1，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∵A（-1，0），
∴B（3，0），
设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-3），
把C（0，3）代入抛物线的解析式得：
-3a=3，解得a=-1，
∴抛物线的解析式为：y=-（x+1）（x-3）=-x2+2x+3；
（2）存在，P（0，-1），理由如下：
∵∠APB+∠ACB=180°，
∴∠CAP+∠CBP=180°，
∴点A，C，B，P四点共圆，
如图所示，
∵点A（0，-1），B（3，0），C（0，3），
∴OB=OC=3，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∴∠APC=∠ABC=45°，
∴△AOP是等腰直角三角形，∴OP=OA=1，
∴P（0，-1）；
（3）解：存在，理由如下：
∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴D（1，4），
由抛物线的对称性得：E（2，3），
∵A（-1，0），
∴AD=2√5,DE=√2,AE=3√2，
∴AD2=DE2+AE2，
∴△ADE是直角三角形，且∠AED=90°，DE∶AE=1∶3，
∵点M在直线l下方的抛物线上，
设M(t,−t2+2t+3)，则t＞2或t＜0，
∵MF⊥l，
∴点F（t，3），
∴EF=|t−2|，MF=3−(−t2+2t+3)=t2−2t，
∵以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似，
∴EF:MF=DE:AE=1:3或MF:EF=DE:AE=1:3，
∴|t−2|:(t2−2t)=1:3或(t2−2t):|t−2|=1:3，
1 1
解得t=2（舍去） 或t=3或t=-3或t= （舍去）或t=− ，
3 3
( 1 20)
∴点M的坐标为（3，0）或（-3，-12）或 − , ，
3 9综上所述，存在点M，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似，此时点M的坐标为（3，0）或
( 1 20)
（-3，-12）或 − , ．
3 9
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，圆内四边形的性质，相似三角形
的性质与判定，分类讨论思想等，第（2）问得出四点共固是解题关键；第（3）问得出△ADE是直角三角
形并得出AD∶AE的值是解题关键．
28．（2022·四川广安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x+m（a≠0）的图象
与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，－4），点C坐标为（2，0）．
(1)求此抛物线的函数解析式．
(2)点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？
若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标．
1
【答案】(1)y= x2+x−4
2
(2)（-2，-4）
(3)P点坐标为：（-1，3），（-1，-5），(−1，−2+√7)，(−1，−2−√7)
【分析】（1）直接将B（0，-4），C（2，0）代入y=ax2+x+m，即可求出解析式；
（2）先求出直线AB关系式为：y=−x−4，直线AB平移后的关系式为：y=−x−4+n，当其与抛物线
只有一个交点时，此时点D距AB最大，此时△ABD的面积最大，由此即可求得D点坐标；
（3）分三种情况讨论，①当∠PAB=90°时，即PA⊥AB，则设PA所在直线解析式为：y=x+z，将A
（-4,0）代入y=x+z得，解得：z=4，此时P点坐标为：（-1,3）；②当∠PBA=90°时，即PB⊥AB，则设PB所在直线解析式为：y=x+t，将B（0，-4）代入y=x+t得，t=−4，此时P点坐标为：（-1,-5）；③
y y +4
当∠APB=90°时，设P点坐标为：(−1，y )，由于PA所在直线斜率为： p，PB在直线斜率为： p ，
p 3 −1
y y +4
p· p =-1，则此时P点坐标为：(−1，−2+√7)，(−1，−2−√7)．
3 −1
【详解】（1）解：将B（0，-4），C（2，0）代入y=ax2+x+m，
得：¿，
解得：¿，
1
∴抛物线的函数解析式为：y= x2+x−4．
2
（2）向下平移直线AB，使平移后的直线与抛物线只有唯一公共点D时，此时点D到直线AB的距离最大，
此时△ABD的面积最大，
1
∵ x2+x−4=0时，x =2，x =−4，
2 1 2
∴A点坐标为：（-4,0），
设直线AB关系式为：y=kx+b（k≠0），
将A（-4,0），B（0，-4），代入y=kx+b（k≠0），
得：¿，
解得：¿，
∴直线AB关系式为：y=−x−4，
设直线AB平移后的关系式为：y=−x−4+n，
1
则方程−x−4+n= x2+x−4有两个相等的实数根，
2
1
即
x2+2x−n=0有两个相等的实数根，
2
∴n=−2，
1
即
x2+2x+2=0的解为：x=-2，
2
1
将x=-2代入抛物线解析式得，y= ×(−2) 2−2−4=−4，
2
∴点D的坐标为：（-2，-4）时，△ABD的面积最大；
（3）①当∠PAB=90°时，
即PA⊥AB，则设PA所在直线解析式为：y=x+z，将A（-4,0）代入y=x+z得，−4+z=0，
解得：z=4，
∴PA所在直线解析式为：y=x+4，
∵抛物线对称轴为：x=-1，
∴当x=-1时，y=−1+4=3，
∴P点坐标为：（-1，3）；
②当∠PBA=90°时，
即PB⊥AB，则设PB所在直线解析式为：y=x+t，
将B（0，-4）代入y=x+t得，t=−4，
∴PA所在直线解析式为：y=x−4，
∴当x=-1时，y=−1−4=−5，
∴P点坐标为：（-1，-5）；
③当∠APB=90°时，设P点坐标为：(−1，y )，
p
y y +4
∴PA所在直线斜率为： p，PB在直线斜率为： p ，
3 −1
∵PA⊥PB，
y y +4
∴ p· p =-1，
3 −1
解得：y =−2+√7，y =−2−√7，
p1 p2
∴P点坐标为：(−1，−2+√7)，(−1，−2−√7)
综上所述，P点坐标为：（-1，3），（-1，-5），(−1，−2+√7)，(−1，−2−√7)时，△PAB为直角三
角形．
【点睛】本题主要考查的是二次函数图象与一次函数、三角形的综合，灵活运用所学知识是解题的关键．
29．（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）综合与探究
如图，某一次函数与二次函数y=x2+mx+n的图象交点为A（-1，0），B（4，5）．(1)求抛物线的解析式；
(2)点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为 ；
(3)点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段DE长度
的最大值；
(4)在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点
C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标．
【答案】(1)y=x2−2x−3
(2)（1，2）
25
(3)
4
(1 5)
(4)N (1,1),N (−1,2),N (1,4),N ,
1 2 3 4 2 2
【分析】（1）将A（-1，0），B（4，5）代入y=x2+mx+n得到关于m，n的二元一次方程组求解即可；
（2）抛物线的对称轴为x=1，求出直线AB与对称轴的交点即可求解；
（3）设D(d,d2−2d−3)，则E(d,d+1)，则DE=(d+1)−(d2−2d−3)=−d2+3d+4(−10)个单位，得到二次函数y=mx2+nx+q的图像，使
得当−10）的图象经过点P(2，
4)．(1)求m的值；
(2)判断二次函数y=x2+mx+m2−3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．
【答案】(1)m=1
(2)二次函数y=x2+x−2的图象与x轴有两个交点，理由见解析．
【分析】（1）把P(2，4)代入y=x2+mx+m2−3即可求得m的值；
（2）首先求出Δ=b2-4ac的值，进而得出答案．
【详解】（1）解：∵二次函数y= x2+mx+m2−3图象经过点P(2，4) ，
∴4=4+2m+m2−3，
即m2+2m−3=0，
解得：m=1，m=−3，
1 2
又∵m>0，
∴m=1；
（2）解：由（1）知二次函数y=x2+x−2，
∵Δ=b2−4ac=12+8=9>0，
∴二次函数y=x2+x−2的图象与x轴有两个交点．
【点睛】此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及一元二次方程的解法，得出 的值是解题关键．
37．（2022·黑龙江大庆·统考中考真题）已知二次函数y=x2+bx+m图像的对称△轴为直线x=2．将二次函
数y=x2+bx+m图像中y轴左侧部分沿x轴翻折，保留其他部分得到新的图像C．
(1)求b的值；
(2)①当m<0时，图像C与x轴交于点M，N（M在N的左侧），与y轴交于点P．当△MNP为直角三角
形时，求m的值；
②在①的条件下，当图像C中−4≤ y<0时，结合图像求x的取值范围；
(3)已知两点A(−1,−1),B(5,−1)，当线段AB与图像C恰有两个公共点时，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)−4(2)①−1，②−1≤x<2−√5 或 0≤x≤1 或 3≤x≤2+√5
(3)−4≤m≤−1或1≤m≤3
b
【分析】（1）根据二次函数的对称轴为直线x=− =2，求出b值即可；
2
（2）①由（1）知，二次函数的解析式为y=x2−4x+m，令x=0，则y=m，可得P(0,m)，令y=0，则
x2−4x+m=0，求出M(2−√4−m,0)，N(2+√4−m,0)，则MO=√4−m−2，ON=2+√4−m，
MO OP √4−m−2 −m
OP=−m，证明△MOP∽△PON，则 = ，即 = ，整理得，−m=m2，求
PO ON −m 2+√4−m
出满足要求的m的值即可；②由①可知，二次函数解析式为y=x2−4x−1，y轴左侧图像的解析式为
y=−x2+4x+1(x≤0)，可画图像C如图所示，令y=−4，则−x2+4x+1=−4，求出满足要求的x值，
令y=−4，则x2−4x−1=−4，求出满足要求的x值，然后结合图求x的取值范围即可；
（3）由题意知，二次函数的解析式为y=¿，AB为平行于x轴的线段，由题意知，分两种情况求解：①当
线段AB与图像C在y轴左侧有一个交点时，线段AB与图像C在y轴右侧有一个交点，即令
−x2+4x−m=−1，x2−4x+m=−1，当−1≤x≤0时，根据x的取值范围求m的取值范围，当01或m<−4，
当00，S为
△ABM的面积．已知使S=m成立的点M恰好有三个，设T为这三个点的纵坐标的和．
(1)求c的值；
(2)直接写出T的值；
k4
(3)求 的值．
k8+k6+2k4+4k2+16
【答案】(1)2
11
(2)−
4
1
(3)
50【分析】（1）将点（0，2）带入直接求解；（2）找到三个点M的纵坐标之间的而关系，即可求解；
4 2 2 16 4 2
（3）将函数转化为方程，即可表示出k2+ =(k− ) +4=7，k4+ =(k2+ ) −8=41，带入原式即
k2 k k4 k2
可求解．
(1)
解：∵将点（0，2）带入y=−x2−√3x+c得：
c=2．
(2)
由（1）可知，抛物线的解析式为y=−x2−√3x+2，
∵当S=m时恰好有三个点M满足，
∴必有一个M为抛物线的顶点，且M纵坐标互为相反数．
−√3 √3 √3 2 √3 11
当x=− =− 时，y=−(− ) −√3×(− )+2= ．
2×(−1) 2 2 2 4
√3 11 11
即此时M（− ， ），则另外两个点的纵坐标为− ．
2 4 4
11 11 11 11
∴T= +(− )+(− )=− ．
4 4 4 4
(3)
2
由题可知，−k2−√3k+2=0，则k− =−√3
k
4 2 2 16 4 2
∴k2+ =(k− ) +4=7，k4+ =(k2+ ) −8=41
k2 k k4 k2
k4 1 1
= =
则k8+k6+2k4+4k2+16
k4+k2+2+
4
+
16
(k4+
16
)+(k2+
4
)+2
k2 k4 k4 k2
1 1
= = ．
41+7+2 50
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数与方程的关系、代数式求值等，属于综合题目，灵活运用代
数计算是解题的关键．
40．（2022·四川自贡·统考中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)．(1)若a=−1，且函数图象经过(0,3)，(2,−5)两点，求此二次函数的解析式，直接写出抛物线与x轴交点及
顶点的坐标；
(2)在图①中画出（1）中函数的大致图象，并根据图象写出函数值y≥3时自变量x的取值范围；
(3)若a+b+c=0且a>b>c，一元二次方程ax2+bx+c=0 两根之差等于a−c，函数图象经过
(1 )
P −c,y ，Q(1+3c,y )两点，试比较y ,y 的大小 ．
2 1 2 1 2
【答案】(1)(1,0)，(−3,0)；(−1,4)；
(2)见详解；−2≤x≤0；
(3)y >y ．
2 1
【分析】（1）利用待定系数法可求出抛物线的解析式，可得所求点的坐标；
（2）由题意画出图象，结合图象写出x的取值范围；
（3）根据题意分别求出a=1，b=−1−c，将点P点Q的坐标代入分别求出y ,y ，利用作差法比较大小
1 2
即可．
【详解】（1）解：∵a=−1，且函数图象经过(0,3)，(2,−5)两点，
∴¿，
∴二次函数的解析式为y=−x2−2x+3，
∵当y=0时，则0=−x2−2x+3，
解得x =1，x =−3，
1 2
∴抛物线与x轴交点的坐标为(1,0)，(−3,0)，
∵y=−x2−2x+3=−(x+1) 2+4，
∴抛物线的顶点的坐标为(−1,4)．（2）解：函数的大致图象，如图①所示：
当y=3时，则3=−x2−2x+3，
解得x =0，x =−2，
1 2
由图象可知：当−2≤x≤0时，函数值y≥3．
（3）解：∵a+b+c=0且a>b>c，
∴a>0，c<0，b=−a−c，且一元二次方程0=ax2+bx+c必有一根为x =1，
1
c
∵一元二次方程ax2+bx+c=0 两根之差等于a−c，且x x = <0
1 2 a
∴方程的另一个根为x =1+c−a，
2
c−a
∴抛物线的对称轴为直线：x=1+ ，
2
b c−a
∴− =1+ ，
2a 2
∴−b=2a+ac−a2，
∴a+c=2a+ac−a2，
∴(a−1)(a−c)=0，
∵a>c，
∴a=1，b=−1−c，
∴y=x2−(1+c)x+c
(1 )
∵P −c,y ，Q(1+3c,y )，
2 1 2
∴y = (1 −c ) 2 −(1+c) (1 −c ) +c=2c2+ 1 c− 1 ，
1 2 2 2 4y =(1+3c) 2−(1+c)(1+3c)+c=6c2+3c，
2
∴y −y =(6c2+3c)− ( 2c2+ 1 c− 1) =4 ( c+ 5 ) 2 − 9 ，
2 1 2 4 16 64
∵b＞c,
∴-1-c＞c,
1
∴c<− ,
2
( 5 ) 2 9
∴4 c+ − >0，
16 64
∴y >y ．
2 1
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，数形结合的思想，求出
b与c的关系是解题的关键．
【考点9 利用二次函数的图象确定一元二次方程的近似根】
41．（2022·江苏扬州·校考一模）根据下面表格中的对应值：
x 3.23 3.24 3.25 3.26
ax2＋bx＋c －0.06 －0.02 0.03 0.09
判断方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ ）
A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26
【答案】C
【分析】根据表中数据得到x＝3.24时，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.25时，ax2+bx+c＝0.03，则x取3.24到
3.25之间的某一个数时，使ax2+bx+c＝0，于是可判断关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围
是3.24＜x＜3.25．
【详解】解：∵x＝3.24时，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.25时，ax2+bx+c＝0.03，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25．
故选：C．
【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给
出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．
42．（2022·四川眉山·一模）根据表格对应值：x 1.1 1.2 1.3 1.4
ax2+bx+c -0.59 0.84 2.29 3.76
判断关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个解x的取值范围是（ ）
A．1.10 D．当x= 时，y有最小值
1 2 2
【答案】C
【分析】分别结合图表中数据得出二次函数对称轴以及图像与x轴交点范围和自变量x与y的对应情况，
进而得出答案.
【详解】A、利用图表中x＝0，1时对应y的值相等，x＝﹣1，2时对应y的值相等，∴x＝﹣2，5时对应y
的值相等，∴x＝﹣2，y＝5，故此选项正确；B、方程ax2＋bc＋c＝0的两根分别是x 、x （x1＜x2），且x
1 2
＝1时y＝﹣1；x＝2时，y＝1，∴1＜x ＜2，故此选项正确；C、由题意可得出二次函数图像向上，∴当x
2 1
1
＜x＜x 时，y＜0，故此选项错误；D、∵利用图表中x＝0，1时对应y的值相等，∴当x＝ 时，y有最小
2 2
值，故此选项正确，不合题意.所以选C.
【点睛】此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及利用图像上点的坐标得出函数的性质，利用数形结合得
出是解题关键.
45．（2022·山西·校联考三模）阅读与思考．小明在九年级总复习阶段，针对“求一元二次方程的解”整理得出以下几种方法，请仔细阅读并完成相应
的任务：
九年级总复习笔记
专题：一元二次方程解法归纳 时间：2021年3月×日
引例：求一元二次方程x2−2x−3=0的解．
方法一：选择合适的一种方法（公式法、配方法）求解．
解方程：x2−2x−3=0． 公式法：…… 配方法：……
【解析】解：……
方法二：利用二次函数图象与坐标轴的交点求解，如图所
示，把方程x2−2x−3=0的解看作是一个二次函数的图象
与x轴交点的横坐标．由图1可知该方程的近似解为
x =−1,x =3．
1 2
方法三：将方程x2−2x−3=0移项可得x2=2x+3，此时原
方程的解就是二次函数y=x2的图象与一个一次函数图象交
点的横坐标．由图2可知该方程的近似解为x =−1,x =3．
1 2
任务：
（1）选择一种合适的方法（公式法、配方法）解方程；
（2）根据“方法二”的思路，直接写出图1中对应的二次函数表达式为_______；（3）参照“方法三”的思路，求解一元二次方程x2−x−6=0的解时，请在图3的平面直接坐标系中画出
相应函数图象并依据图象直接写出方程的近似解．
【答案】（1）见解析，x =−1,x =3；（2）y=x2−2x−3；（3）见解析，原方程的近似解为
1 2
x =−2,x =3
1 2
【分析】（1）可选择配方法进行解方程；
（2）根据二次函数与一元二次方程的关系即可得解；
（3）将原方程变形为x2=x+6，在坐标系中画出y=x+6的图象和y=x2的图象，这两个函数图象的交点
的横坐标即为原方程的近似解．
【详解】解：（1）解方程：x2−2x−3=0．
x2−2x+1=4．
(x−1) 2=4．
x−1=±2．
x =−1,x =3．
1 2
（2）y=x2−2x−3．
（3）原方程变形为x2=x+6，
如答图所示：原方程的近似解为x =−2,x =3．
1 2
【点睛】本题考查了解一元二次方程．一元二次方程既可按照常规的方法解，又可以从函数角度解；用函
数方法解题，也可以看作求函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标，又可以看作求一个一
次函数与一个二次函数图象的交点横坐标．
【考点10 二次函数与不等式】
46．（2022·浙江宁波·校考三模）已知抛物线y =x2+bx+c与一次函数y =x+4有两个交点，且交点的横
1 2
坐标分别为x =0，x =2．
1 2
(1)根据图象直接写出，当y ⩾y 时，x的取值范围为 ；
1 2
(2)将抛物线y =x2+bx+c向上平移，使其顶点落在一次函数图象上，求平移后图象所对应的二次函数的表
1
达式．【答案】(1)x⩽0或x⩾2
19
(2)y=x2−x+
4
【分析】（1）观察函数图象便可得解；
（2）先求出原抛物线与直线的交点坐标，再用待定系数法求得原抛物线的解析式，进而求得顶点坐标，
根据平行性质求出平移后抛物线的顶点坐标，便可根据顶点式写出新抛物线的解析式．
【详解】（1）解：（1）根据图象可知，当y ⩾y 时，x⩽0或x⩾2，
1 2
故当y ⩾y 时，x的取值范围为：x⩽0或x⩾2，
1 2
故答案为：x⩽0或x⩾2；
（2）（2）把x =0代入y=x+4，得y=4，
1
把x =2代入y=x+4，得y=6，
2
∴抛物线y =x2+bx+c与一次函数y =x+4有两个交点坐标为(0,4)或(2,6)，
1 2
把(0,4)或(2,6)都代入y =x2+bx+c，得
1
¿，
解得¿，
∴原抛物线的解析式为y =x2−x+4，
1
1 2 15
∵ y =x2−x+4=(x− ) + ，
1 2 4
1 15
∴原抛物线的解析式为y =x2−x+4的顶点为( ， )，
1 2 4
1 9
把x= 代入y =x+4，得y= ，
2 2 2
1 9
∴将抛物线y =x2+bx+c向上平移，使其顶点落在一次函数图象上时，新抛物线的顶点坐标为( ， )，
1 2 2
1 2 9
∴平移后图象所对应的二次函数的表达式为：y=(x− ) + ，
2 2
19
即y=x2−x+
．
4
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，二次函数与不等式的关系，平
移的性质，解题的关键是掌握二次函数与不等式的关系，及二次函数图象平移的性质．47．（2022·广东深圳·深圳市宝安中学（集团）校考三模）自主学习，请阅读下列解题过程．
（1）【问题探究】解一元二次不等式：x2−4x>0．
解：设x2−4x=0，解得：x =0，x =4，则抛物线y=x2−4x与x轴的交点坐标为（0，0）和（4，
1 2
0）．画出二次函数y=x2−4x的大致图像（如图所示），由图像可知：当x<0或x>4时函数图像位于x轴
上方，此时y>0，即x2−4x>0，所以，一元二次不等式x2−4x>0的解集为：x<0或x>4．
（2）【知识理解】通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：
a．请归纳得到上述解一元二次不等式的基本步骤为 ．（按先后顺序填序号）
①解一元二次方程，并画出大致图像
②将一元二次不等式转化为相应的一元二次方程
③利用数形结合求解一元二次不等式
b．一元二次不等式x2−4x<0的解集为 ．
（3）【知识应用】用类似的方法解一元二次不等式：x2−x−6<0．
（4）【拓展延伸】直接写出一元二次不等式组−61时函数图象位于x轴上方，此时y>0，即x2−x>0，所以，一元二次不等式
x2−x>0的解集为x<0或x>1．
由（3）得一元二次不等式x2−x−6<0的解集为−2−x2+2bx−b2+4b+1，结合图象，求x的取值范
围；
(1 ) (3 )
(3)如图2，点A坐标为(5,0)，点M在△AOB内，若点C ,y ，D ,y 都在二次函数图象上，试比较
4 1 4 2
y 与y 的大小．
1 2
【答案】(1)点M在直线y＝4x+1上，理由见解析；
(2)x＜0或x＞5；
1 1 1 4
(3)①当0＜b＜ 时，y＞y；②当b＝ 时，y＝y；③当 ＜b＜ 时，y＜y．
2 1 2 2 1 2 2 5 1 2
【分析】（1）点M在直线y＝4x+1上，理由如下：配方y＝﹣x2+2bx﹣b2+4b+1＝﹣（x﹣b）2+4b+1，表示
出顶点M的坐标是（b，4b+1），把x＝b代入y＝4x+1，即可求解；
（2）由直线关系式可得B点坐标为（0，5），代入二次函数关系式得5＝﹣（0﹣b）2+4b+1，得b＝2，理由函数关系式求出A（5，0），由图象，得当mx+5＞﹣x2+2bx﹣b2+4b+1时，x的取值范围是x＜0或x＞
5；
（3）如图2，直线y＝4x+1与直线AB交于点E，与y轴交于F，利用A（5，0），B（0，5）求出直线AB
4 21
的解析式为y＝﹣x+5，联立EF，AB得方程组¿ ，解得：¿，得点E（ ， ），而F点坐标为（0，
5 5
21 4
1），由题意得1＜4b+1＜ ，求出0＜b＜ ，根据b的范围进行分类讨论．
5 5
（1）
解：点M在直线y＝4x+1上，
理由如下：∵y＝﹣x2+2bx﹣b2+4b+1＝﹣（x﹣b）2+4b+1，
∴顶点M的坐标是（b，4b+1），
把x＝b代入y＝4x+1，得y＝4b+1，
∴点M在直线y＝4x+1上；
（2）
解：如图1，直线y＝mx+5交y轴于点B，
当x＝0时，y＝5，
∴B点坐标为（0，5），
又∵B在抛物线上，
∴5＝﹣（0﹣b）2+4b+1，
解得b＝2，
∴二次函数的解析是为y＝﹣（x﹣2）2+9，
当y＝0时，﹣（x﹣2）2+9＝0，
解得x＝5，x＝﹣1，
1 2
∴A（5，0），
由图象，得当mx+5＞﹣x2+2bx﹣b2+4b+1时，x的取值范围是x＜0或x＞5；
（3）
解：如图3，∵直线y＝4x+1与直线AB交于点E，与y轴交于F，
设直线AB的函数关系式为：y＝px+q，
将A（5，0），B（0，5）代入得，
¿，
解方程组得，¿ ，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+5，
联立EF，AB得方程组¿，
解得：¿，
4 21
∴点E（ ， ），而F点坐标为（0，1），
5 5
∵点M（b，4b+1）在 AOB内，
21 △
∴1＜4b+1＜ ，
5
4
∴0＜b＜ ，
5
1 3 1
当b﹣ ＜ ﹣b时，即0＜b＜ 时，
4 4 2
∵二次函数图象开口向下，
∴y＞y；
1 2
1 3
当点C，D关于抛物线的对称轴对称时，b﹣ ＝ ﹣b，
4 4
1
∴b＝ ，
2
此时y＝y；
1 2
1 3 1 4
当b﹣ ＞ ﹣b时，即 ＜b＜ 时，
4 4 2 5
∵二次函数图象开口向下，∴ y ＜y．
1 2
1 1 1 4
综上：①当0＜b＜ 时，y＞y；②当b＝ 时，y＝y；③当 ＜b＜ 时，y＜y．
2 1 2 2 1 2 2 5 1 2
【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，数形结合有利于对知识的理解，根据抛物线的增减性和点与对
称轴的距离确定纵坐标的大小关系是解题的关键．
49．（2022·吉林长春·统考二模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2与y轴的交点为A，过点A
作直线l垂直于y轴．
(1)求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；
(2)将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点M（x，y），N（x，
1 1 2
y）为图形G上任意两点．
2
①当m＝0时，若x＜x，判断y 与y 的大小关系，并说明理由；
1 2 1 2
②若对于x＝m﹣1，x＝m+1，都有y＞y，求m的取值范围；
1 2 1 2
(3)当图象G与直线y＝m+2恰好有3个公共点时，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)x=m.
(2)y >y .
1 2
1+√17
(3) y 利用图象法，根据函数的增减性判断即可．
1 2
②通过计算可知，点P(m−1,1),Q(m+1,1)为抛物线上关于对称轴x=m对称的两点，分类讨论当m变化
时，y轴与点P，Q的相对位置：当y轴在点P左侧时（含点P），作出图形，即可得出经翻折后，得到点
M，N的纵坐标相同，此时y = y ,不符题意；当y轴在点Q右侧时（含点Q），作出图形，即可得出点
1 2
M，N分别和点P，Q重合，此时y = y ,不符题意；当y轴在点P，Q之间时（不含P，Q），作出图形，
1 2
即可得出经翻折后，点N在l下方，点M，P重合，在l上方，此时y >y ,符合题意．即有
1 2
m−1<00时，图象G与直线y＝m+2恰好有3个公共点时，可列不等式组¿当m<0时，图象G与直线y
＝m+2恰好有3个公共点时，可列不等式组
¿分别解出即可得到结果．
(1)−2m
抛物线y＝x2﹣2mx+m2的对称轴为直线x=− =m.
2
(2)
①当m=0时，二次函数解析式是y=x2,对称轴为y轴，
∴图形G如图1所示：
∴图形G上的点的横纵坐标x和y，满足y随x的增大而减小
∵x y .
1 2
②通过计算可，P(m−1,1),Q(m+1,1)为抛物线上关于对称轴x=m对称的两点，
下面讨论当m变化时，y轴与点P，Q的相对位置：
如图2所示：当y轴在点P左侧时（含点P），
经翻折后，得到点M，N的纵坐标相同，y = y ,不符题意；
1 2
如图3所示：当y轴在点Q右侧时（含点Q），点M，N分别和点P，Q重合，y = y ,，不符题意；
1 2
如图3所示：当y轴在点P，Q之间时（不含P，Q），
经翻折后，点N在l下方，点M，P重合，在l上方，y >y ,符合题意．
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此时有m−1<00时，如图所示∵抛物线y=x2−2m+m2翻折后为y=−(x−m) 2+2m2,
∴图象G与直线y＝m+2恰好有3个公共点时在点A，B之间，
∴¿
1+√17
∴解得
