文档内容
专题 26 图形的对称、平移、旋转与位似(10 个高频考点)(举一反三)
【考点1 利用平移的性质求解】...........................................................................................................................1
【考点2 坐标轴中的平移】...................................................................................................................................6
【考点3 镜面对称】...............................................................................................................................................9
【考点4 轴对称中坐标与图形变化】.................................................................................................................10
【考点5 设计轴对轴图案】.................................................................................................................................12
【考点6 利用轴对称求最值】.............................................................................................................................15
【考点7 利用旋转的性质求解】.........................................................................................................................20
【考点8 旋转中的坐标与图形变换】.................................................................................................................25
【考点9 位似变换】.............................................................................................................................................28
【考点10 图形的变换与作图】.............................................................................................................................33
【知识点 平移】
(1)定义：把一个图形沿着某一直线方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移。
(2)平移的性质：平移后的图形与原图形全等；对应角相等；对应点所连的线段平行(或在同一条直线上)且
相等。
(3)坐标的平移： 点（x，y）向右平移a个单位长度后的坐标变为（x+a，y）；
点（x，y）向左平移a个单位长度后的坐标变为（x-a，y）；
点（x，y）向上平移a个单位长度后的坐标变为（x，y+a）；
点（x，y）向下平移a个单位长度后的坐标变为（x，y-a）。
【考点1 利用平移的性质求解】
【例1】（2022春·广东江门·九年级模拟预测）如图，长方形ABCD的长AB为8，宽AD为6，将这个长方
形向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得到长方形EFGH，则阴影部分的面积为（ ）A．30 B．32 C．36 D．40
【答案】A
【分析】利用平移的性质求得HM=BN=2,DM=FN=3，根据阴影部分的面积=长方形ABCD的面积-长
方形AMGN的面积，求解即可．
【详解】解：如图，
∵将这个长方形向上平移3个单位，再向左平移2个单位，
∴HM=BN=2,DM=FN=3
∵长方形ABCD的长AB为8，宽AD为6，
∴AM=AD−DM=6−3=3,AN=AB−BN=8−2=6，
∴长方形AMGN=AM×AN= 3×6=18，
∴阴影部分的面积为8×6−18=30，
故选：A．
【点睛】本题考查了平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键．平移的性质：把一个图形整体沿某一直
线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由
原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
【变式1-1】（2022春·广东韶关·九年级一模）如图，把边长为2的正方形的局部进行图①~图④的变换，
拼成图⑤，则图⑤的面积是（ ）A．18 B．16 C．12 D．8
【答案】B
【分析】根据平移的基本性质，平移不改变图形的形状和大小，即图形平移后面积不变，则⑤的面积为4
个正方形的面积和，即可得到结论．
【详解】解：一个正方形面积为2×2=4，而把一个正方形从①﹣④变换，面积并没有改变，所以图⑤由4
个图④构成，故图⑤面积为4×4=16，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了图形拼接与平移的变换，解答本题的关键是要知道平移不改变图形的形状和大小，
即面积没有改变．
【变式1-2】（2022春·甘肃兰州·九年级一模）图形操作：（本题图1、图2、图3中的长方形的长均为10
个单位长度，宽均为5个单位长度）
在图1中，将线段AB向上平移1个单位长度到A′B′，得到封闭图形AA'B'B（阴影部分）；
在图2中，将折线ABC（其中点B叫做折线ABC的一个“折点”）向上平移1个单位长度到折线A′B′C′，
得到封闭图形AA'B'C'CB（阴影部分）．
问题解决：
(1)在图3中，请你类似地画一条有两个“折点”的折线，同样向上平移1个单位长度，从而得到一个封闭
图形，并用斜线画出阴影部分：
(2)设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为S 、S ，则S = 平方单位；并比较大小：
1 2 1
S S （填“＞”“＝”或“＜”）；
1 2
(3)联想与探索：如图4．在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1个单位长度），
长方形的长为a，宽为b，请你直接写出空白部分表示的草地的面积是 平方单位．（用含a，b的式子表示）
【答案】(1)见解析过程；
(2)40，=；
(3)（ab-a）
【分析】（1）画一条有两个“折点”的折线，同样向上平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形
AA'B'C'D'DCB；
（2）依据平移变换可知，图1，图2中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为10个单位，宽为4个单
位的长方形，进而得出其面积；
（3）依据平移变换可知，图3中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为a个单位，宽为（b-1）个单
位的长方形，进而得出其面积．
【详解】（1）如图3所示，封闭图形AA'B'C'D'DCB即为所求；
（2）图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为S、S，
1 2
则S=10×（5-1）=10×4=40平方单位；
1
S=10×（5-1）=10×4=40平方单位；
2
∴S=S，
1 2
故答案为：40，=；
（3）如图4，长方形的长为a，宽为b，小路的宽度是1个单位长度，
∴空白部分表示的草地的面积是a（b-1）=（ab-a）平方单位．
故答案为：（ab-a）．
【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了平移变换以及矩形面积的计算公式的运用，解决问题的关
键是利用平移的性质，把不规则的图形拆分或拼凑为基本图形来计算面积．
【变式1-3】（2022·黑龙江鹤岗·中考真题）如图，在边长为4的正方形ABCD中将ΔABD沿射线BD平移，
得到ΔEGF，连接EC、GC．求EC+GC的最小值为______．【答案】4√5
【分析】将△ABC沿射线CA平移到△AB′C′的位置，连接C′E、AE、DE，证出四边形ABGE和四边形EGCD均
为平行四边形，根据平行四边形的性质和平移图形的性质，可得C′E=CE，CG=DE，可得EC+GC=C′E+ED，当
点C′、E、D在同一直线时，C′E+ED最小，由勾股定理求出C′D的值即为EC+GC的最小值．
【详解】如图，将△ABC沿射线CA平移到△AB′C′的位置，连接C′E、AE、DE，
∵AB∥GE∥DC且AB=GE=DC，
∴四边形ABGE和四边形EGCD均为平行四边形，
∴AE∥BG，CG=DE，
∴AE⊥CC′，
由作图易得，点C与点C′关于AE对称，C′E=CE，
又∵CG=DE，
∴EC+GC=C′E+ED，
当点C′、E、D在同一直线时，C′E+ED最小，
此时，在Rt△C′D′E中，
C′B′=4，B′D=4+4=8， C′D=√42+82=4√5，
即EC+GC的最小值为4√5，
故答案为：4√5．【点睛】本题考查正方形的性质、图形的对称性、线段最短和平行四边形的性质与判定，解题的关键是将
两条线段的和转化为同一条线段求解．
【考点2 坐标轴中的平移】
【例2】（2022春·黑龙江齐齐哈尔·九年级模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，A(−2,0)，将点A向下
平移1个单位，再向右平移2个单位得到点B，若点C在y轴上，且S =3，则点C的坐标为______．
△ABC
【答案】（0，2）或（0，−4）
【分析】根据题意确定点B的坐标，然后设C（0，m），结合图形，利用面积得出方程求解即可．
【详解】解：将点A向下平移1个单位，再向右平移2个单位得到点B，
∴B(0，−1)，
设C（0，m），
如图所示，
1
根据题意得： ×|m+1|×2=3，
2
解得：m=2或−4，
∴C(0，2)或（0，−4），
故答案为：（0，2）或（0，−4）．
【点睛】题目主要考查坐标与图形，坐标的平移，一元一次方程的应用等，理解题意，综合运用这些知识
点是解题关键．
【变式2-1】（2022春·广东珠海·九年级模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，AP∥DF∥x轴，
AB∥CD∥GF∥PH∥y轴，点C、B、H、G在x轴上，A(−1,2)，C(−3,0)，D(−3,−2)，
F(3,−2)，P(1,2)，把一条长为2022个单位长度且没有弹性的细线（粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A−B−C−D−E−F−G−H−P−A⋯的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线另一端所在
位置的点的坐标是_______．
【答案】(−1,0)
【分析】根据点的坐标、坐标的平移规律可知旋转一周的长度为20，然后可判断细线另一端所在位置的点
在B处，再直接求解即可．
【详解】解：∵AP∥DF∥x轴，AB∥CD∥GF∥PH∥y轴，
点C、B、H、G在x轴上，A(−1,2)，C(−3,0)，D(−3,−2)，F(3,−2)，P(1,2)，
∴B点坐标为（-1，0），点H坐标为（1，0），G(3,0),
∴AP=BH=2，AB=PH=2，CD=GF=2，BC=HG=2，DF=CG=6，
∴按A-B-C-D-E-F-G-H-P-A缠绕一周的总长度为2+2+2+6+2+2+2+2=20，
∵2022÷20=101···2，
∴细线另一端所在位置的点在B点处，
∴细线另一端所在位置的点的坐标为（-1，0）．
故答案为：(−1,0)．
【点睛】本题主要考查点的坐标、坐标的平移，解决本题的关键是确定缠绕一周的总长度为20．
【变式2-2】（2022春·山东滨州·九年级校联考）如图，在平面直角坐标系中A(−1,1)，B(−1,−2)，
C(3,−2)，D(3,1)，一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿A→B→C→D→A循环爬行，
问第2021秒瓢虫在（ ）处．
A．(3,1) B．(−1,−2) C．(1,−2) D．(3,−2)【答案】A
【分析】根据点A、B、C、D的坐标可得出AB、AD及四边形ABCD的周长，由
2021÷7=288……5，且5×2=10s，可得出当t=2021秒时，瓢虫在AD上，且距离D点3个单位，即可
得出结论．
【详解】解：∵A(−1,1)B(−1,−2),C(3,−2),D(3,1)，
∴AB=CD=3，AD=BC=4，
∴四边形ABCD的周长为2(AB+AD)=14，
∵瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿A→B→C→D→A循环爬行，
14
∴瓢虫爬行一个循环所用的时间为 =7s，
2
∵2021÷7=288……5，且5×2=10s，
∴此时瓢虫在AD上，且距离D点3个单位，
∴此时点瓢虫的坐标为(3,1)．
故选：A．
【点睛】本题考查了规律型中点的坐标，根据瓢虫的运动规律找出当t=2021秒时，瓢虫所在的位置是解
题的关键．
【变式2-3】（2022秋·河北保定·九年级模拟预测）点E(m,n)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则坐
标(m+1,n−1)对应的点可能是（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
【答案】C
【分析】由E(m,n)移动到(m+1,n−1)，点向右移动1个单位，同时向下移动1个单位，依此观察图形即
可求解．
【详解】解：∵由E(m,n)移动到(m+1,n−1)，
∴点向右移动1个单位，同时向下移动1个单位，
观察图形可得坐标(m+1,n−1)对应的点可能是C故选：C．
【点睛】本题考查了点的坐标，解题的关键是得到点的坐标移动的规律．
【考点3 镜面对称】
【例3】（2022·河南·一模）小狗皮皮看到镜子里的自己,觉得很奇怪,此时它所看到的全身像是（ ）
A．（A） B．（B） C．（C） D．（D）
【答案】A
【详解】根据题意可知，小狗和镜面里的像是关于镜面对称的，
∴小狗与它的像的对应点的连线应该与镜面垂直，且对应点到镜面的距离相等，
∴上述四个图像中，只有A符合要求，其余三个都不符合要求.
故选A.
【变式3-1】（2012·湖南郴州·一模）小强站在镜前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表，其读数如
图所示，则电子表的实际时刻是____________.
【答案】10：51
【分析】根据镜面对称原理,左右颠倒,上下不变即可解题.
【详解】根据镜面对称原理,物体的像与物体本身上下不变,左右颠倒可知,12：01对称之后为10：51.
【点睛】本题考查了镜面对称,属于简单题,熟悉镜面对称的原理是解题关键.
【变式3-2】（2022·广东湛江·一模）一个汽车牌在水中的倒影为 ，则该车牌照号码
___________.
【答案】M17936
【详解】试题分析：本题是轴对称中的镜面对称问题，水面相当于一个平面镜，因为镜面对称的性质是在
平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．故答案为 .
考点：轴对称的性质.
【变式3-3】（2022·浙江温州·一模）某电梯中一面镜子正对楼层显示屏，显示屏中显示的是电梯所在楼层号和电梯运行方向．当电梯中镜子如图显示时，电梯所在楼层号为______．
【答案】15
【分析】根据镜面成像的原理：左右相反，即可得到答案．
【详解】解：由镜面成像的原理可知电梯所在的楼层为15，
故答案为：15．
【点睛】本题主要考查了镜面成像，熟知镜面成像的原理是解题的关键．
【考点4 轴对称中坐标与图形变化】
【例4】（2022·贵州省遵义市第一初级中学九年级一模）已知点P (2a−b,2)和P (−7,4a+2b)关于x轴
1 2
对称，则ab=__．
【答案】−8
【分析】根据题意，列关于a、b的二元一次方程组，求解并计算即可；
【详解】∵点P (2a−b,2)和P (−7,4a+2b)关于x轴对称，
1 2
∴¿
解得¿，
∴ab=(−2) 3=−8．
故答案为：−8
【点睛】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，解二元一次方程组，掌握相关知识并熟练使用，同时注意
解题中需注意的事项是本题的解题关键．
【变式4-1】（2022·内蒙古·霍林郭勒市第五中学九年级一模）将点A先向下平移3个单位，再向右平移2
个单位后得B（﹣2，5），则A点关于y轴的对称点坐标为__________．
【答案】（4，8）
【分析】设A（x，y），根据向下平移纵坐标减，向右平移横坐标加列方程求解，再根据“关于y轴对称
的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．
【详解】解：设A（x，y），
∵点A向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得B（−2，5），∴x＋2＝−2，y−3＝5，
解得x＝−4，y＝8，
∴点A的坐标为（−4，8），
∴A点关于y轴的对称点坐标为（4，8）．
故答案为：（4，8）．
【点睛】本题考查了坐标的平移规律，以及关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对
称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，
横坐标互为相反数．
【变式4-2】（2022秋·河南安阳模拟预测）已知点P（2a+b，-3a）与点P′（8，b+2）．
(1)若点p与点p′关于x轴对称，求a、b的值．
(2)若点p与点p′关于y轴对称，求a、b的值．
【答案】(1)a=2，b=4
(2)a=6，b=-20
【分析】（1）根据关于x轴对称的点，横坐标相等、纵坐标互为相反数方程组求解即可；
（2）根据关于y轴对称的点，纵坐标相等、横坐标互为相反数方程组求解即可．
（1）
解：∵点P与点P′关于x轴对称，
∴2a+b=8，3a= b+2,解得a=2， b=4．
（2）
解：∵点P与点P′关于y轴对称，
∴2a+b=-8，-3a= b+2
解得a=6， b=-20．
【点睛】本题主要考查了关于坐标轴对称的点坐标特征，关于x轴对称的点，横坐标相等，纵坐标互为相
反数；关于y轴对称的点，纵坐标相等、横坐标互为相反数．
5
【变式4-3】（2022·吉林白山·九年级模拟预测）在坐标平面上有一个轴对称图形，其中A（3，﹣ ）和B
2
11
（3，﹣ ）是图形上的一对对称点，若此图形上另有一点C（﹣2，﹣9），则C点对称点的坐标是（
2
）3 3
A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣ ） C．（﹣ ，﹣9） D．（﹣2，﹣1）
2 2
【答案】A
【分析】先利用点A和点B的坐标特征可判断图形的对称轴为直线y=-4，然后写出点C关于直线y=-4的对
称点即可．
5 11
【详解】解：∵A（3，﹣ ）和B（3，﹣ ）是图形上的一对对称点，
2 2
∴点A与点B关于直线y＝﹣4对称，
∴点C（﹣2，﹣9）关于直线y＝﹣4的对称点的坐标为（﹣2，1）．
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标与图形的变化，需要注意关于直线对称：关于直线x=m对称，则两点的纵坐标相
同，横坐标和为2m；关于直线y=n对称，则两点的横坐标相同，纵坐标和为2n．
【考点5 设计轴对轴图案】
【例5】（2022·江苏·九年级课时练习）如图所示的“钻石”型网格（由边长都为1个单位长度的等边三角
形组成），其中已经涂黑了3个小三角形（阴影部分表示），请你再只涂黑一个小三角形，使它与阴影部
分合起来所构成的图形是一个轴对称图形，一共有（ ）种涂法．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】将一个图形沿着某条直线翻折,直线两侧的部分能够完全重合的图形是轴对称图形,根据轴对称图
形的概念进行设计即可．
【详解】解：如图所示：故选：C
【点睛】本题主要考查轴对称图形的概念,解决本题的关键是要熟练掌握轴对称图形的概念．
【变式5-1】（2022·河北·九年级专题练习）如图为5×5的方格，其中有A、B、C三点，现有一点P在其它
格点上，且A、B、C、P为轴对称图形，问共有几个这样的点P（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【分析】利用轴对称图形的性质得出符合题意的点即可．
【详解】解：如图所示：A、B、C、P为轴对称图形，共有4个这样的点P．
答案：B．
【点睛】此题主要考查了利用轴对称设计图案,正确把握轴对称图形的定义是解题关键．
【变式5-2】（2022春·广东江门·九年级模拟预测）在3×3的正方形网格中，有三个小方格涂上阴影，请再在余下的6个空白的小方格中，选两个小方格并涂成阴影，使得图中的阴影部分组成一个轴对称图形，共
有 ( )种不同的填涂方法．
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【答案】D
【分析】如图，将图中的空白正方形标号，然后根据轴对称图形的定义对其不同的组合进行判断即可．
【详解】解：如图所示：
当将①②、①⑤、②③、②⑥、④⑤、④⑥分别组合，都可以得到轴对称图形，共有6种方法．
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形的设计，熟知概念、明确方法是解题的关键．
【变式5-3】（2022·江苏·九年级专题练习）现有如图1所示的两种瓷砖，请你从两种瓷砖中各选两块，拼
成一个新的正方形，使拼成的图案为轴对称图形，如图2，要求：在图3，图4中各设计一种与示例拼法不
同的轴对称图形．
【答案】见解析
【分析】利用轴对称的性质，以及轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案即可．
【详解】解：依照轴对称图形的定义，设计出图形，如图所示．【点睛】此题主要考查了利用轴对称设计图案，利用轴对称定义得出是解题关键．
【考点6 利用轴对称求最值】
【例6】（2022·湖南·李达中学九年级）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，
AD是∠BAC的平分线，若P，Q分别是AD何AC上的动点，则PC＋PQ的最小值是（ ）
A．2.4 B．4 C．4.8 D．5
【答案】C
【分析】由题意可以把Q反射到AB的O点，如此PC+PQ的最小值问题即变为C与线段AB上某一点O的
最短距离问题，最后根据“垂线段最短”的原理得解．
【详解】解：如图，作Q关于AP的对称点O，则PQ=PO，所以O、P、C三点共线时，
CO=PC+PO=PC+PQ，此时PC+PQ有可能取得最小值，
∵当CO垂直于AB即CO移到CM位置时，CO的长度最小，
∴PC+PQ的最小值即为CM的长度，
1 1
∵S = AB×CM= AC×CB，
△ABC 2 2
6×8
∴CM= =4.8，即PC+PQ的最小值为 4.8，
10
故选C．【点睛】本题考查了轴对称最短路径问题，垂线段最短，通过轴反射把线段和最小的问题转化为线段外一
点到线段某点连线段最短问题是解题关键．
【变式6-1】（2022·河南驻马店·九年级模拟预测）如图，四边形ABCD中，∠BAD=α，
∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，则∠MAN的度数为（ ）
1
A． α B．2α−180° C．180°−α D．α−90°
2
【答案】B
【分析】根据要使 AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC
和CD的对称点A′，△A″，即可得出∠AA′M+∠A″=∠HAA′，进而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″）即可
得出答案．
【详解】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为
AMN的周长最小值．作DA延长线AH，
△∵∠DAB=α ，
∴∠HAA′=180°−α，
∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=180°−α，
∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，
且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2(180°−α)=360°−2α，
∴∠MAN=180°−(∠AMN+∠ANM)=180°−(360°−2α)=2α−180°．
故选：B．
【点睛】本题主要考查轴对称-最段路线问题，熟练掌握平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质
和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键．
【变式6-2】（2022·全国·九年级专题练习）如图，在长方形ABCD中，AD＝BC＝3，AB＝CD＝4，AC＝
5，动点M在线段AC上运动(不与端点重合)，点M关于边AD，DC的对称点分别为M，M，连接MM，
1 2 1 2
点D在MM 上，则在点M的运动过程中，线段MM 长度的最小值是_______．
1 2 1 2
24
【答案】
5
12
【分析】过D作DM'⊥AC于M'，连接DM，根据已知，由面积法先求出DM'= ，由M关于边AD，DC
5
的对称点分别为M，M，可得DM =DM=DM ，MM=2DM，故线段MM 长度最小即是DM长度最小，此
1 2 1 2 1 2 1 224
时DM⊥AC，M与M'重合，即可得MM 最小值为2DM'= ．
1 2 5
【详解】解：过D作DM'⊥AC于M'，连接DM，如图：
长方形ABCD中，AD=BC=3，AB=CD=4，AC=5，
1 1
∴S ADC= AD•CD= AC•DM'，
2 2
△
AD·CD 3×4 12
∴DM'= = = ，
AC 5 5
∵M关于边AD，DC的对称点分别为M，M，
1 2
∴DM =DM=DM ，
1 2
∴MM=2DM，
1 2
24
线段MM 长度最小即是DM长度最小，此时DM⊥AC，即M与M'重合，MM 最小值为2DM'= ．
1 2 1 2 5
24
故答案为： ．
5
【点睛】本题考查对称变换，涉及三角形面积、点到直线的距离等知识，解题的关键是将求MM 长度的
1 2
最小值转化为求DM长度的最小值.
【变式6-3】（2022·福建龙岩·九年级一模）如图，在Rt ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6，BC＝10，
M、N、P分别是边AB、AC、BC上的动点，连接PM、P△N和MN，则PM+PN+MN的最小值是 _______．
48
【答案】
5
【分析】如图，作点P关于AB，AC的对称点E，F，连接PE，PF，PA，EM，FN，AE，AF．首先证明
E，A，F共线，则PM+MN+PN=EM+MN+NF≥EF，推出EF的值最小时，PM+MN+PN的值最小，求出PA的最小值，可得结论．
【详解】解：如图，作点P关于AB，AC的对称点E，F，连接PE，PF，PA，EM，FN，AE，AF．
由对称的性质可知，AE=AP=AF，∠BAP=∠BAE，∠CAP=∠CAF，
∵∠PAB+∠PAC=∠BAC=90°，
∴∠EAF=180°，
∴E，A，F共线，
∵ME=MP，NF=NP，
∴PM+MN+PN=EM+MN+NF，
∵EM+MN+NF≥EF，
∴EF的值最小时，PM+MN+PN的值最小，
∵EF=2PA，
6×8 24
∴当PA⊥BC时，PA的值最小，此时PA= = ，
10 5
48
∴PM+MN+PN≥ ，
5
48
∴PM+MN+PN的最小值为 ．
5
48
故答案为： ．
5
【点睛】本题考查了轴对称最短问题，解题的关键是学会利用轴对称的性质添加辅助线，把问题转化为两
点之间线段最短．【知识点 旋转的定义】
在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，
转动的角叫做旋转角。
我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。
【知识点 旋转的性质】
旋转的特征：
（1）对应点到旋转中心的距离相等；
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
（3）旋转前后的图形全等。
理解以下几点：
（1）图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。
（2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。
（3）图形的大小与形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。
【考点7 利用旋转的性质求解】
【例7】（2022春•梅州校级模拟预测）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，将△BOC绕点
C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD，若OD＝AD，则∠BOC的度数为 140 ° ．
【分析】设∠BOC＝α，根据旋转前后图形不发生变化，易证△COD是等边△OCD，从而利用α分别表
示出∠AOD与∠ADO，再根据等腰△AOD的性质求出α．
【解答】解：设∠BOC＝α，根据旋转的性质知，△BOC≌△ADC，则OC＝DC，∠BOC＝∠ADC＝α．
又∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，
∴∠OCD＝60°，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝∠CDO＝60°，
∵OD＝AD，
∴∠AOD＝∠DAO．∵∠AOD＝360°﹣110°﹣60°﹣α＝190°﹣α，∠ADO＝α﹣60°，
∴2×（190°﹣α）+α﹣60°＝180°，
解得α＝140°．
故答案是：140°．
【变式7-1】（2022•东莞市校级一模）如图，△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝4，BO＝8，△AOB绕点O逆
时针旋转到△A′OB′处，此时线段A′B′与BO的交点E为BO的中点，则线段B′E的长度为（
）
12√5 9√5 16√5
A．3√5 B． C． D．
5 5 5
【分析】由勾股定理求出AB，由旋转的性质可得AO＝A′O，A′B′＝AB，再求出OE，从而得到OE
＝A′O，过点O作OF⊥A′B′于F，由三角形的面积求出OF，由勾股定理列式求出EF，再由等腰三
角形三线合一的性质可得A′E＝2EF，然后由B′E＝A′B′﹣A′E代入数据计算即可得解．
【解答】解：∵∠AOB＝90°，AO＝4，BO＝8，
∴AB=√AO2+BO2=√42+82=4√5，
∵△AOB绕顶点O逆时针旋转到△A′OB′处，
∴AO＝A′O＝4，A′B′＝AB＝4√5，
∵点E为BO的中点，
1 1
∴OE= BO= ×8＝4，
2 2
∴OE＝A′O＝4，过点O作OF⊥A′B′于F，如图，
1 1
S = ×4√5•OF= ×4×8，
△A′OB′ 2 2
8√5
解得：OF= ，
5
√ 8√5 4√5
在Rt△EOF中，EF=√OE2−OF2= 42−( ) 2= ，
5 5
∵OE＝A′O，OF⊥A′B′，
4√5 8√5
∴A′E＝2EF＝2× = ，
5 5
8√5 12√5
∴B′E＝A′B′﹣A′E=4√5− = ．
5 5
故选：B．
【变式7-2】（2022•城步县模拟）如图，P为等边三角形ABC内一点，∠APB：∠APC：∠CPB＝5：6：
7，则以PA，PB，PC为三边构成的三角形的三个内角从小到大的度数之比为（ ）
A．1：2：3 B．2：3：4 C．3：4：5 D．5：6：7
【分析】将△APB绕A点逆时针旋转60°得△ADC，显然有△ADC≌△APB，连PD，则AD＝AP，
∠DAP＝60°，得到△ADP是等边三角形，PD＝AP，所以△DCP的三边长分别为PA，PB，PC；再由
∠APB+∠BPC+∠CPA＝360°，∠APB：∠APC：∠CPB＝5：6：7，得到∠APB＝100°，∠BPC＝140°，
∠CPA＝120°，这样可分别求出∠PDC＝∠ADC﹣∠ADP＝∠APB﹣∠ADP＝100°﹣60°＝40°，∠DPC＝
∠APC﹣∠APD＝120°﹣60°＝60°，∠PCD＝180°﹣（40°+60°）＝80°，即可得到答案．【解答】解：如图，将△APB绕A点逆时针旋转60°得△ADC，
显然有△ADC≌△APB，连PD，
∵AD＝AP，∠DAP＝60°，
∴△ADP是等边三角形，
∴PD＝AP，
∵DC＝PB，
∴△DCP的三边长分别为PA，PB，PC，
∵∠APB+∠BPC+∠CPA＝360°，∠APB：∠APC：∠CPB＝5：6：7，
∴∠APB＝100°，∠BPC＝140°，∠CPA＝120°，
∴∠PDC＝∠ADC﹣∠ADP＝∠APB﹣∠ADP＝100°﹣60°＝40°，
∠DPC＝∠APC﹣∠APD＝120°﹣60°＝60°，
∠PCD＝180°﹣（40°+60°）＝80°，
∴以PA，PB，PC为三边构成的三角形的三个内角从小到大的度数之比为2：3：4．
故选：B．
【变式7-3】（2022春•和平区模拟预测）如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，连接AD，BE，CD＝
4，BC＝2，若将△CDE 绕点 C 顺时针旋转，当点 A、C、E 在同一条直线上时，线段 BE 的长为
（ ）
A．2√3 B．2√7 C．√3或√7 D．2√3或2√7
【分析】分两种情况：①当E在CA延长线上时，过A作AM⊥BE于M，根据△ABC与△CDE都是等边
三角形，CD＝4，BC＝2，可得AE＝AB，∠AEB＝∠ABE＝30°，在Rt△ABM中，可得BM=√3，从而
1
BE＝2BM＝2√3；②当E在AC的延长线上时，过B作BN⊥AC于N，在Rt△BCN中，CN= BC＝1，
2BN=√3CN=√3，在Rt△BNE中，BE=√BN2+N E2=2√7．
【解答】解：①当E在CA延长线上时，过A作AM⊥BE于M，如图：
∵△ABC与△CDE都是等边三角形，CD＝4，BC＝2，
∴AE＝CE﹣AC＝4﹣2＝2，∠BAC＝60°，
∴AE＝AB，
∴∠AEB＝∠ABE＝30°，
在Rt△ABM中，
1
AM= AB＝1，BM=√3AM=√3，
2
∴BE＝2BM＝2√3；
②当E在AC的延长线上时，过B作BN⊥AC于N，如图：
在Rt△BCN中，
1
CN= BC＝1，BN=√3CN=√3，
2
∴NE＝CE+CN＝4+1＝5，
在Rt△BNE中，BE=√BN2+N E2=√(√3) 2+52=2√7；
综上所述，线段BE的长为2√3或2√7，
故选：D．
【考点8 旋转中的坐标与图形变换】
【例8】（2022秋•黄石模拟预测）如图，线段AB与线段CD关于点P对称，若点A（a，b）、B（5，
1）、D（﹣3，﹣1），则点C的坐标为（ ）
A．（﹣a，﹣b） B．（﹣a+2，﹣b）
C．（﹣a﹣1，﹣b+1） D．（﹣a+1，﹣b﹣1）
【分析】运用中点坐标公式求答案．
【解答】解：设C（m，n），
∵线段AB与线段CD关于点P对称，
点P为线段AC、BD的中点．
a+m 5−3 b+n 1−1
∴ = ， = ，
2 2 2 2
∴m＝2﹣a，n＝﹣b，
∴C（2﹣a，﹣b），
故选：B．
【变式3-1】（2022秋•本溪模拟预测）如图，在△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝2√7，将△AOB绕原点
O逆时针旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（﹣4，2） B．（﹣2√3，4） C．（﹣2√3，2） D．（﹣2，2√3）
【分析】如图，过点A作AH⊥OB于H，设OH＝m，则BH＝6﹣m，利用勾股定理构建方程求出m，可得结论．
【解答】解：如图，过点A作AH⊥OB于H，设OH＝m，则BH＝6﹣m，
∵AH2＝OA2﹣OH2＝AB2﹣BH2，
∴42﹣m2＝（2√7）2﹣（6﹣m）2，
∴m＝2，
∴AH=√42−22=2√3，
∴A（2，2√3），
∴将△AOB绕原点O逆时针旋转90°，则旋转后点A的对应点A′（﹣2√3，2），
【变式3-2】（2022秋•西湖区模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，△MNP绕原点逆时针旋转90°得到
△MN P，若M（1，﹣2），则点M 的坐标为（ ）
1 1 1 1
A．（﹣2，﹣1） B．（1，2） C．（2，1） D．（﹣1，﹣2）
【分析】如图，连接OM，OM ，过点M作MH⊥y轴于点H，过点M 作MT⊥x轴于点T．利用全等三
1 1 1
角形的性质解决问题即可．
【解答】解：如图，连接OM，OM ，过点M作MH⊥y轴于点H，过点M 作MT⊥x轴于点T．
1 1 1∵M（1，﹣2），
∴MH＝1，OH＝2，
∵∠MOM ＝∠POT，
1
∴∠MOH＝∠MOT，
1
∵∠MHO＝∠MTO＝90°，OM＝OM ，
1 1
∴△MHO≌△MTO（AAS），
1
∴MH＝MT＝1，OH＝OT＝2，
1
∴M（2，1），
1
故选：C．
【变式3-3】（2022•新抚区模拟）如图，Rt△AOB的斜边AO在y轴上，OB=√3，∠AOB＝30°，直角顶点
B在第二象限，将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转120°后得到△A′OB'，则A点的对应点A′的坐标是
（ ）
A．（√3，﹣1） B．（1，−√3） C．（2，0） D．（√3，0）
【分析】如图，利用含30度的直角三角形三边的关系得到BC＝1，再利用旋转的性质得到OB′＝OB
=√3，B′A′＝BA＝1，∠A′B′O＝∠ABO＝90°，然后利用第四象限点的坐标特征写出点A′的坐标．
【解答】解：如图，
在Rt△OAB中，∵∠BOA＝30°，
√3 √3
∴AB= OB= ×√3=1，
3 3
∵Rt△OCB绕原点顺时针旋转120°后得到△OA′B'，∴OB′＝OB=√3，B′A′＝BA＝1，∠A′B′O＝∠ABO＝90°，
∴点A′的坐标为（√3，﹣1）．
故选：A．
【考点9 位似变换】
【例9】（2022春•如皋市模拟预测）若△ABC绕点A逆时针旋转α后，与△ADE构成位似图形，则我们称
△ABC与△ADE互为“旋转位似图形”．
（1）知识理解：
如图1，△ABC与△ADE互为“旋转位似图形”．
①若α＝25°，∠D＝100°，∠C＝28°，则∠BAE＝ ；
②若AD＝6，DE＝7，AB＝4，则BC＝
（2）知识运用：
如图2，在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AE⊥BD于点E，∠DAC＝∠DBC，求证：△ACD与△ABE互为“旋
转位似图形”．
（3）拓展提高：
如图3，△ABG为等边三角形，点C为AG的中点，点F是AB边上的一点，点D为CF延长线上的一点，点
DE
E在线段CF上，且△ABD与△ACE互为“旋转位似图形”．若AB＝6，AD＝4，求 的值．
CE14 2√15
【答案】（1）①27°；② ；（2）见解析； （3） ．
3 5
【分析】（1）①依据 ABC和 ADE互为“旋转位似图形”，可得 ABC∽△ADE，依据相似三角形的对应
角相等，即可得到∠B△AE＝180°△﹣100°﹣28°﹣25°＝27°； △
BC AB 14
②依据 ABC∽△ADE，可得 = ，根据AD＝6，DE＝7，AB＝4，即可得出BC＝ ；
DE AD 3
△
AO BO
（2）依据 AOD∽△BOC，即可得到 = ，进而得到 AOB∽△DOC，再根据∠7＝∠8，∠ADC＝
DO CO
△ △
∠AEB，即可得到 ABE∽△ACD，进而得出 ACD和 ABE互为“旋转位似图形”；
（3）利用三角函数△和勾股定理解答即可．△ △
【详解】（1）①∵△ABC和 ADE互为“旋转位似图形”，
∴△ABC∽△ADE， △
∴∠D＝∠B＝100°，
又∵α＝25°，∠E＝28°，
∴∠BAE＝180°﹣100°﹣25°﹣28°＝27°；
②∵△ABC∽△ADE，
BC AB
∴ = ，
DE AD
∵AD＝6，DE＝7，AB＝4，
BC 4
∴ = ，
7 6
14
∴BC＝ ，
3
14
故答案为：27°； ；
3
（2）∵∠DOA＝∠COB，∠DAC＝∠DBC，
∴△DOA∽△COB，
AO DO AO BO
∴ = ，即 = ，
BO CO DO CO
又∵∠DOC＝∠AOB，
∴△AOB∽△DOC，
∴∠DCA＝∠EBA，
又∵∠ADC＝90°，AE⊥BD，∴∠ADC＝∠AEB＝90°，
∴△ABE∽△ACD，
∴∠DAC＝∠EAB，
∴△AEB绕点A逆时针旋转∠DAE的度数后与 ADC构成位似图形，
∴△ACD和 ABE互为“旋转位似图形”； △
△ 1 1
（3）∵AC＝ AG＝ AB＝3，
2 2
EC AC AE 1
由题意得： = = = ，
BD AB AD 2
∵AD＝4，
∴AE＝2，
∵∠DAE＝∠FAC＝60°，
1
∴cos∠DAE＝cos60°＝ ，
2
∴∠DEA＝90°，
∴由勾股定理可得CE＝√AC2−AE2=√32−22=√5，
∴DE＝AE•tan∠DAE＝2√3，
DE 2√3 2√15
∴ = = ．
CE √5 5
【点睛】本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，
勾股定理的综合运用．在解答时添加辅助线等腰直角三角形，利用相似形的对应边成比例是关键．
【变式9-1】（2022·山东潍坊·中考真题）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，
感悟数学之美．如图，正方形ABCD的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形
A′B′C′D′，若A′B′:AB=2:1，则四边形A′B′C′D′的外接圆的周长为___________．
【答案】4√2π【分析】根据正方形ABCD的面积为4，求出AB=2，根据位似比求出A′B′=4，周长即可得出；
【详解】解：∵正方形ABCD的面积为4，
∴ AB=2，
∵ A′B′:AB=2:1，
∴ A′B′=4，
∴ A′C′=√42+42=4√2，
所求周长=4√2π；
故答案为：4√2π．
【点睛】本题考查位似图形，涉及知识点：正方形的面积，正方形的对角线，圆的周长，解题关键求出正
方形 的边长．
【变式AB9C-D2】（2022·贵州黔西·中考真题）如图，△A′B′C′与△ABC是位似图形，点O为位似中心，若
OA′=A′ A，则△A′B′C′与△ABC的面积比为__．
【答案】1：4
【分析】根据位似图形的性质得出△ABC∽△A'B'C'和相似比的值，然后根据相似三角形的性质面积比是相
似比比值的平方解答即可．
【详解】解：由题意得，△ABC和△A'B'C'是位似图形，
∴△ABC∽△A'B'C'，AB：A'B'=OA：AA'=1：2，
∴△A′B′C′与△ABC的面积比为：1：4．
故答案为：1：4．
【点睛】此题考查的知识点为：位似的概念、三角形相似的性质；掌握面积比是相似比比值的平方是解答
问题的关键．
【变式9-3】（2022·安徽·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已
知点O，A，B均为网格线的交点．
（1）在给定的网格中，以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段A B （点A，B的对
1 1
应点分别为A 、B ）．画出线段A B ；
1 1 1 1（2）将线段A B 绕点B 逆时针旋转90°得到线段A B ．画出线段A B ；
1 1 1 2 1 2 1
（3）以A、A 、B 、A 为顶点的四边形A A B A 的面积是_______个平方单位．
1 1 2 1 1 2
【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）20
【分析】（1）结合网格特点，连接OA并延长至A，使OA=2OA，同样的方法得到B1，连接AB 即可得；
1 1 1 1
（2）结合网格特点根据旋转作图的方法找到A 点，连接AB 即可得；
2 2 1
（3）根据网格特点可知四边形AA BA 是正方形，求出边长即可求得面积．
1 1 2
【详解】（1）如图所示；
（2）如图所示；
（3）结合网格特点易得四边形AA BA 是正方形，
1 1 2
AA=√42+22=2√5，
1
所以四边形AA BA 的面积为：(2√5) 2 =20，
1 1 2
故答案为：20．
【点睛】本题考查了作图-位似变换，旋转变换，能根据位似比、旋转方向和旋转角得到关键点的对应点是作图的关键．
【考点10 图形的变换与作图】
【例10】（2022春•化州市校级一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（1，
3），B（4，4），C（2，1）．
（1）把△ABC向左平移4个单位后得到对应的△ABC ，请画出平移后的△ABC ；
1 1 1 1 1 1
（2）把△ABC绕原点O旋转180°后得到对应的△ABC ，请画出旋转后的△ABC ．
2 2 2 2 2 2
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A，B，C 即可；
1 1 1
（2）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A，B，C 即可．
2 2 2
【解答】解：（1）如图，△ABC 即为所求；
1 1 1
（2）如图，△ABC 即为所求．
2 2 2
【变式10-1】（2022春·北京怀柔·九年级模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点
分别是A(0，4)，B(-4，1)，C(-1，2)．请你解答下列问题：
(1)在平面直角坐标系中画出三角形ABC；
(2)将三角形ABC先向下平移5个单位，再向右平移3个单位．画出平移后的三角形A B C ．
1 1 1
(3)把（2）三角形A B C 各个顶点的横坐标保持不变，纵坐标增加2，得到三角形A B C ．直接写出三
1 1 1 2 2 2
角形A B C 的面积．
2 2 2
【答案】(1)作图见解析；
(2)作图见解析；
(3)作图见解析；2.5
【分析】（1）利用点A、B、C的坐标描点连线即可；
（2）利用点的坐标变换规律得到的坐标A 、B 、C ，然后描点连线即可；
1 1 1
（3）把点A 、B 、C 的横坐标保持不变，纵坐标增加2得到A 、B 、C 的坐标，再描点连线得到△
1 1 1 2 2 2
A B C ，然后用一个大直角三角形的面积分别减去2个小直角三角形的面积和一个正方形的面积去计算
2 2 2
△A B C 的面积．
2 2 2
（1）
如图，△ABC为所作；
（2）
如图，△A B C 为所作；
1 1 1
（3）
如图，△A B C 为所作，
2 2 21 1 1
△A B C 的面积＝ ×3×4− ×3×1− ×2×1-1×1＝2.5．
2 2 2 2 2 2
【点睛】本题考查了作图−平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方
向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
【变式10-2】（2022·广西桂林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，形如英文字母“V”的图形三个端
点的坐标分别是A(2，3)，B(1，0)，C(0，3)．
(1)画出“V”字图形向左平移2个单位后的图形；
(2)画出原“V”字图形关于x轴对称的图形；
(3)所得图形与原图形结合起来，你能从中看出什么英文字母？（任意答一个即可）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)图1是W，图2是X【分析】（1）根据要求直接平移即可；
（2）在第四象限画出关于x轴对称的图形；
（3）观察图形可得结论．
【详解】（1）解：如图所示，将点A(2，3)，B(1，0)，C(0，3)得A′ (0,3)，B′ (−1,0)，C′ (−2,3)，
（2）解：如图所示，
（3）解：图1是W，图2是X．
【点睛】本题考查了对称的性质和平移，解题关键是牢固掌握关于坐标轴对称的点的坐标的特征并能灵活
运用．
【变式10-3】（2022春•蒲城县模拟预测）在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为 1个单位长度的正方形，△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（3，0），C（2，3）．
（1）将△ABC向左平移4个单位长度得到△ABC ，点A、B、C的对应点分别为A 、B 、C ，请画出
1 1 1 1 1 1
△ABC ，并写出点C 的坐标；
1 1 1 1
（2）以原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°得到△ABC ，点A、B、C的对应点分别为A 、
2 2 2 2
B、C ，请画出△ABC ．
2 2 2 2 2
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A，B，C 即可；
1 1 1
（2）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A，B，C 即可．
2 2 2
【解答】解：（1）如图，△ABC 即为所求，点C 的坐标（﹣2，3）；
1 1 1 1
（2）如图，△ABC 即为所求．
2 2 2
