文档内容
专题 26 图形的对称、平移、旋转与位似(10 个高频考点)(举一反三)
【考点1 利用平移的性质求解】...........................................................................................................................1
【考点2 坐标轴中的平移】...................................................................................................................................3
【考点3 镜面对称】...............................................................................................................................................4
【考点4 轴对称中坐标与图形变化】...................................................................................................................5
【考点5 设计轴对轴图案】...................................................................................................................................5
【考点6 利用轴对称求最值】...............................................................................................................................6
【考点7 利用旋转的性质求解】...........................................................................................................................8
【考点8 旋转中的坐标与图形变换】...................................................................................................................9
【考点9 位似变换】.............................................................................................................................................10
【考点10 图形的变换与作图】.............................................................................................................................12
【知识点 平移】
(1)定义：把一个图形沿着某一直线方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移。
(2)平移的性质：平移后的图形与原图形全等；对应角相等；对应点所连的线段平行(或在同一条直线上)且
相等。
(3)坐标的平移： 点（x，y）向右平移a个单位长度后的坐标变为（x+a，y）；
点（x，y）向左平移a个单位长度后的坐标变为（x-a，y）；
点（x，y）向上平移a个单位长度后的坐标变为（x，y+a）；
点（x，y）向下平移a个单位长度后的坐标变为（x，y-a）。
【考点1 利用平移的性质求解】
【例1】（2022春·广东江门·九年级模拟预测）如图，长方形ABCD的长AB为8，宽AD为6，将这个长方
形向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得到长方形EFGH，则阴影部分的面积为（ ）A．30 B．32 C．36 D．40
【变式1-1】（2022春·广东韶关·九年级一模）如图，把边长为2的正方形的局部进行图①~图④的变换，
拼成图⑤，则图⑤的面积是（ ）
A．18 B．16 C．12 D．8
【变式1-2】（2022春·甘肃兰州·九年级一模）图形操作：（本题图1、图2、图3中的长方形的长均为10
个单位长度，宽均为5个单位长度）
在图1中，将线段AB向上平移1个单位长度到A′B′，得到封闭图形AA'B'B（阴影部分）；
在图2中，将折线ABC（其中点B叫做折线ABC的一个“折点”）向上平移1个单位长度到折线A′B′C′，
得到封闭图形AA'B'C'CB（阴影部分）．
问题解决：
(1)在图3中，请你类似地画一条有两个“折点”的折线，同样向上平移1个单位长度，从而得到一个封闭
图形，并用斜线画出阴影部分：
(2)设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为S 、S ，则S = 平方单位；并比较大小：
1 2 1
S S （填“＞”“＝”或“＜”）；
1 2
(3)联想与探索：如图4．在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1个单位长度），
长方形的长为a，宽为b，请你直接写出空白部分表示的草地的面积是 平方单位．（用含a，b的式子表示）
【变式1-3】（2022·黑龙江鹤岗·中考真题）如图，在边长为4的正方形ABCD中将ΔABD沿射线BD平移，
得到ΔEGF，连接EC、GC．求EC+GC的最小值为______．
【考点2 坐标轴中的平移】
【例2】（2022春·黑龙江齐齐哈尔·九年级模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，A(−2,0)，将点A向下
平移1个单位，再向右平移2个单位得到点B，若点C在y轴上，且S =3，则点C的坐标为______．
△ABC
【变式2-1】（2022春·广东珠海·九年级模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，AP∥DF∥x轴，
AB∥CD∥GF∥PH∥y轴，点C、B、H、G在x轴上，A(−1,2)，C(−3,0)，D(−3,−2)，
F(3,−2)，P(1,2)，把一条长为2022个单位长度且没有弹性的细线（粗细忽略不计）的一端固定在点A
处，并按A−B−C−D−E−F−G−H−P−A⋯的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线另一端所在
位置的点的坐标是_______．
【变式2-2】（2022春·山东滨州·九年级校联考）如图，在平面直角坐标系中A(−1,1)，B(−1,−2)，C(3,−2)，D(3,1)，一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿A→B→C→D→A循环爬行，
问第2021秒瓢虫在（ ）处．
A．(3,1) B．(−1,−2) C．(1,−2) D．(3,−2)
【变式2-3】（2022秋·河北保定·九年级模拟预测）点E(m,n)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则坐
标(m+1,n−1)对应的点可能是（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
【考点3 镜面对称】
【例3】（2022·河南·一模）小狗皮皮看到镜子里的自己,觉得很奇怪,此时它所看到的全身像是（ ）
A．（A） B．（B） C．（C） D．（D）
【变式3-1】（2012·湖南郴州·一模）小强站在镜前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表，其读数如
图所示，则电子表的实际时刻是____________.
【变式3-2】（2022·广东湛江·一模）一个汽车牌在水中的倒影为 ，则该车牌照号码
___________.【变式3-3】（2022·浙江温州·一模）某电梯中一面镜子正对楼层显示屏，显示屏中显示的是电梯所在楼层
号和电梯运行方向．当电梯中镜子如图显示时，电梯所在楼层号为______．
【考点4 轴对称中坐标与图形变化】
【例4】（2022·贵州省遵义市第一初级中学九年级一模）已知点P (2a−b,2)和P (−7,4a+2b)关于x轴
1 2
对称，则ab=__．
【变式4-1】（2022·内蒙古·霍林郭勒市第五中学九年级一模）将点A先向下平移3个单位，再向右平移2
个单位后得B（﹣2，5），则A点关于y轴的对称点坐标为__________．
【变式4-2】（2022秋·河南安阳模拟预测）已知点P（2a+b，-3a）与点P′（8，b+2）．
(1)若点p与点p′关于x轴对称，求a、b的值．
(2)若点p与点p′关于y轴对称，求a、b的值．
5
【变式4-3】（2022·吉林白山·九年级模拟预测）在坐标平面上有一个轴对称图形，其中A（3，﹣ ）和B
2
11
（3，﹣ ）是图形上的一对对称点，若此图形上另有一点C（﹣2，﹣9），则C点对称点的坐标是（
2
）
3 3
A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣ ） C．（﹣ ，﹣9） D．（﹣2，﹣1）
2 2
【考点5 设计轴对轴图案】
【例5】（2022·江苏·九年级课时练习）如图所示的“钻石”型网格（由边长都为1个单位长度的等边三角
形组成），其中已经涂黑了3个小三角形（阴影部分表示），请你再只涂黑一个小三角形，使它与阴影部
分合起来所构成的图形是一个轴对称图形，一共有（ ）种涂法．A．1 B．2 C．3 D．4
【变式5-1】（2022·河北·九年级专题练习）如图为5×5的方格，其中有A、B、C三点，现有一点P在其它
格点上，且A、B、C、P为轴对称图形，问共有几个这样的点P（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【变式5-2】（2022春·广东江门·九年级模拟预测）在3×3的正方形网格中，有三个小方格涂上阴影，请再
在余下的6个空白的小方格中，选两个小方格并涂成阴影，使得图中的阴影部分组成一个轴对称图形，共
有 ( )种不同的填涂方法．
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【变式5-3】（2022·江苏·九年级专题练习）现有如图1所示的两种瓷砖，请你从两种瓷砖中各选两块，拼
成一个新的正方形，使拼成的图案为轴对称图形，如图2，要求：在图3，图4中各设计一种与示例拼法不
同的轴对称图形．
【考点6 利用轴对称求最值】
【例6】（2022·湖南·李达中学九年级）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，
AD是∠BAC的平分线，若P，Q分别是AD何AC上的动点，则PC＋PQ的最小值是（ ）A．2.4 B．4 C．4.8 D．5
【变式6-1】（2022·河南驻马店·九年级模拟预测）如图，四边形ABCD中，∠BAD=α，
∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，则∠MAN的度数为（ ）
1
A． α B．2α−180° C．180°−α D．α−90°
2
【变式6-2】（2022·全国·九年级专题练习）如图，在长方形ABCD中，AD＝BC＝3，AB＝CD＝4，AC＝
5，动点M在线段AC上运动(不与端点重合)，点M关于边AD，DC的对称点分别为M，M，连接MM，
1 2 1 2
点D在MM 上，则在点M的运动过程中，线段MM 长度的最小值是_______．
1 2 1 2
【变式6-3】（2022·福建龙岩·九年级一模）如图，在Rt ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6，BC＝10，
M、N、P分别是边AB、AC、BC上的动点，连接PM、P△N和MN，则PM+PN+MN的最小值是 _______．【知识点 旋转的定义】
在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，
转动的角叫做旋转角。
我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。
【知识点 旋转的性质】
旋转的特征：
（1）对应点到旋转中心的距离相等；
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
（3）旋转前后的图形全等。
理解以下几点：
（1）图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。
（2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。
（3）图形的大小与形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。
【考点7 利用旋转的性质求解】
【例7】（2022春•梅州校级模拟预测）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，将△BOC绕点
C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD，若OD＝AD，则∠BOC的度数为 140 ° ．
【变式7-1】（2022•东莞市校级一模）如图，△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝4，BO＝8，△AOB绕点O逆
时针旋转到△A′OB′处，此时线段A′B′与BO的交点E为BO的中点，则线段B′E的长度为（
）12√5 9√5 16√5
A．3√5 B． C． D．
5 5 5
【变式7-2】（2022•城步县模拟）如图，P为等边三角形ABC内一点，∠APB：∠APC：∠CPB＝5：6：
7，则以PA，PB，PC为三边构成的三角形的三个内角从小到大的度数之比为（ ）
A．1：2：3 B．2：3：4 C．3：4：5 D．5：6：7
【变式7-3】（2022春•和平区模拟预测）如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，连接AD，BE，CD＝
4，BC＝2，若将△CDE 绕点 C 顺时针旋转，当点 A、C、E 在同一条直线上时，线段 BE 的长为
（ ）
A．2√3 B．2√7 C．√3或√7 D．2√3或2√7
【考点8 旋转中的坐标与图形变换】
【例8】（2022秋•黄石模拟预测）如图，线段AB与线段CD关于点P对称，若点A（a，b）、B（5，
1）、D（﹣3，﹣1），则点C的坐标为（ ）A．（﹣a，﹣b） B．（﹣a+2，﹣b）
C．（﹣a﹣1，﹣b+1） D．（﹣a+1，﹣b﹣1）
【变式3-1】（2022秋•本溪模拟预测）如图，在△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝2√7，将△AOB绕原点
O逆时针旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（﹣4，2） B．（﹣2√3，4） C．（﹣2√3，2） D．（﹣2，2√3）
【变式3-2】（2022秋•西湖区模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，△MNP绕原点逆时针旋转90°得到
△MN P，若M（1，﹣2），则点M 的坐标为（ ）
1 1 1 1
A．（﹣2，﹣1） B．（1，2） C．（2，1） D．（﹣1，﹣2）
【变式3-3】（2022•新抚区模拟）如图，Rt△AOB的斜边AO在y轴上，OB=√3，∠AOB＝30°，直角顶点
B在第二象限，将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转120°后得到△A′OB'，则A点的对应点A′的坐标是
（ ）A．（√3，﹣1） B．（1，−√3） C．（2，0） D．（√3，0）
【考点9 位似变换】
【例9】（2022春•如皋市模拟预测）若△ABC绕点A逆时针旋转α后，与△ADE构成位似图形，则我们称
△ABC与△ADE互为“旋转位似图形”．
（1）知识理解：
如图1，△ABC与△ADE互为“旋转位似图形”．
①若α＝25°，∠D＝100°，∠C＝28°，则∠BAE＝ ；
②若AD＝6，DE＝7，AB＝4，则BC＝
（2）知识运用：
如图2，在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AE⊥BD于点E，∠DAC＝∠DBC，求证：△ACD与△ABE互为“旋
转位似图形”．
（3）拓展提高：
如图3，△ABG为等边三角形，点C为AG的中点，点F是AB边上的一点，点D为CF延长线上的一点，点
DE
E在线段CF上，且△ABD与△ACE互为“旋转位似图形”．若AB＝6，AD＝4，求 的值．
CE
【变式9-1】（2022·山东潍坊·中考真题）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，
感悟数学之美．如图，正方形ABCD的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形
A′B′C′D′，若A′B′:AB=2:1，则四边形A′B′C′D′的外接圆的周长为___________．【变式9-2】（2022·贵州黔西·中考真题）如图，△A′B′C′与△ABC是位似图形，点O为位似中心，若
OA′=A′ A，则△A′B′C′与△ABC的面积比为__．
【变式9-3】（2022·安徽·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已
知点O，A，B均为网格线的交点．
（1）在给定的网格中，以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段A B （点A，B的对
1 1
应点分别为A 、B ）．画出线段A B ；
1 1 1 1
（2）将线段A B 绕点B 逆时针旋转90°得到线段A B ．画出线段A B ；
1 1 1 2 1 2 1
（3）以A、A 、B 、A 为顶点的四边形A A B A 的面积是_______个平方单位．
1 1 2 1 1 2
【考点10 图形的变换与作图】
【例10】（2022春•化州市校级一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（1，
3），B（4，4），C（2，1）．
（1）把△ABC向左平移4个单位后得到对应的△ABC ，请画出平移后的△ABC ；
1 1 1 1 1 1（2）把△ABC绕原点O旋转180°后得到对应的△ABC ，请画出旋转后的△ABC ．
2 2 2 2 2 2
【变式10-1】（2022春·北京怀柔·九年级模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点
分别是A(0，4)，B(-4，1)，C(-1，2)．
请你解答下列问题：
(1)在平面直角坐标系中画出三角形ABC；
(2)将三角形ABC先向下平移5个单位，再向右平移3个单位．画出平移后的三角形A B C ．
1 1 1
(3)把（2）三角形A B C 各个顶点的横坐标保持不变，纵坐标增加2，得到三角形A B C ．直接写出三
1 1 1 2 2 2
角形A B C 的面积．
2 2 2
【变式10-2】（2022·广西桂林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，形如英文字母“V”的图形三个端
点的坐标分别是A(2，3)，B(1，0)，C(0，3)．(1)画出“V”字图形向左平移2个单位后的图形；
(2)画出原“V”字图形关于x轴对称的图形；
(3)所得图形与原图形结合起来，你能从中看出什么英文字母？（任意答一个即可）
【变式10-3】（2022春•蒲城县模拟预测）在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为 1个
单位长度的正方形，△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（3，0），C（2，3）．
（1）将△ABC向左平移4个单位长度得到△ABC ，点A、B、C的对应点分别为A 、B 、C ，请画出
1 1 1 1 1 1
△ABC ，并写出点C 的坐标；
1 1 1 1
（2）以原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°得到△ABC ，点A、B、C的对应点分别为A 、
2 2 2 2
B、C ，请画出△ABC ．
2 2 2 2 2
