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专题 26 图形的对称、平移、旋转与位似（10 个高频考点）（强化训
练）
【考点1 利用平移的性质求解】
1．（2022·河北廊坊·统考二模）如图，两张完全相同的正六边形纸片（边长为2a）重合在一起，下面一张
保持不动，将上面一张纸片六边形A′B′C′D′E′F′沿水平方向向左平移a个单位长度，则上面正六边形纸
片面积与折线A′−B′−C′扫过的面积（阴影部分面积）之比是（ ）
A．3:1 B．4:1 C．5:2 D．2:1
2．（2022·广东佛山·佛山市南海区石门实验学校校考三模）如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，
BC=5.将△ABC沿着点A到点C的方向平移到△≝¿的位置，图中阴影部分面积为4，则平移的距离为
（ ）
A．3−√6 B．√6 C．3+√6 D．2√6
3．（2022·湖北随州·统考一模）楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为
θ，现在要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽BD=1米，则地毯的面积至少需要（ ）4 ( 4 )
A．(4+sinθ)米❑ 2 B． 米❑ 2 C． 4+ 米❑ 2 D．(4+4tanθ)米❑ 2
cosθ tanθ
5．（2022·贵州遵义·统考一模）如图1，计划在长为30米、宽为20米的矩形地面上修筑两条同样宽的道
路①、②（图中阴影部分），设道路①、②的宽为x米，剩余部分为绿化．
(1)道路①的面积为___________平方米；道路②的面积为___________平方米（都用含x的代数式表示）．
(2)如图2，根据实际情况，将计划修筑的道路①、②改为同样宽的道路③（图中阴影部分），若道路的宽
依然为x米，剩余部分为绿化，且绿化面积为551平方米，求道路的宽度．
【考点2 坐标轴中的平移】
6．（2022·海南·统考中考真题）如图，点A(0,3)、B(1,0)，将线段AB平移得到线段DC，若
∠ABC=90°,BC=2AB，则点D的坐标是（ ）
A．(7,2) B．(7,5) C．(5,6) D．(6,5)
7．（2020·河南·统考中考真题）如图，在ΔABC中，∠ACB=90°．边BC在x轴上，顶点A,B的坐标分
别为(−2,6)和(7,0)．将正方形OCDE沿x轴向右平移当点E落在AB边上时，点D的坐标为（ ）(3 ) (11 )
A． ,2 B．(2,2) C． ,2 D．(4,2)
2 4
8．（2022·福建厦门·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，A(1,0)，B(0,−2)，将线段AB先向上
平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到线段DC，点A与点D为对应点．点P为y轴上一点，
1
且S = S ，则满足要求的点P坐标为______．
△ACP 4 四边形ABCD
( 5m−2)
9．（2022·广东中山·统考二模）将点A m−2, 向左平移a(a>0)个单位长度，向上平移b(b>0)
3
个单位长度，得到点A (2m−3,2m+1)，则m的取值范围是___________．
1
10．（2022·浙江台州·统考二模）如图，平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(1,1)，B(4,1)，
D(2,3)，要把顶点A平移到顶点C的位置，则其平移方式可以是：先向右平移______个单位，再向上平移
______个单位．
【考点3 镜面对称】
11．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）九年四班中考倒计时钟上每天都显示着距离中考还有多少天，小明用镜子看背后时钟上的时间如图显示，这时的时钟上的正确显示应是（ ）
A．258 B．528 C．825 D．852
12．（2022秋·福建龙岩·八年级校考期中）小明在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近8时的是下
图中的（ ）
A． B．
C． D．
13．（2022春·河南周口·七年级统考期末）如图下面镜子里哪个是他的像？（ ）
A． B． C． D．14．（2020·广东·统考一模）小明从前面的镜子里看到后面墙上挂钟的时间为2:30，则实际时间是
_______________．
15．（2022秋·江苏宿迁·八年级统考阶段练习）某公路急转弯处设立了一面大镜子，从镜子中看到汽车的
车辆号码如图所示，则该汽车的号码是______．
【考点4 轴对称中坐标与图形变化】
16．（2022·陕西·统考中考真题）已知点A(−2，m)在一个反比例函数的图象上，点A′与点A关于y轴对称．
1
若点A′在正比例函数y= x的图象上，则这个反比例函数的表达式为_______．
2
17．（2021·湖北宜昌·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将点A(−1,2)向右平移2个单位长度得
到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标是___________．
19．（2020·四川达州·中考真题）如图，点P(−2,1)与点Q(a,b)关于直线l(y=−1)对称，则a+b=
______．【考点5 设计轴对轴图案】
21．（2022·四川广安·统考中考真题）数学活动课上，张老师组织同学们设计多姿多彩的几何图形， 下图
都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请同学们在
余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形或中心对
称图形，请画出4种不同的设计图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形）
22．（2019·四川广安·统考中考真题）在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的3×3正方形方格纸，
剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2的四
幅图就视为同一种设计方案（阴影部分为要剪掉部分）
请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑（每个3×3的正方形方格画一种，
例图除外）
23．（2017·湖北·中考真题）如图，下列4×4网格图都是由16个相同小正方形组成，每个网格图中有4个
小正方形已涂上阴影，请在空白小正方形中，按下列要求涂上阴影．
（1）在图1中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形；
（2）在图2中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形．
24．（2008·吉林长春·中考真题）汉字是世界上最古老的文字之一，字形结构体现人类追求均衡对称、和
谐稳定的天性．如图，三个汉字可以看成是轴对称图形．
（1）请在方框中再写出2个类似轴对称图形的汉字；
（2）小敏和小慧利用“土”、“口”、“木”三个汉字设计一个游戏，规则如下：将这三个汉字分别写
在背面都相同的三张卡片上，背面朝上洗匀后抽出一张，放回洗匀后再抽出一张，若两次抽出的汉字能构
成上下结构的汉字（如“土”“土”构成“圭”）小敏获胜，否则小慧获胜．你认为这个游戏对谁有利？
请用列表或画树状图的方法进行分析并写出构成的汉字进行说明．
25．（2013·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图．在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中,有线段
AB和直线MN，点A、B、M、N均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画四边形ABCD(四边形的各顶点均在小正方形的顶点上)，使四边形ABCD是以直线MN为
对称轴的轴对称图形，点A的对称点为点D，点B的对称点为点C；
（2）请直接写出四边形ABCD的周长．
【考点6 利用轴对称求最值】
26．（2021·湖北恩施·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A，B在x轴上，抛物线y=x2+bx+c经过点B，D(−4,5)两点，且与直线DC交于另一点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，F，E，B为顶点的四
边形是以BE为边的菱形．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接ME，BP．探究EM+MP+PB是
否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点M的坐标；若不存在，请说明理由．
27．（2013·贵州六盘水·中考真题）（1）观察发现
如图（1）：若点A、B在直线m同侧，在直线m上找一点P，使AP+BP的值最小，做法如下：
作点B关于直线m的对称点B′，连接AB′，与直线m的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的
最小值．
如图（2）：在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值
最小，做法如下：
作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最
小值为 ．
（2）实践运用
如图（3）：已知⊙O的直径CD为2，A´C的度数为60°，点B是A´C的中点，在直径CD上作出点P，使
BP+AP的值最小，则BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值为 ．
（3）拓展延伸
如图（4）：点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB、BC上作出点M，点N，使PM+PN的值最小，保留
作图痕迹，不写作法．28．（2022·吉林长春·统考中考真题）【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如
图①，矩形ABCD为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中AD=√2AB．他
先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在AD上，点B的对应点为点E，折痕为AF；再沿过点F的直
线折叠，使点C落在EF上，点C的对应点为点H，折痕为FG；然后连结AG，沿AG所在的直线再次折
叠，发现点D与点F重合，进而猜想△ADG≌△AFG．
【问题解决】
(1)小亮对上面△ADG≌△AFG的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：
证明：四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°．
1
由折叠可知，∠BAF= ∠BAD=45°，∠BFA=∠EFA．
2
∴∠EFA=∠BFA=45°．
∴AF=√2AB=AD．
请你补全余下的证明过程．
【结论应用】
FG
(2)∠DAG的度数为________度， 的值为_________；
AF
1
(3)在图①的条件下，点P在线段AF上，且AP= AB，点Q在线段AG上，连结FQ、PQ，如图②，设
2
AB=a，则FQ+PQ的最小值为_________．（用含a的代数式表示）
29．（2016·新疆·中考真题）如图， ▱ABCD中，AB=2，AD=1，∠ADC=60°，将 ▱ABCD沿过点A的直线l
折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕交CD边于点E．（1）求证：四边形BCED′是菱形；
（2）若点P时直线l上的一个动点，请计算PD′+PB的最小值．
30．（2022·广东广州·统考二模）如图， A，B是半圆O上的两点，CD是⊙O的直径，∠AOD=80°，B
是AD的中点．
(1)在CD上求作一点P，使得AP+PB最短；
(2)若CD=4，求AP+PB的最小值．
【考点7 利用旋转的性质求解】
31．（2022·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）如图，△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C顺时针旋
转得到△EDC，使点B的对应点D恰好落在AB边上，AC、ED交于点F．若∠BCD=α，则∠EFC的度
数是（用含α的代数式表示）（ ）
1 1 3 3
A．90°+ α B．90°− α C．180°− α D． α
2 2 2 2
32．（2018·吉林·中考真题）如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1=70°，∠2=50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（ ）
A．10° B．20° C．50° D．70°
33．（2014·江西南昌·中考真题）如图，△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，
得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角
的度数分别为（ ）
A．4，30° B．2，60° C．1，30° D．3，60°
34．（2022·贵州六盘水·统考中考真题）如图，将△ABC绕点A旋转得到△ADE，若∠B=90°，
∠C=30°，AB=1，则AE=__________．
35．（2022·广西贵港·中考真题）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转角α(0°<α<180°)得到△ADE，点B
的对应点D恰好落在BC边上，若DE⊥AC,∠CAD=25°，则旋转角α的度数是______．
【考点8 旋转中的坐标与图形变换】
36．（2022·山东淄博·统考中考真题）如图，正方形ABCD的中心与坐标原点O重合，将顶点D（1，0）绕点A（0，1）逆时针旋转90°得点D，再将D 绕点B逆时针旋转90°得点D，再将D 绕点C逆时针旋转
1 1 2 2
90°得点D，再将D 绕点D逆时针旋转90°得点D，再将D 绕点A逆时针旋转90°得点D……依此类推，则
3 3 4 4 5
点D 的坐标是________．
2022
37．（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A(−1,2)，OC=4，将平行四
边形OABC绕点O旋转90°后，点B的对应点B′坐标是______．
38．（2022·山东潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，边长为2个单位长度的正方形ABCO绕原点O
逆时针旋转75°，再沿y轴方向向上平移1个单位长度，则点B″的坐标为___________．
39．（2020·山东烟台·统考中考真题）如图，已知点A(2，0)，B(0，4)，C(2，4)，D(6，6)，连接AB，
CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），
则这个旋转中心的坐标为_____．40．（2022·山东济南·统考中考真题）规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移
一个单位，一个点作“1”变换表示将它绕原点顺时针旋转90°，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上
面描述依次连续变换．例如：如图，点O(0,0)按序列“011…”作变换，表示点O先向右平移一个单位得到
，再将 绕原点顺时针旋转90°得到 ，再将 绕原点顺时针旋转90°得到
O (1,0) O (1,0) O (0,−1) O (0,−1)
1 1 2 2
O (−1,0)…依次类推．点(0,1)经过“011011011”变换后得到点的坐标为______．
3
【考点9 位似变换】
41．（2020·辽宁盘锦·中考真题）△AOB三个顶点的坐标分别为A(5,0)，O(0,0)，B(3,6)，以原点O为位
2
似中心，相似比为 ，将△AOB缩小，则点B的对应点B′的坐标是________．
3
42．（2021·贵州黔东南·统考中考真题）已知在平面直角坐标系中，△AOB的顶点分别为点A（2，1）、
点B（2，0）、点O（0，0），若以原点O为位似中心，相似比为2，将△AOB放大，则点A的对应点的
坐标为________．
43．（2018·辽宁抚顺·中考真题）如图， AOB三个顶点的坐标分别为A（8，0），O（0，0），B（8，﹣
△
1
6），点M为OB的中点．以点O为位似中心，把 AOB缩小为原来的 ，得到 A′O′B′，点M′为O′B′的中点，
2
△ △
则MM′的长为_____．44．（2023·安徽淮北·淮北一中校联考一模）如图，在正方形网格中，△OAB的顶点都在小正方形的格点
上．
(1)以点O为位似中心，将△OAB放大2倍后得到△OA B ，画出△OA B ；
1 1 1 1
(2)找出A B 的中点C，将△OAB绕点C旋转180∘得到△O A B ，画出△O A B ．
1 1 1 2 2 1 2 2
45．（2022·辽宁铁岭·统考三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点坐标分别为A(−2,4)，
B(−2,1)，C(−5,2)．
(1)请画出△ABC关于x轴对称的△A B C ；
1 1 1
(2)将△A B C 的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以－2，得到对应的点A ，B ，C ，请画出
1 1 1 2 2 2
△A B C ；
2 2 2(3)△A B C 是△A B C 的位似图形吗？如果是，请写出位似中心的坐标；
2 2 2 1 1 1
(4)设△A B C 的面积为S ，△A B C 的面积为S ，求△A B C 与△A B C 的面积比，即S :S ．
1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2
【考点10 图形的变换与作图】
46．（2022·宁夏吴忠·统考二模）在平面直角坐标系中，三角形ABC经过平移得到三角形A′B′C′，位置如
图所示．
(1)分别写出点A，A′的坐标：A（______，______），A′（______，______）．
(2)请说明三角形A′B′C′是由三角形ABC经过怎样的平移得到的；
(3)若点M(m,4−n)是三角形ABC内部一点，则平移后对应点M′的坐标为(2n−8,m−4)，求m和n的值．
47．（2023·广西柳州·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系内，△ABC三个顶点的坐标分别为
A(1,−2)，B(4,−1)，C(3,−3)（正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度）．
(1)以坐标原点O为旋转中心，将△ABC逆时针旋转90°，得到△A B C ，请画出△A B C ；
1 1 1 1 1 1
(2)求点C到点C 经过的路径．
1
48．（2023·广西南宁·南宁二中校考一模）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,0)，B(4,6)，C(4,2)．
(1)画出△ABC关于y轴对称的△AB C ，写出B 的坐标；
1 1 1
(2)把△ABC平移到△A B C 的位置，使点B移动到点B 位置；画出平移后的三角形△A B C ，并判断
2 2 2 2 2 2 2
四边形A A B B的形状，并说明理由．
2 2
49．（2020·广西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（1，3），B（4，
4），C（2，1）．
（1）把△ABC向左平移4个单位后得到对应的△ABC ，请画出平移后的△ABC ；
1 1 1 1 1 1
（2）把△ABC绕原点O旋转180°后得到对应的△ABC ，请画出旋转后的△ABC ；
2 2 2 2 2 2
（3）观察图形可知，△ABC 与△ABC 关于点（ ， ）中心对称．
1 1 1 2 2 2
50．（2018·江苏徐州·统考中考真题）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建
立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1,0）
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A B C ，
1 1 1
（2）画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A B C ，
2 2 2
（3）△A B C 与△A B C 成轴对称图形吗？若成轴对称图形，画出所有的对称轴并写出对称轴；
1 1 1 2 2 2（4）△A B C 与△A B C 成中心对称图形吗？若成中心对称图形，写出所有的对称中心的坐标.
1 1 1 2 2 2
