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专题08 一元一次不等式（组）及其应用（10个高频考点）（举一反三）
【考点1 不等式的相关定义】...............................................................................................................................1
【考点2 不等式的性质】.......................................................................................................................................2
【考点3 不等式（组）的解集】...........................................................................................................................3
【考点4 在数轴上表示不等式（组）的解集】...................................................................................................3
【考点5 解一元一次不等式（组）】...................................................................................................................4
【考点6 一元一次不等式（组）的整数解】.......................................................................................................4
【考点7 含字母的一元一次不等式（组）的有（无）解问题】........................................................................5
【考点8 不等式与方程的综合运用】...................................................................................................................5
【考点9 由实际问她抽象出一元一次不等式（组）】........................................................................................6
【考点10 一元一次不等式（组）的应用】...........................................................................................................6
【要点1 不等式的相关定义】
1.用符号“＜”或“＞”表示大小关系的式子，叫做不等式。用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等
式。
2.含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式叫做一元一次不等式。
3.由几个含同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式叫做一元一次不等式组.
【考点1 不等式的相关定义】
【例1】（2022·河北唐山·三模）下面列出的不等式中，正确的是（ ）
A．“m不是正数”表示为m＜0
B．“m不大于3”表示为m＜3
C．“n与4的差是负数”表示为n﹣4＜0
D．“n不等于6”表示为n＞6
【变式1-1】（2022·四川南充·模拟预测）“a，b两数同号“，可用一个不等式表示为_____．
【变式1-2】（2015·河南·模拟预测）若 是关于x的一元一次不等式，则k的值为
(k+2)x|k|−1+6>0
____________．【变式1-3】（2022·山西·模拟预测）下列不等式组，其中是一元一次不等式组的个数（ ）
①¿；②¿；③¿；④¿；⑤¿
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【要点2 不等式的基本性质】
性质1：若a＜b，b＜c，则a＜c.这个性质叫做不等式的传递性.
性质2：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。
若a＞b，则a±c＞b±c.
性质3：不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。
不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。
a b
若a＞b，c＞0，则ac＞bc， ＞ ;
c c
a b
若a＞b，c＜0，则ac＜bc， ＜
c c
【考点2 不等式的性质】
【例2】（2022·浙江杭州·中考真题）已知a，b，c，d是实数，若a>b，c=d，则（ ）
A．a+c>b+d B．a+b>c+d C．a+c>b−d D．a+b>c−d
【变式2-1】（2022·山东济南·模拟预测）如图，A、B两点在数轴上表示的数分别是a、b，则下列式子中
一定成立的是（ ）
A．ab<2a B．1−3a<1−3b C．|a|−|b|>0 D．ab>−b
【变式2-2】（2022·广东·深圳市宝安第一外国语学校三模）已知1a−2b的解集是x< ，
2
求关于x的不等式ax+b<0的解集．
【要点3 不等式的解集】
1.使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。
2.一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集。
3.几个不等式的解集的公共部分，叫做由他们所组成的不等式组的解集，当任何数x都不能使不等式同时
成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。【考点3 不等式（组）的解集】
【例3】（2022·湖南益阳·中考真题）若x＝2是下列四个选项中的某个不等式组的一个解，则这个不等式
组是（ ）
A．¿ B．¿ C．¿ D．¿
【变式3-1】（2022·浙江台州·三模）下列说法正确的是（ ）
A．5 是不等式 x−5>0的解 B．6 是不等式x+5>10 的解集
C．x≥3是不等式 x−3≥0的解集 D．x>5是不等式x+5≥10的解集
【变式3-2】（2022·内蒙古呼和浩特·二模）如果不等式(a−2)x>2a−5的解集是x<4，则不等式
2a−5 y>1的解集是（ ）．
5 2 5 2
A．y< B．y< C．y> D．y>
2 5 2 5
【变式3-3】（2022·四川·叙州区双龙镇初级中学校模拟预测）不等式组¿的解集是0＜x＜2，那么a+b＝（
）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【考点4 在数轴上表示不等式（组）的解集】
【例4】（2022·辽宁阜新·中考真题）不等式组¿的解集，在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
1 3
【变式4-1】（2022·辽宁锦州·中考真题）不等式 x−1≤7− x的解集在数轴上表示为（ ）
2 2
A． B． C． D．
【变式4-2】（2022·浙江绍兴·模拟预测）关于的不等式3x−2a≤−2的解集如图所示，则a的值为
1 1
A．1 B． C．-1 D．−
3 2【变式4-3】（2022·浙江丽水·一模）一个不等式的解在数轴上表示如图，则这个不等式可以是（ ）
A．x−1≥0 B．x+1≥0 C．−2x≤−2 D．2x≤2
【考点5 解一元一次不等式（组）】
【例5】（2022·浙江衢州·中考真题）不等式组¿的解集是（ ）
A．x＜3 B．无解 C．2＜x＜4 D．3＜x＜4
【变式5-1】（2022·辽宁大连·中考真题）不等式4x<3x+2的解集是（ ）
A．x>−2 B．x<−2 C．x>2 D．x<2
【变式5-2】（2022·广西河池·中考真题）如果点P（m，1+2m）在第三象限内，那么m的取值范围是( )
1 1 1
A．− − C．m<0 D．m<−
2 2 2
【变式5-3】（2022·山东临沂·中考真题）满足m>|√10−1|的整数m的值可能是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【考点6 一元一次不等式（组）的整数解】
【例6】（2022·山东济宁·中考真题）若关于x的不等式组¿仅有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．－4≤a＜－2 B．－3＜a≤－2
C．－3≤a≤－2 D．－3≤a＜－2
【变式6-1】（2022·青海·中考真题）不等式组¿的所有整数解的和为______.
【变式6-2】（2022·辽宁盘锦·中考真题）从不等式组¿所有整数解中任取一个数，它是偶数的概率是
_____．
【变式6-3】（2022·湖南邵阳·中考真题）关于x的不等式组¿有且只有三个整数解，则a的最大值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点7 含字母的一元一次不等式（组）的有（无）解问题】
a x+a
【例7】（2022·重庆·二模）若关于x的方程 +1= 的解为负数，且关于y的不等式组¿无解．则所
x+1 x−1
有满足条件的整数a的值之积是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【变式7-1】（2022·山东省郓城第一中学模拟预测）若不等式组¿无解，则a的取值范围为（ ）
A．a≤2 B．a<2 C．a≥2 D．a>2
【变式7-2】（2022·福建·莆田擢英中学一模）关于x的不等式组¿有解，则a的取值范围是（ ）．3 3 3 3
A．a≤− B．a<− C．a>− D．a>−
2 2 2 2
1 m−x
【变式7-3】（2022·重庆铜梁·一模）关于x的不等式组¿有解，且使关于x的分式方程 − =2有
x−2 2−x
非负整数解的所有m的值的和是（ ）
A．-1 B．2 C．-6 D．0
【考点8 不等式与方程的综合运用】
【例8】（2022·山东聊城·中考真题）关于x，y的方程组¿的解中x与y的和不小于5，则k的取值范围为
（ ）
A．k≥8 B．k>8 C．k≤8 D．k<8
1−2k 1
【变式8-1】（2022·内蒙古通辽·中考真题）若关于x的分式方程：2− = 的解为正数，则k的取
x−2 2−x
值范围为（ ）
A．k<2 B．k<2且k≠0
C．k>−1 D．k>−1且k≠0
【变式8-2】（2022·四川攀枝花·中考真题）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解．则称该一元
1
一次方程为该一元一次不等式组的关联方程．若方程 x−1=0是关于x的不等式组¿的关联方程，则n的
3
取值范围是 ___________．
3x−a x+1
【变式8-3】（2022·重庆·中考真题）关于x的分式方程 + =1的解为正数，且关于y的不等式
x−3 3−x
组¿的解集为y≥5，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．13 B．15 C．18 D．20
【考点9 由实际问她抽象出一元一次不等式（组）】
【例9】（2022·广东佛山·二模）某次知识竞赛共有15道题，每答对一题得10分，答错或不答都扣5分，
小明得分要不低于90分，设她答对了x道题，则根据题意可列不等式为__________．
【变式9-1】（2022·广东广州·二模）小丽计划节省部分零花钱购买一台学生平板电脑，她已存有750元，
并计划从本月起每月存钱30元，直到她至少存有1080元，设x个月后小丽至少有1080元，则可列出不等式
为（ ）
A．30x+750>1080 B．30x−750>1080 C．30x−750≤1080 D．30x+750≥1080
【变式9-2】（2022·浙江杭州·一模）为了治理环境，九年级部分同学去植树，若每人平均植树7棵，还剩9棵；若每人平均植树9棵．则有1名同学植树的棵树小于8棵．若设同学人数为x人，下列各项能准确的
求出同学人数与种植的树木的数量的是（ ）
A．7x+9﹣9（x﹣1）＞0 B．7x+9﹣9（x﹣1）＜8
C．¿ D．¿
【变式9-3】（2022·贵州·仁怀市教育研究室二模）校团委计划用800元为毕业生到某超市购买纪念册，该
超市推出优惠活动，若一次购买不超过15册，则按每册10元付款，若一次性购买15册以上，则超过部分
按八折优惠．问最多能购买多少册？设能购买x册，则下列不等关系正确的是（ ）
A．10x≤800 B．10×0.8×15+10×0.8(x−15)≤800
C．15×10+10×0.8(x−15)≤800 D．15×10+10×0.8x≤800
【考点10 一元一次不等式（组）的应用】
【例10】（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）为了迎接“十•一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备
购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：
运动鞋
甲 乙
价格
进价（元/双） m m﹣20
售价（元/双） 240 160
已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同．
（1）求m的值；
（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润=售价﹣进价）不少于21700元，且不超过
22300元，问该专卖店有几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a（50
＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？
【变式10-1】（2022·广西梧州·中考真题）梧州市地处亚热带，盛产龙眼．新鲜龙眼的保质期短，若加工
成龙眼干（又叫带壳圆肉）则有利于较长时间保存．已知3kg的新鲜龙眼在无损耗的情况下可以加工成
1kg的龙眼干．
(1)若新鲜龙眼售价为12元/kg，在无损耗的情况下加工成龙眼干，使龙眼干的销售收益不低于新鲜龙眼的
销售收益，则龙眼干的售价应不低于多少元/kg?
(2)在实践中，小苏发现当地在加工龙眼干的过程中新鲜龙眼有6%的损耗，为确保果农的利益，龙眼干的
销售收益应不低于新鲜龙眼的销售收益，此时龙眼干的定价取最低整数价格．市场调查还发现，新鲜龙眼
以12元/kg最多能卖出100kg，超出部分平均售价是5元/kg，可售完．果农们都以这种方式出售新鲜龙眼．设某果农有akg新鲜龙眼，他全部加工成龙眼干销售获得的收益与全部以新鲜龙眼销售获得的收益之差为
w元，请写出w与a的函数关系式．
【变式10-2】（2022·四川内江·中考真题）为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内
江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学
生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两型
客车，它们的载客量和租金如表所示：
甲型客 乙型客
车 车
载客量
35 30
（人/辆）
租金
400 320
（元/辆）
学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元．
(1)参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？
(2)每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？
(3)学校租车总费用最少是多少元？
【变式10-3】（2022·湖南湘西·中考真题）为了传承雷锋精神，某中学向全校师生发起“献爱心”募捐活
动，准备向西部山区学校捐赠篮球、足球两种体育用品．已知篮球的单价为每个100元，足球的单价为每
个80元．
(1)原计划募捐5600元，全部用于购买篮球和足球，如果恰好能够购买篮球和足球共60个，那么篮球和足
球各买多少个？
(2)在捐款活动中，由于师生的捐款积极性高涨，实际收到捐款共6890元，若购买篮球和足球共80个，且
支出不超过6890元，那么篮球最多能买多少个？
