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专题08 一元一次不等式（组）及其应用（10个高频考点）（举一反三）
【考点1 不等式的相关定义】...............................................................................................................................1
【考点2 不等式的性质】.......................................................................................................................................3
【考点3 不等式（组）的解集】...........................................................................................................................5
【考点4 在数轴上表示不等式（组）的解集】...................................................................................................7
【考点5 解一元一次不等式（组）】.................................................................................................................10
【考点6 一元一次不等式（组）的整数解】.....................................................................................................11
【考点7 含字母的一元一次不等式（组）的有（无）解问题】......................................................................13
【考点8 不等式与方程的综合运用】.................................................................................................................16
【考点9 由实际问她抽象出一元一次不等式（组）】......................................................................................18
【考点10 一元一次不等式（组）的应用】.........................................................................................................20
【要点1 不等式的相关定义】
1.用符号“＜”或“＞”表示大小关系的式子，叫做不等式。用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等
式。
2.含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式叫做一元一次不等式。
3.由几个含同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式叫做一元一次不等式组.
【考点1 不等式的相关定义】
【例1】（2022·河北唐山·三模）下面列出的不等式中，正确的是（ ）
A．“m不是正数”表示为m＜0
B．“m不大于3”表示为m＜3
C．“n与4的差是负数”表示为n﹣4＜0
D．“n不等于6”表示为n＞6
【答案】C
【分析】根据各个选项的表示列出不等式，与选项中所表示的不等式对比即可.
【详解】A. “m不是正数”表示为m≤0, 故错误.B. “m不大于3”表示为m≤3,故错误.
C. “n与4的差是负数”表示为n﹣4＜0,正确.
D. “n不等于6”表示为n≠6,故错误.
故选:C.
【点睛】考查列不等式，解决本题的关键是理解负数是小于0的数，非负数是大于或等于0的数，不大于
用数学符号表示是“≤”．
【变式1-1】（2022·四川南充·模拟预测）“a，b两数同号“，可用一个不等式表示为_____．
【答案】ab＞0．
【分析】根据实数的运算法则可知，两数相乘，同号得正，异号得负表示即可.
【详解】根据两数相乘同号得正可得不等式．
解：由题意得：ab＞0，
故答案为：ab＞0.
【点睛】本题考查了实数的运算法则，解决本题的关键是熟练掌握实数运算时，同号得正，异号得负这一
法则.
【变式1-2】（2015·河南·模拟预测）若(k+2)x|k|−1+6>0是关于x的一元一次不等式，则k的值为
____________．
【答案】2
【分析】根据一元一次不等式的定义，|k|−1=1且k+2≠0，分别进行求解即可．
【详解】解：∵不等式(k+2)x|k|−1+6>0是一元一次不等式，
∴ ¿，
解得：k=2，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式定义的“未知数的最高次数为1次”这一条件；还要注意，未知数
的系数不能是0．
【变式1-3】（2022·山西·模拟预测）下列不等式组，其中是一元一次不等式组的个数（ ）
①¿；②¿；③¿；④¿；⑤¿
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】根据一元一次不等式组的概念，对5个式子逐一判断即可．【详解】解：①¿是一元一次不等式组；
②¿是一元一次不等式组；
③¿含有两个未知数，不是一元一次不等式组；
④¿是一元一次不等式组；
⑤¿，未知数是3次，不是一元一次不等式组，
其中是一元一次不等式组的有3个，
答案：B．
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组的概念，掌握一元一次不等式组的概念是解决本题的关键.
【要点2 不等式的基本性质】
性质1：若a＜b，b＜c，则a＜c.这个性质叫做不等式的传递性.
性质2：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。
若a＞b，则a±c＞b±c.
性质3：不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。
不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。
a b
若a＞b，c＞0，则ac＞bc， ＞ ;
c c
a b
若a＞b，c＜0，则ac＜bc， ＜
c c
【考点2 不等式的性质】
【例2】（2022·浙江杭州·中考真题）已知a，b，c，d是实数，若a>b，c=d，则（ ）
A．a+c>b+d B．a+b>c+d C．a+c>b−d D．a+b>c−d
【答案】A
【分析】根据不等式的基本性质可判定A正确，举例能判定B、C、D错误．
【详解】解：A、∵a>b， c=d，∴a+c>b+d．故此选项符合题意；
B、∵a>b， c=d，如a=-2,b=-3,c=d=1，则a+b=-5，c+d=2，∴a+bb， c=d，如a=-2,b=-3,c=d=-4，则a+c=-2-4=-6，b-d=-3-(-4)=1，∴a+cb， c=d，如a=-2,b=-3,则a+b=-5,c-d=0，∴a+b0 D．ab>−b
【答案】A
【分析】根据数轴可以得到a、b的正负和范围，利用不等式的性质，即可得到哪个选项是正确的．
【详解】解；由数轴可得，
−22，a<0，∴ab<2a，故选项A正确；
∵a−3b，则1−3a>1−3b，故选项B错误；
∵|a|<|b|，∴|a|−|b|<0，故选项C错误；
∵a<−1，b>0，∴ab<−b，故选项D错误；
故选：A．
【点睛】本题考查数轴、绝对值，解题的关键是明确数轴的特点，不等式的性质，利用数形结合的思想解
答．
【变式2-2】（2022·广东·深圳市宝安第一外国语学校三模）已知1a−2b的解集是x< ，
2
求关于x的不等式ax+b<0的解集．
【答案】x<−8
a−2b 5 a−2b 5
【分析】由不等式(2a−b)x>a−2b可得x< ，其解集是x< ，故有 = ，所以b=8a；将
2a−b 2 2a−b 2
其代入不等式ax+b<0中即可求得该不等式的解集．a−2b
【详解】解：不等式(2a−b)x>a−2b系数化1得x< ，且2a−b<0，
2a−b
5
∵该不等式的解集为是x< ，
2
a−2b 5
∴ = ，
2a−b 2
∴b=8a，
∵2a−b<0，
∴2a−8a<0，
解得：a>0，
将b=8a代入不等式ax+b<0得，
ax+8a<0，
移项得，ax<−8a，
又∵a>0，
∴x<−8，
即不等式ax+b<0的解集是x<−8．
【点睛】当题中有两个未知字母时，应把关于某个字母的不等式中的字母当成未知数，求得解集，再根据
解集进行判断，求得另一个字母的值．本题需注意，在不等式两边都除以一个负数时，应只改变不等号的
方向，余下运算不受影响，该怎么算还怎么算．
【要点3 不等式的解集】
1.使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。
2.一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集。
3.几个不等式的解集的公共部分，叫做由他们所组成的不等式组的解集，当任何数x都不能使不等式同时
成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。
【考点3 不等式（组）的解集】
【例3】（2022·湖南益阳·中考真题）若x＝2是下列四个选项中的某个不等式组的一个解，则这个不等式
组是（ ）
A．¿ B．¿ C．¿ D．¿
【答案】D
【分析】先把不等式组的解集求出来，然后根据解集判断x＝2是否是解集一个解．
【详解】解：A、∵不等式组的解集为x＜﹣1，∴x＝2不在这个范围内，故选项A不符合题意；
B、∵不等式组的解集为﹣1＜x＜1，∴x＝2不在这个范围内，故选项B不符合题意；C、∵不等式组无解，∴x＝2不在这个范围内，故选项C不符合题意；
D、∵不等式组的解集为x＞1，∴x＝2在这个范围内，故选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了不等式组的解集，不等式组解集的确定方法：同大取大，同小取小，大小小大中间找，
大大小小无解了．
【变式3-1】（2022·浙江台州·三模）下列说法正确的是（ ）
A．5 是不等式 x−5>0的解 B．6 是不等式x+5>10 的解集
C．x≥3是不等式 x−3≥0的解集 D．x>5是不等式x+5≥10的解集
【答案】C
【分析】先把各个不等式解出，再判断即可.
【详解】解：A.不等式x−5>0的解集为x﹥5, 5 不是不等式 x−5>0的解，故错误；
B. 不等式x+5>10的解集为x﹥5, 6是不等式 x+5>10的解，故错误
C. 不等式x−3≥0的解集为x≥3,，故正确；
D. 不等式x+5≥10的解集为x≥5,故错误.
故选C.
【点睛】此题主要考查了不等式的解和不等式的解集，正确的区分不等式的解与不等式的解集是解决问题
的关键.
【变式3-2】（2022·内蒙古呼和浩特·二模）如果不等式(a−2)x>2a−5的解集是x<4，则不等式
2a−5 y>1的解集是（ ）．
5 2 5 2
A．y< B．y< C．y> D．y>
2 5 2 5
【答案】B
2a−5 3
【分析】根据不等式的性质得出a−2<0， =4，解得a= ，则2a=3，再解不等式2a−5 y>1即可．
a−2 2
【详解】解：∵不等式（a-2）x＞2a-5的解集是x＜4，
∴a−2<0，
2a−5
∴ =4，
a−2
3
解得a= ，
2
∴2a=3，
∴不等式2a-5y＞1整理为3−5 y>1，2
解得：y< ．
5
故选：B．
【点睛】本题考查了含字母系数的不等式的解法，有一定难度，注意不等式两边同乘以（或除以）同一个
负数，不等号的方向改变．
【变式3-3】（2022·四川·叙州区双龙镇初级中学校模拟预测）不等式组¿的解集是0＜x＜2，那么a+b＝（
）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【答案】C
b+5
【分析】首先解不等式组得到解集为4﹣2a ＜x＜ ，得到方程组¿，求出a和b的值．
2
b+5
【详解】¿，由①得，x＞4﹣2a，由②得，x＜ ，
2
∵不等式组的解集是0＜x＜2，
∴¿，解得¿，
∴a+b＝2﹣1＝1．
故选：C．
【点睛】本题考查解不等式组，方法是首先接触不等式组中各个不等式的解集，其公共部分就是不等式组
的解集．
【考点4 在数轴上表示不等式（组）的解集】
【例4】（2022·辽宁阜新·中考真题）不等式组¿的解集，在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找
不到确定不等式组的解集．
【详解】解：由﹣x﹣1≤2，得：x≥﹣3，由0.5x﹣1＜0.5，得：x＜3，
则不等式组的解集为﹣3≤x＜3，
故选：A．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小
取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
1 3
【变式4-1】（2022·辽宁锦州·中考真题）不等式 x−1≤7− x的解集在数轴上表示为（ ）
2 2
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求得不等式的解集为x≤4，根据等号判定圆圈为实心，选择即可．
1 3
【详解】∵不等式 x−1≤7− x的解集为x≤4，
2 2
∴数轴表示为：
，
故选C．
【点睛】本题考查了不等式的解法和数轴表示，熟练掌握解不等式是解题的关键．
【变式4-2】（2022·浙江绍兴·模拟预测）关于的不等式3x−2a≤−2的解集如图所示，则a的值为
1 1
A．1 B． C．-1 D．−
3 2
【答案】D
【分析】首先用a表示出不等式的解集，然后解出a．
【详解】解：根据图示知，原不等式的解集是：x≤-1；
又∵3x-2a≤-2，
−2+2a
∴x≤ ，
3−2+2a
∴ =-1，
3
1
解得，a=- ；
2
故选D．
【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集．不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“＞”空心圆
点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．
【变式4-3】（2022·浙江丽水·一模）一个不等式的解在数轴上表示如图，则这个不等式可以是（ ）
A．x−1≥0 B．x+1≥0 C．−2x≤−2 D．2x≤2
【答案】D
【分析】解不等式，可得不等式的解集，根据不等式的解集在数轴上的表示方法，可得答案．
【详解】解：由不等式的解在数轴上表示的图可这个不等式的解集是：x≤1，
A．解原不等式得：x≥1，故A不符合题意；
B．解原不等式得：x≥-1，故B不符合题意；
C．解原不等式得：x≥1，故C不符合题意；
D．解原不等式得：x≤1，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；
“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
【考点5 解一元一次不等式（组）】
【例5】（2022·浙江衢州·中考真题）不等式组¿的解集是（ ）
A．x＜3 B．无解 C．2＜x＜4 D．3＜x＜4
【答案】D
【分析】分别解两个不等式得到，然后根据大小小大取中间确定不等式组的解集．
【详解】解：解不等式3x−2<2(x+1)，解得x<4，
x−1
解不等式 >1，解得x>3，
2
∴不等数组的解集为3−2 B．x<−2 C．x>2 D．x<2
【答案】D
【分析】移项再合并同类项即可把未知数的系数化“1”，从而可得答案．
【详解】解：4x<3x+2，
移项，合并同类项得：x<2,
故选D
【点睛】本题考查的是一元一次不等式的解法，掌握“解一元一次不等式的步骤”是解本题的关键．
【变式5-2】（2022·广西河池·中考真题）如果点P（m，1+2m）在第三象限内，那么m的取值范围是( )
1 1 1
A．− − C．m<0 D．m<−
2 2 2
【答案】D
【分析】根据第三象限点的特征，横纵坐标都为负，列出一元一次不等式组，进而即可求解．
【详解】解：∵点P（m，1+2m）在第三象限内，
∴¿，
解不等式①得：m<0，
1
解不等式②得：m<− ，
2
1
∴不等式组的解集为：m<− ，
2
故选D．
【点睛】本题考查了第三象限的点的坐标特征，一元一次不等式组的应用，掌握各象限点的坐标特征是解
题的关键．
【变式5-3】（2022·山东临沂·中考真题）满足m>|√10−1|的整数m的值可能是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【分析】先化简|√10−1|并估算√10−1的范围，再确定m的范围即可确定答案．
【详解】∵3<√10<4，
∴2<√10−1<3，
∵|√10−1|=√10−1，m>|√10−1|，
∴m≥3，故选：A．
【点睛】本题考查了绝对值的化简，无理数的估算和不等式的求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
【考点6 一元一次不等式（组）的整数解】
【例6】（2022·山东济宁·中考真题）若关于x的不等式组¿仅有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．－4≤a＜－2 B．－3＜a≤－2
C．－3≤a≤－2 D．－3≤a＜－2
【答案】D
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可解答．
【详解】解：¿
由①得，x>a
由②得，x<1
因不等式组有3个整数解
∴a3，得：x＜3，
则不等式组的解集为﹣2≤x＜3，
所以不等式组的所有整数解的和为﹣2﹣1+0+1+2＝0，
故答案为：0．
【点睛】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，
同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了，正确求解不等式组的解集是解题的关键．
【变式6-2】（2022·辽宁盘锦·中考真题）从不等式组¿所有整数解中任取一个数，它是偶数的概率是
_____．3
【答案】 ##0.6
5
【分析】首先求得不等式组的所有整数解，然后由概率公式求得答案．
【详解】解：¿，
由①得：x≤6，
由②得：x＞1，
∴不等式组的解集为：1＜x≤6，
∴整数解有：2，3，4，5，6；
3
∴它是偶数的概率是 ，
5
3
故答案为： ．
5
【点睛】本题考查了概率公式的应用以及不等式组的解集，解题的关键是掌握这些知识点．
【变式6-3】（2022·湖南邵阳·中考真题）关于x的不等式组¿有且只有三个整数解，则a的最大值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】分别对两个不等式进行求解，得到不等式组的解集为1 −x，
3 3
1 2
− x+x> ，
3 3
2 2
∴ x> ，
3 3
∴x>1，
1 1
解不等式 x−1< (a−2)，
2 2
1 1
得 x< (a−2)+1，
2 2
∴x2【答案】B
【分析】根据不等式组无解，确定出a的范围即可．
x+1 x
【详解】解：由 ≤ −1，得：x≥8，
3 2
∵x≤4a，不等式组无解，
∴4a＜8，
∴a＜2，
故选B．
【点睛】此题考查了不等式的解集，弄清不等式组无解的意义是解本题的关键．
【变式7-2】（2022·福建·莆田擢英中学一模）关于x的不等式组¿有解，则a的取值范围是（ ）．
3 3 3 3
A．a≤− B．a<− C．a>− D．a>−
2 2 2 2
【答案】C
5
【分析】先求出不等式组的解集¿，再利用不等式有解判断出1−a＜ ，计算即可．
2
【详解】解：解不等式组¿得：¿，
∵不等式组有解，
5 3
∴1−a＜ ，解之得：a>− ，
2 2
故选：C．
【点睛】本题考查解不等式组，由不等式组解的情况求参数，解题的关键是求出不等式解集，根据不等式
有解找出a的范围．
1 m−x
【变式7-3】（2022·重庆铜梁·一模）关于x的不等式组¿有解，且使关于x的分式方程 − =2有
x−2 2−x
非负整数解的所有m的值的和是（ ）
A．-1 B．2 C．-6 D．0
【答案】C
【分析】根据不等式组的解集的情况得出关于m的不等式，求得m的解集，再解分式方程得出x，根据x是
非负整数得出m所有的m的和．
【详解】解：∵关于x的不等式组¿有解，
由−2x+1≥4m−3可得：x≤2−2m
∴m−2<2−2m，4
解得m< ，
3
1 m−x m+5
由 − =2解得x= ，
x−2 2−x 3
1 m−x
∵分式方程 − =2有非负整数解，
x−2 2−x
m+5
∴x= 是非负整数，
3
4
∵m< ，
3
∴m=1，−5，−2，
∴1−5−2=−6，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程的解和不等式的解集，求得m的取值范围以及解分式方程是解题的关键．
【考点8 不等式与方程的综合运用】
【例8】（2022·山东聊城·中考真题）关于x，y的方程组¿的解中x与y的和不小于5，则k的取值范围为
（ ）
A．k≥8 B．k>8 C．k≤8 D．k<8
【答案】A
【分析】由两式相减，得到x+ y=k−3，再根据x 与 y 的和不小于5列出不等式即可求解．
【详解】解：把两个方程相减，可得x+ y=k−3，
根据题意得：k−3≥5，
解得：k≥8．
所以k的取值范围是k≥8．
故选：A．
【点睛】本题考查二元一次方程组、不等式，将两式相减得到x与y的和是解题的关键．
1−2k 1
【变式8-1】（2022·内蒙古通辽·中考真题）若关于x的分式方程：2− = 的解为正数，则k的取
x−2 2−x
值范围为（ ）
A．k<2 B．k<2且k≠0
C．k>−1 D．k>−1且k≠0
【答案】B
【分析】先解方程，含有k的代数式表示x，在根据x的取值范围确定k的取值范围．1−2k 1
【详解】解：∵2− = ，
x−2 2−x
∴2(x−2)−1+2k=−1，
解得：x=2−k，
∵解为正数，
∴2−k>0，
∴k＜2，
∵分母不能为0，
∴x≠2，
∴2−k≠2，解得k≠0，
综上所述：k＜2且k≠0，
故选：B．
【点睛】本题考查解分式方程，求不等式的解集，能够熟练地解分式方程式解决本题的关键．
【变式8-2】（2022·四川攀枝花·中考真题）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解．则称该一元
1
一次方程为该一元一次不等式组的关联方程．若方程 x−1=0是关于x的不等式组¿的关联方程，则n的
3
取值范围是 ___________．
【答案】1≤n<3
【分析】解一元一次方程得出方程的解x=3，代入不等式组可得答案．
1
【详解】解：解方程 x−1=0得x=3，
3
∵x=3为不等式组¿的解，
∴¿，解得1≤n<3，
即n的取值范围为：1≤n<3，
故答案为：1≤n<3．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组和一元一次方程，解题的关键是理解并掌握“关联方程”的定
义和解一元一次不等式组、一元一次方程的能力．
3x−a x+1
【变式8-3】（2022·重庆·中考真题）关于x的分式方程 + =1的解为正数，且关于y的不等式
x−3 3−x
组¿的解集为y≥5，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．13 B．15 C．18 D．20
【答案】A【分析】先通过分式方程求出a的一个取值范围，再通过不等式组的解集求出a的另一个取值范围，两个
范围结合起来就得到a的有限个整数解．
【详解】由分式方程的解为整数可得：3x−a−x−1=x−3
解得：x=a−2
又题意得：a−2>0且a−2≠3
∴a>2且a≠5，
由y+9≤2(y+2)得：y≥5
2y−a 3+a
由 >1得：y>
3 2
∵解集为y≥5
3+a
∴ <5
2
解得：a<7
综上可知a的整数解有：3，4，6
它们的和为：13
故选：A．
【点睛】本题考查含参数的分式方程和含参数的不等数组，掌握由解集倒推参数范围是本题关键．
【考点9 由实际问她抽象出一元一次不等式（组）】
【例9】（2022·广东佛山·二模）某次知识竞赛共有15道题，每答对一题得10分，答错或不答都扣5分，
小明得分要不低于90分，设她答对了x道题，则根据题意可列不等式为__________．
【答案】10x−5（15−x）≥90
【分析】设她答对了x道题，则答错或不答的有（15−x）道，由题意得不等关系：答对题数×10−答错
×5≥90，然后列出不等式即可．
【详解】解：设她答对了x道题，则答错或不答的有（15−x）道，
由题意得：10x−5（15−x）≥90，
故答案为：10x−5（15−x）≥90．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关
系．
【变式9-1】（2022·广东广州·二模）小丽计划节省部分零花钱购买一台学生平板电脑，她已存有750元，
并计划从本月起每月存钱30元，直到她至少存有1080元，设x个月后小丽至少有1080元，则可列出不等式
为（ ）A．30x+750>1080 B．30x−750>1080 C．30x−750≤1080 D．30x+750≥1080
【答案】D
【分析】首先根据小丽每月存30元且存x个月可知这段时间小丽共存30x元，由此根据题意进一步表示出
x个月后小丽所具有的零花钱，最后结合题意即可得出不等式.
【详解】∵小丽每月存30元，且存x个月，
∴这段时间小丽共存30x元，
∵小丽至少要存有1080元，
∴可列不等式为：30x+750≥1080，
故选：D.
【点睛】本题主要考查了不等式的实际应用，熟练掌握相关方法是解题关键.
【变式9-2】（2022·浙江杭州·一模）为了治理环境，九年级部分同学去植树，若每人平均植树7棵，还剩
9棵；若每人平均植树9棵．则有1名同学植树的棵树小于8棵．若设同学人数为x人，下列各项能准确的
求出同学人数与种植的树木的数量的是（ ）
A．7x+9﹣9（x﹣1）＞0 B．7x+9﹣9（x﹣1）＜8
C．¿ D．¿
【答案】C
【分析】根据题意可得种植的树木的数量为（7x+9）棵，再根据关键语句“每人平均植树9棵．则有1名
同学植树的棵树小于8棵”列出不等式组即可．
【详解】解：设同学人数为x人，则种植的树木的数量为（7x+9）棵，由题意得：
¿，
故选：C．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式组，关键是根据题意设出未知数，然后得出相应的不等式组即可．
【变式9-3】（2022·贵州·仁怀市教育研究室二模）校团委计划用800元为毕业生到某超市购买纪念册，该
超市推出优惠活动，若一次购买不超过15册，则按每册10元付款，若一次性购买15册以上，则超过部分
按八折优惠．问最多能购买多少册？设能购买x册，则下列不等关系正确的是（ ）
A．10x≤800 B．10×0.8×15+10×0.8(x−15)≤800
C．15×10+10×0.8(x−15)≤800 D．15×10+10×0.8x≤800
【答案】C
【分析】根据题意可知，购买的纪念册超过15册，可根据一次性购买15册以上，则超过部分按八折优惠
列出不等式即可．
【详解】解：800÷10=80>15，所以应按第二种方式付款，则有，
15×10+10×0.8(x−15)≤800
故选C．
【点睛】本题主要考查了根据实际问题列不等式，正确得到付款方式是解答本题的关键．
【考点10 一元一次不等式（组）的应用】
【例10】（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）为了迎接“十•一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备
购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：
运动鞋
甲 乙
价格
进价（元/双） m m﹣20
售价（元/双） 240 160
已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同．
（1）求m的值；
（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润=售价﹣进价）不少于21700元，且不超过
22300元，问该专卖店有几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a（50
＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？
【答案】（1）m=10；（2）11种；（3）购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双，可获得最大利润
【分析】（1）用总价除以单价表示出购进鞋的数量，根据两种鞋的数量相等列出方程求解即可．
（2）设购进甲种运动鞋x双，表示出乙种运动鞋（200﹣x）双，然后根据总利润列出一元一次不等式，求
出不等式组的解集后，再根据鞋的双数是正整数解答．
（3）设总利润为W，根据总利润等于两种鞋的利润之和列式整理，然后根据一次函数的增减性分情况讨
论求解即可．
3000 2400
【详解】解：（1）依题意得， = ，
m m−20
去分母得，3000（m﹣20）=2400m，解得m=100．
经检验，m=100是原分式方程的解．
∴m=100．
（2）设购进甲种运动鞋x双，则乙种运动鞋（200﹣x）双，
(240−100)x+(160−80)(200−x)≥21700①
根据题意得，{ ，
(240−100)x+(160−80)(200−x)≤22300②解不等式①得，x≥95，解不等式②得，x≤105，
∴不等式组的解集是95≤x≤105．
∵x是正整数，105﹣95+1=11，
∴共有11种方案．
（3）设总利润为W，则W=（140﹣a）x+80（200﹣x）=（60﹣a）x+16000（95≤x≤105），
①当50＜a＜60时，60﹣a＞0，W随x的增大而增大，
∴当x=105时，W有最大值，即此时应购进甲种运动鞋105双，购进乙种运动鞋95双．
②当a=60时，60﹣a=0，W=16000，（2）中所有方案获利都一样．
③当60＜a＜70时，60﹣a＜0，W随x的增大而减小，
∴当x=95时，W有最大值，即此时应购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双．
【变式10-1】（2022·广西梧州·中考真题）梧州市地处亚热带，盛产龙眼．新鲜龙眼的保质期短，若加工
成龙眼干（又叫带壳圆肉）则有利于较长时间保存．已知3kg的新鲜龙眼在无损耗的情况下可以加工成
1kg的龙眼干．
(1)若新鲜龙眼售价为12元/kg，在无损耗的情况下加工成龙眼干，使龙眼干的销售收益不低于新鲜龙眼的
销售收益，则龙眼干的售价应不低于多少元/kg?
(2)在实践中，小苏发现当地在加工龙眼干的过程中新鲜龙眼有6%的损耗，为确保果农的利益，龙眼干的
销售收益应不低于新鲜龙眼的销售收益，此时龙眼干的定价取最低整数价格．市场调查还发现，新鲜龙眼
以12元/kg最多能卖出100kg，超出部分平均售价是5元/kg，可售完．果农们都以这种方式出售新鲜龙眼．
设某果农有akg新鲜龙眼，他全部加工成龙眼干销售获得的收益与全部以新鲜龙眼销售获得的收益之差为
w元，请写出w与a的函数关系式．
【答案】(1)龙眼干的售价应不低于36元/kg
(2)w=¿
【分析】(1)设龙眼干的售价应不低于x元/kg，新鲜龙眼共3a千克，得到总收益为12×3a=36a元；加工成
龙眼干后总收益为ax元，再根据龙眼干的销售收益不低于新鲜龙眼的销售收益得到不等式ax≥36a，解出
即可；
(2)设龙眼干的售价为y元/千克，当a<100千克时求出新鲜龙眼的销售收益为12a元，龙眼干的销售收益为
47
ay元，根据“龙眼干的销售收益不低于新鲜龙眼的销售收益，且龙眼干的定价取最低整数价格”得到
15047
ay≥12a，解出y=39；然后再当a≥100千克时同样求出新鲜龙眼收益与龙眼干收益，再相减即可求
150
解．
(1)
解：设龙眼干的售价应不低于x元/kg，设新鲜龙眼共3a千克，总销售收益为12×3a=36a（元），
加工成龙眼干后共a千克，总销售收益为x×a=ax（元），
∵龙眼干的销售收益不低于新鲜龙眼的销售收益，
∴ax≥36a，
解出：x≥36，
故龙眼干的售价应不低于36元/kg．
(2)
1 47
解：a千克的新鲜龙眼一共可以加工成 ×(1−6%)a= a千克龙眼干，设龙眼干的售价为y元/千克，
3 150
47
则龙眼干的总销售收益为 ay元，
150
当a≤100千克时，新鲜龙眼的总收益为12a元，
∵龙眼干的销售收益不低于新鲜龙眼的销售收益，
47 12×150 1800
∴ ay≥12a，解出y≥ = ≈38.3元，
150 47 47
又龙眼干的定价取最低整数价格，
∴y=39，
47 611
∴龙眼干的销售总收益为 a×39= a，
150 50
611 11a
此时全部加工成龙眼干销售获得的收益与全部以新鲜龙眼销售获得的收益之差w= a−12a= 元；
50 50
当a>100千克时，新鲜龙眼的总收益为12×100+5(a−100)=(5a+700)元，
611
龙眼干的总销售收益为 a元，
50
此时全部加工成龙眼干销售获得的收益与全部以新鲜龙眼销售获得的收益之差
611 361a
w= a−(5a+700)=( −700)元，
50 50
故w与a的函数关系式为w=¿．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用、一次函数的实际应用等，本题的关键是读懂题意，明确题中的数量关系，正确列出函数关系式或不等式求解．
【变式10-2】（2022·四川内江·中考真题）为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内
江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学
生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两型
客车，它们的载客量和租金如表所示：
甲型客 乙型客
车 车
载客量
35 30
（人/辆）
租金
400 320
（元/辆）
学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元．
(1)参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？
(2)每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？
(3)学校租车总费用最少是多少元？
【答案】(1)参加此次劳动实践活动的老师有8人，参加此次劳动实践活动的学生有247人
(2)一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型
客车5辆，租乙型客车3辆
(3)学校租车总费用最少是2800元．
【分析】（1）设参加此次劳动实践活动的老师有x人，根据参加实践活动的学生人数的两种不同表示方法
作为等量关系列方程；
（2）首页判断车辆总数为8，设租甲型客车m辆，列出不等式组求出整数解即可；
（3）列出函数解析式w＝80m+2560，结合自变量取值范围求出最少总费用．
（1）
设参加此次劳动实践活动的老师有x人，参加此次劳动实践活动的学生有（30x+7）人，
根据题意得：30x+7＝31x﹣1，
解得x＝8，
∴30x+7＝30×8+7＝247，
答：参加此次劳动实践活动的老师有8人，参加此次劳动实践活动的学生有247人；
（2）师生总数为247+8＝255（人），
∵每位老师负责一辆车的组织工作，
∴一共租8辆车，
设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆，
根据题意得：¿，
解得3≤m≤5.5，
∵m为整数，
∴m可取3、4、5，
∴一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型
客车5辆，租乙型客车3辆；
（3）
设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆，
由（2）知：3≤m≤5.5，
设学校租车总费用是w元，
w＝400m+320（8﹣m）＝80m+2560，
∵80＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴m＝3时，w取最小值，最小值为80×3+2560＝2800（元），
答：学校租车总费用最少是2800元．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用、利用一次函数解决最小利润问题，解决问题的关键是根据题
意得到相等关系或不相等关系列出方程、不等式组以及函数解析式解决问题．
【变式10-3】（2022·湖南湘西·中考真题）为了传承雷锋精神，某中学向全校师生发起“献爱心”募捐活
动，准备向西部山区学校捐赠篮球、足球两种体育用品．已知篮球的单价为每个100元，足球的单价为每
个80元．
(1)原计划募捐5600元，全部用于购买篮球和足球，如果恰好能够购买篮球和足球共60个，那么篮球和足
球各买多少个？
(2)在捐款活动中，由于师生的捐款积极性高涨，实际收到捐款共6890元，若购买篮球和足球共80个，且
支出不超过6890元，那么篮球最多能买多少个？
【答案】(1)原计划篮球买40个，则足球买20个
(2)篮球最多能买24个【分析】（1）设原计划篮球买x个，则足球买y个，根据：“恰好能够购买篮球和足球共60个、原计划
募捐5600元”列方程组即可解答；
（2）设篮球能买a个，则足球（80﹣a）个，根据“实际收到捐款共6890元”列不等式求解即可解答．
【详解】（1）解：设原计划篮球买x个，则足球买y个，根据题意得：
¿，解得：¿．
答：原计划篮球买40个，则足球买20个．
（2）解:设篮球能买a个，则足球（80﹣a）个，
根据题意得：100a+80（80﹣a）≤6890，
解得：a≤24.5，
答：篮球最多能买24个．
【点睛】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式的应用，解决本题的关键是根据题意列出方程组和
不等式．
