文档内容
专题 17 相似三角形（10 个高频考点）（举一反三）
【考点1 比例的性质】...........................................................................................................................................1
【考点2 比例线段】...............................................................................................................................................4
【考点3 黄金分割】...............................................................................................................................................6
【考点4 平行线分线段成比例】.........................................................................................................................12
【考点5 相似多边形】.........................................................................................................................................18
【考点6 相似三角形的判定与性质】.................................................................................................................21
【考点7 网格中的相似三角形】.........................................................................................................................31
【考点8 相似三角形中的动点问题】.................................................................................................................36
【考点9 相似三角形的应用】.............................................................................................................................51
【考点10 位似变换】.............................................................................................................................................58
【要点1 比例的性质】
比例的性质 示例剖析
（1）基本性质：
（2）反比性质：
（3）更比性质： 或 或
（4）合比性质：
（5）分比性质：
（6）合分比性质：
（7）等比性质：
已知 ，则当 时，.
【考点1 比例的性质】
a c
【例1】（2022·浙江杭州·模拟预测）一组不为零的数a，b，c，d，满足 = ，则以下等式不一定成立的
b d
是（ ）
a b a+b c+d
A． ＝ B． ＝
c d b d
a−9 c−9 a−9b c−9d
C． ＝ D． ＝
b d a+9b c+9d
【答案】C
【分析】根据比例的性质，对所给选项进行整理，找到不一定正确的选项即可．
a c
【详解】解：∵一组不为零的数a，b，c，d，满足 = ，
b d
a b a c a+b c+d
∴ = ， +1= +1，即 = ，故A、B一定成立；
c d b d b d
a c
设 = =k，
b d
∴a=bk，c=dk，
a−9b kb−9b k−9 c−9d kd−9d k−9
∴ = = ， = = ，
a+9b kb+9b k+9 c+9d kd+9d k+9
a−9b c−9d
∴ = ，故D一定成立；
a+9b c+9d
a−9 c−9 a 9 c 9 9 9
若 = 则 − = − ，则需 = ，
b d b b d d b d
a−9 c−9
∵b、d不一定相等，故不能得出 = ，故D不一定成立．
b d
故选：C．
【点睛】本题考查了比例性质；根据比例的性质灵活变形是解题关键．
【变式1-1】（2022·江苏镇江·统考中考真题）《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于
天平衡杆，也异于称杆衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，
可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍
重量的物体．图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的_________倍．【答案】1.2
【分析】设被称物的重量为a，砝码的重量为1，根据图中可图列出方程即可求解．
【详解】解：设被称物的重量为a，砝码的重量为1，依题意得，
2.5a=3×1，
解得a=1.2，
故答案为：1.2．
【点睛】本题考查了比例的性质，掌握杠杆的原理是解题的关键．
【变式1-2】（2022·广东茂名·统考一模）若x,y,z都是正整数，且3x=4 y=5z，则x+ y+z的最小值是
________．
【答案】47
【分析】先设3x=4 y=5z=k，再利用等量关系消元，用k表示x+ y+z，最后再利用x,y,z都是正整数
得出k的最小值即可．
1 1 1
【详解】设3x=4 y=5z=k，则x= k，y= k，z= k，
3 4 5
1 1 1 47
∴x+ y+z= k+ k+ k= k，
3 4 5 60
47
∵ >0，
60
∴x+ y+z的值随k的增大而增大，
1 1 1
又∵x，y，z都是正整数，且x= k，y= k，z= k，
3 4 5
∴k是3，4，5的公倍数，
∴k的最小值为60，
47
∴x+ y+z的最小值为 ×60=47，
60
故答案为：47
【点睛】本题考查了设k法，函数思想，以及函数的最值等要点，灵活运用所学知识是解题的关键．b a c
【变式1-3】（2022·四川成都·统考二模）已知a、b、c、满足 = = =k，从下列四点：①
a+c c+b a+b
1 1
(1, )；②(2，1)；③ (1,− )；④(1，﹣1)，中任意取一点恰好在正比例函数y＝kx图象上的概率是
2 2
_______．
3
【答案】
4
【分析】根据先求出k值，进而求得正比例函数的解析式，再根据正比例函数图象上点的坐标特征依次判
断四个点，进而利用概率公式求解即可．
b a c
【详解】解：∵a、b、c、满足 = = =k，
a+c c+b a+b
∴当a+b+c=0时，k=﹣1，
1
此时正比例函数的表达式为y＝ x，
2
将四个点代入，点④（1，﹣1）在正比例函数y＝﹣x的图象上；
当a+b+c≠0时，
b+a+c b+a+c 1
k= = = ，
a+c+c+b+a+b 2(a+b+c) 2
1
∴正比例函数的表达式为y＝ x，
2
1 1
将四个点代入，点①(1, )和点②(2，1)在正比例函数y＝ x的图象上，
2 2
3
∴任意取一点恰好在正比例函数y＝kx图象上的概率是 ，
4
3
故答案为： ．
4
【点睛】本题考查等比性质、正比例函数图象上点的坐标特征、求概率公式，能分类求解k值是解答的关
键．
【要点2 成比例线段的概念】
1．比例的项：
在比例式 （即 ）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式
（即 ）中，b称为a，c的比例中项，满足 ．2．成比例线段：
四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即 ，那么这四条线段a，b，c，d叫
做成比例线段，简称比例线段．
【考点2 比例线段】
【例2】（2022·江苏泰州·统考中考模拟）下列各组线段中，成比例的是（ ）
A．1，2，2，4 B．1，2，3，4
C．3，5，9，13 D．1，2，2，3
【答案】A
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，
排除错误答案．
【详解】解：A、1×4=2×2，故选项符合题意；
B、1×4≠2×3，故选项不符合题意；
C、3×13≠5×9，故选项不符合题意；
D、1×3≠2×2，故选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外
两个相乘，看它们的积是否相等．
【变式2-1】（2022·湖北武汉·校考一模）在比例尺为1：2000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是
30cm，则两地的实际距离为（ ）
A．600000km B．6000km C．600km D．60km
【答案】C
【分析】首先设相距30cm的两地实际距离为xcm，根据题意可得方程1：2000000＝30：x，解此方程即可
求得答案，注意统一单位．
【详解】解：设相距30cm的两地实际距离为xcm，
根据题意得：1：2000000＝30：x，
解得：x＝60000000，
∵60000000cm＝600km，
∴相距30cm的两地实际距离为600km．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了比例尺的性质．解题的关键是注意理解题意，根据题意列方程，注意统一单位．【变式2-2】（2022·河北石家庄·石家庄二十三中校考模拟预测）如果a:b=12:8，且b是a，c的比例中项，
那么b:c等于（ ）
A．4:3 B．3:2 C．2:3 D．3:4
【答案】B
b a
【分析】由b是a、c的比例中项，根据比例中项的定义，即可求得 = ，又由a：b=12：8，即可求得答
c b
案．
【详解】解：∵b是a、c的比例中项，
∴b2=ac，
b a
∴ =
c b
∵a:b=12:8，
a 12 3
∴ = = ，
b 8 2
∴b:c=3:2，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了比例线段，正确把握比例中项的定义是解题关键．
【变式2-3】（2022·山西·校联考二模）定义：如图1，点M、N把线段AB分割成三条线段AM、MN和
BN，若M N2=AM·BN，则称MN是线段AB的比例中段，M、N是线段AB的中段分点．
(1)已知点M、N是线段AB的中段分点．
①若AM=2，MN=3，则BN= ；
②在图1中，若AB=7，MN=2，求AM的长．
(2)如图2，在ΔABC中，MN是线段AB的比例中段，F、G分别是线段AC、BC延长线上的点，且
FG∥AB，MC、NC的延长线分别交线段FG于点P，K．探究PK是否为线段FG的比例中段，如果是，
请给出证明，如果不是，请说明理由．.9
【答案】(1)① ，②1或4.
2
(2)PK是线段FG的比例中段，理由见解析
【分析】（1）根据点M、N是线段AB的中段分点，可得M N2=AM·BN，据此进行计算即可；
GF GK KP PF
（2）设 =k，根据平行线分线段成比例定理，得出 =k， =k， =k，再根据
AB BN MN AM
M N2=AM·BN，得出K P2=GK·PF，即可得到PK是线段FG的比例中段．
【详解】（1）①由题可得，M N2=AM·BN，AM=2，MN=3，
9
∴BN= ；
2
9
故答案为： ；
2
②设AM=x，则由题可得：22=x(5−x)，
解得x=1或4，
∴AM的长为1或4；
（2）PK是线段FG的比例中段．
GF
理由如下：设 =k，
AB
∵FG∥AB，
GK GC GF
∴ = = =k，
BN BC AB
KP PF
同理， =k， =k，
MN AM∴GK=kBN，KP=kMN，PF=kAM，
∵MN是线段AB的比例中段，
∴M N2=AM·BN，
∴k2M N2=kMN·kBN，
∴K P2=GK·PF，
即PK是线段FG的比例中段．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的综合应用，解决问题的关键是掌握：平行于三角形一边的直线截其
他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
【要点3 黄金分割】
如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（ ），且使AC是AB和BC的
比例中项（即 ），则称线段 AB被点C黄金分割，点 C叫线段AB的黄金分割点，其中
， ，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段
AB而言，黄金分割点有两个．）
【考点3 黄金分割】
【例3】（2022·四川成都·成都市树德实验中学校考模拟预测）如图，点R是正方形ABCD的AB边上线段
AB的黄金分割点，且AR>RB，S 表示以AR为边长的正方形面积；S 表示以BC为长，BR为宽的矩形的
1 2
面积，S 表示正方形除去S ，S 剩余的面积，则S ：S 的值为______．
3 1 2 1 2
【答案】1
【分析】设AB=a，根据黄金比值用a表示出AR、BR，根据矩形的面积公式计算，得到答案．
【详解】解：设AB=a，
∵点R是边AB边上的黄金分割点，AR>RB，√5−1 √5−1
∴AR= AB= a，
2 2
√5−1 3−√5
则BR=AB−AR=a− a= a，
2 2
√5−1 3−√5
∴S ：S =( a) 2 ：a× a=1，
1 2 2 2
故答案为：1．
√5−1
【点睛】本题考查是黄金分割的概念、黄金比值，熟记黄金比值为 是解题的关键．
2
【变式3-1】（2022·陕西西安·校考模拟预测）符合黄金分割比例形式的图形很容易使人产生视觉上的美感．
如图所示的五角星中，AD＝BC，且C、D两点都是AB的黄金分割点，若CD＝1，则AB的长是
_______________．
【答案】√5＋2
√5−1 √5−1
【分析】根据黄金分割的定义可得：AC= AB，BD= AB，从而可AC+BD=AB+CD=（√5﹣
2 2
1）AB，故可求得AB的长．
【详解】∵C、D两点都是AB的黄金分割点，
√5−1 √5−1
∴AC＝ AB，BD＝ AB，
2 2
∴AC＋BD＝（√5﹣1）AB，
即AB＋CD＝（√5﹣1）AB，
∵CD=1，
∴AB＝√5＋2，
故答案为：√5＋2．
【点睛】本题考查黄金分割的含义，关键是根据C、D都是黄金分割点，从而得出AB+CD=（√5﹣1）
AB．
【变式3-2】（2022·湖南娄底·统考中考真题）九年级融融陪同父母选购家装木地板，她感觉某品牌木地板
拼接图（如实物图）比较美观，通过手绘（如图）、测量、计算发现点E是AD的黄金分割点，即DE≈0.618AD．延长HF与AD相交于点G，则EG≈________DE.（精确到0.001）
【答案】0.618
【分析】设每个矩形的长为x，宽为y，则DE＝AD－AE＝x－y，四边形EFGM是矩形，则EG＝MF＝y，
EG
由DE≈0.618AD得x－y≈0.618x，求得y≈0.382x，进一步求得 ，即可得到答案．
DE
【详解】解：如图，设每个矩形的长为x，宽为y，则DE＝AD－AE＝x－y，
由题意易得∠GEM＝∠EMF＝∠MFG＝90°，
∴四边形EFGM是矩形，
∴EG＝MF＝y，
∵DE≈0.618AD，
∴x－y≈0.618x，
解得y≈0.382x，
EG y 0.382x
∴ = ≈ ≈0.618，
DE x−y x−0.382x
∴EG≈0.618DE．
故答案为：0.618．
【点睛】此题考查了矩形的判定和性质、分式的化简、等式的基本性质、二元一次方程等知识，求得
y≈0.382x是解题的关键．【变式3-3】（2022·贵州遵义·统考三模）（1）数学活动一
√5−1
宽与长的比是 的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建
2
筑，都采用了黄金矩形的设计．在数学活动课上，小红按如下步骤折叠出一个矩形：
第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形ABCD，然后把纸片展平；
第二步，如图②，把这个正方形ABCD对折成两个完全重合的矩形，再把纸片展平；
第三步，如图③，折出内侧矩形EFBC的对角线CF，并把CF折到图中所示FN处；
第四步，如图④，展平纸片，按照点N折出NM，得到矩形BNMC．
若AD=2，请证明矩形BNMC是黄金矩形．
（2）数学活动二
如图⑤，点C在线段AB上，且满足AC:BC=BC:AB，即BC2=AC⋅AB，此时，我们说点C是线段
BC √5−1
AB的黄金分割点，且通过计算可得 = ．小红发现还可以从活动一的第三步开始修改折叠方式，
AB 2
如图⑥，折出右侧矩形EFBC的对角线EB，把AB边沿BG折叠，使得A点落在对角线BE上的K点处，若
AD=2，请通过计算说明G点是AD的黄金分割点．【答案】（1）证明见解析，（2）证明见解析
【分析】（1）由正方形ABCD的边长为2，根据折叠可知FB，由勾股定理可得FC，易得出BN的值，再
求BN：BC的值即可判断；
（2）如图，连接¿, 设AG=x, 则GK=x,GD=2−x, 再利用轴对称的性质与勾股定理求解KE=√5−2,
再利用勾股定理建立方程求解x，从而可得答案．
【详解】证明：（1）根据第一步折叠可知，ABCD是正方形，
由正方形边长为2，
根据第二步可知，FB=1,
在△FCB中，根据勾股定理， 得FC=√22+12=√5,
根据第三步可知，FC=FN=√5,
∴BN=√5−1,
BN √5−1
∴ = .
BC 2
∴矩形BNMC是黄金矩形．
（2）如图，连接¿, 正方形的边长AD=2,
由对折可得：AF=BF=CE=DE=1,BA=BK=2,AG=GK,∠A=∠GKB=90°,
∴BE=√22+12=√5,EK=√5−2,∠GKE=90°,
设AG=x,
∴GK=x,GD=2−x,所以由勾股定理可得：
(2−x) 2+12=x2+(√5−2) 2 ,
解得：x=√5−1,
AG √5−1
∴ = ,
AD 2
所以G点是AD的黄金分割点．
【点睛】本题考查的是成比例线段，黄金分割点的含义，正方形的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，
理解题意利用轴对称的性质逐步计算是解本题的关键．
【要点4 平行线分线段成比例定理】
两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果
，则 ， ， ．
【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如AB）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段
上 上 上 上 下 下
称为全，则可以形象的表示为 ， ， ．
下 下 全 全 全 全【要点5 平行线分线段成比例定理的推论】
平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图：如果
EF//BC，则 ， ， ．
A F E
A
E F
B C B C
平行线分线段成比例定理的推论的逆定理
若 或 或 ，则有EF//BC．
【注意】对于一般形式的平行线分线段成比例的逆定理不成立，反例：任意四边形中一对对边的中点
的连线与剩下两条边，这三条直线满足分线段成比例，但是它们并不平行．
【小结】推论也简称“A”和“8”，逆定理的证明可以通过同一法，做 交AC于F'点，再
证明F'与F重合即可．
【考点4 平行线分线段成比例】
【例4】（2022·四川巴中·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，C为△AOB的OA边上一点，
AC:OC=1:2，过C作CD∥OB交AB于点D，C、D两点纵坐标分别为1、3，则B点的纵坐标为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】CAC CD AC 1
【分析】根据CD∥OB得出 = ，根据AC:OC=1:2，得出 = ，根据C、D两点纵坐标分别
AO OB AO 3
为1、3，得出OB=6，即可得出答案．
【详解】解：∵CD∥OB，
AC CD
∴ = ，
AO OB
∵AC:OC=1:2，
AC 1
∴ = ，
AO 3
∵C、D两点纵坐标分别为1、3，
∴CD=3−1=2，
2 1
∴ = ，
OB 3
解得：OB=6，
∴B点的纵坐标为6，故C正确．
故答案为：6．
AC CD 1
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平面直角坐标系中点的坐标，根据题意得出 = = ，是解
AO OB 3
题的关键．
【变式4-1】（2022·吉林延边·统考二模）如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF=3：5，BC=6，则CE的长为
______．
【答案】4
AD BC 3 6
【分析】由AB∥CD∥EF，推出 = ，推出 = ，可得结论．
AF BE 5 BE
【详解】∵AB∥CD∥EF，
AD BC
∴ = ，
AF BE
3 6
∴ = ，
5 BE∴BE=10，
∴CE=BE-BD=10-6=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理．
【变式4-2】（2022·宁夏银川·校考二模）如图所示，点O是矩形ABCD对角线AC的中点，OE∥AB交
AD于点E．若OE=3，BC=8，则OB的长为___________．
【答案】5
【分析】由平行线分线段成比例可得CD=6，由勾股定理可得AC=10，由直角三角形斜边中线的性质可
得OB的长．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AD=BC=8，
∵OE∥AB，
∴OE∥CD，
AO OE 1 3
∴ = ，即 = ，
AC CD 2 CD
∴CD=6，
在Rt△ADC中，AC=√AD2+CD2=√82+62=10，
∵点O是AC的中点，
1
∴OB= AC=5，
2
故答案为：5．
【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线分线段成比例，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，
求出CD的长度是本题的关键．
【变式4-3】（2022·广西·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点
D，过点D作DE⊥AB，垂足为E，延长BA交⊙O于点F．(1)求证：DE是⊙O的切线
AE 2
(2)若 = ,AF=10，求⊙O的半径．
DE 3
【答案】(1)见解析
(2)13
【分析】（1）连接OD，只要证明OD⊥DE即可；
（2）连接CF，证OD是 ABC的中位线，得CF=2DE，再证DE是 FBC的中位线，得CF=2DE,设
AE=2x，DE=3k，则CF=6△k，BE=EF=AE+AF=2k+10，AC=BA=EF+AE=△4k+10，然后在Rt ACF中，由勾股定
理，得 (4k+10)2=102+(6k)2， △
解得：k=4，从而求得AC=4k+10=4×4+10=26，即可求得⊙O的半径OA长，即可求解．
【详解】（1）证明：连接OD；
∵OD=OC，
∴∠C=∠ODC，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠B=∠ODC，
∴OD∥AB，
∴∠ODE=∠DEB；
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，∴∠ODE=90°，
即DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：连接CF，
由（1）知OD⊥DE，
∵DE⊥AB，
∴OD∥AB，
∵OA=OC，
∴BD=CD，即OD是 ABC的中位线，
∵AC是⊙O的直径，△
∴∠CFA=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠BED=90°，
∴∠CFA=∠BED=90°，
∴DE∥CF，
BE BD
∴ = =1
EF DC
∴BE=EF，即DE是 FBC的中位线，
∴CF=2DE, △
AE 2
∵ = ，
DE 3
∴设AE=2x，DE=3k，CF=6k，
∵AF=10，
∴BE=EF=AE+AF=2k+10，
∴AC=BA=EF+AE=4k+10，
在Rt ACF中，由勾股定理，得
AC2=A△F2+CF2，即(4k+10)2=102+(6k)2，解得：k=4，
∴AC=4k+10=4×4+10=26，
∴OA=13,
即⊙O的半径为13．
【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定与性质，勾股定理，三角形中位线的判定与性质，证OD是
△ABC的中位线， DE是△FBC的中位线是解题的关键．
【考点5 相似多边形】
【例5】（2022·河南·统考三模）取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它进行如图所示的两次对折后得
b
到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则 的值为（ ）
a
√2 1 √2 1
A． B． C． D．
2 2 4 4
【答案】B
【分析】根据对折表示出小长方形的长和宽，再根据相似多边形的对应边成比例列式计算即可得解．
1
【详解】解：对折两次后的小长方形的长为b，宽为 a，
4
∵小长方形与原长方形相似，
a b
=
∴ b 1 ，
a
4
∴a=2b．
b 1
即 的值是
a 2
故选：B．
【点睛】此题考查了相似多边形对应边成比例的性质，准确表示出小长方形的长和宽是解题的关键．
【变式5-1】（2022·河北·模拟预测）如图所示的三个矩形中，其中相似形是( )A．甲与乙 B．乙与丙 C．甲与丙 D．以上都不对
【答案】B
【分析】根据矩形相似的条件，判断对应边的比是否相等即可．
3
【详解】甲：矩形宽与长比为： ；
4
1
乙: 矩形宽与长比为： ;
2
2 1
丙: 矩形宽与长比为： = ,
4 2
所以乙和丙的宽与长的比相等，故这两个矩形相似.
故选B.
【点睛】考查相似多边形的判定，解题关键是运用了对应角相等,对应边成比例的多边形是相似多边形．
【变式5-2】（2022·广东广州·广州市第六十五中学校考一模）如图，若正方形ABC D 内接于正方形
1 1 1 1
A B
ABCD的内接圆，则 1 1的值为（ ）
AB
1 √2 1 √2
A． B． C． D．
2 2 4 4
【答案】B
【分析】根据相似多边形的性质进行求解即可.
【详解】解:
图形中正方形A B C D 和正方形ABCD一定相似,OF,OF 分别是两个正方形的边心距, △OC F 是等腰直角
1 1 1 1 1 1√2 A B √2
三角形, 因而OF: OC = 因而则 1 1的值为 .
2 AB 2
1
故选B.
【点睛】本题主要考查相似多边形的性质，边数相同的正多边形一定相似, 边心距的比, 半径的比都等于
相似比.
【变式5-3】（2022·河北·模拟预测）甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角
形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．
乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与
原矩形相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）
A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
【答案】C
【分析】甲：根据题意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，即可证得∠A=∠A′，∠B=∠B′，可得
△ABC∽△A′B′C′；
AB AD
乙：根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，则可得 ≠ ，即
A′B′ A′D′
新矩形与原矩形不相似．
【详解】解：甲：根据题意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，
∴∠A=∠A′，∠B=∠B′，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴甲说法正确；
乙：∵根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，
AB CD 3 AD BC 5
∴ = = , = = ，
A′B′ C′D′ 5 A′D′ B′C′ 7
AB AD
∴ ≠ ，
A′B′ A′D′
∴新矩形与原矩形不相似．∴乙说法不正确．
故选：C．
【点睛】此题考查了相似三角形以及相似多边形的判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
【要点6 相似三角形的判定】
判定定理
简称为两角对应相等，两个三角形相似．
判定定理1：
如图，如果 ， ，则
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个
角对应相等，那么这两个三角形相似． ．
简称为三边对应成比例，两个三角形相似．
判定定理2：
如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两
如图，如果 ，则
个三角形相似．
．
简称为两边对应成比例且夹角相等，两个三角
判定定理3：
形相似．如图，如果 ，
如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应
的夹角相等，那么这两个三角形相似．
，则 ．
【要点7 相似三角形的性质】
①相似三角形的对应角相等．
如图， ，则有
．
②相似三角形的对应边成比例．
如图， ，则有
（ 为相似比）．
③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成
比例，都等于相似比．
如图， ∽ ， 和 是 中
边上的中线、高线和角平分线， 、 和 是
中 边上的中线、高线和角平分线，则有
④相似三角形周长的比等于相似比．
如图， ∽ ，则有．
⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方．
如图， ∽ ，则有
【考点6 相似三角形的判定与性质】
【例6】（2022·四川攀枝花·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=4，点E、F分别为
BC、CD的中点，BF、DE相交于点G，过点E作EH∥CD，交BF于点H，则线段GH的长度是（ ）
5 5 5
A． B．1 C． D．
6 4 3
【答案】A
1
【分析】根据矩形的性质得出DC=AB=6，BC=AD=4，∠C=90°，求出DF=CF= DC=3，
2
1 15
CE=BE= BC=2，求出FH=BH，根据勾股定理求出BF，求出FH=BH= ，根据三角形的中位线
2 2
EH GH
求出EH，根据相似三角形的判定得出△EHG∼△DFG，根据相似三角形的性质得出 = ，再求出
DF FG
答案即可．
【详解】解析：∵四边形ABCD是矩形，AB=6，AD=4，
∴DC=AB=6，BC=AD=4，∠C=90°，
∵点E、F分别为BC、CD的中点，
1 1
∴DF=CF= DC=3，CE=BE= BC=2，
2 2
∵EH∥CD，
∴FH=BH，
∵BE=CE，1 3
∴EH= CF= ．
2 2
由勾股定理得：BF=√BC2+CF2=√42+32=5，
1 5
∴BH=FH= BF= ，
2 2
∵EH∥CD，
∴△EHG∼△DFG，
EH GH
∴ = ，
DF FG
3
2 GH
∴ = ，
3 5
−GH
2
5
解得：GH= ，
6
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质和相似三角形的性质和判定，能熟记矩形的性质是解此题的关键．
【变式6-1】（2022·江苏淮安·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D
是AC边上的一点，过点D作DF∥AB，交BC于点F，作∠BAC的平分线交DF于点E，连接BE．若
DE
△ABE的面积是2，则 的值是______．
EF
3
【答案】
7
4
【分析】先根据勾股定理得出AB=5，根据△ABE的面积是2，求出点E到AB的距离为 ，根据
5
AC⋅BC 12 8
Rt△ABC的面积，求出点C到AB的距离为 = ，即可得出点C到DF的距离为 ，根据相似三
AB 5 5CD 2 DF 10
角形的判定与性质，得出 = = ，求出CD=2，DF= ，根据等角对等边求出DA=DE=1，即
CA 3 AB 3
10 7
可求出EF=DF−DE= −1= ，即可得出最后结果．
3 3
【详解】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB=5，
∵△ABE的面积是2，
4
∴点E到AB的距离为 ，
5
AC⋅BC 12
在Rt△ABC中，点C到AB的距离为 = ，
AB 5
8
∴点C到DF的距离为 ，
5
∵DF∥AB，
∴△CDF∽△CAB，
CD 2 DF
∴ = = ，
CA 3 AB
10
∴CD=2，DF= ，
3
∵AE平分∠CAB，
∴∠BAE=∠CAE，
∵DF∥AB，
∴∠AED=∠BAE，
∴∠DAE=∠DEA，
∴DA=DE=1，
10 7
∴EF=DF−DE= −1= ，
3 3
DE 3
∴ = ，
EF 7
3
故答案为： ．
7
【点睛】本题主要考查了三角形高的有关计算，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的
4 8
判定，解题的关键是求出点E到AB的距离为 ，点C到DF的距离为 ．
5 5
【变式6-2】（2022·贵州安顺·统考中考真题）已知正方形ABCD的边长为4，E为CD上一点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，过点D作DG⊥AF，交AF于点H，交BF于点G，N为EF的中点，M为BD
S 1
上一动点，分别连接MC，MN．若 △DCG= ，则MC+MN的最小值为______．
S 9
△FCE
5√17 5
【答案】 ## √17
2 2
【分析】由正方形的性质，可得A点与C点关于BD对称，则有MN+CM=MN+AM⩾AN，所以当A、
S 1 CD 1
M、N三点共线时，MN+CM的值最小为AN，先证明ΔDCG∽ΔFCE，再由 ΔDCG= ，可知 = ，
S 9 CF 3
ΔFCE
分别求出DE=1，CE=3，CF=12，即可求出AN．
【详解】解：连接AM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴A点与C点关于BD对称，
∴CM=AM，
∴MN+CM=MN+AM⩾AN，
∴当A、M、N三点共线时，MN+CM的值最小，
∵AD ∥ CF，∴∠DAE=∠F，
∵∠DAE+∠DEH=90°，
∵DG⊥AF，
∴∠CDG+∠DEH=90°，
∴∠DAE=∠CDG，
∴∠CDG=∠F，
∴ΔDCG∽ΔFCE，
S 1
∵
ΔDCG=
，
S 9
ΔFCE
CD 1
∴ = ，
CF 3
∵正方形边长为4，
∴CF=12，
∵AD ∥ CF，
AD DE 1
∴ = = ，
CF CE 3
∴DE=1，CE=3，
在Rt△CEF中，EF2=CE2+CF2，
∴EF=√32+122=3√17，
∵N是EF的中点，
3√17
∴EN= ，
2
在Rt△ADE中，EA2=AD2+DE2，
∴AE=√42+12=√17，
5√17
∴AN=AE+EN= ，
2
5√17
∴MN+MC的最小值为 ，
2
5√17
故答案为： ．
2
【点睛】本题考查轴对称求最短距离，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，用轴对称求最短距离的方法，灵活应用三角形相似、勾股定理．
AB k
【变式6-3】（2022·湖北襄阳·统考中考真题）矩形ABCD中， ＝ （k＞1），点E是边BC的中点，连
BC 2
接AE，过点E作AE的垂线EF，与矩形的外角平分线CF交于点F．
(1)【特例证明】如图（1），当k＝2时，求证：AE＝EF；
小明不完整的证明过程如下，请你帮他补充完整．
证明：如图，在BA上截取BH＝BE，连接EH．
∵k＝2，
∴AB＝BC．
∵∠B＝90°，BH＝BE，
∴∠1＝∠2＝45°，
∴∠AHE＝180°-∠1＝135°．
∵CF平分∠DCG，∠DCG＝90°，
1
∴∠3＝ ∠DCG＝45°．
2
∴∠ECF＝∠3+∠4＝135°．
∴……
（只需在答题卡对应区域写出剩余证明过程）
AE
(2)【类比探究】如图（2），当k≠2时，求 的值（用含k的式子表示）；
EF(3)【拓展运用】如图（3），当k＝3时，P为边CD上一点，连接AP，PF，∠PAE＝45°，PF=√5，求BC
的长．
【答案】(1)见解析
(2)k−1
(3)2√2
【分析】（1）证明△AHE≌△ECF（ASA）即可；
（2）在BA上截取BH=BE，连接EH．证明△AHE∽△ECF，即可求解；
（3）以A为旋转中心，△ADP绕A点旋转90°到△AP'H，设AB=3a，则BC=2a，连接P'E，HE，延长P'H
交CD于点G，连接EG，证明△AEP'≌△AEP（SAS），△PEG≌△P'EH（AAS），可得四边形APEP'是正方
形，再证明△APD≌△PEC（AAS），由（2）得△AHE∽△ECF，过点P作PK⊥AE交于K，进而证明四边形
1
PKEF是矩形，则有PF=√5= √10a，即可求出BC=2√2．
2
【详解】（1）证明：如图，在BA上截取BH=BE，连接EH．
∵k=2，
∴AB=BC．
∵∠B=90°，BH=BE，
∴∠1=∠2=45°，
∴∠AHE=180°-∠1=135°，
∵CF平分∠DCG，∠DCG=90°，
1
∴∠3= ∠DCG=45°，
2
∴∠ECF=∠3+∠4=135°，
∵AE⊥EF，
∴∠6+∠AEB=90°，
∵∠5+∠AEB=90°，
∴∠5=∠6，
∵AB=BC，BH=BE，
∴AH=EC，
∴△AHE≌△ECF（ASA），
∴AE=EF；（2）解：在BA上截取BH=BE，连接EH．
∵∠B=90°，BH=BE，
∴∠BHE=∠BEH=45°，
∴∠AHE=135°，
∵CF平分∠DCG，∠DCG=90°，
1
∴∠DCF= ∠DCG=45°．
2
∴∠ECF=135°，
∵AE⊥EF，
∴∠FEC+∠AEB=90°，
∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
∴△AHE∽△ECF，
AE AH
∴ = ，
EF CE
AB k
∵ = ，E是BC边的中点，
BC 2
1
∴EC=HB= BC，
2
1 1
∴AH=AB- BC= (k−1)BC，
2 2
AE
∴ =k−1；
EF
（3）解：以A为旋转中心，△ADP绕A点旋转90°到△AP'H，
∵k=3，AB 3
∴ = ，
BC 2
设AB=3a，则BC=2a，
∵∠PAE=45°，
∴∠P'AP=90°，
连接P'E，HE，延长P'H交CD于点M，连接EM，
∵AH=AD=2a，
∴BH=a，
∵E是BC的中点，
∴BE=a，
∴HE=√2a，∠BHE=45°，
∴∠P'HE=135°，
∵CG=EC=a，
∴∠MEC=45°，
∴∠PME=135°，
∵AP'=AP，∠PAE=∠P'AE，AE=AE，
∴△AEP'≌△AEP（SAS），
∴PE=P'E，
∴△PEM≌△P'EH（AAS），
∴∠PEG=∠P'EH，
∵∠HEG=∠EGH=45°，
∴∠HEG=90°，
∴∠PEP'=90°，
∴∠AEP=∠AEP'=45°，∴∠APE=∠AP'E=90°，
∴四边形APEP'是正方形，
∴AP=PE，
∵∠DAP+∠APD=90°，∠APD+∠EPC=90°，
∴∠DAP=∠EPC，
∵AP=PE，
∴△APD≌△PEC（AAS），
∴AD=PC=2a，PD=ED=a，
∴PE=√5a，
由（2）得△AHE∽△ECF，
AH AE 2a
∴ = = =2，
EC FE a
∵AE=√10a
√10
∴EF= a，
2
∵∠HEM=∠AEF=90°，
∴∠HEA=∠MEF，
∵∠PEM=∠P'EH，
∴∠PEF=∠P'EH=45°，
过点P作PK⊥AE交于K，
∵EF⊥AE，
∴PK∥EF，
1
∵PK= √10a，
2
∴PK=EF，
∴四边形PKEF是矩形，
∴PF=KE，
∵PF=√5，
1
∴ √10a=√5，
2
∴a=√2,
∴BC=2√2．【点睛】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握矩形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形是判
定及性质，正方形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质是解题的关键．
【考点7 网格中的相似三角形】
【例7】（2022·湖北武汉·校联考二模）如图是由小正方形组成的8×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，
△ABC的三个顶点都是格点，边AC上的D也是一个格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画
图过程用虚线表示．
(1)在图（1）中，先将线段CB绕点C顺时针旋转90°，画出对应线段CE，再在CE上画点F，使
△BCF∽△BDA；
(2)在图（2）中，先在边AB上画点G，使DG∥BC，再在边BC上画点H，使AH＋DH值最小．
【答案】(1)答案见详解
(2)答案见详解
【分析】（1）利用旋转变换的性质作点B的对应点E，CE=CB，CE与格点交于点F，连接BF即可，
3 3
FC∶BC=FC∶EC=3∶4，tan∠FBC= ，tan∠ABD= ，因此∠EBC=∠ABD，
4 4
∠ADB=∠BCF=90∘，进而可得△BCF∽△BDA；
（2）作点D关于BC的对称点D'，连接AD'交BC于点H。连接DH，点H即为所求．
【详解】（1）解：如图，线段CE，点F即为所求，（2）解：如图，线段DG，点H即为所求，
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，对称的性质及相似三角形的判定，灵活运用以上要点作图是做出本
题的关键．
【变式7-1】（2022·湖北省直辖县级单位·校联考一模）如图，在6×10的方格纸ABCD中有一个格点
△EFG，请按要求画线段．
(1)在图1中，过点O画一条格点线段PQ（端点在格点上），使点P，Q分别落在边AD，BC上，且PQ与
FG的一边垂直．
(2)在图2中，仅用没有刻度的直尺找出EF上一点M，EG上一点N，连结MN，使△EMN和△EFG的相似
比为2：5．（保留作图痕迹）【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据题意找到格点P,Q，画出线段PQ即可
（1）
如图所示，PQ即为所求，
（2）
如图所示，取格点J,K，连接OJ交EF于点M，连接OK交EG于点N连接MN，则MN即为所求，
∵EO//JF
∴△MOE∽△MHF
OE ME 2
∴ = =
JF MF 3
EN 2
同理 =
NG 3
EM EN
∴ = ,∠E=∠E
MF EG
∴△EMN∽△EFGEM 2
∴ = ．
EF 5
【点睛】本题考查了相似变换作图，掌握平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定是解题的关键．
【变式7-2】（2022·江苏无锡·统考一模）如图，在边长为1小正方形的网格中， ABC的顶点A、B、C均
落在格点上，请用无刻度的直尺按要求作图．（保留画图痕迹，不需证明） △
（1）如图①，点P在格点上，在线段AB上找出所有符合条件的点Q，使 APQ和 ABC相似；
（2）如图②，在AC上作一点M，使以M为圆心，MC为半径的⊙M与AB△相切，并△直接写出此时⊙M的
半径为 ．
3
【答案】（1）见详解；（2） ，作图见详解．
2
【分析】（1）过点P作BC的平行线，交AB于点Q或找到格点F，连接PF交AB于点Q，即可；
（2）找到格点D，连接BD并延长，交AC于点M，即为所求点，再证明∆BDN~∆BMC，列出比例式，即可
求解．
【详解】（1）如图①，过点P作BC的平行线，交AB于点Q，即为所求点，找到格点F，连接PF交AB于
点Q，即为所求点；
（2）找到格点D，连接BD并延长，交AC于点M，即为所求点，理由如下：
由题意得：BC=3，AC=4，AB=5，
1 5 3 5
∴BE= AB= ，HE= √BE2−BH2= ，DE=2-HE= ，
4 4 4 4
∴BE=DE，
∴∠EBD=∠EDB，
∵∠EDB=∠DBC，
∴∠EBD=∠DBC，即BM是∠ABC的平分线，
∴以M为圆心，MC为半径的⊙M与AB相切，
∵MC∥DN，
∴∆BDN~∆BMC，MC BC MC 3 3
∴ = ，即 = ，解得：MC= ，
DN BN 1 2 2
3
∴此时⊙M的半径为： ，
2
3
故答案是： ．
2
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质定理，找准格点位置，掌握
相似三角形的判定和性质，是解题的关键．
【变式7-3】（2022·江西宜春·校联考模拟预测）如图，在5×5的正方形网格中，ΔABC的顶点都是格点
（小正方形的顶点），且点D是AB边的中点．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（不写画法，保
留画图痕迹）．
（1）如图1，在AC边上找点E，使ΔADE与ΔABC相似；
（2）如图2，在BC边上找点F，使ΔDBF与ΔABC相似．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）作以AC为对角线的矩形的中心E，连接DE即可；
（2）作以BC为对角线的矩形的中心F，连接DF即可．
【详解】（1）如图1， ADE即为所求；
（2）如图2， DBF即为△所求．
△【点睛】本题考查了作图-应用与设计，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键
是灵活运用所学知识解决问题．
【考点8 相似三角形中的动点问题】
【例8】（2022·江苏宿迁·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点M、N分别是边AD、
BC的中点，某一时刻，动点E从点M出发，沿MA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动；同时，
动点F从点N出发，沿NC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，
两点同时停止运动，连接EF，过点B作EF的垂线，垂足为H．在这一运动过程中，点H所经过的路径长
是_____．
√5 √5π
【答案】 π##
2 2
【分析】根据题意知EF在运动中始终与MN交于点Q，且ΔAQM∼ΔFQN， NQ:MQ=1:2,点H在
以BQ为直径的P´N上运动，运动路径长为P´N的长，求出BQ及P´N的圆角，运用弧长公式进行计算即可得
到结果．
【详解】解：∵点M、N分别是边AD、BC的中点，
连接MN，则四边形ABNM是矩形，1
∴MN=AB=6，AM=BN= AD==4，
2
根据题意知EF在运动中始终与MN交于点Q，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴ΔAQM∼ΔFQN，
NF NQ 1
∴ = =
EM MQ 2
1
∴NQ= MN=2
3
1
当点E与点A重合时，则NF= AM=2，
2
∴BF=BN+NF=4+2=6，
∴AB=BF=6
∴ΔABF是等腰直角三角形，
∴∠AFB=45°,
∵BP⊥AF，
∴∠PBF=45°
由题意得，点H在以BQ为直径的P´N上运动，运动路径长为P´N长，取BQ中点O，连接PO，NO，
∴∠PON=90°，
又∠BNQ=90°,
∴BQ=√BN2+NQ2=√42+22=2√5，
1
∴ON=OP=OQ= BQ=√5，
290π×√5 √5
∴P´N的长为 = π
180 2
√5
故答案为： π
2
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，以及弧长等知识，判断出点
H运动的路径长为P´N长是解答本题的关键．
【变式8-1】（2022·四川绵阳·统考中考真题）如图，平行四边形ABCD中，DB＝2√3，AB＝4，AD＝2，
动点E，F同时从A点出发，点E沿着A→D→B的路线匀速运动，点F沿着A→B→D的路线匀速运动，当
点E，F相遇时停止运动．
2
(1)如图1，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为4个单位每秒，当运动时间为 秒时，设CE与
3
DF交于点P，求线段EP与CP长度的比值；
(2)如图2，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为√3个单位每秒，运动时间为x秒，ΔAEF的面积
为y，求y关于x的函数解析式，并指出当x为何值时，y的值最大，最大值为多少？
1
(3)如图3，H在线段AB上且AH＝ HB，M为DF的中点，当点E、F分别在线段AD、AB上运动时，探究
3
点E、F在什么位置能使EM＝HM．并说明理由．
EP 4
【答案】(1) = ；
PC 9
4√3 2
(2)y关于x的函数解析式为y=¿；当x= 时，y的最大值为2+ √3；
3 3
(3)当EF∥BD时，能使EM＝HM．理由见解析
AF AD
【分析】（1）延长DF交CB的延长线于点G，先证得△AFD~△BFG，可得 = ，根据题意可得
FB BG
8 2
AF= ，AE= ，可得到CG=3，再证明△PDE∽△PGC，即可求解；
3 34√3
（2）分三种情况讨论：当0≤x≤2时，E点在AD上，F点在AB上；当2≤x≤ 时，E点在BD上，F
3
4√3
点在AB上；当 ≤x≤2√3时，点E、F均在BD上，即可求解；
3
（3）当EF∥BD时，能使EM＝HM．理由：连接DH，根据直角三角形的性质，即可求解 ．
（1）
解：如图，延长DF交CB的延长线于点G，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CG∥AD，
∴△AFD~△BFG，
AF AD
∴ = ，
FB BG
2
∵点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为4个单位每秒，运动时间为 秒，
3
8 2
∴AF= ，AE= ，
3 3
∵AB=4，AD=2，
4 4
∴BF= ， ED= ，
3 3
8
3 2
∴ = ，
4 BG
3
∴BG=1，
∴CG=3，
∵CG∥AD，
∴△PDE∽△PGC，EP ED
∴ = ，
PC GC
EP 4
∴ = ；
PC 9
（2）
解：根据题意得：当0≤x≤2时，E点在AD上，F点在AB上，此时AE=x，AF=√3x，
∵DB=2√3， AB=4，AD=2，
∴AD2+BD2=AB2，
∴△ABD是直角三角形，
AD 1
∵ = ，
AB 2
∴∠ABD=30°，
∴∠A=60°，
如图，过点E作EH⊥AB交于H，
∴EH=AE⋅sin6 0°=
√3
x，
2
∴y=
1
×AF×EH=
1
×√3x×
√3
x=
3
x2 ；
2 2 2 4
∴当x＞0时，y随x的增大而增大，
此时当x=2时，y有最大值3；
4√3
当2≤x≤ 时，E点在BD上，F点在AB上，
3
如图， 过点E作EN⊥AB交于N，过点D作DM⊥AB交于M，则EN∥DM，
根据题意得：DE=x-2，∴BE=2√3+2− x，
在Rt△ABD中，DM=AD⋅sin A=√3，AM=1，
∵EN∥DM，
∴△BEN∽△BDM，
EN BE
∴ = ，
DM BD
EN 2+2√3−x
∴ =
√3 2√3
1
∴EN=1+√3− x，
2
∴y=
1
×AF×EN=
1
×(√3x)×(1+√3−
1
x)=−
√3
x2+
3+√3
x，
2 2 2 4 2
此时该函数图象的对称轴为直线x=√3+1 ，
4√3
∴当2≤x≤ 时，y随x的增大而增大，
3
4√3 2
此时当x= 时，y有最大值2+ √3；
3 3
4√3
当 ≤x≤2√3时，点E、F均在BD上，
3
过点E作EQ⊥AB交于Q，过点F作FP⊥AB交于P，过点D作DM⊥AB于点M，
∴AB+BF=√3x，DA+DE=x，
∵AB=4，AD=2，
∴BE=2√3−x+2，DF=4+√3，
∵PF∥DM，
∴△BFP∽△BDM，
BF PF √3x−4 PF
∴ = ，即 = ，
BD DM 2√3 √3
√3
∴PF= x−2，
2∵EQ//DM，
∴△BEQ∽△BDM，
BE EQ 2√3+2− x EQ
∴ = ，即 = ，
BD DM 2√3 √3
1
∴EQ=√3+1− x，
2
1 1 1 √3
∴y= ×AB×(EQ−PF)= ×4×(√3+1− x− x+2)=6+2√3−(1+√3)x，
2 2 2 2
此时y随x的增大而减小，
4√3 2
此时当x= 时，y有最大值2+ √3；
3 3
综上所述：y关于x的函数解析式为y=¿
4√3 2
当x= 时，y最大值为2+ √3；
3 3
（3）
解：当EF∥BD时，能使EM＝HM．理由如下：
连接DH，如图，
1
∵AH= HB，AB=4，
3
∴．AH=1，
由（2）得：此时AH⊥AB，
∵M是DF的中点，
∴HM=DM=MF，
∵EF∥BD，BD⊥AD，
∴EF⊥AD，
∴EM=DM=FM，
∴EM=HM．
【点睛】本题是四边形的综合题，熟练掌握平行四边形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，分类讨论，数形结合是解题的关键．
【变式8-2】（2022·山东青岛·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AB=5cm,BC=3cm，
将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE，连接CD．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速
度为1cm/s；同时，点Q从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s．PQ交AC于点F，连接
CP,EQ．设运动时间为t(s)(0
