文档内容
专题 01 实数（10 个高频考点）（举一反三）
【考点1 正负数的意义】..........................................................................................................................................1
【考点2 无理数的识别与估算】..............................................................................................................................2
【考点3 实数的分类】..............................................................................................................................................3
【考点4 实数的相关概念】......................................................................................................................................3
【考点5 实数的大小比较】......................................................................................................................................4
【考点6 实数的运算】..............................................................................................................................................5
【考点7 非负数的运用】..........................................................................................................................................6
【考点8 新定义运算】..............................................................................................................................................6
【考点9 科学记数法】..............................................................................................................................................7
【考点10 近似数与有效数字】..................................................................................................................................7
【考点1 正负数的意义】
【例1】（2022•桂林）在东西向的马路上，把出发点记为0，向东与向西意义相反．若把向东走 记做
“ ”，那么向西走 应记做
A． B． C． D．
【变式1-1】（2022•济宁）若盈余2万元记作 万元，则 万元表示
A．盈余2万元 B．亏损2万元
C．亏损 万元 D．不盈余也不亏损
【变式1-2】（2022•大连）某水井水位最低时低于水平面5米，记为﹣5米，最高时低于水平面1米，则水
井水位h米中h的取值范围是 ．
【变式1-3】（2022•南京）北京与莫斯科的时差为5小时，例如，北京时间 ，同一时刻的莫斯科时
间是 ．小丽和小红分别在北京和莫斯科，她们相约在各自当地时间 之间选择一个时刻开
始通话，这个时刻可以是北京时间
A． B． C． D．【要点1 实数的分类及有关概念】
一．实数的分类：
2
−
注意：在理解无理数时，要注意“无限不循环”，归纳起来有四类：
√2 2
(1)开方开不尽的数，如 ， 等；
4
(2)有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如 等；
(3)有特定结构的数，如0.1010010001…等；
(4)某些三角函数，如sin60°等
二．数轴：
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
三．绝对值：
一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，
若 |a|= a ，则 a≥ 0 ；若 |a|=- a ，则 a≤ 0。
四．相反数：
实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零).从数轴上看，互为
相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果 a 与 b 互为相反数，则有 a+b= 0 ， a=- b ，反之亦成立 。
五．倒数：
如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。 倒数等于本身的数是 1 和 - 1 。零没有倒数。
【考点2 无理数的识别与估算】
【例2】（2022·重庆·中考真题）估计√3×(2√3+√5)的值应在（ ）
A．10和11之间 B．9和10之间 C．8和9之间 D．7和8之间
22
【变式2-1】（2022·江苏泰州·中考真题）下列 4 个数： √9， ，π， (√3) 0其中无理数是（ ）
7
22
A．√9 B． C．π D． (√3) 0
7【变式2-2】（2022·四川绵阳·中考真题）已知x是整数，当|x−√30|取最小值时，x的值是( )
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式2-3】（2022·广东·中考真题）设 的整数部分为a，小数部分为b，则 的值是
6−√10 (2a+√10)b
（ ）
A．6 B．2√10 C．12 D．9√10
【考点3 实数的分类】
【例3】（2022·浙江温州·中考真题）给出四个实数√5，2，0，-1，其中负数是（ ）
A．√5 B．2 C．0 D．-1
π 4
【变式3-1】（2022·山东·中考真题）在实数√38， ，√12， 中有理数有（ ）
3 3
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式3-2】（2022·山东日照·中考真题）在实数√2，x0（x≠0），cos30°，√38中，有理数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
1
【变式3-3】（2022·浙江金华·中考真题）实数− ，−√5，2，−3中，为负整数的是（ ）
2
1
A．− B．−√5 C．2 D．−3
2
【考点4 实数的相关概念】
【例4】（2022·河北·中考真题）下列说法正确的是（ ）
A．1的相反数是﹣1 B．1的倒数是﹣1
C．1的立方根是±1 D．﹣1是无理数
【变式4-1】（2022·湖南衡阳·中考真题）下列各式中正确的是( )
A． B．
√9=±3 √(−3) 2=−3
C．√3 9=3 D．√12−√3=√3
【变式4-2】（2022·江苏南京·中考真题）设边长为3的正方形的对角线长为a，下列关于a的四种说法：
① a是无理数；② a可以用数轴上的一个点来表示；③ 31⇔a>b; =1⇔a=b; <1⇔a|b|⇔ab2 ⇔a√10 D． >0.3
2 3
【变式5-1】（2022·山东菏泽·中考真题）下列各数中，绝对值最小的数是（ ）
1
A．−5 B． C．−1 D．√2
2
√5−1 √5−1
【变式5-2】（2022·甘肃张掖·中考真题）估计 与0.5的大小关系是： ______0.5．（填
2 2
“＞”、“=”、“＜”）
【变式5-3】（2022·贵州铜仁·中考真题）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的
是（ ）A．a＞b B．﹣a＜b C．a＞﹣b D．﹣a＞b
【要点3 开方及实数的运算】
一．平方根：
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根(或二次方根)。一个数有两个平方根，他们互为相
±√a
反数；零的平方根是零；负数没有平方根。正数a的平方根记做“ ”。
√a
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“ ”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
二．立方根：
如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根(或a的三次方根)。一个正数有一个正的立方根；
一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
3 3
注意：
√−a=−√a
，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
三．实数的运算：
在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算，而且有理数的运算法则和运算律在实数范围
内仍然成立
1、加法交换律
a+b=b+a
(a+b)+c=a+(b+c)
2、加法结合律
3、乘法交换律
ab=ba(ab)c=a(bc)
4、乘法结合律
a(b+c)=ab+ac
5、乘法对加法的分配律
6、实数的运算顺序
先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。
实数范围内混合运算的顺序：①先乘方开方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括
号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。
【考点6 实数的运算】
【例6】（2022·四川内江·中考真题）按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为√2，则最后输出的结
果是（ ）
A．14 B．16 C．8+5√2 D．14+√2
【变式6-1】（2022·四川达州·中考真题）计算： ．
−12+(π−2021) 0+2sin60°−|1−√3|
1 −2
【变式6-2】（2022·四川内江·中考真题）计算：6sin45°−|1−√2|−√8×(π−2021) 0−( ) ．
2
√3
【变式6-3】（2022·四川·中考真题）计算：（﹣2）-2﹣|√3﹣2|+（﹣ ）0﹣√38﹣2cos30°．
2
【考点7 非负数的运用】
【例7】（2022·广东韶关·中考真题）已知√a−b+|b−1|=0，则a+1=__．
| 1|
【变式7-1】（2022·甘肃武威·中考真题）已知α、β均为锐角，且满足 sinα− +√(tanβ−1) 2=0，则
2
α+β= ___________．
【变式7-2】（2022·四川内江·中考真题）若|1001−a|+√a−1002=a，则a−10012=_____．
【变式7-3】（2022·四川巴中·中考真题）已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式
，则△ABC的形状为_______ ．
√c2−a2−b2+|a−b|=0【考点8 新定义运算】
1 1 1
【例8】（2022·湖北鄂州·中考真题）已知a 为实数﹐规定运算：a =1− ，a =1− ，a =1− ，
1 2 a 3 a 4 a
1 2 3
1 1
a =1− ，……，a =1− ．按上述方法计算：当a =3时，a 的值等于（ ）
5 a n a 1 2021
4 n−1
2 1 1 2
A．− B． C．− D．
3 3 2 3
【变式8-1】（2022·青海·中考真题）对于任意两个不相等的数a,b，定义一种新运算“⊕”如下：
√a+b √3+2
a⊕b= 如：3⊕2= ，那么12⊕4=________．
√a−b √3−2
【变式8-2】（2022·重庆·中考真题）《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然
数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研
究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特殊的自然数—“纯数”．定义；对于自然数
n，在计算n+（n+1）+（n+2）时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“数”，例如：32是”纯
数”，因为计算32+33+34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算23+24＋25时，个位产
生了进位．
（1）判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由；
（2）求出不大于100的“纯数”的个数．
【变式8-3】（2022·重庆·中考真题）对于任意一个四位数m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位
上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“共生数”例如：m=3507，因为
3+7=2×(5+0)，所以3507是“共生数”：m=4135，因为4+5≠2×(1+3)，所以4135不是“共生
数”；
（1）判断5313，6437是否为“共生数”？并说明理由；
（2）对于“共生数”n，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被
n
9整除时，记F(n)= ．求满足F(n)各数位上的数字之和是偶数的所有n．
3
【要点4 科学记数法】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数． 确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，
小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞ 1 时， n 是正数；当原数的绝
对值＜ 1 时， n 是负数 .【考点9 科学记数法】
【例9】（2022·山东·济南市钢城区实验学校期末）中国“神威太湖之光”计算机系统首次亮相，一举夺
冠，成为世界上最快的计算机，一分钟的计算能力相当于全球72亿人同时用计算器不间断计算32年．72
亿用科学记数法表示为（ ）
A．0.72×109 B．7.2×109 C．72×108 D．7.2×108
【变式9-1】（2022·四川·眉山市东坡区尚义镇象耳初级中学八年级期中）已知某种植物孢子的半径为
150000nm，1nm＝10-9m，用科学记数法表示该孢子的半径是（ ）
A．15×10−5m B．1.5×104m C．1.5×10−4m D．1.5×10−5m
【变式9-2】（2022·江西省上高县第五中学七年级阶段练习）13 940 万这个数字用科学记数法可表示为
（ ）
A．1.394×108 B．13.94×108 C．1.394×109 D．13.94×107
【变式9-3】（2022·甘肃天水·八年级期末）新型冠状病毒肺炎（Corona Virus Disease 2019，
COVID-19），简称“新冠肺炎”，2020年2月11日，世界卫生组织总干事谭德塞在瑞士日内瓦宣布，将
新型冠状病毒感染的肺炎命名为“COVID-19”． 某实验室测得某种冠状病毒分子直径约87纳米，已知1
1
纳米= 米，则该冠状病毒分子直径可用科学记数法表示为_________米．
109
【要点5 有效数字】
一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的
数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。
【考点10 近似数与有效数字】
【例10】（2022·浙江金华·中考真题）由四舍五入法得到的近似数8.8×103，下列说法中正确的是（ ）．
A．精确到十分位，有2个有效数字 B．精确到个位，有2个有效数字
C．精确到百位，有2个有效数字 D．精确到千位，有4个有效数字
【变式10-1】（2022·山东济南·中考真题）2010年4月20日晚，“支援青海玉树抗震救灾义演晚会”在莱
芜市政府广场成功举行，热心企业和现场观众踊跃捐款31083．58元．将31083．58元保留两位有效数字
可记为（ ）
A．3．1×106元 B．3．11×104元 C．3．1×104元 D．3．10×105元
【变式10-2】（2022·江西·中考真题）长度单位1纳米=10−9米，目前发现一种新型病毒直径为23150纳
米，用科学记数法表示该病毒直径是_____米（保留两个有效数字）
【变式10-3】（2022·贵州毕节·中考真题）某省将为义务教育阶段的贫困学生免费发放教科书，预计发放总量为1500万册，发放总量用科学记数法记为________万册（保留3个有效数字）．
