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专题 16 全等三角形（10 个高频考点）（举一反三）
【考点1 全等三角形的概念及其性质】...............................................................................................................1
【考点2 一次证明全等三角形】...........................................................................................................................3
【考点3 多次证明全等三角形】...........................................................................................................................4
【考点4 网格中的全等三角形】...........................................................................................................................6
【考点5 尺规作图与全等三角形】.......................................................................................................................7
【考点6 利用倍长中线模型证明全等三角形】...................................................................................................9
【考点7 利用垂线模型证明全等三角形】.........................................................................................................11
【考点8 利用旋转模型证明全等三角形】.........................................................................................................12
【考点9 连接两点作辅助线证明全等三角形】.................................................................................................14
【考点10 全等三角形的实际应用】.....................................................................................................................15
【要点1 全等图形的概念】
能完全重合的图形叫做全等图形.
【要点2 全等图形的性质】
两个图形全等，它们的形状相同，大小相同.
【要点3 全等三角形的性质】
全等三角形的对应边相等，对应角相等.（另外全等三角形的周长、面积相等，对应边上的中线、角平分线、
高线均相等）
【考点1 全等三角形的概念及其性质】
【例1】（2022·广东揭阳·校考三模）如图是小明用七巧板拼成的一个机器人，其中全等三角形有（ ）A．1 对 B．2 对 C．3 对 D．4 对
【变式1-1】（2022·广西·校联考一模）下列说法正确的是（ ）
A．两个面积相等的图形一定是全等形 B．两个等边三角形是全等形
C．若两个图形的周长相等，则它们一定是全等形 D．两个全等图形的面积一定相等
【变式1-2】（2022·广西柳州·中考真题）如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，
如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（ ）
A．PO B．PQ C．MO D．MQ
【变式1-3】（2022·湖南邵阳·统考中考模拟）如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，BC上的点，若
△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C=______．【要点4 全等图形的判定】
判定方法 解释 图形
边边边
三条边对应相等的两个三角形全等
(SSS)
边角边 两边和它们的夹角对应相等的两个
(SAS) 三角形全等
角边角 两角和它们的夹边对应相等的两个
(ASA) 三角形全等
角角边 两个角和其中一个角的对边对应相
(AAS) 等的两个三角形全等
斜边、直角
斜边和一条直角边对应相等的两个
边
直角三角形全等
(HL)
【考点2 一次证明全等三角形】
【例2】（2022·浙江杭州·校考模拟预测）如图，正五边形ABCDE中，AF⊥CD，则∠BAF的度数是
（ ）
A．50° B．54° C．60° D．72°
【变式2-1】（2022·湖南益阳·统考中考真题）如图，在Rt ABC中，∠B＝90°，CD∥AB，DE⊥AC于点
E，且CE＝AB．求证： CED≌△ABC． △
△
【变式2-2】（2022·湖南长沙·统考中考真题）如图，AC平分∠BAD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分
别为B，D．(1)求证：△ABC≌△ADC；
(2)若AB=4，CD=3，求四边形ABCD的面积．
【变式2-3】（2022·江苏连云港·校联考中考模拟）如图，四边形ABCD是正方形，点E，F分别在BC，AB
上，点M在BA的延长线上，且CE=BF=AM，过点M，E分别作NM⊥DM，NE⊥DE交于N，连接NF．
（1）求证：DE⊥DM；
（2）猜想并写出四边形CENF是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．
【考点3 多次证明全等三角形】
【例3】（2022·山西·统考模拟预测）综合与实践
问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是对角线AC上一
点，且AE=AB，以AE为一边在AE的下方作正方形AEFG，连接ED，试判断线段AH与DE的位置关系
及线段 EH与DH的数量关系．
（1）图1中线段AH与DE的位置关系是 ，线段 EH与 DH的数量关系是 ．
（2）勤奋小组受到老师的启发，在老师提出问题的基础上将正方形ABCD绕点A逆时针旋转至如图2所示
的位置，点D仍在正方形AEFG内部，则（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请给出证明；若不成立，
请说明理由；
（3）①创新小组在勤奋小组研究的基础上延长线段ED交FG于点M，如图3所示，发现DH=FM，请证
明；
②若图3中线段GM是线段 FM的2倍，请直接写出线段ED与AH的长度的比值．【变式3-1】（2022·广西百色·统考二模）如图，在 ABC和 DCB中，∠A＝∠D，AC和DB相交于点
O，OA＝OD． △ △
(1)AB＝DC；
(2) ABC≌△DCB．
【变△式3-2】（2022·上海闵行·统考二模）如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，将线段AE绕点E顺时
针旋转90°，此时点A落在点F处，线段EF交CD于点M．过点F作FG⊥BC，交BC的延长线于点G．
(1)求证：BE=FG；
(2)如果AB•DM=EC•AE，连接AM、DE，求证：AM垂直平分DE．
【变式3-3】（2022·河北·一模）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三
角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个
结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．恒成立的结论有（ ）A．①③④⑤ B．①②④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④
【考点4 网格中的全等三角形】
【例4】（2022·山东济南·统考二模）如图，在4×4的正方形网格中，求α+β=______度．
【变式4-1】（2022·湖北荆州·统考中考真题）如图，在10×10的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，
顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中△ABC为格点三角形．请按要求作图，不需证明．
(1)在图1中，作出与△ABC全等的所有格点三角形，要求所作格点三角形与△ABC有一条公共边，且不与
△ABC重叠；
(2)在图2中，作出以BC为对角线的所有格点菱形．
【变式4-2】（2022·浙江金华·校联考二模）如图， ABC是正方形网格图中的格点三角形（顶点在格点
上），请用无刻度直尺按要求分别作图： △(1)在图1中，过点C作与AB平行的线段CE（点E在格点上）；
(2)在图2中，以BC为边作一个 BCE（点E在格点上），使它与 ABC全等；
(3)在图3中，在AB，BC边上分△别取点G，H，将 ABC沿着GH折△叠，使点B与点A重合，画出线段
AH． △
【变式4-3】（2022·江苏苏州·校联考中考模拟）如图，在方格纸中，△PQR的三个顶点及A,B,C,D,E五个
点都在小方格的顶点上，现以A,B,C,D,E中的三个顶点为顶点画三角形，
（1）在图甲中画出一个三角形与△PQR全等；
（2）在图乙中画出一个三角形与△PQR面积相等 但不全等.
【考点5 尺规作图与全等三角形】
【例5】（2022·重庆·统考中考真题）在学习矩形的过程中，小明遇到了一个问题：在矩形ABCD中，E是
AD边上的一点，试说明△BCE的面积与矩形ABCD的面积之间的关系．他的思路是：首先过点E作BC的
垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决．请根据小明的思路
完成下面的作图与填空：
证明：用直尺和圆规，过点E作BC的垂线EF，垂足为F（只保留作图㾗迹）．在△BAE和△EFB中，
∵EF⊥BC，
∴∠EFB=90°．
又∠A=90°，
∴__________________①
∵AD∥BC，
∴__________________②
又__________________③
∴△BAE≌△EFB(AAS)．
同理可得__________________④
1 1 1
∴S =S +S = S + S = S ．
△BCE △EFB △EFC 2 矩形ABFE 2 矩形EFCD 2 矩形ABCD
【变式5-1】（2022·河南焦作·统考二模）已知锐角∠AOB，如图，（1）在射线OA上取点C，E，分别以
点O为圆心，OC，OE长为半径作弧，交射线OB于点D，F；（2）连接CF，DE交于点P．根据以上作
图过程及所作图形，下列结论错误的是（ ）
A．CE=DF B．PE=PF
C．若∠AOB=60°，则∠CPD=120° D．点P在∠AOB的平分线上
【变式5-2】（2022·福建三明·统考二模）如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点．(1)在CD边上求作一点F，使得∠CFB＝2∠ABE；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，若AB＝BC＝4，求BF的长．
【变式5-3】（2022·福建·统考一模）求证：全等三角形对应中线相等.
要求：①根据给出的△ABC及线段A′B′，已知A′B′=AB，以线段A′B′为一边，在给出的图形上用尺规作
出△A′B′C′ ≅△ABC，不写作法，保留作图痕迹；
②若点D、D′分别是两个三角形的边AC、A′C′上的中点连接BD、B′D′，据此写出已知、求证和证明
过程.
【考点6 利用倍长中线模型证明全等三角形】
【例6】（2022·河南周口·统考二模）如图，在△ABC中，AB=4，∠BAC=135°，D为边BC的中点，
若AD=1.5，则AC的长度为______．
【变式6-1】（2022·全国·一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＞AC，CD⊥AB于点D，点E是AB
的中点，连接CE．
(1)若AC＝3，BC＝4，求CD的长；
(2)求证：BC2﹣AC2＝2DE•AB；
1
(3)求证：CE＝ AB．
2
【变式6-2】（2022·山东烟台·统考一模）（1）方法呈现：如图①：在△ABC中，若AB=6，AC=4，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE，可证△ACD≌△EBD，从而把
AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是_______________，
这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；
（2）探究应用：
如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接
EF，判断BE+CF与EF的大小关系并证明；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，AB//CD，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是
∠BAF的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．
【变式6-3】（2022·山东日照·校考一模）我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转
α(0°<α<180°)得到AB′，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′．当α+β=180°时，我们称
△A′B′C′是△ABC的“旋补三角形”， △A′B′C′边B′C′上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A
叫做“旋补中心”．
特例感知：（1）在图2，图3中，△A′B′C′是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．
①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD=________BC；
②如图3，当∠BAC=90°, BC=8时，则AD长为___________．
猜想论证：（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．【考点7 利用垂线模型证明全等三角形】
2
【例7】（2022·天津和平·统考二模）如图，△ABC是等边三角形，AB=3，点E在AC上，AE= AC，D是
3
BC延长线上一点，将线段DE绕点E逆时针旋转90°得到线段FE，当AF∥BD时，线段AF的长为____．
【变式7-1】（2022·广西玉林·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在x轴正半
5 k
轴上，顶点B，C在第一象限，顶点D的坐标( ,2)． 反比例函数y= （常数k>0，x>0）的图象恰好
2 x
经过正方形ABCD的两个顶点，则k的值是_______．
【变式7-2】（2022·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）如图，在 ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的
顶点在相互平行的三条直线l，l，l 上，且l，l 之间的距离△为2，l，l 之间的距离为3，BC交l 于D点．
1 2 3 1 2 2 3 2
（1）求AB的长．
（2）求sin∠BAD的值．【变式7-3】（2022·浙江杭州·校联考一模）老师在上课时，在黑板上写了一道题：
“如图，ABCD是正方形，点E在BC上，DF⊥AE于F，请问图中是否存在一组全等三角形？”
小杰同学经过思考发现：△ADF≌△EAB．
理由如下：因为ABCD是正方形（已知）
所以∠B＝90°且AD＝AB和AD∥BC
又因为DF⊥AE（已知）
即∠DFA＝90°（垂直的意义）
所以∠DFA＝∠B（等量代换）
又AD∥BC
所以∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）
在△ADF和△EAB中
¿
所以△ADF≌△EAB（AAS）
小胖却说这题是错误的，这两个三角形根本不全等．
你知道小杰的错误原因是什么吗？我们再添加一条线段，就能找到与△ADF全等的三角形，请能说出此线
段的做法吗？并说明理由．
【考点8 利用旋转模型证明全等三角形】
【例8】（2022·山东日照·校考二模）如图，O是正△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5．将线段BO
以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论错误的是（ ）A．点O与O′的距离为4 B．∠AOB=150°
C．S AOBO D．
四边形 ′=6+4√3 S +S =3+4√3
△AOB △AOC
【变式8-1】（2022·福建南平·一模）如图， ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝90°，BC＝2，D是AB上的动
点，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到△线段CE，连接BE．
（1）点C到AB的最短距离是 _____；
（2）BE的最小值是 _____．
【变式8-2】（2022·上海·校联考模拟预测）如图，在直角坐标系中，B（0，3）、C（4，0）、D（0，
2），AB与CD交于点P，若∠APC=45°，则A点坐标为______ .
【变式8-3】（2022·湖北武汉·模拟预测）如图，将线段AB绕点A逆时针旋转α(0°<α<180°)得到AC，
1
连接BC，在线段BC上取一点D，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转 α得到AE，连接CE．
2√3
(1)如图1，若tanB= ．
3
①当BD>CD，且∠CAE=20°时，求∠DAC的度数；
②试探究线段AD与CE之间满足的数量关系，并说明理由；
3 CE
(2)如图2，若tanB= ，当CE⊥BC时，求 的值．
4 CD
【考点9 连接两点作辅助线证明全等三角形】
【例9】（2022·河北·模拟预测）已知:三角形ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC的中点.
(1)如图,E、F分别是AB、AC上的点,且BE=AF,求证:△DEF为等腰直角三角形.
(2)若E、F分别为AB,CA延长线上的点,仍有BE=AF,其他条件不变,那么,△DEF是否仍为等腰直角三角形?画出
图形,写出结论不证明.
【变式9-1】（2022秋·西安·模拟预测）已知点P是线段MN上一动点，分别以PM，PN为一边，在MN的
同侧作△APM，△BPN，并连接BM，AN．
（Ⅰ）如图1，当PM＝AP，PN＝BP且∠APM＝∠BPN＝90°时，试猜想BM，AN之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想；
（Ⅱ）如图2，当△APM，△BPN都是等边三角形时，（Ⅰ）中BM，AN之间的数量关系是否仍然成立？
若成立，请证明你的结论；若不成立，试说明理由．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，连接AB得到图3，当PN＝2PM时，求∠PAB度数．
【变式9-2】（2022秋·湖南长沙·一模）如图1，在平面直角坐标系中，点A是y轴负半轴上的一个动点，
点B是x轴负半轴上的一个动点，连接AB，过点B作AB的垂线，使得BC＝AB，且点C在x轴的上方．
（1）求证：∠CBD＝∠BAO；
（2）如图2，点A、点B在滑动过程中，把AB沿y轴翻折使得AB'刚好落在AC的边上，此时BC交y轴于
点H，过点C作CN垂直y轴于点N，求证AH＝2CN；
（3）如图3，点A、点B在滑动过程中，使得点C在第二象限内，过点C作CF垂直y轴于点F，求证：OB
＝AO+CF．
【变式9-3】（2022·浙江台州·三模）把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边
FG与BC交于点H（如图）．试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．
【考点10 全等三角形的实际应用】
【例10】（2022·吉林长春·统考中考真题）跳棋是一项传统的智力游戏．如图是一副跳棋棋盘的示意图，它可以看作是由全等的等边三角形ABC和等边三角形DEF组合而成，它们重叠部分的图形为正六边形．若
AB=27厘米，则这个正六边形的周长为_________厘米．
【变式10-1】（2022·河北石家庄·统考一模）如图是庐丰笑笑幼儿园小朋友荡秋千的示意图，静止时秋千
位于铅垂线BD上，转轴到地面距离BD=3m．当秋千摆到最高点A时，AC=2m，且A到地面的距离
AE=1.8m；当A摆动到A′处时，有A′B⊥AB．
(1)求A′到BD的距离；
(2)求A′到地面的距离．
【变式10-2】（2022·甘肃陇南·模拟预测）如图所示，是瑞安部分街道示意图，AB=BC=AC，
CD=CE=DE，A，B，C，D，E，F，G，H为“公交汽车”停靠点，甲公共汽车从A站出发，按照A，
H，G，D，E，C，F的顺序到达F站，乙公共汽车从B站出发，按照B，F，H，E，D，C，G的顺序
到达G站，如果甲、乙两车分别从A、B两站同时出发，各站耽误的时间相同，两辆车速度也一样，则
（ ）A．甲车先到达指定站 B．乙车先到达指定站
C．同时到达指定站 D．无法确定
【变式10-3】（2022·河南·模拟预测）如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入
口位于坐标原点O，古塔位于点A（400，300），从古塔出发沿射线OA方向前行300m是盆景园B，从盆
景园B向左转90°后直行400m到达梅花阁C，则点C的坐标是_________．
