文档内容
专题 01 实数（10 个高频考点）（举一反三）
【考点1 正负数的意义】.......................................................................................................................................1
【考点2 无理数的识别与估算】...........................................................................................................................3
【考点3 实数的分类】...........................................................................................................................................5
【考点4 实数的相关概念】...................................................................................................................................6
【考点5 实数的大小比较】...................................................................................................................................8
【考点6 实数的运算】.........................................................................................................................................10
【考点7 非负数的运用】.....................................................................................................................................12
【考点8 新定义运算】.........................................................................................................................................13
【考点9 科学记数法】.........................................................................................................................................17
【考点10 近似数与有效数字】.............................................................................................................................18
【考点1 正负数的意义】
【例1】（2022•桂林）在东西向的马路上，把出发点记为0，向东与向西意义相反．若把向东走 记做
“ ”，那么向西走 应记做
A． B． C． D．
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【详解】解：若把向东走 记做“ ”，那么向西走 应记做 ．
故选： ．
【变式1-1】（2022•济宁）若盈余2万元记作 万元，则 万元表示
A．盈余2万元 B．亏损2万元
C．亏损 万元 D．不盈余也不亏损
【分析】根据正数和负数表示具有相反意义的量解答．
【详解】解： 万元表示亏损2万元，
故选： ．
【变式1-2】（2022•大连）某水井水位最低时低于水平面5米，记为﹣5米，最高时低于水平面1米，则水井水位h米中h的取值范围是 ﹣ 5 ≤ h ≤﹣ 1 ．
【分析】理解“正”和“负”的相对性，根据题意，水平面高度为0米，低于水平面的高度均为负数，可
得h的取值范围．
【详解】解：某水井水位最低时低于水平面5米，记为﹣5米；
最高时低于水平面1米，记作﹣1米；
应最低时应低于水平面5米，最高时低于等于水平面1米，
则水井水位h米中h的取值范围是﹣5≤h≤﹣1．
【变式1-3】（2022•南京）北京与莫斯科的时差为5小时，例如，北京时间 ，同一时刻的莫斯科时
间是 ．小丽和小红分别在北京和莫斯科，她们相约在各自当地时间 之间选择一个时刻开
始通话，这个时刻可以是北京时间
A． B． C． D．
【分析】根据北京时间比莫斯科时间早5小时解答即可．
【详解】解：由题意得，北京时间应该比莫斯科时间早5小时，
当莫斯科时间为 ，则北京时间为 ；当北京时间为 ，则莫斯科时间为 ；
所以这个时刻可以是 到 之间，
所以这个时刻可以是北京时间 ．
故选： ．【要点1 实数的分类及有关概念】
一．实数的分类：
2
−
注意：在理解无理数时，要注意“无限不循环”，归纳起来有四类：
√2 2
(1)开方开不尽的数，如 ， 等；
4
(2)有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如 等；
(3)有特定结构的数，如0.1010010001…等；
(4)某些三角函数，如sin60°等
二．数轴：
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
三．绝对值：
一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，
若 |a|= a ，则 a≥ 0 ；若 |a|=- a ，则 a≤ 0。
四．相反数：
实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零).从数轴上看，互为
相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果 a 与 b 互为相反数，则有 a+b= 0 ， a=- b ，反之亦成立 。
五．倒数：
如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。 倒数等于本身的数是 1 和 - 1 。零没有倒数。
【考点2 无理数的识别与估算】
【例2】（2022·重庆·中考真题）估计√3×(2√3+√5)的值应在（ ）
A．10和11之间 B．9和10之间 C．8和9之间 D．7和8之间
【答案】B
【分析】先化简√3×(2√3+√5)=6+√15，利用√9＜√15＜√16，从而判定即可．
【详解】 √3×(2√3+√5)=6+√15，
∵√9＜√15＜√16，
∴3＜√15＜4，∴9＜6+√15＜10，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式混合运算及无理数的估算，熟练掌握无理数估算方法是解题的关键．
22
【变式2-1】（2022·江苏泰州·中考真题）下列 4 个数： √9， ，π，(√3) 0其中无理数是（ ）
7
22
A．√9 B． C．π D．(√3) 0
7
【答案】C
【详解】试题分析：根据无理数的概念即可判断出结果.
试题解析：A、√9=3，是有理数；
22
B、 是循环小数，是有理数；
7
C、π是无限不循环小数，是无理数；
D、(√3) 0 =1，是有理数.
故选C.
考点：无理数.
【变式2-2】（2022·四川绵阳·中考真题）已知x是整数，当|x−√30|取最小值时，x的值是( )
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】根据绝对值的意义，找到与√30最接近的整数，可得结论．
【详解】解：∵√25<√30<√36，∴5<√30<6，
且与√30最接近的整数是5，∴当|x−√30|取最小值时，x的值是5，
故选A．
【点睛】本题考查了算术平方根的估算和绝对值的意义，熟练掌握平方数是关键．
【变式2-3】（2022·广东·中考真题）设6−√10的整数部分为a，小数部分为b，则(2a+√10)b的值是
（ ）
A．6 B．2√10 C．12 D．9√10
【答案】A
【分析】首先根据√10的整数部分可确定a的值，进而确定b的值，然后将a与b的值代入计算即可得到所求
代数式的值．【详解】∵3<√10<4，
∴2<6−√10<3，
∴6−√10的整数部分a=2，
∴小数部分b=6−√10−2=4−√10，
∴(2a+√10)b=(2×2+√10)(4−√10)=(4+√10)(4−√10)=16−10=6．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确确定6−√10的整数部分a与小数部分b的值是解题关键.
【考点3 实数的分类】
【例3】（2022·浙江温州·中考真题）给出四个实数√5，2，0，-1，其中负数是（ ）
A．√5 B．2 C．0 D．-1
【答案】D
【分析】根据负数的定义，负数小于0 即可得出答案.
【详解】根据题意 ：负数是-1，
故答案为：D.
【点睛】此题主要考查了实数，正确把握负数的定义是解题关键.
π 4
【变式3-1】（2022·山东·中考真题）在实数√38， ，√12， 中有理数有（ ）
3 3
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】整数和分数统称为有理数，依此定义求解即可．
π 4 4
【详解】解：在实数√38， ，√12， 中√38＝2，有理数有√38， 共2个．
3 3 3
故选B．
【点睛】此题主要考查实数的分类，解题的关键是熟知无理数与有理数的区别.
【变式3-2】（2022·山东日照·中考真题）在实数√2，x0（x≠0），cos30°，√38中，有理数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据零指数幂，特殊角的三角函数值，实数的意义，即可解答．
√3
【详解】解：在实数√2，x0（x≠0）=1，cos30°= ，√38=2中，有理数是√38=2，x0=1，
2
所以，有理数的个数是2，故选：B．
【点睛】本题考查了零指数幂，特殊角的三角函数值，实数，熟练掌握这些数学概念是解题的关键.
1
【变式3-3】（2022·浙江金华·中考真题）实数− ，−√5，2，−3中，为负整数的是（ ）
2
1
A．− B．−√5 C．2 D．−3
2
【答案】D
【分析】按照负整数的概念即可选取答案．
1
【详解】解：− 是负数不是整数；−√5是负数不是整数；2是正数；−3是负数且是整数
2
故选D．
【点睛】本题考查了实数的分类，比较简单．
【考点4 实数的相关概念】
【例4】（2022·河北·中考真题）下列说法正确的是（ ）
A．1的相反数是﹣1 B．1的倒数是﹣1
C．1的立方根是±1 D．﹣1是无理数
【答案】A
【详解】解：A、1的相反数为-1，故A正确；
B、1的倒数是1，故B错误；
C、1的立方根是1，故C错误；
D、-1是有理数，是整数，故D错误．
故选A
考点：相反数的定义
【变式4-1】（2022·湖南衡阳·中考真题）下列各式中正确的是( )
A．√9=±3 B．√(−3) 2=−3
C．√3 9=3 D．√12−√3=√3
【答案】D
【分析】原式利用平方根、立方根定义计算即可求出值．
【详解】解：A.原式=3，不符合题意；
B.原式=|-3|=3，不符合题意；
C.原式不能化简，不符合题意；D.原式=2√3-√3=√3，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了立方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的性质是解题的关键．
【变式4-2】（2022·江苏南京·中考真题）设边长为3的正方形的对角线长为a，下列关于a的四种说法：
① a是无理数；② a可以用数轴上的一个点来表示；③ 31⇔a>b; =1⇔a=b; <1⇔a|b|⇔ab2 ⇔a√10 D． >0.3
2 3
【答案】C
【分析】选项A，根据两个负数绝对值大的反而小即可得−2<−1；选项B，由3<π<4，4<√17<5即可得
(5) 2 5 1 · 1
π<√17；选项C，由 =6.25，6.25<10，可得 <√10；选项D，由 =0.3可得 >0.3．由此可得只有
2 2 3 3
选项C错误．
【详解】选项A，根据两个负数绝对值大的反而小可得−2<−1，选项A正确；
选项B，由3<π<4，4<√17<5可得π<√17，选项B正确；
(5) 2 5
选项C，由 =6.25，6.25<10，可得 <√10，选项C错误；
2 2
1 · 1
选项D，由 =0.3可得 >0.3，选项D正确．
3 3
故选C．
【点睛】本题考查了实数的大小比较及无理数的估算，熟练运用实数大小的比较方法及无理数的估算方法
是解决问题的关键．【变式5-1】（2022·山东菏泽·中考真题）下列各数中，绝对值最小的数是（ ）
1
A．−5 B． C．−1 D．√2
2
【答案】B
【分析】根据绝对值的意义，计算出各选项的绝对值，然后再比较大小即可．
|1| 1
【详解】解：|−5|=5， = ，|−1|=1，|√2|=√2，
2 2
1
∵5>√2>1> ，
2
1
∴绝对值最小的数是 ；
2
故选：B．
【点睛】本题考查的是实数的大小比较，熟知绝对值的性质是解答此题的关键．
√5−1 √5−1
【变式5-2】（2022·甘肃张掖·中考真题）估计 与0.5的大小关系是： ______0.5．（填
2 2
“＞”、“=”、“＜”）
【答案】＞
【分析】首先把两个数采用作差法相减，根据差的正负情况即可比较两个实数的大小．
√5−1 √5−1 1 √5−2
【详解】解：∵ −0.5= − = ，
2 2 2 2
∵ √5−2>0，
√5−2
∴ >0，
2
√5−1
∴ >0.5．
2
故答案为：>．
【点睛】此题主要考查了两个实数的大小，其中比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法等．
【变式5-3】（2022·贵州铜仁·中考真题）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的
是（ ）
A．a＞b B．﹣a＜b C．a＞﹣b D．﹣a＞b
【答案】D
【分析】根据数轴即可判断a和b的符号以及绝对值的大小，根据有理数的大小比较方法进行比较即可求解．
【详解】根据数轴可得：a<0，b>0，且|a|>|b|，
则ab，选项B错误；
a<﹣b，选项C错误；
﹣a>b，选项D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查的是数轴与实数的大小比较等相关内容，会利用数轴比较实数的大小是解决问题的关
键．
【要点3 开方及实数的运算】
一．平方根：
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根(或二次方根)。一个数有两个平方根，他们互为相
±√a
反数；零的平方根是零；负数没有平方根。正数a的平方根记做“ ”。
√a
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“ ”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
二．立方根：
如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根(或a的三次方根)。一个正数有一个正的立方根；
一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
3 3
注意：
√−a=−√a
，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
三．实数的运算：
在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算，而且有理数的运算法则和运算律在实数范围
内仍然成立
1、加法交换律
a+b=b+a
(a+b)+c=a+(b+c)
2、加法结合律3、乘法交换律
ab=ba
(ab)c=a(bc)
4、乘法结合律
a(b+c)=ab+ac
5、乘法对加法的分配律
6、实数的运算顺序
先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。
实数范围内混合运算的顺序：①先乘方开方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括
号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。
【考点6 实数的运算】
【例6】（2022·四川内江·中考真题）按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为√2，则最后输出的结果
是（ ）
A．14 B．16 C．8+5√2 D．14+√2
【答案】C
【详解】试题分析：当n=√2时，n（n+1）=√2（√2+1）=2+√2＜15；
当n=2+√2时，n（n+1）=（2+√2）（3+√2）=6+5√2+2=8+5√2＞15，
则输出结果为8+5√2．
故选C．
考点：实数的运算．
【变式6-1】（2022·四川达州·中考真题）计算：−12+(π−2021) 0+2sin60°−|1−√3|．
【答案】1
【分析】直接通过整数的平方、零次幂的运算、去绝对值符号、特殊角的三角函数值即可求解．
√3
【详解】解：原式=−1+1+2× −(√3−1)
2
=1
故答案是：1．
【点睛】本题考查了整数的平方、零次幂的运算、去绝对值符号、特殊角的三角函数值，解题的关键是：掌握相关的运算法则，直接进行求解．
1 −2
【变式6-2】（2022·四川内江·中考真题）计算：6sin45°−|1−√2|−√8×(π−2021) 0−( ) ．
2
【答案】-3
【分析】根据特殊角三角函数值，绝对值的意义，零指数幂，负整数指数幂，二次根式等运算法则计算即
可．
√2
【详解】解：原式=6× −(√2−1)−2√2×1−4
2
=3√2−√2+1−2√2−4
=−3．
【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，绝对值的意义，零指数幂，负整数指数幂，二次根式等知识点，
熟知相关运算法则是解题的关键．
√3
【变式6-3】（2022·四川·中考真题）计算：（﹣2）-2﹣|√3﹣2|+（﹣ ）0﹣√38﹣2cos30°．
2
3
【答案】−2
4
【分析】首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
√3
【详解】解：（﹣2）﹣2﹣|√3﹣2|+（﹣ ）0﹣√38﹣2cos30°
2
1 √3
＝ ﹣2+√3+1﹣2﹣2×
4 2
3
＝﹣2 ．
4
【点睛】本题主要考查实数的混合运算及特殊三角函数值，熟练掌握运算法则及三角函数值是解题的关
键．
【考点7 非负数的运用】
【例7】（2022·广东韶关·中考真题）已知√a−b+|b−1|=0，则a+1=__．
【答案】2．
【分析】利用非负数的性质结合绝对值与二次根式的性质即可求出a，b的值，进而即可得出答案．
【详解】∵√a−b+|b﹣1|=0，
又∵√a−b≥0，|b−1|≥0，
∴a﹣b=0且b﹣1=0，
解得：a=b=1，∴a+1=2.
故答案为2．
【点睛】本题主要考查了非负数的性质以及绝对值与二次根式的性质，根据几个非负数的和为0，那么每
个非负数都为0得到关于a、b的方程是解题的关键．
| 1|
【变式7-1】（2022·甘肃武威·中考真题）已知α、β均为锐角，且满足 sinα− +√(tanβ−1) 2=0，则
2
α+β= ___________．
【答案】75°##75度
1
【分析】根据非负数的性质得到sinα= ，tanβ=1，利用特殊角的三角函数值分别求出α、β，计算即可．
2
1
【详解】由已知得sinα－ =0，tanβ－1=0，
2
∴α=30°，β=45°，
∴α+β=75°．
【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值、非负数的性质，掌握绝对值和算术平方根的非负性是解题的
关键．
【变式7-2】（2022·四川内江·中考真题）若|1001−a|+√a−1002=a，则a−10012=_____．
【答案】1002．
【分析】根据绝对值的性质和二次根式的性质，即可解答
【详解】∵a−1002≥0，
∴a≥1002．
由|1001−a|+√a−1002=a，得−1001+a+√a−1002=a，
∴√a−1002=1001，
∴a−1002=10012．
∴a−10012=1002．
故答案是：1002．
【点睛】此题考查绝对值的非负性，二次根式的性质，解题关键在于掌握运算法则
【变式7-3】（2022·四川巴中·中考真题）已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式
√c2−a2−b2+|a−b|=0，则△ABC的形状为_______ ．
【答案】等腰直角三角形【详解】∵√c2−a2−b2+|a−b|=0，
∴c2－a2－b2=0，且a－b=0．
由c2－a2－b2=0得c2=a2＋b2，
∴根据勾股定理的逆定理，得△ABC为直角三角形．
又由a－b=0得a=b，
∴△ABC为等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角三角形．
【考点8 新定义运算】
1 1 1
【例8】（2022·湖北鄂州·中考真题）已知a 为实数﹐规定运算：a =1− ，a =1− ，a =1− ，
1 2 a 3 a 4 a
1 2 3
1 1
a =1− ，……，a =1− ．按上述方法计算：当a =3时，a 的值等于（ ）
5 a n a 1 2021
4 n−1
2 1 1 2
A．− B． C．− D．
3 3 2 3
【答案】D
2 1
【分析】当a =3时，计算出a = ,a =− ,a =3,⋅⋅⋅⋅⋅⋅，会发现呈周期性出现，即可得到a 的
1 2 3 3 2 4 2021
值．
2 1
【详解】解：当a =3时，计算出a = ,a =− ,a =3,⋅⋅⋅⋅⋅⋅，
1 2 3 3 2 4
2 1
会发现是以：3, ,− ，循环出现的规律，
3 2
∵2021=3×673+2，
2
∴a =a = ，
2021 2 3
故选：D．
【点睛】本题考查了实数运算规律的问题，解题的关键是：通过条件，先计算出部分数的值，从中找到相
应的规律，利用其规律来解答．
【变式8-1】（2022·青海·中考真题）对于任意两个不相等的数a,b，定义一种新运算“⊕”如下：
√a+b √3+2
a⊕b= 如：3⊕2= ，那么12⊕4= ________．
√a−b √3−2【答案】√2
【分析】根据定义的新运算的方式，把相应的数字代入运算即可．
【详解】解：由题意得：
12⊕4
√12+4
=
√12−4
√16
=
√8
=√2．
故答案为：√2．
【点睛】本题主要考查实数的运算，二次根式的化简，解答的关键是理解清楚题意，对实数的运算的相应
的法则的掌握．
【变式8-2】（2022·重庆·中考真题）《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然
数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研
究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特殊的自然数—“纯数”．定义；对于自然数
n，在计算n+（n+1）+（n+2）时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“数”，例如：32是”纯
数”，因为计算32+33+34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算23+24＋25时，个位产
生了进位．
（1）判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由；
（2）求出不大于100的“纯数”的个数．
【答案】（1）2019不是“纯数”，2020时“纯数”，见解析；（2）13个.
【分析】（1）根据题目中的新定义可以解答本题，注意各数位都不产生进位的自然数才是“纯数”；
（2）根据题意可以推出不大于100的“纯数”的个数，本题得以解决.
【详解】解：（1）当n=2019时，n+1=2020，n+2=2022
∵计算时，个位为9+0+1=10，需要进位，
∴2019不是“纯数”；
当n=2020时，n+1=2021，n+2=2022
∴个位为0+1+2=3，不需要进位：十位为2+2+6，不需要进位：百位为0+0+0=0，不需要进位：千位
为2+2+2=6，不需要进位：
∴2020是“纯数”；
综上所述，2019不是“纯数”，2020时“纯数”.（2）由题意，连续的三个自然数个位不同，其他位都相同；
并且，连续的三个自然数个位为0、1、2时，不会产生进位；其他位的数字为0、1、2、3时，不会产生进
位；
①当这个数为一位的自然数的时候，只能是0、1、2，共3个；
②当这个数为二位的自然数的时候，十位只能为1、2、3，个位只能为0、1、2，共9个；
③当这个数为100时，100是“纯数”；
∴不大于100的“纯数”有3+9+1=13个.
【点睛】本题考查整式的加减、有理数的加法、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新定
义解答.
【变式8-3】（2022·重庆·中考真题）对于任意一个四位数m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位
上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“共生数”例如：m=3507，因为
3+7=2×(5+0)，所以3507是“共生数”：m=4135，因为4+5≠2×(1+3)，所以4135不是“共生
数”；
（1）判断5313，6437是否为“共生数”？并说明理由；
（2）对于“共生数”n，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被
n
9整除时，记F(n)= ．求满足F(n)各数位上的数字之和是偶数的所有n．
3
【答案】（1）5313是“共生数”， 6437不是“共生数”． （2）n=2148或n=3069.
【分析】（1）根据“共生数”的定义逐一判断两个数即可得到答案；
（2）设“共生数”n的千位上的数字为a, 则十位上的数字为2a, 设百位上的数字为b, 个位上的数字为c,
可得：1≤a＜5, 0≤b≤9,0≤c≤9, 且a,b,c为整数，再由“共生数”的定义可得：c=3a+2b,而由题意
可得：b+c=9或b+c=18, 再结合方程的正整数解分类讨论可得答案．
【详解】解：（1）∵5+3=2×(1+3)=8,
∴5313是“共生数”，
∵6+7=13≠2×(4+3)=14,
∴6437不是“共生数”．
（2）设“共生数”n的千位上的数字为a, 则十位上的数字为2a, 设百位上的数字为b, 个位上的数字为c,
∴1≤a＜5, 0≤b≤9,0≤c≤9, 且a,b,c为整数，
所以：n=1000a+100b+20a+c=1020a+100b+c,
由“共生数”的定义可得：a+c=2(2a+b),
∴c=3a+2b,∴n=1023a+102b,
n
∴F(n)= =341a+34b,
3
∵ 百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除，
∴b+c=0或b+c=9或b+c=18,
当b+c=0, 则b=c=0, 则a=0, 不合题意，舍去，
当b+c=9时，则3a+3b=9,
∴a+b=3,
当a=1时，b=2,c=7,
1227
此时：n=1227, F(n)= =409，而4+0+9=13不为偶数，舍去，
3
当a=2时，b=1,c=8,
2148
此时：n=2148, F(n)= =716,，而7+1+6=14为偶数，
3
当a=3时，b=0,c=9,
3069
此时：n=3069, F(n)= =1023,，而1+0+2+3=6为偶数，
3
当b+c=18时，则b=c=9,
而3a+3b=18,则a=−3不合题意，舍去，
综上：满足F(n)各数位上的数字之和是偶数的n=2148或n=3069,
【点睛】本题考查的是新定义情境下的实数的运算，二元一次方程的正整数解，分类讨论的数学思想的运
用，准确理解题意列出准确的代数式与方程是解题的关键．
【要点4 科学记数法】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数． 确定 n 的值时，要看把原数变成 a
时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞ 1 时， n 是正数；当原数
的绝对值＜ 1 时， n 是负数 .
【考点9 科学记数法】
【例9】（2022·山东·济南市钢城区实验学校期末）中国“神威太湖之光”计算机系统首次亮相，一举夺
冠，成为世界上最快的计算机，一分钟的计算能力相当于全球72亿人同时用计算器不间断计算32年．72
亿用科学记数法表示为（ ）
A．0.72×109 B．7.2×109 C．72×108 D．7.2×108
【答案】B【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正
整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】解：72亿＝7200000000，
用科学记数法可表示为7.2×109 ．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜
10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【变式9-1】（2022·四川·眉山市东坡区尚义镇象耳初级中学八年级期中）已知某种植物孢子的半径为
150000nm，1nm＝10-9m，用科学记数法表示该孢子的半径是（ ）
A．15×10−5m B．1.5×104m C．1.5×10−4m D．1.5×10−5m
【答案】C
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法
不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：150000nm＝150000×10−9 m＝1.5×10−4 m；
故选：C．
【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边
起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【变式9-2】（2022·江西省上高县第五中学七年级阶段练习）13 940 万这个数字用科学记数法可表示为
（ ）
A．1.394×108 B．13.94×108 C．1.394×109 D．13.94×107
【答案】A
【分析】科学记数法的表示形式为a×108的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正
数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：13940万=139400000=1.394×108，
故选：A．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×108的形式，其中1≤|a|＜10，n
为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【变式9-3】（2022·甘肃天水·八年级期末）新型冠状病毒肺炎（Corona Virus Disease 2019，COVID-19），简称“新冠肺炎”，2020年2月11日，世界卫生组织总干事谭德塞在瑞士日内瓦宣布，将
新型冠状病毒感染的肺炎命名为“COVID-19”． 某实验室测得某种冠状病毒分子直径约87纳米，已知1
1
=
纳米 米，则该冠状病毒分子直径可用科学记数法表示为_________米．
109
【答案】8.7×10−8
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a×10−n ，与较大数的科学记数
法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
1
【详解】解：87纳米= 89× = 87×10−9 米= 8.7×10−8米．
109
故答案为： 8.7×10−8．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a×10−n ，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边
起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【要点5 有效数字】
一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的
数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。
【考点10 近似数与有效数字】
【例10】（2022·浙江金华·中考真题）由四舍五入法得到的近似数8.8×103，下列说法中正确的是（ ）．
A．精确到十分位，有2个有效数字 B．精确到个位，有2个有效数字
C．精确到百位，有2个有效数字 D．精确到千位，有4个有效数字
【答案】C
【分析】103代表1千，那是乘号前面个位的单位，那么小数点后一位是百．有效数字是从左边第一个不是
0的数字起后面所有的数字都是有效数字，用科学记数法表示的数a×10n的有效数字只与前面的a有关，与
10的多少次方无关．
【详解】解：8.8×103精确到百位，
乘号前面的数从左面第一个不是0的数字有2个数字，那么有效数字就是2个．故选C．
【变式10-1】（2022·山东济南·中考真题）2010年4月20日晚，“支援青海玉树抗震救灾义演晚会”在莱
芜市政府广场成功举行，热心企业和现场观众踊跃捐款31083．58元．将31083．58元保留两位有效数字
可记为（ ）
A．3．1×106元 B．3．11×104元 C．3．1×104元 D．3．10×105元
【答案】C【分析】由科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正
数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】31083．58=3.108358×104≈3．1×104．
故选C
【变式10-2】（2022·江西·中考真题）长度单位1纳米=10−9米，目前发现一种新型病毒直径为23150纳
米，用科学记数法表示该病毒直径是_____米（保留两个有效数字）
【答案】2.3×10−5
【详解】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，
23150科学记数法可表示为2.3×104，然后把纳米转化成米2.3×104×10-9化简得结果．
解答：解：23150科学记数法可表示为2.315×104，
然后把纳米转化成米，即2.315×104×10-9=2.3×10-5．
故答案为2.3×10-5．
【变式10-3】（2022·贵州毕节·中考真题）某省将为义务教育阶段的贫困学生免费发放教科书，预计发放
总量为1500万册，发放总量用科学记数法记为________万册（保留3个有效数字）．
【答案】1.50×103
【详解】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于
1500有4位，所以可以确定n=4-1=3．有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有
的数字都是有效数字．用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．解：
1500=1.50×103．
故答案为1.50×103．
此题考查科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法，题目比较典型，是
中考中重点题型．
