高一下学期期中重难点检测卷（培优卷）（原卷版）_2026年04月高一试卷_260417高一下学期期中重难点检测卷+期中模拟卷（培优卷）

高一下学期期中重难点检测卷（培优卷）
【考试范围：平面向量及其应用、复数】
注意事项：
本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟，试题共 19 题。答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．）
       
1．点O在∆ABC所在的平面内，OA = OB = OC ， AB =2， AC =1，AO=λAB+µAC (λ,µ∈R)，且

4λ−µ=2(µ≠0)，则 BC =（ ）
7 7
A． B． C．7 D． 7
3 2
2．梯形ABCD中，AB//CD，AB=4，DC =1，AD=2，∠DAB=60°，点E在线段BD上，点F在线段AC上，
   
且BE=λBD，CF =µCA，AE⋅DF =4，则λ+µ的最小值为（ ）
11+4 6 11 4 6 11−4 6
A． B． C． D．
3 3 3 3
 3   
3．如图，已知D,E分别是ABC边AB,AC上的点，且满足AB= AD，AC =4AE，BE与CD交于O，连
2
 
接AO并延长交BC于F点．若AO=λOF，则实数λ的值为（ ）
7 4 5
A． B． C． D．2
3 3 2
4．在等边三角形ABC中,D是AC上一点，CD=2DA,M 是BD上一点，∠AMC =90A,则tan∠AMD=( )
3 3 1 1
A． B． C． D．
4 3 2 3
a2+b2 sin(A+B)
5．在△ABC中， = ，则△ABC的形状是（ ）
a2−b2 sin(A−B)
A．等腰三角形但一定不是直角三角形
B．等腰直角三角形
C．直角三角形但一定不是等腰三角形
学科网（北京）股份有限公司D．等腰三角形或直角三角形
6．已知ABC的面积为1，边AC,AB上的中线为BD,CE，且CE=2BD，则边AC的最小值为（ ）
4
A． B．2 C． 5 D．2 3
3
7．已知复数z ，z 和z满足 z = z =1，若 z −z = z −1= z −z ，则 z 的最大值为（ ）
1 2 1 2 1 2 1 2
A．2 3 B．3 C． 3 D．1
8．复数α、β分别对应复平面内的点P、Q，若α2−2αβ+2β2 =0，则△POQ（其中O为坐标原点），是
（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等腰直角三角形 D．有一个锐角为60°的直角三角形
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选
对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．关于非零复数Z =a+bi，Z =b+ai,a,b∈R及其共轭复数Z ，Z ，下列说法正确的是（ ）
1 2 1 2
A．Z Z +Z Z =0 B．Z Z =Z Z
1 2 1 2 1 1 2 2
Z Z
C． 2 = 2 D． Z Z = Z Z
Z Z 1 2 2 1
1 1
10．下列四个命题正确的是（ ）
A．若 z+1−i =1，则 z−1−i 的最大值为3
B．若复数z ,z 满足 z =2, z =2,z +z =1+ 3i，则 z −z =2 3
1 2 1 2 1 2 1 2
 
  
AB AC
C．若AP=λ  +  (λ∈R )，则点P的轨迹经过ABC的重心
 AB sinB AC sinC
 
 1  1  S 1
D．在ABC中，D为ABC所在平面内一点，且AD= AB+ AC，则 △BCD =
3 2 S 6
△ABD
 
11．ABC中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，S为ABC的面积，且a=2，AB⋅AC =2 3S，
下列选项正确的是（ ）
π
A．A=
6
B．若b=2，则ABC只有一解
学科网（北京）股份有限公司(
C．若ABC为锐角三角形，则b取值范围是 2 3,4

(
D．若ABC为锐角三角形，则ABC的面积的取值范围 2 3,2+ 3

三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
           
12．已知向量a,b,c满足：b为单位向量，且a+2b和a−2b相互垂直，又对任意λ∈R不等式|a−λb|≥|a−b|
 u+2  4−u  
恒成立，若c = a+ b(u∈R)，则 c 的最小值为________．
3 2
 1      
13．已知ABC中，AE= EB,AF =2FC，线段CE与线段BF交于点O，若λOA+µOB+γOC =0，则
2
λ:µ:γ=______.
    
14．在矩形ABCD中，AB=2,BC =3,2BE=EC,Q是平面ABCD内的一点，且QD=BE，则 AQ =______；
   
  
P是平面ABCD内的动点，且
AP⋅AB= AP
2，若0<t<1，则 BE+tDE + PE+(t−1)DE 的最小值为______.
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明证程或演算步证.）
  
π ( )
15．在ABC中，C为钝角，∠ABC= ，点O为ABC所在平面内一点，满足 OA+OB ⊥ AB，
6
  
( )
OB+OC ⊥BC，线段OC交线段AB于点M .
  
1
(1)若OA⋅AC =− ，求OA ；
2
  
(2)在（1）的条件下，求OA+2OB+OC 的取值范围；

  AM
(3)设OM =λOC(0<λ<1)，求  的最小值.
AB
       
16．如图，在ABC中，AE=EB,CD=2DB，点O为AD和CE的交点，设BA=a,BC =b．
  
(1)若BO=xa+yb，求x, y的值；
学科网（北京）股份有限公司
  CF
(2)若F在AC上，OF ⊥ AC，且 a =2b =10，求  的取值范围．
CA
17．平面直角坐标系xOy内，点A(0,2)，动点P(x,y)和Q关于原点O对称，M(a,0)，a∈R.

（1）以原点O和点A为顶点作等腰直角三角形ABO，使∠B=90°，求向量OB坐标；

（2）若a=1且P、M、A三点共线，求|OP|的最小值；
    
（3）若|OP| = 5，且AC =2AQ， PC =4PM ，求直线AQ的解析式.
18．设ABC的三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．
(1)若a4+b4+c4 =2c2( a2+b2) 且A=63A，求角B；
(2)若非Rt△ABC中，ccosC =bcosB，D为AC中点，且BD=3，求ABC面积的最大值．
a=rcosθ,
19．一般地，任何一个复数z=a+bi(a,b∈R)可以写成z=r(cosθ+isinθ)， 其中r是复数的模，
b=rsinθ,

θ是复数的辐角（以x非负半轴为始边，OZ所在射线为终边的角），我们称r(cosθ+isinθ)叫做复数z =a+bi
 
的三角形式．由复数的三角形式可得出，若OZ =r (cosθ+isinθ)，OZ =r (cosθ +isinθ)，则
1 1 1 1 2 2 2 2

r 1 (cosθ 1 +isinθ 1 )⋅r 2 (cosθ 2 +isinθ 2 )=r 1 r 2  cos(θ 1 +θ 2 )+isin(θ 1 +θ 2 )  ．其几何意义是把向量OZ 1 绕点O按逆时

针方向旋转角θ（如果θ <0，就要把OZ 绕点P按顺时针方向旋转角θ ），再把它的模变为原来的r 倍．已
2 2 1 2 2
知在复平面的上半平面内有一个菱形OABC，其边长为1，∠AOC =120°，点A，B，C所对应的复数分别
为z ，z ，z ．
1 2 3
3 1
(1)若z = + i，求出z 、z ，
1 2 2 2 3
(2)如图，若P(3,0)，以PA为边作正方形APMN ，M ，N 在AP下方．
 
①若∠AOP=α，设
PA
对应的复数为z ，设
PM
对应的复数为z ，求复数z 、z ．
4 5 4 5
学科网（北京）股份有限公司②是否存在复数z 1 使得OM 长度为 19−6 2 ，若存在，求出复数z 1 ；若不存在，说明理由．
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