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山东日照市2025-2026 学年高一下学期期中考试数学试题
一、单选题
1．在平面直角坐标系内，角
的顶点在坐标原点，始边为x 轴正半轴，则其终边在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．已知某扇形的圆心角为
，半径为，则该扇形的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知
、
，“
”是“
”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
4．若
且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知
是第二象限角，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知函数
，且
的最小值为
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
7．已知
,若
,则一定有（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知向量，满足
，
.当与的夹角最大时，
（ ）
A．
B．2
C．
D．
二、多选题
9．已知向量
，
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．与夹角的余弦值为
D．
10．已知函数
的部分图象如图所示，阴影部分的面积为
，则下
列说法正确的有（ ）
A．函数
的最小正周期为
B．函数
的一条对称轴为
C．将函数
向右平移
个单位长度得到函数
D．函数
在区间
上单调递增
11．记函数
，则（ ）
A．
的一个周期为
B．函数
在区间
上单调递增
C．函数
的图象关于直线
对称
D．当
时，
三、填空题
12．已知角
的顶点在坐标原点，始边为轴正半轴，终边经过点
，则
______．
13．函数
在一个周期内的图象经过
、
、
三点．
写出一个符合条件的函数
的解析式
______．
14．已知正边形
内接于单位圆
，且满足
的顶点
共有
个，若
正三角形
的顶点
、
在圆
上，则
的最大值为______．
四、解答题
15．已知函数
．
(1)求
的值；
(2)求函数
的最小正周期及单调递减区间．
16．已知函数
．
(1)若
，且
，求
的值；
(2)在
中，若
，求
的取值范围．
17．如图，有一块矩形铁皮
，其中
，
，阴影部分
是一个半径为的扇形．
设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好，工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在
与
上的矩形铁皮
，使点
在弧
上．设
，矩形
的面积的表达式为
．
(1)当
时，设
，求
的值域；
(2)当
时，求
的最小值，并求出当
取得最小值时，所对应的
的值．
18．已知函数
，若
的最小正周期为．
(1)求
的解析式；
(2)若函数
在
上有三个不同零点
，
，
，且
．
①求实数取值范围；
②若
，证明
．
19．已知
为边长为
的等边三角形，O 为
的重心．
(1)求
的值；
(2)P 为平面内一点，满足
．
（ⅰ）若
，求
的取值范围；
（ⅱ）已知点M 为边AC 的中点，且存在实数x，y，z，使得
，求出当
最大时的
的值．
参考答案
1．C
2．C
3．B
4．D
5．A
6．B
7．A
8．D.
9．AC
10．ABD
11．ACD
12．
13．
（或
）
14．
15．（1）因为
，
所以
.
（2）由（1）可知，
，
所以函数
的最小正周期为
，
由
，得
，
所以函数
的单调递减区间为
.
16．（1）
已知
，代入化简后的
：
已知
，则
，该区间内余弦值为负：
（2）已知
，即
在
中，
，故
，得
，
则
，
，且
.
由
，得
，
故
，因此
17．（1）
过
作
，垂足为
，由题意可得：
，
，
所以
，
所以矩形
的面积
，
当
时，
，
令
，因为
，所以
，
则函数
，其对称轴为
，
当
时，
，
当
或时，
，所以
，即函数
的值域为
.
（2）因为
，
当
时，
当且仅当
，即
，解得
或
时，等号成立．
所以
的最小值是
，当
取得最小值时，所对应的
的值是
或
．
18．（1）由函数
，
因为
的最小正周期为，所以
，即
，
所以
.
（2）①由（1）知
，
由
，可得
，
令
，则
，
，
若函数
在
有三个零点，
即
在
有三个不相等的实数根，
即关于的方程
须有两个不同的实根，
在区间
内有一个实根，另一个实根在
内，
或一个实根是，另一个实根在
内，
（i）当一个根在
，另一个根在
，
故
，
，解
，
（ii）当一个根为时，即
，所以
，
此时方程为
，所以
，不合题意，
（iii）当一个根是
，即
，解得
，
此时方程为
，
，不合题意；
（iv）当一个根是，另一个实根在
，由
，可得
，
此时方程为
，解得
或
，
当
时，对应的一个的解，当
也对应一个的解，
共有两个解，不满足有三个不同的零点，不合题意，
综上可得，实数的取值范围是
；
②由
，可得
，
所以
，
因为
，
，即
，
，
所以
，
所以
，
所以
.
19．（1）因为
为
的重心，所以
.
因此
，
所以
.
等边三角形
的边长为
，它的高为
.
重心到顶点的距离等于中线长的
，所以
.
故
.
（2）（ⅰ）由
，得
.
所以
，
关于点
对称，且
.
又
．设
，则
.
在
中，由余弦定理得
.
在
中，由余弦定理得
.
令
，则
，于是
.
设
.
则
因为
，所以
.
从而
.
所以
.
又
，故
.
即
.
（ⅱ）以
为原点，建立平面直角坐标系，取
.
则
为
的中点，所以
.
设
，由
，得
.
由
.
可得
.
整理得
.
若
，则结合上式可得
，此时
无意义，不合题意．
因此
．
由于，
，同乘同一个非零常数时，
和
都不变，所以可令
.
于是
.
对横坐标、纵坐标分别比较，得
,
.
又
.
解这个方程组，得
，
，
.
因为
，所以可设
.
于是
.
这里分母
.
所以可以直接比较
的大小．设
.
则
.
整理得
.
左边是形如
的式子，它的最大值为
，所以要使上式有解，必须满足
.
两边平方，得
.
化简得
.
所以
.
因此
.
当
时，即
，
，有
.
此时
.
所以
的最大值为1．此时
.
